爱因斯坦与毕达哥拉斯定理[1]
王伯年 宋利敏 史兆申
（上海理工大学，上海 200093）
[摘要] 基于对可靠而原始的爱因斯坦传记材料、爱因斯坦的《自述》和欧几里得《几何原本》的分析，可以证实爱因斯坦12岁时曾独立地得出了毕达哥拉斯定理的一种证明，而且这是为数众多证法中最为简单和最好的。然而，这不是创新的，因为《几何原本》中就有了这一证法。爱因斯坦天赋的好奇心、敏锐的理性思维、勤奋的钻研精神和启蒙者对他的教育是这一奇迹发生的必要条件。
[关键词] 爱因斯坦；毕达哥拉斯定理；欧几里得；几何原本
2004年6月，联合国第58次会议决定：2005年为世界物理年。用一门科学命名世界年，这是联合国历史上还是第一次，这是为了纪念1905年爱因斯坦奇迹般地发表划时代意义的5篇学术论文100周年，同时也是纪念这位20世纪最伟大的物理学家逝世50周年。
爱因斯坦不是一位数学家，而是一位理论物理学家。他将当时处于创建阶段的张量分析用于广义相对论，不但为这种理论找到了有效的数学工具，并对推动和完善张量分析在数学中的发展起到了重要的作用。此外，爱因斯坦还在爱因斯坦求和约定[1]和爱因斯坦张量[2]等方面对数学作出了直接的贡献。
本文不研究爱因斯坦与张量分析的关系，而研究数学中一条十分重要的定理—毕达哥拉斯定理（以下简称为毕氏定理）与爱因斯坦的关系，这与他在12岁时是否创新地得到了该定理的证明有关。
1 一些重要的说法
1.1 1921年Moszkowski的说法
Alexander Moszkowski（1851-1934）是与爱因斯坦早年有密切交往的柏林文艺批评家，他从1919年夏季至1920年秋季曾与爱因斯坦作了一系列的对话，随即出版了有关爱因斯坦第一本传记的英文本[3]和德文本[4]，此书英文本于1972年再版，书名改为《与爱因斯坦的对话》[5]。显然，该书初版内容是得到爱因斯坦认可的。其中有爱因斯坦与毕氏定理关系的首次较为详细的报导，Moszkowski写道[3]：“有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理的内容，而未讲任何证明。他的侄儿理解所涉及的关系，并感到可基于一种理由而推导出来。……这个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理。他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明。为此，他长时间的激动！这虽然仅涉及到一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者首次的快乐。”
1.2 1924年Maja Einstein的说法
爱因斯坦的妹妹Maja Einstein（1818-1951）在1924年2月15日写成了《阿尔伯特•爱因斯坦——为他的生平事略而作》一文，但一直未公开发表。由于此文的重要性，《爱因斯坦全集》的编者于1986年将此文的部分内容载于全集第一卷正文之前，此文涉及到爱因斯坦12岁时证明毕氏定理的内容。
对于爱因斯坦学习几何，Maja 在文中写道[6-7]：“他不是从书中得知它们的证明，而是企图自己来证明它们。”又说：“阿尔伯特总是找到了正确的证明，甚至还发现证明毕达哥拉斯定理的一个崭新的方法。获得这样的结果，这个孩子感到莫大的幸福，这时他自己已经意识到他的才能指点他的道路。”这段话清楚表明作者认为爱因斯坦曾给出毕氏定理一个崭新的证明，而且这段经历对爱因斯坦以后从事科学研究有重大影响。此外，全集的编者还对此事加注说：“根据这篇文章（指爱因斯坦的《自述》）中的叙述和Moszkowski书中第222-223页的内容，就可以重建他的证明。”这说明全集编者认同Maja的说法，并向读者提供了证实这一说法的参考文献。
1.3 1930年Anton Reiser 的说法
Anton Reiser（1889-1964）是Rudolph Kayser 的笔名，他是一位德语专家，1924年与爱因斯坦的继女结婚，1930年发表了《爱因斯坦传》一书[8]。此书曾得到过爱因斯坦充分的认可，他为该书曾写了一段话，其中有一句为：“我感到这本书从头到尾讲的事都是相当确凿的。”[9]
Reiser 对爱因斯坦证明毕氏定理的事写道：“他的叔叔向他讲了毕氏定理，只讲了内容，而未讲证明。这个孩子的雄心大志是不借助现有的最少的几何知识，去发现他自己的证明。奇迹终于发生了……，他独立地成功证明了欧几里得几何的关键定理。……当Spieker的几何书到了他手里时，除了2到3道难题外，他迅速成功地解答了所有的习题。”
1.4 1932年Talmey的说法
Max Talmey（1869-1941）是爱因斯坦10岁到15岁时与之密切相处，并对爱因斯坦给予良好教育的人，1932年发表了[10] ，并在[11] 中有着爱因斯坦少年时学习数学的生动描述。他写道：“我给他Spieker的几何学教科书自学。每周我惯常去他家一次，他总是很高兴给我看他上周解出的新习题。开始时，我帮助他解难题，……，过了不久，几个月，他已经把Spieker整本书都学完了。……不久，他的数学天才飞得那么高，我不再能跟得上了。”
Talmey所述内容中，并未提及爱因斯坦证明毕氏定理一事。
2 爱因斯坦本人的说法
应P. A. Schilpp的请求，爱因斯坦在1946年写了《自述》一文，“向共同奋斗着的人们讲一讲一个人自己努力和探索过的事情”。此文首先发表在[12] 中，中文译文见[13] 。
爱因斯坦在此文中写道：“在12岁时，……有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我。经过艰巨的努力以后，我根据三角形相似性成功地‘证明了’这条定理；在这样做的时候，我觉得，直角三角形各个边的关系‘显然’完全决定于它的一个锐角。在我看来，只有在类似方式中不是表现得很‘显然’的东西，才需要证明。”
值得注意的是：爱因斯坦在‘证明了’上面打了引号，这意味了这样的‘证明了’，是有限定意义的。
3 爱因斯坦对质疑的答复
1953年3月14日在爱因斯坦74岁生日宴会之前，举行了一个简短的记者招待会，他收到了一份书面的问题单，其中第一个问题就涉及在他12岁证明毕氏定理的事，爱因斯坦对此作了明确的回答[14] 。
第一个问题是：“据说你在5岁时由于一只指南针，12岁时由于一本欧几里得几何学而受到决定性的影响。这些东西对你一生的工作果真有过影响吗？”
爱因斯坦回答：“我自己是这样想的。我相信这些外界的影响对我的发展确是有重大影响的。但是人们很少洞察到他自己内心所发生的事情。当一只小狗第一次看到指南针时，它可能没有类似的影响，对许多小孩子也是如此。事实上决定一个人的特殊反应的究竟是什么呢？在这个问题上，人们可以设想各种或多或少能够行得通的理论，但是决不会找到真正的答案。”
由此可见，在爱因斯坦逝世前一年，他仍然充分肯定他少年证明毕氏定理之事对他一生重大的影响。
4 爱因斯坦的证明方法
至今未见到爱因斯坦12岁时对毕氏定理证明的详细内容，但是按照上述材料，不难正确地推论出他的方法如下所示。
专注到三角形的相似性，从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线，设交点为D（见图1）。两直角三角形的相似，完全取决于它们的一个锐角，如果有一锐角相等，二者相似；否则，不相似。
在图1中，△ABC、△DBC、△DCA彼此都是相似的，因为它们有一锐角是相等的。
△ABC与△DBC因相似，二者的两对应边长之比相等，即
c/a=a/e，ec=a2 （1）
对△ABC与△ACD，同理有
c/b=b/f，fc=b2 （2）
（1）+（2），得到：
ec+fc=（e+f）c=c2=a2+b2 （3）
上式就是毕达哥拉斯定理的内容。
由上可知：基于对直角三角形的斜边作垂直，构成两个与原直角三角形相似的直角三角形，再利用两相似三角形的对应的边长之比相等，即可导出毕氏定理。据作者的分析与研究，这种证明是现有约300种毕氏定理证法中[14] 最为简单的：仅需作一条辅助线和仅需三步推理运算，即可推导出毕氏定理。因此，这种证法是最好的。
5 爱因斯坦的证明是创新的吗？
仔细阅读欧几里得的《几何原本》[15] 就会得知，在这本划时代的经典著作中，对毕氏定理不仅提出了人们所熟悉的在直角三角形的三条边上，向外分别作三个正方形的比较繁的证法，而且还有另外的基于相似三角形相似特性的证法，其内容与图1所示的方法完全相同，仅是叙述较繁，而且把内容置于第Ⅵ卷命题8和命题31之中，并表达为：“在直角三角形中，对直角的边上所作图形（的面积）等于夹直角边上所作与前图形相似且有相
似位置的两图形（的面积）的和。”
似位置的两图形（的面积）的和。”
爱因斯坦知道《几何原本》中上述证法吗？他12岁时，不会知道。因为对于一个12岁的小孩，通常是不会去查阅2000多年前的经典文献。在爱因斯坦成人，尤其是成名之后，他有可能会阅读《几何原本》，也有可能会读到《几何原本》中关于毕氏定理的基于相似三角形特性的证法。因此，与爱因斯坦深谈过的Moszkowski写他‘证明了这一定理’，爱因斯坦的女婿Reiser写他‘独立地成功证明了欧几里得几何的关键定理’，爱因斯坦少年时期的教导者、有着良好的科学素养的Max Talmey根本就没有突出爱因斯坦与毕氏理论的关系，以及爱因斯坦本人在‘证明了’这条定理的证明了上面打上引号，所有这些说法都是可以理解了！至于爱因斯坦的妹妹Maja说她哥哥“发现证明毕达哥拉斯定理的一个崭新的方法”之不确切，只能归因于她缺乏科学背景的原因。《爱因斯坦全集》编者认同Maja对此的附注，也只能归因他们未曾对毕氏定理的种种证法作过深入的分析与研究。
6 结论
(1)爱因斯坦12岁时，在未学过平面几何的情况下，曾基于三角形的相似特性，独立地给
出了毕氏定理的一个证法，而且这一证法是毕氏定理中最简单和最好的证法。
(2)爱因斯坦这一证法并不是创新的或崭新的，因为在公元前的欧几里得《几何原本》中，
已经有了这种证法。
(3)爱因斯坦之所以在12岁时完成了常人无法达到的成果，是由于他天赋的好奇心、敏锐
的理性思维、刻苦的钻研精神以及启蒙者对他谆谆教导的结果。
(4)经典著作，如《几何原本》等是无价的知识宝库。对于研究者而言，深入钻研经典著作
是必不可忽缺的。
参考文献
1. 王伯年,李达房,曹伟武.爱因斯坦求和约定的推广.上海理工大学学报,2003,25(1):5-7页.
2. 孙志铭 .物理中的张量.北京:北京师范大学出版社,1985.190-192页.
3. Moszkowski A., Henry L. B. (英译). Einstein the Searcher: His Work Explained from Dialogues with Einstein. London: Methuen & Co. Ltd., 1921.
4. Moszkowski A., Einstein. Einblick in seine Gedankenwelt. Gemeinverständliche Betrachtungen über die Relativitäts Theorie und ein neues Weltsystem. Hamburg: Hoffmann und Campe, 1921.
5. Moszkowski A., Conversation with Einstein. New York: Horizon Press, 1972. p. 224- 225.
6. Stachel J.主编.The Collected Papers of Albert Einstein, Vol.1., Princeton: Princeton University Press, 1987.
7. 赵中立主译.爱因斯坦全集,第一卷.长沙:湖南科学技术出版社,2001.73页.
8. Reiser A., Albert Einstein, a Biographical Portrait. New York: Albert and Charles Boni Inc., 1930.
9. 许良英,赵中立,张宝三编译.爱因斯坦文集,第三卷.北京:商务印书馆.41, 391页.
10. Talmey M., The Relativity Theory Simplified and the Formative Period of Its Inventor. New York: Falcon Press, 1932.
11. 赵中立,许良英编译.纪念爱因斯坦译文集.上海:上海科学技术出版社,1979.110-114页.
12. Schilpp P. A., Albert Einstein: Philosopher-Scientist. New York: Herper & Brotheis Publishers. 1949.p.2-p.9
13. 赵中立,许良英编译.纪念爱因斯坦译文集.上海:上海科学技术出版社,1979.3-9页.
14. Loomis E S., The Pythagorean Theorem (reprinted). The national council of teachers of mathemetics, U.S.A., 1968.
15. 欧几里得著,黄纪正,朱恩宽译.几何原本.西安:陕西科学技术出版社,2003.161-162,189-190页.
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