规范场与主纤维丛上的联络*
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本文较详细地给出物理上的规范场与数学上的主纤维丛上的联络论之间的对应关系, 从. 而以联络论的观点 ... 作为切向量丛的一截面(Scction). 然后我们指出薰一般的 ...
【转载】纤维丛，联络，规范场
2009-04-08 22:34 | (分类:默认分类)
首先是有个G-主丛P，G是规范群，对某矢量空间有左作用（线性表示）。该线性空间是主丛P的伴随矢量丛的标准纤维。物理的场就是伴随矢量丛的截面。
主丛有局部平凡化，根据局部平凡化，在底流形上各区域，可以各得到一个局部截面——这些局部界面，就是局部规范。而两个局部截面刚好相差局部平凡化的转换函数g。局部截面诱导伴随矢量丛的局部平凡化，不同平凡化在交叠区恰好相差一个g的逆。即，选取规范其实是在主丛上做，而伴随矢量丛由于其构造，自动地继承各区规范。
物理的场，即截面，在底流形不同的开区有不同的平凡化结果（伴矢丛局部截面），当我们从底流形的一个开转到另一个开区，为了使得两个局部截面是等价的（伴随丛定义里面的等价关系，不同局部平凡化的粘合办法），局部截面需要承受g逆的作用，即规范变换。
主丛上的联络由水平分布H给出，合理的水平分布H给出底流形曲线的水平提升。联络形式是０化水平分布的L(G)值1-form，且它把基本矢量场（标准纤维G的L(G)里的元素通过G对P的右作用，推前到P的每一点上，构成了基本的矢量场）映射成它在L(G)的本源。对联络进行水平外微分d·h，可以得到主丛曲率L(G)值2-form。最后，利用前面所述的局部主丛截面，拉回到底流形，就成了流形上的局部规范势形式和场强形式。
主丛的水平结构H直接用于定义伴随矢量丛的协变导数（矢量丛的联络），而倘若用矢量丛的局部平凡化来表达协边导数对截面的作用结果，自然地会得到包含局部规范1-form的（群众喜闻乐见的）协变导数算符了。
《Gauge fields, Knots, and
Gravity》，过了规范场，接下来就准备是Chern-Simon理论和扭结了
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