切触变换是由Ｓｏｐｈｕｓ Ｌｉｅ作为由微分方程组的积分定义的一种局部变换群的一个特 殊情形而引进的

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切触变换是由Ｓｏｐｈｕｓ　Ｌｉｅ作为由微分方程组的积分定义的一种局部变换群的一个特　殊情形而引进的

这样我们看到变换，ｙ卜＋，ｙｌ，又称为膨胀变换，是切触变换．根据Ｈｕｙｇｅｎｓ原理，平行曲　线在波（在齐性和各向同性介质中）的传播理论中出现，这说明为什么切触几何形成几何　光学的基础．切触几何的这个方面将在下面的１．３节（３）中讨论

　ｔｉ　ｄｘｉ不能整体定义．若ｎ是奇数，Ｍ是可定向的，但切触结构　是　不可定向的；若ｎ是偶数，切触结构是可定向的，但Ｍ是不可定向的．关于这些定向问　题，【６３，Ｐ．３６６】中的陈述有误

决定．　当你骑自行车时，前轮的转动是没有限制的，但它的速度落在前轮在给定时刻的方　向所确定的切触元素中，因此移动的轮子在带自然的切触结构平面的切触元素空间中描　绘了一条Ｌｅｇｅｎｄｒｅ曲线．　（２）热力学在［４】中，Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌｄ写道“每个数学家都知道不可能了解热力学中任　一基本过程，原因是热力学基于一个相当复杂的数学理论，即切触几何．”　用切触几何描述热力学可以追溯到Ｇｉｂｂｓ［３４］的工作，下面是那篇文章的开场白，　引自［６】．　“我们要考虑下述量：一给定物体在任一状态的体积　、压力Ｐ、（绝对）温度ｔ、能　量Ｅ、熵，７，及该物质从一个状态到另一个状态所做的功　以及所吸收的热量　．这些　量满足下述这些微分方程：　出＝ｄＨ—ｄＷ，ｄＷ＝ｐｄｖ，ｄＨ＝ｔｄ叩．　消去ｄＷ和ｄＨ，有　ｄｃ＝ｔ咖一Ｐｄｖ．　（６）　当物体的状态给定，量　，Ｐ，ｔ，Ｅ和，７就确定了，这些量可以称为物体的状态函数．在流体　热力学中，一个物体的状态，能有两个独立的变化，以致在５个量　，Ｐ，ｔ，Ｅ和，７之间，存　在可由３个有限方程表述的关系．一般来说，对不同的物质，方程不同，但总与微分方　程（６）协调．”　用现代术语，一个物体的状态构成带切触结构（６）的热力学五维相空间中的一个Ｌｅｇ－　ｅｎｄｒｅ曲面．　以稍微不同的形式，切触结构也出现在Ｃ．Ｃａｒａｔｈ６ｏｄｏｒｙ对热力学的描述［１２】中．那　儿，拟静态绝热过程与Ｄａｒｂｏｕｘ模型中的积分曲线相关，并且证明了这个模型中任意两　点可由切触结构的一条光滑积分曲线相连．　这对任一切触流形中的任意两点实际上都对，并且更一般地，切触结构可以换成余　维更高的括号生成的分布．这些分布满足：在任一点的切空间可由与分布相切的向量场　的多重Ｌｉｅ括号张成．关于这样空间中的积分曲线的陈述称为Ｃｈｏｗ连通性定理．不太熟　知的是，在任意两点之间可以找到光滑的而不仅仅是分段光滑的积分曲线，它的一个证　明由Ｍ．Ｇｒｏｍｏｖ［４５】新近给出