一
篝。 嚣 (23)⋯这是卡密顿向量场V 在(9，P)坐标系中的表 [41
达式． 于是类似于(5)的得出 ，我们知道这一
向量场的积分曲线应满足(21)。
这样，我们从几何的角度又一攻得出了正 ，
则变换不改变哈密顿正则方程的形式的结论． [7]
啥密顿函数不显台时间t的正则变换问题至此
已得到完满的解决． [81
参考文献 [9】
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(】985)．115-I17． 一
(本文于l9B8年i月27日收到)
哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号
(II)哈密顿函数星盒鞋阊t的情况
冯承天魏白蓉牟亚萍
(上海师I皂大学物理系)
提要本文和J用切触流形的基本理论讨论了在哈密顿
西数显 时间I的情况下， 哈密顿正则方程等物理概
念的j 何意义， 从而阐明了正则变换问题并证明了泊
松括号在含时构正剐变换下也是一个不变量等结论．
键调堕童塑 兰，逭i 量变垫 接触变换，含
时系统，涡旋线
l。引夸
我们在【I】中曾利用近代微分几何的方法
系统而完整地阐明了在哈密顿函数不显台时间
l时的哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号．
本文继续采用这一方击叙述在哈密顿函数显台
对闻I时的哈密顿向量场的涡旋线、哈密顿正
则方程、正则变换与切触变换、辛变换之间的关
系等． 从而正则变换有了明显的几何意义并完
鞴地解释了它的数学形式．一
z扩晨的相空阊和切触流形
如果自由度为一的体系的啥密顿函数显合
时间，即日一日(g，P，，)，。那么H现在就是定
义在扩展的相空间 M x R一{g，P，f)上的
函数。在这个2 + I维流形上，我们考虑下列
二次形式rH 。
rH一矗A^de— 矗H^出- 7一 H^出(1)
扩展的相空间 M x R 与 一起构成了一
个切触流形，记为( ‘ x R， )。
为了求得哈密顿函数日(口，p，f)在( Mx
R，rn)上给出的流向量场 的性质，先讨论
(2 4-1)维流形上的涡旋线问题．
3．(2，l+ 1)维 形上由非谌化的= 次形
式所确定的渭旋线
设 是(2n4-1)维流形上的一个任意的
二次形式，此时不难证明 至少存在一个非零
的向量场 ，满足
( ，【，> 0 l对所有的商量场， 。《2)
、
· 4l ‘
如果仅有唯一的向量场P (确定到一个常
数舒时)满足(2)，则称 是非退化的，而此时
由P生成的流线则称为是 的涡旋线．
4．切触流形(丁 肘×R，FH) 上的哈密
鞭商量场 和 的涡旋线
从定义在切触流形( M x R， )上的
哈密顿函数u(q，p，，)，我们可以确定其上的一
扶形式dH一竺 + dPi+ OH dt．
+6，)．，+厶玎
母I 扩属相空间与搴{分曲线
根据图l所示，我们可以如下地定义哈密
顿函数日给出的(流)向量场
vH(q(t)， (，)，f)； 导(qCt)， (f)，，)
；
( (f)， (，)，1) (3)
因此根据哈密顿正则方程
一
嚣如一嚣 ∽
我们就有
V月一 OH a
9，一 O + (5)
q
由此得到
rn(vH ’
对所有的向量场u ⋯忆及在不显含时间f时，我们是用对所有的向
量场u成立的r(v，V )一dF(V)来定义 ，
的 。在显含时阅I时，由于有(6)式我们就不
能用类似的等式来定义 ． 然而，我们仍可以
用(6)来定义 ，因为此时可证明 是非退化
的，因而由(6)可以把V，唯一确定到一个常数
倍． 再从(5)可知 目的 分量为l，因此
地就髓从(6)唯-地确定 H了．
于是，P 生成的流线，即哈密顿掩线便是
的涡旋线．
S．显畲时间f的正刚变换
我们现在来考察切触流形(r M × R，r )
上的变换
( ，P，f)一(9(口，p，f)，e(v， ，1)，
T(q，p，f)) (7a)
以及(r M x R， )上的函数的变换
U(q， ，，)一 (口，P，r) (7b)
由于物理上的原因，我们希望寻求的(连续、可
逆)变换要满足下列两个条件
条件1．t— T (8)
条件2．对于 (口 ，f)有
OK
， 一
嚣． (9)
即变换(7a)和(7b)不改变哈密顿正则方程
的形式．
满足条件l和条件2的变换(在【¨ 中称为
准正则(canonoid)变换)的全体显然构成一
个群，记为G
又为了要得到有“力学意义的”变换， 我仃1
还需提出下列条件
条件3．对于(7b)中的u(q，p，，)和J((9，
P，r)，(1一r)．它们应满足0棚
／'n— 人d 一dH Adt
— n — A 一dKA出(10)
不难看出条件3的物理意义： 从(6)可知
应满足
Fx(u，P )一O，对所有的向量场u (I1)
于是从 一 及比较(6)和(11)便能得到
V — VH． (12)
即满足条件3的变换能使变换后的“卡密顿”向
量场 z与盔换前的哈密顿向量场 一致．
在数学上，条件3也是很自然的．这是因
为，既然我们讨论的是切触流形，那么，考虑的
变换也应使 不变， 即使切触流形的结构不
变． 因此条件3可以称为切触变换条件 ．
满足条件3的变换一定满足条件2， 即它
能保持啥密顿正则方程的形式不变，现在我们
来说骐这一点．从O0)与(I1)两式。有
t 一
篙a 劳a—m Os)
所以使用类似于(3)的等式， 我们就能得出 z
的积分曲线应满足相应的方程组(9)．
忆及力学中熟知的庞拥勒一嘉当积分不变
量 ”pjdq 一Halt，我们显然可以把条件3
局部等价地表示为 “
条件3 ．对于Ub)中的日( ，p，f)和 (9，
P，r)，O — r)，存在着母函数s—s(q，O，f)
使得
p 一H觑一P矗QI—Kdt十出04)
从条件3 ，我们能得到下列熟知的关系式 “
丽Os 一专， 一日+磬05)
我们把满足条件1和条件3(或等价地j )
的变换(7a)，Ub)称为,wN变换．
正则变换的全体构成正则变换群Gh¨ 从
上所述，我们显然有G 3 G| ．
6．串壹搬与泊钍括号
在用微分形式表示的(1 4)中， 如果把切触
流形上每一点切空间的对偶空间中的基看成微
分的话，则在f一常数时，我们得到
一
P Q．一ds (1 6)
因此对于每一个f，(口，p，0一(9，P，，)应是
辛流形(7'+ ，r)上的一个辛变换“ ．
在哈密顿力学的经典处理中， 通常把06)
看成是由(14)通过等时变分(或等时微分)推出
的 “ ，而在哈密顿力学近代处理中。 ，由于
自始至终坚持在流形的框架里加以处理，所以
在正则变换的近代定义中的一些等价表述里也
有把(1e)作为一个独立的条件提出的．
于是从(1e)，可以得到
却 ^由 一 Aa ，对于每· 个， (17)
而(17)又等价于
一
一 等 ’ ， (L 18)
于是有
if,gk 一薏0韭p,一嚣嚣
一
r L
8， a一 +．，
、
一
L 坐塑堕监
。
a a aX- a
一
， L 一
aX 0X-
一
{，，窖)(口㈣ (【9)
即在哈密顿函数显含时间时的正则变换下，汩
松括号不变． 因此，在含时的正则变换下，我们
仍有(9(g，p，f)，P(g，P，，))是,wN变量的结
论． -
7．一个特殊情况及两点评注
作为一个特殊情况，让我们来考察哈密顿
函数日不显含时间的这一重要情况． 此时
n(q，p)是相空间r M上的函数． 为了限翩
在7' 上来讨论，我们当然要求(7a)所示的变
换与时间无关．于是由(1 )的前两式可知母函
数 — S(q，口)．再由(1 )式的最后一式可船
此时应有
(口，P)一 (Q(宁，p)，P(尊，P))
g，p)． (2O)
于是条件3 也就变成了(16)．因此，此时的辛
变换与(20)就构成了正则变换． 这芷是【1】中
所讨论和分析的情况：。 。
丽点评注：
1．许多力学教科书中把正则变换定义为使
哈密顿正则方程形式不变的变换u．1． 这显然是
不够确切的． 条件3(或3 )的出现本身已足以
说明使哈密顿正则方程形式不变的变换还不足
以为正则变换．
2．条件3(或3 )保证了哈密顿正贝Ⅱ方程的
形式不变。因此就是使哈密顿正则方程形式不
变的充分条件． 忆及条件1和条件3(或3 )定
义了正则变换，所以条件3(或3 )又是正则变
换的必要条件． 出现在许多力学教科书的这种
混淆在逸里得到了澄清．
朱照宣先生对本文的写作和修改给予了热
情的帮助，谨致谢意．
参考文献
【1] 冯翠天、煞白蓉、牟亚萍，哈赍顿正剐方疆 正鹿变换秘
稿钕括号(I)啥密幢西散不盟古时间f的情况， 力学
与赛院‘(19BI)． ‘下格幕7s丙)
· ●，
情况必须搞清各车运动的函数关系，这种理论体系，交通界称为跟车理论或交通动力学理论．
研究交通流采用模拟法是有实用价值的一个途径． 用模拟流体力学和动力学的方法 ，宏
观地研究通道上交通流特征参数之间的关系，这种理论被称为流体力学模拟理论和动力学模拟理
论。此外还有交通运输模拟法，此法把用理论分析难于解释清楚的复杂交通现象，借用蒙特卡罗
法把交通现象再现出来． 这种方法与数值计算法结合起来，将可能成为交通流理论研究的方向．
目前，对各国交通工作者提出的迫切任务是扩大自己的知识面，改善知识结构预要求其他相
关学科，如应用数学，应用力学，计算机技术方面的科研工作者密切合作，共同探讨、运用物理模
型、系统工程和计算机模拟技术对交通流理论的研究作出突破性的工作，形成完整的理论体系，反
过来把交通工程学提高到更高层次的水平．
本文是描述在应用方面较显著的几种交通流理论模型，以期§I发关心交通工程的其他学科界
尤其是力学界对此发生兴趣，井对此作出贡献．
2·流体力学波动理论
流体力学波动理论最早由P I．Richards在1955年提出． 它把交通流看成是可压缩性的流
体． 模拟流体力学的连续方程，建立车流的连续性方程． 把车流密度的疏密变化比拟成水波起伏
而抽象为车流波． 当车流因道路或交通状况的改变而Bl起密度变化时，在萃流中产生萃流谈的传
播，通过对车流波的分析，以寻求车流流量、密度和速度之间的关系，该理论在分析瓶颈段的车辆
拥挤问题时，有其独到的用途．
流体力学与交通系统物理特性对比见表2．
衰2
物理特性 慌体力学系巍单i司可压可压缩梳体 交道流系绕单革薄革蠢
离鼓元素 升 于 车 辆
变 量 质量(密度) 速度V 压力P 密度 车速P、靠t g
动 量
状盎方程 P— "r g=
连续性方程 d
f
+ 等 。
运动方程 dt 。M =0’ 鲁+c 芸一o
l车流连续方程
如图1所示，设车顺次通过距离为 的两断面I和II，时间间隔为Jf．车流在断面l的流
入量为 ，密度为 ． 在断面II流出量为( + 由)，相应的密度在l时为 ，在f"t-dt时为i—
女，强取负号表示拥挤状态．根据质量守恒和流量与速度的关系g一扣，则可导出类似流体力
学的方程，于是有交通的连续方程
盟+生 0 、
函： 函
或写成
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