susy物理学笔记
来自: yurodivy(我就要转弯)2012-07-23 22:36:38
usy物理学笔记（一）——开篇明义 2009-04-08 12:28
学习了这么多年物理，多少对一些问题也有了一点儿小小的认识，我准备一点儿一点儿地写一些出来。由于这些认识归根结底都收我看过的书和听过的课的影响，因此只好叫做“susy物理学笔记”，不能叫“susy物理学讲义”:)。歪嘴和尚念经自然难免把好经念歪，因此恐怕在诸位行家看来会有很多原则性的错误，这些错误应归因于我的水平不够，而与我的老师和我看过的书无关，特此声明。
susy物理学笔记只包含理论物理中与场论相关的部分，原因很简单，其它的根本一点儿也不懂。学习了多年物理，我们心中应该有这样一个认识，那就是，或许存在某个“终极理论”，但不存在所谓的“Theory of Everything”。也就是说，不同层次的物理需要不同的模型，深层次的模型可以对上一层次的模型作出令人信服（却不一定是严格可执行的）解释，但不能取代被解释的模型。举例来说，我们相信支配水分子运动的规律是量子力学，但却无法用量子力学严格求解水流的运动规律，更不用说是湍流了，量子力学也不能取代流体力学。 在这种意义上我们可以说，流体力学才是水流运动层次的物理，试图通过求解薛定谔方程来了解水流运动规律的人不能说是令人敬佩的理想主义者，只能说他没有学好物理学。
物理学的这一特征可以说是一把双刃剑。它使我们在建造水库的时候不必考虑QCD的渐近自由性质，使得牛顿可以从他的运动定律开始从容地构造他的力学体系而不必一开始就面对复杂的微观现象。它也是我们能够拥有一个可重整的量子场论的根基，由于我们在处理低能过程的时候可以不用考虑高能过程的影响（相信我的读者都是熟悉量子力学的，因此自然会明白我为何将微观与高能对等起来），肆无忌惮的将那个本来很讨厌的发散项SA掉。这个性质就像一只大手，约束了深层次的物理信息，不让他们到处乱跑，使得我们在研究液态水的性质时不必一并研究水蒸气的性质（当然如果你愿意一并研究我也没意见），我们甚至可以不知道水蒸气这一物态的存在，但这完全不会影响我们在低温时对液态水的研究。或许当我们做出水在0度以上时都是液态这样的假定时，理论研究中也会出现某些无穷大，但只要我们讨论的问题远离水的汽化温度100度，我们就可以像在可重整的量子场论中做的一样，放心的SA掉它，并且还会得到正确的预言。这时，那个世界的液态水理论物理学家辉这样评价研究水蒸气这种对称性更高但是实验上还看不到的物态的理论家：“他们做的东西是没有希望的，做不出可观测的预言，那些全是数学，没有一点儿物理。”我们这个世界的物理学家当然知道水蒸气是真实存在的，但我们又比那个世界研究液态水的理论物理学家强多少呢？1TeV笑0.001eV，五十步笑百步而已。
从上面的例子也可以看出，物理学的这一性质最大的危害在于我们在达到新的境界前可能完全无法对它有一个了解。这对于应用物理学和实用主义者（我在这里用这个词不含贬义）是无关紧要的，因为已有的问题还很没有研究清楚，而且无法达到的层次可以被认为是不存在的。但这种态度无法满足人类对未知世界的好奇心，于是就有了那个世界从政府手里骗到纳税人的钱坚持研究“没有希望的水蒸气”的理论物理学家。
有了以上的观念，我们就会清醒地认识到，描写我们这个世界的物理模型有一系列，对于不同的层次需要不同的物理模型。或许这个模型序列有一个“正向极限”，或许没有，我们今后讨论的理论不过是这一系列模型中的一个，它也有它的适用范围，这是做物理时刻要记住的。我们说描写这个世界的物理模型有n多，但这个世界的物理学只有一个，因为这些模型不是孤立无联系的，正像我们前面所说的，每一个深层次的模型都对前面的模型作出了定性的令人信服的解释。用一句微分几何（很可能是不贴切）的话讲：“物理理论是一个无法用一个模型覆盖的‘理论流形’。”
susy物理学笔记（二）——彭加莱对称性初步 2009-04-08 12:29
杨先生和李先生几乎每次做报告都要讲这个题目，于是我这样一个小人物谈这么大的题目似乎有些不自量力。不过对称性对理论物理而言实在是太重要了，重要到像我这样的小人物也不得不谈一谈这个问题。
让我们先从最简单的对称性——彭加莱对称性——谈起。这个问题来源于一位叫麦克斯韦的英国老兄写下的方程，之后又有迈克尔逊和莫雷做的实验，个中的历史想必大家已经很清楚了，至于八卦倒真是应该问一问李淼老师，我没有听到过太多。总之，问题随着伽利略变换被彭加莱变换取代而基本解决了。我们这里无意涉及历史上人们对此问题的各种认识，那主要是科学史工作者的任务，我只想谈谈我自己学到的对这一问题的认识。
何谓“彭加莱对称性”？对这个问题的回答分为几个层次。首先是狭义相对论层次上的认识，那就是平直时空的等度规微分同胚群是ISO(1,3)（直译应为非齐次特殊正交群）。我们在这里不讨论坐标变换，因为这有可能带来不必要的麻烦，如果您一定要咬住坐标变换不放的话，那我只能简单的说，我们讨论的问题不涉及广义坐标变换（这在狭义相对论里当然是允许的），我们只限于讨论彭加莱变换，也就是洛伦兹转动与平移。我之所以说容易引起不必要的麻烦，是因为坐标完全是自由的东西，是非常人为的，我们无权限制别人选择任意坐标的自由。
平直时空的等度规微分同胚群是ISO(1,3)意味着什么呢？让我们利用自由粒子的作用量对此作一个简单地说明。此时拉格朗日量L=mg(T,T)^1/2，在经典情况下，作用量S=Integ[L]（转者：Interg是积分）的驻点（转者：变分为０）代表一条真实路径，也就是粒子的运动状态，其解就是闵可夫斯基时空中的一条曲线（指曲线映射，而不是像）（转者：曲线映射值曲线的参数方程，像指映射值点集），其切矢是归一的。那么彭加莱对称性告诉我们什么呢？我们对平直时空做一个等度规微分同胚p，由于是微分同胚，作为反变函子（不要去理会这个词）的拉回映射（pullback）的逆是有良定义的，我们记它为P^，记原拉回映射为P，由于p属于等度规微分同胚群，由定义有Pg=g，于是g=P^g。而由定义g(T,T)=Pg(T,T)=g(PT,PT)，（我实在找不出什么合适的符号了，就用P再代表一下推前映射吧），因此， 每一条真实运动在p下的像仍然是真实运动（注意，这是不同的运动，不是同一运动的不同表现，用一句大家比较熟悉的话说，我们采用主动观点）。
简单地说一下上述（貌似云里雾里的）表述在具体计算中的表现。在计算中，主动观点和被动观点表现是一样的（这是当然的）（转者：主动观点和被动观点观看一个矢量相对于坐标轴在转动，前者认为是矢量在转而坐标不变，后者认为是坐标在转而矢量不变），推前拉回的结果是采用了新的坐标系，而坐标变换保证g的分量不变（这不是任意坐标变换能保证的，然而彭加莱坐标变换正具有这一特点），算矩阵的时候在T和g中间插入坐标变换矩阵T~gT=T~P~PgP~PT，而PgP~=g，所以PT也是运动方程的解。最后让我们注意一点，时空的这一性质使得单粒子运动的世界线构成彭加莱群（本文中特指ISO(1,3)，不含时间反演和空间反射）的一个表示，这个表示在这里是简单的，然而在后面的讨论中我们将看到，这是一个很重要的观点。
让我们进入我们关心的相对论量子场论。有关场论的更多问题我们将在后面的笔记中做更详细的讨论，这里我们只讨论彭加莱对称性。涉及到量子问题，态矢就成为一个很重要的概念，我相信大家的量子力学都学得不错，对这一问题都有“貌似”正确的认识（用“貌似”是因为某位大师——如果没记错应该是费曼——说过没人懂量子力学，所以这个词既没有贬低大家的意思，也没有自我吹嘘的含义）。在量子场论中，态矢仍然是很重要的概念。我门首先从没有相互作用的自由场入手讨论彭加莱对称性。由于大家可能多少有一些量子场论的基础，而且很可能大多数人都比我学得好，所以我可以放心地将一些诸如场的二次量子化的问题放在后面来讨论而不会影响和大家的沟通。在自由场中，所有的态矢构成一个Hilbert空间，物理上研究的态是这个Hilbert空间的一个稠子集。每一组惯性观测者都有自己的一组观测量算子和衡量态的标准，当我们的物理学家研究某一个具体的态的时候，他不得不克隆很多相同的态，然后用他（她）的衡量标准来描述这个态。说得更清楚些就是，对于每个观测量，我们有一个关于观者（也就是参考系）和物理态的二元映射（因为如果态取得不好，结果可能是一个概率分布）。时空对称性提出的问题是：对于哪一类观者集合，我们可以做到利用其中任一观者测某一确定物理态的结果和另一该族中给定观者可以找到（且只能找到）一个物理态，使得这个新的态在新选择的族中观者测量下的任意结果都是相同的。在这个意义上，我们说对于这一族观者而言，物理世界和物理规律是相同的。经典极限要求这个对称性至少要是彭加莱对称性，也就是惯性观者看到的物理世界都应该相同，事实上，在量子场论中，对称性比这还要高一些。我们可以按上面提到的方法在不同惯性观者的物理态之间建立起一一对应，并将其看作是彭加莱群在物理态上的一个作用，由于物理世界是相同的，不同态的内积在这变换下是不变的。应该注意的是，一般而言这并不能保证变换是幺正的，因为我们甚至没有要求这变换是线性的。维格纳在1941年的一篇重要文章中证明了，这个变换只能是实质幺正或反幺正的（维格纳的讨论包括时间反演和空间反射，因此会存在反幺正情况，而我们所指的彭加莱群只限于含单位元的连通分支，因此变换只能是幺正的）。拜维格纳所赐，我们有了一个彭加莱群的幺正表示（理由在前面的括号中已经说过了），这是一个不平凡的结果，因为彭加莱群不是一个紧群，因此它根本不存在有限维幺正表示，这显示了无穷维与有限维的一个重要差别。于是我们说，整个Hilbert空间构成彭加莱群的幺正表示空间（因为物理态是稠子集，而表示算子显然是有界线性算子，所以可以扩张到整个空间上），而物理态是它的一个彭加莱变换不变子集（不是子空间，因为不闭。这样的例子有很多，比如说对于一维实线性空间，显然可以将它看作正有理数乘法群的一个表示空间，它的不变子集就很明显地可以不是子空间）。
自由粒子的单粒子态也构成彭加莱群的一个表示，物理上这是因为不同的惯性观者对粒子的数目有一个一致的认识。对于任意的李群，我们可以用它的李代数的卡西米尔算子的本征值来标记不可约表示。每种粒子的单粒子态都构成彭加莱群的不可约表示，这个表示的卡西米尔算子的本征值描述了该种粒子的质量和自旋。多粒子态通过单粒子态的Fock空间构造。
讨论了这么多，我们一直没有涉及场算符，因为这是一个稍微有些麻烦的话题，但还是不能不讨论它，现在就来谈谈场算符。为了得到某种场的场算符，首先我们需要洛伦兹群（!不是彭加莱群）的一个有限维（!不是无限维）表示f，然后我们就可以有时空流形上的f场（如果你看过一点儿纤维丛，这就是底空间为闵可夫斯基时空的一个f丛的截面，结构群为洛伦兹群，严格地讲还要对这个截面加一点儿限制，那就是它必须在远处足够快的衰减，比如要求它是速降函数，更准确地说是史瓦兹函数，不过我在这里不想陷入数学的细节，尽管数学的美还是要的）。所谓二次量子化，指的是从所有f场构成的空间到态矢Hilbert空间自同构群的一个线性映射S，并且要求当f1和f2的支集（非零点的闭包）之间没有具有类时关系的点时，（超）对易子[S[f1],S[f2]]=0（即正负号由统计决定，这就是微观因果律）。于是场算符的彭加莱对称性就应该很自然的表现为要求其共轭变换PS[f]P^-1=S[f*p]（f*p表示变换后的f场，其变换不仅体现在时空点上，还体现在f的分量上）。物理的真空|O>是这样一个态，那就是它是彭加莱变换的不动点（注意，不一定是其他对称性的不动点哦），于是对于f场的单粒子态S[f]|O>，它的质量为（不计较卡西米尔算子的定义空间等严格性问题）p^2S[f]|O>的本征值，因此p^2S[f]=-m^2S[f]，这就是我们大家熟悉的场方程，这个场方程对于任意场都是适用的，它是彭加莱对称性的要求，原则上应该还有一条要求，那就是自旋的要求，即W^2S[f]=-m^2s(s+1)S[f]（当m=0时为WS[f]=sS[f]，这两个式子可能会差正负号，不过不妨碍我们对问题的认识），但是一般而言人们都是直接通过选择洛伦兹群的表示f来实现它。
susy物理学笔记（三）——彭加莱对称性初步的答疑 2009-04-08 12:30
首先让我来回答上次笔记的评论中一位网友的问题。他（她）的问题是：第一个，为什么选取Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而这些量子态恰恰对应于实验上观测到的粒子，例如电子、光子等。第二个，为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？
第一个问题我想可以这样回答，不是我们要选择Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而是物理世界的Poincare对称性保证我们看到的所有量子态放在一起构成了Poincare群的一个表示。原因我在上一篇笔记中已经提到过了，因为当我们选定一个惯性观者之后，每一个Poincare变换就对应另一个特定的惯性观者，而对我们选定的那个惯性观者观测到的每一个特定的态，对其余任意一个惯性观者都会有一个态，这个态在那个观者看来其物理表现（比如四动量等等）与我们选定的惯性观者看到的那个特定的态是相同的。于是，给定一个态a（惯性观者看到的那个特定的态），一个Poincare变换P（联系选定惯性观者与另一惯性观者的变换），我们就有另一个态Pa（变换得到的惯性观者看到的与原观者看到特定态的物理表现相同的态）。在这个意义上我们说，我们得到了Poincare变换在态矢空间（线性空间）上的一个作用，而Wigner的贡献就在于证明了这个作用是一个表示，而且对于不包含时间反演和空间反射的Poincare群是一个幺正表示（时间反演的表示是反幺正的）。一般而言，所有量子态构成的表示空间不是不可约的，如果你随便挑一个量子态，我们并不能说这个态对应某种实验上看到的粒子。下面让我们以电子为例说说特定粒子的单粒子态构成Poincare群的不可约表示。我们识别粒子的种类，*的是它的内禀属性，比如说质量、自旋等等。因此，我们说的同一种粒子首先一定具有相同的质量，而质量的平方（也就是四动量的模方）作为Poincare群Lie代数的Casimir算子，对于特定的表示是一个常数，对于质量不为零（质量为零的情况我们稍后讨论）的表示，自旋平方也就是Pauli-Lubanski矢量的模方也是Poincare群Lie代数的Casimir算子。首先，同一种粒子的单粒子态矢量一定构成Poincare群的一个表示，原因与上面讨论全体量子态的情况时是一样的。那么这个表示一定是某一个不可约表示的自我直和（因为不同的不可约表示的那两个Casimir算子的本征值总会有一个是不一样的），如果这种粒子没有其它内禀量子数，那么原则上我们是不能区分这个不可约表示和它的自我若干次直和的，这时当然用不可约表示（如果你要用它的几次直和，大概也没人拦着你，这不过是自找麻烦，把同一个东西重复写几遍而已，如果你精力足够旺盛:)，这样做当然可以）。当这种粒子有其它的内禀量子数（比如色荷）时，基于同样的原因，它的单粒子态要构成那个内部对称群的表示，这时单粒子态是Poincare群的不可约表示与这个内部对称群的表示的直积。你也可以说这时的表示不是Poincare群的不可约表示，那就意味着，你把红色的u夸克和蓝色的u夸克看作是同种粒子，如果你把它们看作是不同的粒子，那么问题就没有了。对于光子这样的零质量粒子，问题稍微有一点儿复杂，因为Poincare群零质量表示的另一个Casimir算子不是自旋的平方而是螺旋度（helisity），因此helicity为+1的光子和helicity为-1的光子实际上属于不同的不可约表示，也就是说我们看到的左旋偏振光和右旋偏振光事实上是Poincare群的不可约表示，单从这点上讲，我们的世界可以只有helicity为+1（或-1）的光子。但是著名的CPT定理有一个结论，那就是如果helicity为+n的粒子存在，那末一定存在同种helicity为-n的粒子。因此，你实际上指出了我上一篇笔记中的一个小疏漏，那就是，如果我们将Poincare群限定为不包含时间反演和空间反射的话，每种零质量粒子（helicity为零的除外）的单粒子态都不是Poincare群的不可约表示，而是正helicity和负helicity表示的直和。谢谢你指出这个疏漏，在此向被这个疏漏误导了的同志们致歉。
总结一下就是，你的第一个问题句式不太好，我们只能问：为什么基本的量子态能构成Poincare群表示的基，而实验上观测到的粒子，例如电子、光子等的单粒子态为何恰恰对应于不可约表示（当然我们看到，对于限制的Poincare群，光子的单粒子态不对应于不可约表示）。因为面对我们面前的物理世界，我们的物理学家没有在这种对称性合那种对称性之间作选择的自由，我们只能接受，因为世界是这样。不知道你对我上面的回答是否满意。
接下来是第二个问题：为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？我要说答案是：场算符是Poincare群的表示！你可能被我们得到场算符的过程弄糊涂了，在那种构造方法中（也正如我们在绝大多数场论教材中看到的那样）我们实际上利用了Poincare群是Lorentz群和四维时空平移群的半直积群这一性质。形象地说，那就像我们在研究二维平面时，我们的对称群是二维Euclid群，它包括任意的平移和转动，可以绕a点转动，也可以绕b点转动，但平面的对称性如此之好以至于我们可以只研究绕原点的转动，其它的转动可以通过绕原点的转动和平移的组合得到。这里的Poincare群就相当于二维Euclid群，而Lorentz群就相当于全体绕原点的转动。当我们盯住场算符对应的经典场函数（就是f函数，也就是场方程作为微分方程的经典物理解）在一点的性质时（也就是它能取什么样的值），平移自由度被我们冻结了，因此我们讨论的对象被限定在Lorentz群的表示上。数学上讲，就是我们这时候没有讨论纤维丛的截面在底流形的微分同胚变换下的性质，我们只是要确定纤维型。我想这个回答你可能不是很满意，还是比较数学，那么我就举个也许不太恰当的例子。我不知道你有没有学过流体力学，没学过也没关系，我也没学过，不过普物里面讲过一点儿，这一点儿就够了。我们记得流体力学里有所谓“Euler描述”，就是不去追踪具体的粒子，而是盯住流体中每一固定点的流速的变化。你是不是要给流体一个速度场（相当于我们的场），那就是每一点给一个速度矢量，速度矢量当然是空间转动群的表示，但这并不意味着所有可能的速度场（流体力学运动方程的全体解构成的集合）有什么对称性，如果是无限大无源理想流体，解空间就会具有三维Euclid群对称性（也许吧，我不确定）。我们这里的情况也是一样的，如果你问：场函数取什么值？我回答：Lorentz群的某个有限维表示。如果你问：场算符具有什么样的对称性？我回答：Poincare对称性，它们全体构成Poincare群的表示。但你要正确的区别开这两个问题，它们是很不相同的，不要混淆。明确了这一点，场算符的Fourier分量产生湮灭量子态的问题就不存在了吧，这就不再存在任何数学上明显的障碍了。
susy物理学笔记（四）——关于时空对称性的一点补充 2009-04-08 12:32 上次我们聊了一点儿时空对称性，本来想在第三篇笔记中作一点儿补充讨论的，结果回答网友的问题占了很大的篇幅，只好再写一篇。
我们在前面的笔记中一直在谈Poincare对称性和Poincare群，之后又提到了Lorentz群，还说Poincare群是四维时空平移群和Lorentz群的半直积。在引出场算符时，我们说场函数的值域是Lorentz群的某个有限维表示。这句话对吗？严格地说，不对！
其实上面的说法在数学上是没有问题的，问题出在我们看到了电子，而这家伙的自旋是1/2。自旋是1/2又有什么问题呢，因为我们前面提到的那个Poincare群没有自旋为1/2的表示。让我们以非相对论的角动量理论为例说明这个问题。在非相对论的角动量理论中，量子态构成转动群的表示，转动群的Lie代数是三维的，方便起见，人们一般取满足循环对易关系的三个独立元素作为基，这就是笛卡尔坐标下角动量赝矢（角动量是一个2-form）的三个分量。由于我假定读者至少学过一点儿量子力学，那么大家应该熟悉（或者依稀记得）量子力学课上是如何利用对易关系推导总角动量平方的可能本征值的。我想这里也是解释Casimir算子的一个好机会，我们知道总角动量平方与角动量的三个分量都对易，因此与Lie代数里的任意元素都对易，进而与Lie群（在我们的例子中是转动群）中的任意元素都对易，因此在不可约表示中它的表示矩阵一定是常数矩阵（Schur引理），这样我们就看到，它的本征值是标志不可约表示的一个量。简单地讲，这样的与Lie代数中所有元素都对易的一个算子就叫做Casimir算子。应该注意的是，Casimir算子并不是Lie代数中的元素，因为在Lie代数中只有加法、数乘和对易子三种运算，根本没有什么平方，因此对Lie代数的元素作平方或在其元素的表示矩阵之间做乘法都是非法运算，如果不加说明，得到的结果是没有意义的。当然我们可以通过构造张量积，再将张量积的对易子与Lie代数的对易子视为等价类求商空间的方法“制造”一个所谓的“包络代数”，在包络代数中，元素间的乘法是有定义的，a与b的对易子就是a乘以b减去b乘以a，Casimir算子就是这个包络代数中的元素。
书归正传，我们还记得，当时得到的结果是，总角动量平方的本征值为j(j+1)，其中j为非负半整数，今后在不引起误会的情况下，我们就简单地说总角动量为j。问题是，这只是对Lie代数进行分析得到的结果，并不是最终的结论，我们需要知道的是，对应总角动量值为j的转动群的表示真的存在吗？结论是，不一定。对于非负整数j，这个表示是存在的，但对于转动群SO(3)，根本就不存在j为半奇数的表示。如果你认真地把表示矩阵写出来，你会发现，转动2π对应的矩阵是不确定的，可能相差一个正负号，而无论你舍弃其中哪个都会出现问题，因为当你选定单位元的表示矩阵为1后（这是成为一个表示所必需的），沿着不同的路径到达转动2π的元素时两种取值都有可能出现，因此舍弃哪个都不行。这成为一个困扰我们的问题，因为在SO(3)群中，恒等变换和转动2π是同一个元素，作为一个表示，不能有两个表示矩阵与之对应。因此，j等于半奇数的本征值不对应SO(3)群的任何表示。我们知道，Lie群的局部性质被它的Lie代数决定了，因此，通过Lie代数演算得到的多余的解一定是被整体结构排除掉的。问题就出在SO(3)群不是一个单连通的拓扑空间，从它的单位元出发回到单位元的闭合路径有两类（一维同伦群为Z2），分别对应着转动2π的表示矩阵的两种取值。因此，如果态矢量空间只是SO(3)群的表示，我们就没有角动量为1/2、3/2这样的态，但是我们看到了这样的态（比如著名的SG实验），因此转动群的概念必须推广。我们将注意力从SO(3)中的点（也就是一个转动）转到连接单位元与该点的道路等价类上来，可以在这上面定义适当的拓扑和对易子使之成为一个Lie群，这个群就是SU(2)，它是单连通的。因此，严格地讲，在非相对论角动量理论中，我们要求态矢量空间是转动群SU(2)的表示，这样，与所有j的可能值对应的表示都是存在的。
在相对论量子场论中，问题也是类似的。如果我们将Poincare群定义为四维时空平移群与Lorentz群的半直积，让场函数在Lorentz群的表示上取值的话，自旋为半奇数的场就不会出现。因此，我们在这里也需要做类似的扩展。由于问题出在Lorentz群上，我们就将注意力集中在Lorentz群上。如同SO(3)一样，SO(1,3)也不是单连通Lie群，道理很简单，在这里从单位元到转动2π仍然有两种互不等价的路径。对SO(1,3)做扩展得到的单连通群（准确的名字好象应该叫SO(1,3)的覆盖空间）是SL(2,C)，也就是行列式为+1的复2维线性变换群（把它看作实Lie群）。我所见过的从SO(1,3)到SL(2,C)写得最好的书是Penrose与Rindler和写的Spinor and Spacetime（尽管第一作者因为一本科普书前一阵子在李老师的blog上被我们骂得很惨，但在这方面他是名副其实的专家，我想这应该是没有问题的）。这一部分他们写得很有意境，适合在郊外的星空下细细品味。他们的方法按我的理解就是把眼光从具体的Lorentz变换后的观者身上移开，转而关注不同的观者看到的星空中繁星的变化。当观者在原地做三维转动时，星空相对于他向反方向转动了相同的角度。当观者做匀速直线运动时，他会看到（只要他的运动速度足够快）所有的星星都向他身后移动了一点儿。重要的是，这些变化保证不同的观者测量星空中一个角度时得到相同的结果。观者看到星空的景象可以确定他的运动状态，用数学的观点看，遥远的星空是一个2维球面，角度不变说明是保角变换，也就是共形变换。进一步的计算表明，每个保角变换也都对应着一个观者运动状态，因此，结论是“Lorentz群就是扩充复平面C*的全纯自同构群SL(2,C)/Z2”。因此，要找一个SO(1,3)的2重覆盖空间自然就是SL(2,C)。真正的Poincare群，是四维时空平移群与Lorentz群的覆盖空间SL(2,C)的半直积群。
我们自然会问这样一个问题：我们的物理学究竟满足原来我们说的Poincare对称性呢还是满足刚刚被我们扩充过的Poincare对称性呢？这个问题要由实验来回答。在经典的点粒子物理学中不存在这个问题，我们无法区分转动2π与转动4π的差别，也不存在自旋的问题，这个问题是在经典场论中出现的。实际上，在经典场论中，我们也可以讨论内禀角动量这一概念，但是当时人们遇到的经典场并无讨论自旋为半奇数的内禀角动量的需要（当时遇到的唯一的实际的场——电磁场的内禀角动量为+1，而轨道角动量属于j=+1的表示。引力的问题比较特殊，我们后面再谈），因此我很少在经典场论的教材中看到讨论内禀角动量的问题（大概是我读的书太少了）。而在相对论量子场论中，问题就非常明显了，我们看到了那么多具有半奇数内禀角动量的粒子，事实教育我们，必须要求我们的物理学具有扩充了的Poincare对称性。这是一件很神奇的事情，为什么我们的物理学要求扩充了的Poincare对称性，这背后有没有更深刻的原因？是什么使得我们不得不区分转动2π和转动4π，对称群的各阶同伦群在物理学中究竟扮演了何种角色？我想这是值得我们继续学习与思考的问题，也许这个问题还没有答案，也许已经有了答案但是我并不知道（如果是这样希望各位大师指导一下）。不管怎样，当我们以后提到Poincare群（或对称性）的时候，不加声明就指扩充后的Poincare群（或对称性），我们前面提到的场函数的取值也需要在SL(2,C)上，态矢量Hilbert空间也构成扩充Poincare群的表示，物理态作为其中的稠子集，真空态在扩充的Poincare变换下不变。
最后我们简单地提两句分立对称性，也就是空间反射P和时间反演T。在我看来这些都是很复杂的问题，因此在前面很少提及。重要的是，它们不对应任何动力学量，而且它们成立与否是需要实验验证的。比如说P宇称在弱相互作用下是被破坏的，而强相互作用中也出现了CP破坏问题。量子场论中有一个神奇的定理，它告诉我们，对于满足微观因果律和Poincare对称性的量子场论，CPT联合变换总是守恒的。我之所以说它神奇是因为，PT变换都是时空的对称性变换，而C是地地道道的内部对称性变换，为什么这三者有如此紧密的关系？我不知道。不过内部对称性确是很重要的问题，我们将在下一篇笔记中讨论这个问题。
susy物理学笔记（五）——内部对称性 2009-04-08 12:34
我们在前几片笔记中简单地讨论了一下Poincare对称性，按照我的逻辑，我将继续介绍对称性的问题（因为它是如此重要），这一次介绍内部对称性。我首先要声明一下，我主要讨论规范对称性。
这是一个很大的话题，有关规范对称性的专著多如牛毛，我基本上没看过，因此我在这里只能提供简单的介绍，已经熟悉规范对称性的朋友们完全可以跳过这一份笔记。学过电动力学（甚至是普物电磁学）的朋友们一定都还记得矢势标势和规范变换，让我们用协变的语言来重新表述这个问题。在狭义相对论中，电磁场场强是一个2阶反对称张量场，场强张量满足的运动方程一个是对它做外微分得到四电流密度dF=J，另一个是它的对偶场做外微分为零d*F=0。第一个方程写成大家熟悉的形式就是电场强度的散度为电荷密度，磁感应强度的旋度是电流密度加位移电流密度。第二个方程就是电场强度的旋度为磁感应强度的变化率，磁感应强度的散度为零。这四个方程中有两个是运动方程，两个是约束。因此，电磁场是一个带有约束的动力学系统（无论是否有源），实际上，这是所有规范场的一个普遍的特征。很多时候，一些讲理论力学的教科书都不会深入涉及带有约束的系统，作为理论力学这种入门课程而言，对于约束系统这种比较复杂的对象较少涉及是没有问题的。但是某些书中提到的理由却是不正确的，有些书上说之所以不讨论约束系统是因为现代物理学的研究对象，比如微观物理学关注的对象都是不含约束的系统。从上面的讨论我们看出，这样说是不恰当的，因为我们研究的规范场都是约束体系，而且还是微分约束，引力场也是一样的。规范场的约束在我们进行量子化的时候会带来一些麻烦，我想大家对电磁场的正则量子化应该有比较深刻的印象吧，没印象或者没学过也没关系，总之是要加很多麻烦的条件。这里面还有一个问题，那就是这两个方程（dF=J和d*F=0）是不对称的，事实上这是我们的习惯而已，我们完全可以把它写得更对称一些，这并不意味着磁单极子一定存在（我在这里就不介绍这个问题了，有兴趣的朋友可以参见Jackson，或者梁老师的下册），但这种写法是大家比较熟悉的，而且看起来比较简洁。
Minkowski时空的拓扑结构异常简单，就是R4，它的2阶同调群是平凡的，由de Rahm定理，它的2阶上同调群也是平凡的。因此对于任意的2阶反对称张量场F（以后我们简称为2-形式）一定存在一个整体的1-形式A，使得F=dA。所谓规范变换，就是说，对于任意的0-形式a，如果我们对A进行变换A'=A+da，则A'与A对应于同一个场强张量F。这里有一个问题，那就是A和F究竟哪一个真正地描写着电磁场，说得更准确一些就是，我们找到四势A究竟是纯粹的数学还是有更深的物理学意义？这个问题在经典物理中如何回答我不知道，我想在经典物理学中四势的数学意义恐怕大于它的物理意义。但是在量子物理中，AB效应是对这个问题的一个有力的回答。对于F的进一步分析与Hodge理论有很大的关系，遗憾的是我不懂Hodge理论，只好简单地提两句。定义紧流形上的p-形式a与b的内积为a与b的对偶的外积的积分，在这个意义上余微分算子是外微分算子的伴算子，无源场方程告诉我们F在Laplace算子的作用下为零，就是说F是一个调和2-形式。Hodge理论中的一个很重要的定理告诉我们，任意一个紧流形上p-形式总可以写成一个恰当形式、一个余恰当形式和一个调和形式的和，而且这一分解是直和分解。
再说下去数学会越来越多，这就偏离了我们的主题。我们从整体的内部对称性出发，所谓整体的内部对称性，从逻辑上讲，首先要有一个对称性群。这个对称性群对于电磁理论就是U(1)群，对于强相互作用理论就是SU(3)群。简单起见，我们以U(1)理论为例讨论这个问题。这个时候，我们的场函数取值不仅是在Lorentz群的表示空间上，而是在Lorentz群的表示空间与内部对称性群U(1)的直积上。我们既可以对场函数作Poincare变换，也可以做U(1)变换。我们可以想象一维空间标量场的情况，由于U(1)拓扑同胚于S1，我们可以将场函数的U(1)自由度想象成是在一维直线上的每一点都长出一个圆（这样就成了一个圆柱面），场的某种U(1)位形就是圆柱面上的一条线，我们做整体U(1)变换直观上就是把这根线整体地沿着S1的方向推一下，而保证线的几何形状不变。于是我们看到，这实际上相当于一次S1方向坐标零点的重新选择，如果物理的结果与这种重新选择无关，就说明这种对称性是我们的体系所具备的。也就是说，物理性质只与坐标背后的几何有关。具体到场函数上，就是乘一个整体相因子。这时，根据Noether定理，我们有一个新的守恒流，对它进行积分会得到一个新的守恒荷——U(1)荷。
在实验中，问题并不是遵循着逻辑的。往往是我们总结出某种守恒量，比如轻子数守恒，进而得到相应的对称性，这是任何一门粒子物理课都会讲的内容。想必大家都已经比较熟悉了。然而我们要问的问题是：上面的整体变换是否可以局域化？其中的几何图像是很清楚的，即便是你不对场函数做任何操作，我拧一下这个圆柱面（这相当于一个局域的相因子变换，因为当你拧这个圆柱面的时候，等效的每一空间点对应的相因子变化是不同的），然而这于这个圆柱面的几何仍然是没有影响的，物理性质是否应该改变呢？如果物理性质仍然不发生变化，我们就说上面的对称性是局域的，或者说是一种规范对称性。在进一步涉及数学之前，我们要意识到，即便是几何没有改变，我们仍然需要引入一个物理量来描述这个圆柱面被拧后它的“张力”分布是怎样的，不然我们就丢失了体系的一部分信息，这一部分信息的丢失会使得我们无法判断各种表观场位形之间的关系。我们将看到，这个“张力”分布就是新引入的规范场。
现在让我们用数学的语言来整理一下前面的直观分析。在时空流形的每一点上都“植入”一个流形得到的结构叫做“纤维丛”（这个说法是不完备的，要成为纤维丛还需要其它的条件），当我们在底流形的点上“种植”流形时，每走一步都要小心地把它和相邻的种植上的流形粘接好（如果粘错了会有大麻烦，比如一条带子如果粘不好也许会变成一条莫比乌斯带）。一个正式的微分纤维丛有以下几个部分组成：底流形B，丛流形E，结构群（一般要求是Lie群）G，纤维型Y，转换函数和从E到B的投影映射p。在规范场问题中，底流形就是我们的时空流形，结构群在纤维型上面有一个左作用，p是一个满射，且B中每一点的原像都与Y同胚，这就意味着种上去的都是Y。当我们选定B的一组坐标系后，对于每一个坐标邻域U，都存在一个U在p下原像与U和Y的积流形之间的微分同胚（这叫做局部平凡），这样我们说，U上的每一根纤维被赋予了一个Y典范结构。对于不同坐标邻域，某一根纤维被赋予的典范结构可以是不同的，但一定被结构群中某个元素在Y上的左作用联系，对于两个有交的坐标邻域，上面的联系在其交集上定义了一个取值在结构群上的函数，我们称这个函数为转换函数，要求这些转换函数光滑。可以证明，只要给定转换函数，微分纤维丛就被唯一确定了。我们说只要求结构群在纤维形上有一个左作用，有两种情况是我们特别关心的。第一种情况是，纤维型就是结构群，这时左作用就是左乘，这种纤维丛称为主丛（principal fibre bundle）。第二种情况是，纤维型构成结构群的一个线性表示，切丛、余切丛和张量丛都是这种情况。值得我们注意的是，结构群的Lie代数构成它的一个线性表示。我们最后介绍一下截面的概念，所谓截面就是从底流形到丛流形的一个光滑函数f，满足p(f(x))=x。在我们上面提到的例子中，圆柱面就是一个简单的U(1)主丛，而场函数是这个U(1)丛的一张光滑截面。整体对称性意味着，纤维型U(1)（作为Lie群有一个自然的度规张量场，那就是Lie代数的Killing型）存在一个Killing矢量场，而与这个纤维丛的具体性质并无太深的关系，正是由于这个原因，纤维丛在规范场出现之前并没有引起物理学家的注意。当我们“拧”了这个圆柱面之后，再描述场位形时就需要知道这时候这张圆柱面的张力分布是如何的。如果我们在原来的圆柱面上画出直母线，那这个张力问题也就是问，当我们拧过圆柱面之后这些原来的直母线的形状如何。我们从纤维丛的定义可以看出，对于丛流形上的一点，我们很清楚哪个方向是沿纤维型的方向（因为有投影映射），但是哪个方向是相应的横向方向是不明了的（因为没有内积，我们不能定义垂直，所以没有哪个与纵方向线性独立的方向是特殊的），因此我们需要在每一点的切空间“规定”一个直和分解，告诉大家哪个方向是横方向，在圆柱面的例子中就是告诉大家那个位形是没有张力的。如果原来的圆柱面可以看作是一摞圆环，我们可以任意拧动不会有阻碍，上面的“规定”就好像把圆环与圆环用线联系起来，使我们在拧它的时候会遇到阻力，因此这个对切空间直和分解的规定叫做这个主丛的联络（connection）。和我们熟悉的切丛的情况一样，给出了联络就等价于定义了“平移”的概念（这是很直观的，给定一点由局部平凡的存在性和Frobenius定理，我们总可以在局部得到一个积分子流形，它和底流形的结构是相同的，因此，“平移”的概念被确定了）。于是对于一个局部平凡，由于我们有坐标横方向（就是纤维型坐标不变的方向），给出联络就意味着给出真正的横方向与坐标横方向的差，这就需要每点给出n个（n是底流形的维数）沿纵方向的切矢A（显然在结构群的Lie代数中），我们也称这些A为联络，当选取不同的局部平凡时，A之间的变换满足gA'=Ag+dg，其中g为转换函数，这正是我们熟悉的“联络”的变换规则。通过上面的分析，我们看到，联络原本是一个很自然很直观的东西，而不仅仅是在坐标变换下的一堆满足复杂变换关系的量。我们知道，对于一般的流形，场的导数应该取协变导数（坐标导数是一个没有意义的量），之所以在平直时空量子场论中我们取坐标导数，是因为我们总可以找到一组坐标覆盖使得时空的切矢量丛、余切矢量丛和张量丛的联络在这组坐标系中为零。但是当我们考虑时空上的某个主丛时，没有理由先验的认定它的联络也存在上述性质，因此我们求导数时应该写成协变导数形式。于是我们的场Lagrange密度中出现了n个取值在结构群Lie代数上的场，由于这n个场实质上是1-形式场的n个分量，因此我们可以说得到了一个取值在结构群Lie代数上的1-形式场（这也是很直观的，当我们比较坐标横切子空间和横切子空间时，我们实际上有两个m维子空间，它们的交是m-1维子空间（记得两条直线的交是一个点，两张面的交是一条线），这个m-1维子空间在坐标横切子空间中有一个自然的法余矢（注意，没有自然的法矢），实际上就是这个1-形式），这就是我们的规范场A。
不厌其烦地说了这么多，总算把物质场这边的事说了个大概齐，也引出了规范场。至于规范场部分，再说就太长了，放在下一篇笔记中介绍吧。
susy物理学笔记（六）——内部对称性（续） 2009-04-08 12:35
上次我们说了很多东西，放到网上一看我也觉得太长了，所以很长一段时间没有继续写，现在我们继续谈谈规范对称性。我们上次提到了伴丛这个概念，并没有加以解释，但我想，我们完全可以暂时绕开这个问题不谈，不然真的要变成数学的东西了。
我们继续上文中的比喻，现在我们的那根圆柱面上除了物质场，还多了一样东西——联络。如果我们要研究圆柱面的物理学，我们就不仅要知道物质场在那上面的运动状态，还要知道这个圆柱面被扭曲的程度。因此，在Lagrange密度中一定会出现于联络有关的项，而且这一项不会是以上文中提到的对物质场求协变导数的形式出现在Lagrange密度中的，因为我们现在需要的是纯粹的圆柱面的几何状态，它不应该与上面的物质场有如此密切的关系。首先，我们需要明白，事实上拧动这类变换并没有反映规范场的内在性质，因为这实际上是转换函数的主动观点。那么什么是规范场的内在性质呢？
让我们从几何直观出发，想象在圆柱面上做出横空间的积分曲线（其切矢张成横空间，对于高维Lie群也可定义这样的局域积分超曲面）。我们注意到，当我们拧动圆柱面的时候，这些积分曲线会发生形变，然而就像前面说的，这种形变引起的弯曲不应视为规范场的内在性质。不过我们总可以尝试做下面这件事，那就是通过拧动圆柱面使所有的积分曲线最终都变成圆柱面的直母线。遗憾的是（或者说幸运的是），这并不是总能做到的，因为我们的拧动操作虽然是局域的，却不能改变同一纵空间上两点间的相对“距离”（因为转换函数具体到底流形上的一点是一个整体变换，大家改变相同），如果两条积分曲线在这里离得近一些，在那里离得远一些，我们就不可能通过拧动变换将它们变成平行的直母线。因此，这个意义上的相对位形才是规范场的内在性质，而描述这一性质的量最多与规范势的一阶微商有关，并且一定是一个协变的量，我们的任务就是找一个这样的量。我在上文中写出了gA'=Ag+dg，我们对它做外微分（这是在一个流形上能对形式作的最自然的微分），得到dg^A'+gdA'=(dA)g-A^dg，将dg=gA'-Ag带入得到gA'^A'-Ag^A'+gdA'=(dA)g-A^gA'+A^Ag，于是我们有dA'+A'^A'=(1/g)(dA+A^A)g，因此这样一个量就是dA+A^A，这就是我们熟悉的联络A对应的曲率F。（有的朋友说我的数学式子太少了，这下过瘾了吧:-)）
应该注意的是，由于A取值在规范群Lie代数上，因此A^A对于非abel群是非零的。另外，由于并没有对Lie代数的结构进行什么微分（d是时空微分），因此得到的F是一个取值在Lie代数上的2-形式场。为了将它写进Lagrange密度，我们需要构造一个标量，这个标量既是Lorentz群意义上的（实际上是4-形式），同时也是规范群意义上的。由于F是2-形式，我们知道，不求微分能得到的4-形式有F^*F和F^F，对于U(1)群，F^F=0，因此一般而言这个4-形式应该是F^*F。实际上没有理由将F^F排除在外，在强相互作用中我们会看到出现F^F的项等价于出现θ真空，它的大小描述了强CP破坏的程度。我们还要对Lie代数元求内积（由于有Killing型，这是没有歧义的），写具体就是矩阵相乘求迹。
上次写得太多了，这次少写点儿，就到这里吧:-)
susy物理学笔记（七）——对称性与守恒流，Noether定理 2009-04-08 12:36
无论你翻开哪本讲场论的书，对称性与守恒流以及Noether定理都是必讲的内容，做“笔记”时当然也不能落下。
我们前面已经看到，物理学中有众多的对称性，而描述对称性的数学工具是群论。这些对称性有分立对称性，也有连续对称性，有整体对称性，也有居域对称性，对应的数学对象有有限群，Lie群，积流形和纤维丛。这一次的话题主要涉及连续对称性。
Noether定理简单说就是每种连续对称性对应一个守恒流（四散度为零的四矢量场），这实际上是一件很直观的事。我们记得连续对称性变换由Lie群描述，Lie群既是群又是流形，我们就可以求它单位元处的切空间，并用左乘微分同胚诱导的推前映射得到群流形上的一个切矢量场。求这个切矢量场的积分曲线，以单位元处为经过该点积分曲线的参数0点，我们定义一个从单位元处切空间的一个含0元的子集合到Lie群的子集（因为这条积分曲线不一定能够延拓到参数无穷大处）的一个双射，这就是著名的指数映射exp。因此Lie群单位元处的切空间（或者说那个诱导出来的“左不变矢量场”）与Lie群之间有密切的关系。简而言之，左不变矢量场是群流形对称变换对应的“流”，因为沿所有的积分曲线走同样参数距离得到的群的微分同胚正是群乘法。于是我们会问，与群元的乘法对应的是这个切空间的何种运算呢？在交换群的情况下，就是对应的两个切矢的和，因此这个“指数”是很真实的，并不是叫叫玩儿的。对于非交换群，gh不等于hg，我们就需要一个量来描述这种差异，这个量反映在群上就是ghg^-1与h的差异（或者说是ghg^-1h^-1与e的差异），反映在切空间上就是两个切矢的对易子非0。我们把Lie群的左不变矢量场配以对易子运算叫做这个Lie群的Lie代数。注意到单位元是相似变换的不动点，因此相似变换诱导出Lie代数的一个自同构（学过Lie群的朋友对这个自同构一定很熟悉，因为这正是著名的伴随表示）。
现在我们回到场论中来。事实上Noether定理很大程度上是经典场论中的一个结论，因此我们的介绍也将从经典场论开始。我们首先需要一个描述体系的拉氏密度，体系的对称性这时指得是它将体系的一个解变成另一个解。一般而言，我们要求这个对称变换导致的拉氏密度的变化只是一个四散度，这样作用量的变化就只依赖于这个四散度的边界行为。我们不涉及边界项的问题，认为它贡献为零。这时拉氏密度的变分可以写作正则动量密度乘对称变换的生成元（就是对称群的Lie代数的元素）再乘以正则位形之后的四散度，这里利用了运动方程。这两个流的和是一个守恒流，也就是著名的Noether流。
在量子场论中，我们关心的是路径积分，因此作用量不变只是一个必要条件。此时如果变换不改变测度则于经典场论情形相同，否则就会出现反常。
学习了这么多年物理，多少对一些问题也有了一点儿小小的认识，我准备一点儿一点儿地写一些出来。由于这些认识归根结底都收我看过的书和听过的课的影响，因此只好叫做“susy物理学笔记”，不能叫“susy物理学讲义”:)。歪嘴和尚念经自然难免把好经念歪，因此恐怕在诸位行家看来会有很多原则性的错误，这些错误应归因于我的水平不够，而与我的老师和我看过的书无关，特此声明。
susy物理学笔记只包含理论物理中与场论相关的部分，原因很简单，其它的根本一点儿也不懂。学习了多年物理，我们心中应该有这样一个认识，那就是，或许存在某个“终极理论”，但不存在所谓的“Theory of Everything”。也就是说，不同层次的物理需要不同的模型，深层次的模型可以对上一层次的模型作出令人信服（却不一定是严格可执行的）解释，但不能取代被解释的模型。举例来说，我们相信支配水分子运动的规律是量子力学，但却无法用量子力学严格求解水流的运动规律，更不用说是湍流了，量子力学也不能取代流体力学。 在这种意义上我们可以说，流体力学才是水流运动层次的物理，试图通过求解薛定谔方程来了解水流运动规律的人不能说是令人敬佩的理想主义者，只能说他没有学好物理学。
物理学的这一特征可以说是一把双刃剑。它使我们在建造水库的时候不必考虑QCD的渐近自由性质，使得牛顿可以从他的运动定律开始从容地构造他的力学体系而不必一开始就面对复杂的微观现象。它也是我们能够拥有一个可重整的量子场论的根基，由于我们在处理低能过程的时候可以不用考虑高能过程的影响（相信我的读者都是熟悉量子力学的，因此自然会明白我为何将微观与高能对等起来），肆无忌惮的将那个本来很讨厌的发散项SA掉。这个性质就像一只大手，约束了深层次的物理信息，不让他们到处乱跑，使得我们在研究液态水的性质时不必一并研究水蒸气的性质（当然如果你愿意一并研究我也没意见），我们甚至可以不知道水蒸气这一物态的存在，但这完全不会影响我们在低温时对液态水的研究。或许当我们做出水在0度以上时都是液态这样的假定时，理论研究中也会出现某些无穷大，但只要我们讨论的问题远离水的汽化温度100度，我们就可以像在可重整的量子场论中做的一样，放心的SA掉它，并且还会得到正确的预言。这时，那个世界的液态水理论物理学家辉这样评价研究水蒸气这种对称性更高但是实验上还看不到的物态的理论家：“他们做的东西是没有希望的，做不出可观测的预言，那些全是数学，没有一点儿物理。”我们这个世界的物理学家当然知道水蒸气是真实存在的，但我们又比那个世界研究液态水的理论物理学家强多少呢？1TeV笑0.001eV，五十步笑百步而已。
从上面的例子也可以看出，物理学的这一性质最大的危害在于我们在达到新的境界前可能完全无法对它有一个了解。这对于应用物理学和实用主义者（我在这里用这个词不含贬义）是无关紧要的，因为已有的问题还很没有研究清楚，而且无法达到的层次可以被认为是不存在的。但这种态度无法满足人类对未知世界的好奇心，于是就有了那个世界从政府手里骗到纳税人的钱坚持研究“没有希望的水蒸气”的理论物理学家。
有了以上的观念，我们就会清醒地认识到，描写我们这个世界的物理模型有一系列，对于不同的层次需要不同的物理模型。或许这个模型序列有一个“正向极限”，或许没有，我们今后讨论的理论不过是这一系列模型中的一个，它也有它的适用范围，这是做物理时刻要记住的。我们说描写这个世界的物理模型有n多，但这个世界的物理学只有一个，因为这些模型不是孤立无联系的，正像我们前面所说的，每一个深层次的模型都对前面的模型作出了定性的令人信服的解释。用一句微分几何（很可能是不贴切）的话讲：“物理理论是一个无法用一个模型覆盖的‘理论流形’。”
susy物理学笔记（二）——彭加莱对称性初步 2009-04-08 12:29
杨先生和李先生几乎每次做报告都要讲这个题目，于是我这样一个小人物谈这么大的题目似乎有些不自量力。不过对称性对理论物理而言实在是太重要了，重要到像我这样的小人物也不得不谈一谈这个问题。
让我们先从最简单的对称性——彭加莱对称性——谈起。这个问题来源于一位叫麦克斯韦的英国老兄写下的方程，之后又有迈克尔逊和莫雷做的实验，个中的历史想必大家已经很清楚了，至于八卦倒真是应该问一问李淼老师，我没有听到过太多。总之，问题随着伽利略变换被彭加莱变换取代而基本解决了。我们这里无意涉及历史上人们对此问题的各种认识，那主要是科学史工作者的任务，我只想谈谈我自己学到的对这一问题的认识。
何谓“彭加莱对称性”？对这个问题的回答分为几个层次。首先是狭义相对论层次上的认识，那就是平直时空的等度规微分同胚群是ISO(1,3)（直译应为非齐次特殊正交群）。我们在这里不讨论坐标变换，因为这有可能带来不必要的麻烦，如果您一定要咬住坐标变换不放的话，那我只能简单的说，我们讨论的问题不涉及广义坐标变换（这在狭义相对论里当然是允许的），我们只限于讨论彭加莱变换，也就是洛伦兹转动与平移。我之所以说容易引起不必要的麻烦，是因为坐标完全是自由的东西，是非常人为的，我们无权限制别人选择任意坐标的自由。
平直时空的等度规微分同胚群是ISO(1,3)意味着什么呢？让我们利用自由粒子的作用量对此作一个简单地说明。此时拉格朗日量L=mg(T,T)^1/2，在经典情况下，作用量S=Integ[L]（转者：Interg是积分）的驻点（转者：变分为０）代表一条真实路径，也就是粒子的运动状态，其解就是闵可夫斯基时空中的一条曲线（指曲线映射，而不是像）（转者：曲线映射值曲线的参数方程，像指映射值点集），其切矢是归一的。那么彭加莱对称性告诉我们什么呢？我们对平直时空做一个等度规微分同胚p，由于是微分同胚，作为反变函子（不要去理会这个词）的拉回映射（pullback）的逆是有良定义的，我们记它为P^，记原拉回映射为P，由于p属于等度规微分同胚群，由定义有Pg=g，于是g=P^g。而由定义g(T,T)=Pg(T,T)=g(PT,PT)，（我实在找不出什么合适的符号了，就用P再代表一下推前映射吧），因此， 每一条真实运动在p下的像仍然是真实运动（注意，这是不同的运动，不是同一运动的不同表现，用一句大家比较熟悉的话说，我们采用主动观点）。
简单地说一下上述（貌似云里雾里的）表述在具体计算中的表现。在计算中，主动观点和被动观点表现是一样的（这是当然的）（转者：主动观点和被动观点观看一个矢量相对于坐标轴在转动，前者认为是矢量在转而坐标不变，后者认为是坐标在转而矢量不变），推前拉回的结果是采用了新的坐标系，而坐标变换保证g的分量不变（这不是任意坐标变换能保证的，然而彭加莱坐标变换正具有这一特点），算矩阵的时候在T和g中间插入坐标变换矩阵T~gT=T~P~PgP~PT，而PgP~=g，所以PT也是运动方程的解。最后让我们注意一点，时空的这一性质使得单粒子运动的世界线构成彭加莱群（本文中特指ISO(1,3)，不含时间反演和空间反射）的一个表示，这个表示在这里是简单的，然而在后面的讨论中我们将看到，这是一个很重要的观点。
让我们进入我们关心的相对论量子场论。有关场论的更多问题我们将在后面的笔记中做更详细的讨论，这里我们只讨论彭加莱对称性。涉及到量子问题，态矢就成为一个很重要的概念，我相信大家的量子力学都学得不错，对这一问题都有“貌似”正确的认识（用“貌似”是因为某位大师——如果没记错应该是费曼——说过没人懂量子力学，所以这个词既没有贬低大家的意思，也没有自我吹嘘的含义）。在量子场论中，态矢仍然是很重要的概念。我门首先从没有相互作用的自由场入手讨论彭加莱对称性。由于大家可能多少有一些量子场论的基础，而且很可能大多数人都比我学得好，所以我可以放心地将一些诸如场的二次量子化的问题放在后面来讨论而不会影响和大家的沟通。在自由场中，所有的态矢构成一个Hilbert空间，物理上研究的态是这个Hilbert空间的一个稠子集。每一组惯性观测者都有自己的一组观测量算子和衡量态的标准，当我们的物理学家研究某一个具体的态的时候，他不得不克隆很多相同的态，然后用他（她）的衡量标准来描述这个态。说得更清楚些就是，对于每个观测量，我们有一个关于观者（也就是参考系）和物理态的二元映射（因为如果态取得不好，结果可能是一个概率分布）。时空对称性提出的问题是：对于哪一类观者集合，我们可以做到利用其中任一观者测某一确定物理态的结果和另一该族中给定观者可以找到（且只能找到）一个物理态，使得这个新的态在新选择的族中观者测量下的任意结果都是相同的。在这个意义上，我们说对于这一族观者而言，物理世界和物理规律是相同的。经典极限要求这个对称性至少要是彭加莱对称性，也就是惯性观者看到的物理世界都应该相同，事实上，在量子场论中，对称性比这还要高一些。我们可以按上面提到的方法在不同惯性观者的物理态之间建立起一一对应，并将其看作是彭加莱群在物理态上的一个作用，由于物理世界是相同的，不同态的内积在这变换下是不变的。应该注意的是，一般而言这并不能保证变换是幺正的，因为我们甚至没有要求这变换是线性的。维格纳在1941年的一篇重要文章中证明了，这个变换只能是实质幺正或反幺正的（维格纳的讨论包括时间反演和空间反射，因此会存在反幺正情况，而我们所指的彭加莱群只限于含单位元的连通分支，因此变换只能是幺正的）。拜维格纳所赐，我们有了一个彭加莱群的幺正表示（理由在前面的括号中已经说过了），这是一个不平凡的结果，因为彭加莱群不是一个紧群，因此它根本不存在有限维幺正表示，这显示了无穷维与有限维的一个重要差别。于是我们说，整个Hilbert空间构成彭加莱群的幺正表示空间（因为物理态是稠子集，而表示算子显然是有界线性算子，所以可以扩张到整个空间上），而物理态是它的一个彭加莱变换不变子集（不是子空间，因为不闭。这样的例子有很多，比如说对于一维实线性空间，显然可以将它看作正有理数乘法群的一个表示空间，它的不变子集就很明显地可以不是子空间）。
自由粒子的单粒子态也构成彭加莱群的一个表示，物理上这是因为不同的惯性观者对粒子的数目有一个一致的认识。对于任意的李群，我们可以用它的李代数的卡西米尔算子的本征值来标记不可约表示。每种粒子的单粒子态都构成彭加莱群的不可约表示，这个表示的卡西米尔算子的本征值描述了该种粒子的质量和自旋。多粒子态通过单粒子态的Fock空间构造。
讨论了这么多，我们一直没有涉及场算符，因为这是一个稍微有些麻烦的话题，但还是不能不讨论它，现在就来谈谈场算符。为了得到某种场的场算符，首先我们需要洛伦兹群（!不是彭加莱群）的一个有限维（!不是无限维）表示f，然后我们就可以有时空流形上的f场（如果你看过一点儿纤维丛，这就是底空间为闵可夫斯基时空的一个f丛的截面，结构群为洛伦兹群，严格地讲还要对这个截面加一点儿限制，那就是它必须在远处足够快的衰减，比如要求它是速降函数，更准确地说是史瓦兹函数，不过我在这里不想陷入数学的细节，尽管数学的美还是要的）。所谓二次量子化，指的是从所有f场构成的空间到态矢Hilbert空间自同构群的一个线性映射S，并且要求当f1和f2的支集（非零点的闭包）之间没有具有类时关系的点时，（超）对易子[S[f1],S[f2]]=0（即正负号由统计决定，这就是微观因果律）。于是场算符的彭加莱对称性就应该很自然的表现为要求其共轭变换PS[f]P^-1=S[f*p]（f*p表示变换后的f场，其变换不仅体现在时空点上，还体现在f的分量上）。物理的真空|O>是这样一个态，那就是它是彭加莱变换的不动点（注意，不一定是其他对称性的不动点哦），于是对于f场的单粒子态S[f]|O>，它的质量为（不计较卡西米尔算子的定义空间等严格性问题）p^2S[f]|O>的本征值，因此p^2S[f]=-m^2S[f]，这就是我们大家熟悉的场方程，这个场方程对于任意场都是适用的，它是彭加莱对称性的要求，原则上应该还有一条要求，那就是自旋的要求，即W^2S[f]=-m^2s(s+1)S[f]（当m=0时为WS[f]=sS[f]，这两个式子可能会差正负号，不过不妨碍我们对问题的认识），但是一般而言人们都是直接通过选择洛伦兹群的表示f来实现它。
susy物理学笔记（三）——彭加莱对称性初步的答疑 2009-04-08 12:30
首先让我来回答上次笔记的评论中一位网友的问题。他（她）的问题是：第一个，为什么选取Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而这些量子态恰恰对应于实验上观测到的粒子，例如电子、光子等。第二个，为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？
第一个问题我想可以这样回答，不是我们要选择Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而是物理世界的Poincare对称性保证我们看到的所有量子态放在一起构成了Poincare群的一个表示。原因我在上一篇笔记中已经提到过了，因为当我们选定一个惯性观者之后，每一个Poincare变换就对应另一个特定的惯性观者，而对我们选定的那个惯性观者观测到的每一个特定的态，对其余任意一个惯性观者都会有一个态，这个态在那个观者看来其物理表现（比如四动量等等）与我们选定的惯性观者看到的那个特定的态是相同的。于是，给定一个态a（惯性观者看到的那个特定的态），一个Poincare变换P（联系选定惯性观者与另一惯性观者的变换），我们就有另一个态Pa（变换得到的惯性观者看到的与原观者看到特定态的物理表现相同的态）。在这个意义上我们说，我们得到了Poincare变换在态矢空间（线性空间）上的一个作用，而Wigner的贡献就在于证明了这个作用是一个表示，而且对于不包含时间反演和空间反射的Poincare群是一个幺正表示（时间反演的表示是反幺正的）。一般而言，所有量子态构成的表示空间不是不可约的，如果你随便挑一个量子态，我们并不能说这个态对应某种实验上看到的粒子。下面让我们以电子为例说说特定粒子的单粒子态构成Poincare群的不可约表示。我们识别粒子的种类，*的是它的内禀属性，比如说质量、自旋等等。因此，我们说的同一种粒子首先一定具有相同的质量，而质量的平方（也就是四动量的模方）作为Poincare群Lie代数的Casimir算子，对于特定的表示是一个常数，对于质量不为零（质量为零的情况我们稍后讨论）的表示，自旋平方也就是Pauli-Lubanski矢量的模方也是Poincare群Lie代数的Casimir算子。首先，同一种粒子的单粒子态矢量一定构成Poincare群的一个表示，原因与上面讨论全体量子态的情况时是一样的。那么这个表示一定是某一个不可约表示的自我直和（因为不同的不可约表示的那两个Casimir算子的本征值总会有一个是不一样的），如果这种粒子没有其它内禀量子数，那么原则上我们是不能区分这个不可约表示和它的自我若干次直和的，这时当然用不可约表示（如果你要用它的几次直和，大概也没人拦着你，这不过是自找麻烦，把同一个东西重复写几遍而已，如果你精力足够旺盛:)，这样做当然可以）。当这种粒子有其它的内禀量子数（比如色荷）时，基于同样的原因，它的单粒子态要构成那个内部对称群的表示，这时单粒子态是Poincare群的不可约表示与这个内部对称群的表示的直积。你也可以说这时的表示不是Poincare群的不可约表示，那就意味着，你把红色的u夸克和蓝色的u夸克看作是同种粒子，如果你把它们看作是不同的粒子，那么问题就没有了。对于光子这样的零质量粒子，问题稍微有一点儿复杂，因为Poincare群零质量表示的另一个Casimir算子不是自旋的平方而是螺旋度（helisity），因此helicity为+1的光子和helicity为-1的光子实际上属于不同的不可约表示，也就是说我们看到的左旋偏振光和右旋偏振光事实上是Poincare群的不可约表示，单从这点上讲，我们的世界可以只有helicity为+1（或-1）的光子。但是著名的CPT定理有一个结论，那就是如果helicity为+n的粒子存在，那末一定存在同种helicity为-n的粒子。因此，你实际上指出了我上一篇笔记中的一个小疏漏，那就是，如果我们将Poincare群限定为不包含时间反演和空间反射的话，每种零质量粒子（helicity为零的除外）的单粒子态都不是Poincare群的不可约表示，而是正helicity和负helicity表示的直和。谢谢你指出这个疏漏，在此向被这个疏漏误导了的同志们致歉。
总结一下就是，你的第一个问题句式不太好，我们只能问：为什么基本的量子态能构成Poincare群表示的基，而实验上观测到的粒子，例如电子、光子等的单粒子态为何恰恰对应于不可约表示（当然我们看到，对于限制的Poincare群，光子的单粒子态不对应于不可约表示）。因为面对我们面前的物理世界，我们的物理学家没有在这种对称性合那种对称性之间作选择的自由，我们只能接受，因为世界是这样。不知道你对我上面的回答是否满意。
接下来是第二个问题：为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？我要说答案是：场算符是Poincare群的表示！你可能被我们得到场算符的过程弄糊涂了，在那种构造方法中（也正如我们在绝大多数场论教材中看到的那样）我们实际上利用了Poincare群是Lorentz群和四维时空平移群的半直积群这一性质。形象地说，那就像我们在研究二维平面时，我们的对称群是二维Euclid群，它包括任意的平移和转动，可以绕a点转动，也可以绕b点转动，但平面的对称性如此之好以至于我们可以只研究绕原点的转动，其它的转动可以通过绕原点的转动和平移的组合得到。这里的Poincare群就相当于二维Euclid群，而Lorentz群就相当于全体绕原点的转动。当我们盯住场算符对应的经典场函数（就是f函数，也就是场方程作为微分方程的经典物理解）在一点的性质时（也就是它能取什么样的值），平移自由度被我们冻结了，因此我们讨论的对象被限定在Lorentz群的表示上。数学上讲，就是我们这时候没有讨论纤维丛的截面在底流形的微分同胚变换下的性质，我们只是要确定纤维型。我想这个回答你可能不是很满意，还是比较数学，那么我就举个也许不太恰当的例子。我不知道你有没有学过流体力学，没学过也没关系，我也没学过，不过普物里面讲过一点儿，这一点儿就够了。我们记得流体力学里有所谓“Euler描述”，就是不去追踪具体的粒子，而是盯住流体中每一固定点的流速的变化。你是不是要给流体一个速度场（相当于我们的场），那就是每一点给一个速度矢量，速度矢量当然是空间转动群的表示，但这并不意味着所有可能的速度场（流体力学运动方程的全体解构成的集合）有什么对称性，如果是无限大无源理想流体，解空间就会具有三维Euclid群对称性（也许吧，我不确定）。我们这里的情况也是一样的，如果你问：场函数取什么值？我回答：Lorentz群的某个有限维表示。如果你问：场算符具有什么样的对称性？我回答：Poincare对称性，它们全体构成Poincare群的表示。但你要正确的区别开这两个问题，它们是很不相同的，不要混淆。明确了这一点，场算符的Fourier分量产生湮灭量子态的问题就不存在了吧，这就不再存在任何数学上明显的障碍了。
susy物理学笔记（四）——关于时空对称性的一点补充 2009-04-08 12:32 上次我们聊了一点儿时空对称性，本来想在第三篇笔记中作一点儿补充讨论的，结果回答网友的问题占了很大的篇幅，只好再写一篇。
我们在前面的笔记中一直在谈Poincare对称性和Poincare群，之后又提到了Lorentz群，还说Poincare群是四维时空平移群和Lorentz群的半直积。在引出场算符时，我们说场函数的值域是Lorentz群的某个有限维表示。这句话对吗？严格地说，不对！
其实上面的说法在数学上是没有问题的，问题出在我们看到了电子，而这家伙的自旋是1/2。自旋是1/2又有什么问题呢，因为我们前面提到的那个Poincare群没有自旋为1/2的表示。让我们以非相对论的角动量理论为例说明这个问题。在非相对论的角动量理论中，量子态构成转动群的表示，转动群的Lie代数是三维的，方便起见，人们一般取满足循环对易关系的三个独立元素作为基，这就是笛卡尔坐标下角动量赝矢（角动量是一个2-form）的三个分量。由于我假定读者至少学过一点儿量子力学，那么大家应该熟悉（或者依稀记得）量子力学课上是如何利用对易关系推导总角动量平方的可能本征值的。我想这里也是解释Casimir算子的一个好机会，我们知道总角动量平方与角动量的三个分量都对易，因此与Lie代数里的任意元素都对易，进而与Lie群（在我们的例子中是转动群）中的任意元素都对易，因此在不可约表示中它的表示矩阵一定是常数矩阵（Schur引理），这样我们就看到，它的本征值是标志不可约表示的一个量。简单地讲，这样的与Lie代数中所有元素都对易的一个算子就叫做Casimir算子。应该注意的是，Casimir算子并不是Lie代数中的元素，因为在Lie代数中只有加法、数乘和对易子三种运算，根本没有什么平方，因此对Lie代数的元素作平方或在其元素的表示矩阵之间做乘法都是非法运算，如果不加说明，得到的结果是没有意义的。当然我们可以通过构造张量积，再将张量积的对易子与Lie代数的对易子视为等价类求商空间的方法“制造”一个所谓的“包络代数”，在包络代数中，元素间的乘法是有定义的，a与b的对易子就是a乘以b减去b乘以a，Casimir算子就是这个包络代数中的元素。
书归正传，我们还记得，当时得到的结果是，总角动量平方的本征值为j(j+1)，其中j为非负半整数，今后在不引起误会的情况下，我们就简单地说总角动量为j。问题是，这只是对Lie代数进行分析得到的结果，并不是最终的结论，我们需要知道的是，对应总角动量值为j的转动群的表示真的存在吗？结论是，不一定。对于非负整数j，这个表示是存在的，但对于转动群SO(3)，根本就不存在j为半奇数的表示。如果你认真地把表示矩阵写出来，你会发现，转动2π对应的矩阵是不确定的，可能相差一个正负号，而无论你舍弃其中哪个都会出现问题，因为当你选定单位元的表示矩阵为1后（这是成为一个表示所必需的），沿着不同的路径到达转动2π的元素时两种取值都有可能出现，因此舍弃哪个都不行。这成为一个困扰我们的问题，因为在SO(3)群中，恒等变换和转动2π是同一个元素，作为一个表示，不能有两个表示矩阵与之对应。因此，j等于半奇数的本征值不对应SO(3)群的任何表示。我们知道，Lie群的局部性质被它的Lie代数决定了，因此，通过Lie代数演算得到的多余的解一定是被整体结构排除掉的。问题就出在SO(3)群不是一个单连通的拓扑空间，从它的单位元出发回到单位元的闭合路径有两类（一维同伦群为Z2），分别对应着转动2π的表示矩阵的两种取值。因此，如果态矢量空间只是SO(3)群的表示，我们就没有角动量为1/2、3/2这样的态，但是我们看到了这样的态（比如著名的SG实验），因此转动群的概念必须推广。我们将注意力从SO(3)中的点（也就是一个转动）转到连接单位元与该点的道路等价类上来，可以在这上面定义适当的拓扑和对易子使之成为一个Lie群，这个群就是SU(2)，它是单连通的。因此，严格地讲，在非相对论角动量理论中，我们要求态矢量空间是转动群SU(2)的表示，这样，与所有j的可能值对应的表示都是存在的。
在相对论量子场论中，问题也是类似的。如果我们将Poincare群定义为四维时空平移群与Lorentz群的半直积，让场函数在Lorentz群的表示上取值的话，自旋为半奇数的场就不会出现。因此，我们在这里也需要做类似的扩展。由于问题出在Lorentz群上，我们就将注意力集中在Lorentz群上。如同SO(3)一样，SO(1,3)也不是单连通Lie群，道理很简单，在这里从单位元到转动2π仍然有两种互不等价的路径。对SO(1,3)做扩展得到的单连通群（准确的名字好象应该叫SO(1,3)的覆盖空间）是SL(2,C)，也就是行列式为+1的复2维线性变换群（把它看作实Lie群）。我所见过的从SO(1,3)到SL(2,C)写得最好的书是Penrose与Rindler和写的Spinor and Spacetime（尽管第一作者因为一本科普书前一阵子在李老师的blog上被我们骂得很惨，但在这方面他是名副其实的专家，我想这应该是没有问题的）。这一部分他们写得很有意境，适合在郊外的星空下细细品味。他们的方法按我的理解就是把眼光从具体的Lorentz变换后的观者身上移开，转而关注不同的观者看到的星空中繁星的变化。当观者在原地做三维转动时，星空相对于他向反方向转动了相同的角度。当观者做匀速直线运动时，他会看到（只要他的运动速度足够快）所有的星星都向他身后移动了一点儿。重要的是，这些变化保证不同的观者测量星空中一个角度时得到相同的结果。观者看到星空的景象可以确定他的运动状态，用数学的观点看，遥远的星空是一个2维球面，角度不变说明是保角变换，也就是共形变换。进一步的计算表明，每个保角变换也都对应着一个观者运动状态，因此，结论是“Lorentz群就是扩充复平面C*的全纯自同构群SL(2,C)/Z2”。因此，要找一个SO(1,3)的2重覆盖空间自然就是SL(2,C)。真正的Poincare群，是四维时空平移群与Lorentz群的覆盖空间SL(2,C)的半直积群。
我们自然会问这样一个问题：我们的物理学究竟满足原来我们说的Poincare对称性呢还是满足刚刚被我们扩充过的Poincare对称性呢？这个问题要由实验来回答。在经典的点粒子物理学中不存在这个问题，我们无法区分转动2π与转动4π的差别，也不存在自旋的问题，这个问题是在经典场论中出现的。实际上，在经典场论中，我们也可以讨论内禀角动量这一概念，但是当时人们遇到的经典场并无讨论自旋为半奇数的内禀角动量的需要（当时遇到的唯一的实际的场——电磁场的内禀角动量为+1，而轨道角动量属于j=+1的表示。引力的问题比较特殊，我们后面再谈），因此我很少在经典场论的教材中看到讨论内禀角动量的问题（大概是我读的书太少了）。而在相对论量子场论中，问题就非常明显了，我们看到了那么多具有半奇数内禀角动量的粒子，事实教育我们，必须要求我们的物理学具有扩充了的Poincare对称性。这是一件很神奇的事情，为什么我们的物理学要求扩充了的Poincare对称性，这背后有没有更深刻的原因？是什么使得我们不得不区分转动2π和转动4π，对称群的各阶同伦群在物理学中究竟扮演了何种角色？我想这是值得我们继续学习与思考的问题，也许这个问题还没有答案，也许已经有了答案但是我并不知道（如果是这样希望各位大师指导一下）。不管怎样，当我们以后提到Poincare群（或对称性）的时候，不加声明就指扩充后的Poincare群（或对称性），我们前面提到的场函数的取值也需要在SL(2,C)上，态矢量Hilbert空间也构成扩充Poincare群的表示，物理态作为其中的稠子集，真空态在扩充的Poincare变换下不变。
最后我们简单地提两句分立对称性，也就是空间反射P和时间反演T。在我看来这些都是很复杂的问题，因此在前面很少提及。重要的是，它们不对应任何动力学量，而且它们成立与否是需要实验验证的。比如说P宇称在弱相互作用下是被破坏的，而强相互作用中也出现了CP破坏问题。量子场论中有一个神奇的定理，它告诉我们，对于满足微观因果律和Poincare对称性的量子场论，CPT联合变换总是守恒的。我之所以说它神奇是因为，PT变换都是时空的对称性变换，而C是地地道道的内部对称性变换，为什么这三者有如此紧密的关系？我不知道。不过内部对称性确是很重要的问题，我们将在下一篇笔记中讨论这个问题。
susy物理学笔记（五）——内部对称性 2009-04-08 12:34
我们在前几片笔记中简单地讨论了一下Poincare对称性，按照我的逻辑，我将继续介绍对称性的问题（因为它是如此重要），这一次介绍内部对称性。我首先要声明一下，我主要讨论规范对称性。
这是一个很大的话题，有关规范对称性的专著多如牛毛，我基本上没看过，因此我在这里只能提供简单的介绍，已经熟悉规范对称性的朋友们完全可以跳过这一份笔记。学过电动力学（甚至是普物电磁学）的朋友们一定都还记得矢势标势和规范变换，让我们用协变的语言来重新表述这个问题。在狭义相对论中，电磁场场强是一个2阶反对称张量场，场强张量满足的运动方程一个是对它做外微分得到四电流密度dF=J，另一个是它的对偶场做外微分为零d*F=0。第一个方程写成大家熟悉的形式就是电场强度的散度为电荷密度，磁感应强度的旋度是电流密度加位移电流密度。第二个方程就是电场强度的旋度为磁感应强度的变化率，磁感应强度的散度为零。这四个方程中有两个是运动方程，两个是约束。因此，电磁场是一个带有约束的动力学系统（无论是否有源），实际上，这是所有规范场的一个普遍的特征。很多时候，一些讲理论力学的教科书都不会深入涉及带有约束的系统，作为理论力学这种入门课程而言，对于约束系统这种比较复杂的对象较少涉及是没有问题的。但是某些书中提到的理由却是不正确的，有些书上说之所以不讨论约束系统是因为现代物理学的研究对象，比如微观物理学关注的对象都是不含约束的系统。从上面的讨论我们看出，这样说是不恰当的，因为我们研究的规范场都是约束体系，而且还是微分约束，引力场也是一样的。规范场的约束在我们进行量子化的时候会带来一些麻烦，我想大家对电磁场的正则量子化应该有比较深刻的印象吧，没印象或者没学过也没关系，总之是要加很多麻烦的条件。这里面还有一个问题，那就是这两个方程（dF=J和d*F=0）是不对称的，事实上这是我们的习惯而已，我们完全可以把它写得更对称一些，这并不意味着磁单极子一定存在（我在这里就不介绍这个问题了，有兴趣的朋友可以参见Jackson，或者梁老师的下册），但这种写法是大家比较熟悉的，而且看起来比较简洁。
Minkowski时空的拓扑结构异常简单，就是R4，它的2阶同调群是平凡的，由de Rahm定理，它的2阶上同调群也是平凡的。因此对于任意的2阶反对称张量场F（以后我们简称为2-形式）一定存在一个整体的1-形式A，使得F=dA。所谓规范变换，就是说，对于任意的0-形式a，如果我们对A进行变换A'=A+da，则A'与A对应于同一个场强张量F。这里有一个问题，那就是A和F究竟哪一个真正地描写着电磁场，说得更准确一些就是，我们找到四势A究竟是纯粹的数学还是有更深的物理学意义？这个问题在经典物理中如何回答我不知道，我想在经典物理学中四势的数学意义恐怕大于它的物理意义。但是在量子物理中，AB效应是对这个问题的一个有力的回答。对于F的进一步分析与Hodge理论有很大的关系，遗憾的是我不懂Hodge理论，只好简单地提两句。定义紧流形上的p-形式a与b的内积为a与b的对偶的外积的积分，在这个意义上余微分算子是外微分算子的伴算子，无源场方程告诉我们F在Laplace算子的作用下为零，就是说F是一个调和2-形式。Hodge理论中的一个很重要的定理告诉我们，任意一个紧流形上p-形式总可以写成一个恰当形式、一个余恰当形式和一个调和形式的和，而且这一分解是直和分解。
再说下去数学会越来越多，这就偏离了我们的主题。我们从整体的内部对称性出发，所谓整体的内部对称性，从逻辑上讲，首先要有一个对称性群。这个对称性群对于电磁理论就是U(1)群，对于强相互作用理论就是SU(3)群。简单起见，我们以U(1)理论为例讨论这个问题。这个时候，我们的场函数取值不仅是在Lorentz群的表示空间上，而是在Lorentz群的表示空间与内部对称性群U(1)的直积上。我们既可以对场函数作Poincare变换，也可以做U(1)变换。我们可以想象一维空间标量场的情况，由于U(1)拓扑同胚于S1，我们可以将场函数的U(1)自由度想象成是在一维直线上的每一点都长出一个圆（这样就成了一个圆柱面），场的某种U(1)位形就是圆柱面上的一条线，我们做整体U(1)变换直观上就是把这根线整体地沿着S1的方向推一下，而保证线的几何形状不变。于是我们看到，这实际上相当于一次S1方向坐标零点的重新选择，如果物理的结果与这种重新选择无关，就说明这种对称性是我们的体系所具备的。也就是说，物理性质只与坐标背后的几何有关。具体到场函数上，就是乘一个整体相因子。这时，根据Noether定理，我们有一个新的守恒流，对它进行积分会得到一个新的守恒荷——U(1)荷。
在实验中，问题并不是遵循着逻辑的。往往是我们总结出某种守恒量，比如轻子数守恒，进而得到相应的对称性，这是任何一门粒子物理课都会讲的内容。想必大家都已经比较熟悉了。然而我们要问的问题是：上面的整体变换是否可以局域化？其中的几何图像是很清楚的，即便是你不对场函数做任何操作，我拧一下这个圆柱面（这相当于一个局域的相因子变换，因为当你拧这个圆柱面的时候，等效的每一空间点对应的相因子变化是不同的），然而这于这个圆柱面的几何仍然是没有影响的，物理性质是否应该改变呢？如果物理性质仍然不发生变化，我们就说上面的对称性是局域的，或者说是一种规范对称性。在进一步涉及数学之前，我们要意识到，即便是几何没有改变，我们仍然需要引入一个物理量来描述这个圆柱面被拧后它的“张力”分布是怎样的，不然我们就丢失了体系的一部分信息，这一部分信息的丢失会使得我们无法判断各种表观场位形之间的关系。我们将看到，这个“张力”分布就是新引入的规范场。
现在让我们用数学的语言来整理一下前面的直观分析。在时空流形的每一点上都“植入”一个流形得到的结构叫做“纤维丛”（这个说法是不完备的，要成为纤维丛还需要其它的条件），当我们在底流形的点上“种植”流形时，每走一步都要小心地把它和相邻的种植上的流形粘接好（如果粘错了会有大麻烦，比如一条带子如果粘不好也许会变成一条莫比乌斯带）。一个正式的微分纤维丛有以下几个部分组成：底流形B，丛流形E，结构群（一般要求是Lie群）G，纤维型Y，转换函数和从E到B的投影映射p。在规范场问题中，底流形就是我们的时空流形，结构群在纤维型上面有一个左作用，p是一个满射，且B中每一点的原像都与Y同胚，这就意味着种上去的都是Y。当我们选定B的一组坐标系后，对于每一个坐标邻域U，都存在一个U在p下原像与U和Y的积流形之间的微分同胚（这叫做局部平凡），这样我们说，U上的每一根纤维被赋予了一个Y典范结构。对于不同坐标邻域，某一根纤维被赋予的典范结构可以是不同的，但一定被结构群中某个元素在Y上的左作用联系，对于两个有交的坐标邻域，上面的联系在其交集上定义了一个取值在结构群上的函数，我们称这个函数为转换函数，要求这些转换函数光滑。可以证明，只要给定转换函数，微分纤维丛就被唯一确定了。我们说只要求结构群在纤维形上有一个左作用，有两种情况是我们特别关心的。第一种情况是，纤维型就是结构群，这时左作用就是左乘，这种纤维丛称为主丛（principal fibre bundle）。第二种情况是，纤维型构成结构群的一个线性表示，切丛、余切丛和张量丛都是这种情况。值得我们注意的是，结构群的Lie代数构成它的一个线性表示。我们最后介绍一下截面的概念，所谓截面就是从底流形到丛流形的一个光滑函数f，满足p(f(x))=x。在我们上面提到的例子中，圆柱面就是一个简单的U(1)主丛，而场函数是这个U(1)丛的一张光滑截面。整体对称性意味着，纤维型U(1)（作为Lie群有一个自然的度规张量场，那就是Lie代数的Killing型）存在一个Killing矢量场，而与这个纤维丛的具体性质并无太深的关系，正是由于这个原因，纤维丛在规范场出现之前并没有引起物理学家的注意。当我们“拧”了这个圆柱面之后，再描述场位形时就需要知道这时候这张圆柱面的张力分布是如何的。如果我们在原来的圆柱面上画出直母线，那这个张力问题也就是问，当我们拧过圆柱面之后这些原来的直母线的形状如何。我们从纤维丛的定义可以看出，对于丛流形上的一点，我们很清楚哪个方向是沿纤维型的方向（因为有投影映射），但是哪个方向是相应的横向方向是不明了的（因为没有内积，我们不能定义垂直，所以没有哪个与纵方向线性独立的方向是特殊的），因此我们需要在每一点的切空间“规定”一个直和分解，告诉大家哪个方向是横方向，在圆柱面的例子中就是告诉大家那个位形是没有张力的。如果原来的圆柱面可以看作是一摞圆环，我们可以任意拧动不会有阻碍，上面的“规定”就好像把圆环与圆环用线联系起来，使我们在拧它的时候会遇到阻力，因此这个对切空间直和分解的规定叫做这个主丛的联络（connection）。和我们熟悉的切丛的情况一样，给出了联络就等价于定义了“平移”的概念（这是很直观的，给定一点由局部平凡的存在性和Frobenius定理，我们总可以在局部得到一个积分子流形，它和底流形的结构是相同的，因此，“平移”的概念被确定了）。于是对于一个局部平凡，由于我们有坐标横方向（就是纤维型坐标不变的方向），给出联络就意味着给出真正的横方向与坐标横方向的差，这就需要每点给出n个（n是底流形的维数）沿纵方向的切矢A（显然在结构群的Lie代数中），我们也称这些A为联络，当选取不同的局部平凡时，A之间的变换满足gA'=Ag+dg，其中g为转换函数，这正是我们熟悉的“联络”的变换规则。通过上面的分析，我们看到，联络原本是一个很自然很直观的东西，而不仅仅是在坐标变换下的一堆满足复杂变换关系的量。我们知道，对于一般的流形，场的导数应该取协变导数（坐标导数是一个没有意义的量），之所以在平直时空量子场论中我们取坐标导数，是因为我们总可以找到一组坐标覆盖使得时空的切矢量丛、余切矢量丛和张量丛的联络在这组坐标系中为零。但是当我们考虑时空上的某个主丛时，没有理由先验的认定它的联络也存在上述性质，因此我们求导数时应该写成协变导数形式。于是我们的场Lagrange密度中出现了n个取值在结构群Lie代数上的场，由于这n个场实质上是1-形式场的n个分量，因此我们可以说得到了一个取值在结构群Lie代数上的1-形式场（这也是很直观的，当我们比较坐标横切子空间和横切子空间时，我们实际上有两个m维子空间，它们的交是m-1维子空间（记得两条直线的交是一个点，两张面的交是一条线），这个m-1维子空间在坐标横切子空间中有一个自然的法余矢（注意，没有自然的法矢），实际上就是这个1-形式），这就是我们的规范场A。
不厌其烦地说了这么多，总算把物质场这边的事说了个大概齐，也引出了规范场。至于规范场部分，再说就太长了，放在下一篇笔记中介绍吧。
susy物理学笔记（六）——内部对称性（续） 2009-04-08 12:35
上次我们说了很多东西，放到网上一看我也觉得太长了，所以很长一段时间没有继续写，现在我们继续谈谈规范对称性。我们上次提到了伴丛这个概念，并没有加以解释，但我想，我们完全可以暂时绕开这个问题不谈，不然真的要变成数学的东西了。
我们继续上文中的比喻，现在我们的那根圆柱面上除了物质场，还多了一样东西——联络。如果我们要研究圆柱面的物理学，我们就不仅要知道物质场在那上面的运动状态，还要知道这个圆柱面被扭曲的程度。因此，在Lagrange密度中一定会出现于联络有关的项，而且这一项不会是以上文中提到的对物质场求协变导数的形式出现在Lagrange密度中的，因为我们现在需要的是纯粹的圆柱面的几何状态，它不应该与上面的物质场有如此密切的关系。首先，我们需要明白，事实上拧动这类变换并没有反映规范场的内在性质，因为这实际上是转换函数的主动观点。那么什么是规范场的内在性质呢？
让我们从几何直观出发，想象在圆柱面上做出横空间的积分曲线（其切矢张成横空间，对于高维Lie群也可定义这样的局域积分超曲面）。我们注意到，当我们拧动圆柱面的时候，这些积分曲线会发生形变，然而就像前面说的，这种形变引起的弯曲不应视为规范场的内在性质。不过我们总可以尝试做下面这件事，那就是通过拧动圆柱面使所有的积分曲线最终都变成圆柱面的直母线。遗憾的是（或者说幸运的是），这并不是总能做到的，因为我们的拧动操作虽然是局域的，却不能改变同一纵空间上两点间的相对“距离”（因为转换函数具体到底流形上的一点是一个整体变换，大家改变相同），如果两条积分曲线在这里离得近一些，在那里离得远一些，我们就不可能通过拧动变换将它们变成平行的直母线。因此，这个意义上的相对位形才是规范场的内在性质，而描述这一性质的量最多与规范势的一阶微商有关，并且一定是一个协变的量，我们的任务就是找一个这样的量。我在上文中写出了gA'=Ag+dg，我们对它做外微分（这是在一个流形上能对形式作的最自然的微分），得到dg^A'+gdA'=(dA)g-A^dg，将dg=gA'-Ag带入得到gA'^A'-Ag^A'+gdA'=(dA)g-A^gA'+A^Ag，于是我们有dA'+A'^A'=(1/g)(dA+A^A)g，因此这样一个量就是dA+A^A，这就是我们熟悉的联络A对应的曲率F。（有的朋友说我的数学式子太少了，这下过瘾了吧:-)）
应该注意的是，由于A取值在规范群Lie代数上，因此A^A对于非abel群是非零的。另外，由于并没有对Lie代数的结构进行什么微分（d是时空微分），因此得到的F是一个取值在Lie代数上的2-形式场。为了将它写进Lagrange密度，我们需要构造一个标量，这个标量既是Lorentz群意义上的（实际上是4-形式），同时也是规范群意义上的。由于F是2-形式，我们知道，不求微分能得到的4-形式有F^*F和F^F，对于U(1)群，F^F=0，因此一般而言这个4-形式应该是F^*F。实际上没有理由将F^F排除在外，在强相互作用中我们会看到出现F^F的项等价于出现θ真空，它的大小描述了强CP破坏的程度。我们还要对Lie代数元求内积（由于有Killing型，这是没有歧义的），写具体就是矩阵相乘求迹。
上次写得太多了，这次少写点儿，就到这里吧:-)
susy物理学笔记（七）——对称性与守恒流，Noether定理 2009-04-08 12:36
无论你翻开哪本讲场论的书，对称性与守恒流以及Noether定理都是必讲的内容，做“笔记”时当然也不能落下。
我们前面已经看到，物理学中有众多的对称性，而描述对称性的数学工具是群论。这些对称性有分立对称性，也有连续对称性，有整体对称性，也有居域对称性，对应的数学对象有有限群，Lie群，积流形和纤维丛。这一次的话题主要涉及连续对称性。
Noether定理简单说就是每种连续对称性对应一个守恒流（四散度为零的四矢量场），这实际上是一件很直观的事。我们记得连续对称性变换由Lie群描述，Lie群既是群又是流形，我们就可以求它单位元处的切空间，并用左乘微分同胚诱导的推前映射得到群流形上的一个切矢量场。求这个切矢量场的积分曲线，以单位元处为经过该点积分曲线的参数0点，我们定义一个从单位元处切空间的一个含0元的子集合到Lie群的子集（因为这条积分曲线不一定能够延拓到参数无穷大处）的一个双射，这就是著名的指数映射exp。因此Lie群单位元处的切空间（或者说那个诱导出来的“左不变矢量场”）与Lie群之间有密切的关系。简而言之，左不变矢量场是群流形对称变换对应的“流”，因为沿所有的积分曲线走同样参数距离得到的群的微分同胚正是群乘法。于是我们会问，与群元的乘法对应的是这个切空间的何种运算呢？在交换群的情况下，就是对应的两个切矢的和，因此这个“指数”是很真实的，并不是叫叫玩儿的。对于非交换群，gh不等于hg，我们就需要一个量来描述这种差异，这个量反映在群上就是ghg^-1与h的差异（或者说是ghg^-1h^-1与e的差异），反映在切空间上就是两个切矢的对易子非0。我们把Lie群的左不变矢量场配以对易子运算叫做这个Lie群的Lie代数。注意到单位元是相似变换的不动点，因此相似变换诱导出Lie代数的一个自同构（学过Lie群的朋友对这个自同构一定很熟悉，因为这正是著名的伴随表示）。
现在我们回到场论中来。事实上Noether定理很大程度上是经典场论中的一个结论，因此我们的介绍也将从经典场论开始。我们首先需要一个描述体系的拉氏密度，体系的对称性这时指得是它将体系的一个解变成另一个解。一般而言，我们要求这个对称变换导致的拉氏密度的变化只是一个四散度，这样作用量的变化就只依赖于这个四散度的边界行为。我们不涉及边界项的问题，认为它贡献为零。这时拉氏密度的变分可以写作正则动量密度乘对称变换的生成元（就是对称群的Lie代数的元素）再乘以正则位形之后的四散度，这里利用了运动方程。这两个流的和是一个守恒流，也就是著名的Noether流。
在量子场论中，我们关心的是路径积分，因此作用量不变只是一个必要条件。此时如果变换不改变测度则于经典场论情形相同，否则就会出现反常。
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