在一个集合上, 如何定义拓扑, 使之成为拓扑空间, 这在不同的拓扑文献中是不尽相同的

 在一个集合上, 如何定义拓扑, 使之成为拓扑空间, 这在不同的拓扑文献中是不尽相同的

收稿日期: 2004- 03- 01 作者简介: 陈建春( 1963- ) , 女, 山东荣城人, 讲师, 从事拓扑概率的研究。 文章编号: 1007- 6743( 2004) 02- 00110- 03 拓扑空间的七个定义及其等价性 陈建春 ( 邯郸师范专科学校 计算机系, 河北 邯郸 056002) 摘要: 本文给出了拓扑空间的七个定义, 并通过循环证明的方法证明了它们的等价性。 关键词: 拓扑空间; 定义; 等价性 中图分类号: O189 文献标识码: A 在一个集合上, 如何定义拓扑, 使之成为拓扑空间, 这在不同的拓扑文献中是不尽相同的。例如, 在 文献[ 1] 中, 从/ 领域系公理0开始; 在文献[ 2] 中, 从/ 开集公理0入手; 而文献[ 3] 则从/ 基公理0出发。它们 之间是否具有等价性呢? 本文就此给出定义拓扑空间的七个公理, 并论证了它们之间的等价性。 1 拓扑空间的七个定义 一个非空集合X 称为拓扑空间, 如果它满足下列诸定义中任何一个的要求 定义1 对于X 的任何子集A, 都有X 的子集A 与A 之对应, 且满足 U= U; A A A, A A X; A G B = A G B, A , B A X; A = A , A A X 称A 为A 的闭包, 上式称为闭包公理。 定义2 规定X 的一个子集族G, 使它满足 UI G; X I G; 若A, B I G, 则A G B I G; 若AK I G, 则 H KI A AK I G, 其中 KI M, M 为任意指标集。 称G 为X 的闭集族, 每个 C I G 称为X 中的闭集, 上式为闭集公理。 定义3 规定X 的一个子集族H, 使它满足X I H; UI H; 若A, B I H; 则A H B I H; 若AK I H, 则 G KI H AK I H, 其中 KI M, M 为任意指标集。 称 H为X 的开集族, 每个0 I H称为X 中的开集, 上式称为开集公理。 定义4 对每个x I X, 规定X 的一个子集族Ux , 使它满足 Ux X U; 若 U I ux, 则x I U; 若 U I ux , V \ U, 则 V I ux ; 若 U, V I ux, 则 U H V I ux ; 若 U I ux, 则存在 V I ux , 使得对于y I V, 有V I uy。 ux 称为x 的领域系, 每个 U I ux , 称为 x 的领域, 上式称为领域系公理。 定义5 规定X 的一个子集族D, 满足 DX U; X = G S I D S ; 称 D为拓扑空间X 的一个子基, 上式称为子基公理。 定义6 规定X 的一个子基集族B, 满足X = G B I B B; 对于 U, V I B, 及x I U H V, 存在 W I B, 使得 x I W A U H V。 B称为拓扑空间X 的一个基, 上式称为基公理。 定义7 对于X 的任何子集A, 都有X 的子集A 0 ( 或记为A 0 ) 与之对应, 且满足A 0 = X; A 0 A a, a A X; ( A H B) 0 = A 0 H B 0 , A, B A X ; A 0 0 = A 0 , A A X。 称为A 0 的内部, 上式称为内部公理。 2 拓扑空间七个定义的等价性证明 第21 卷 第2 期 河 北 建 筑 科 技 学 院 学 报 Vol121 No1 2 2004 年6 月 Journal of Hebei Institute of Architectural Science and Technology Jun12004 我们采取循环证法: 1 ] 2 ] 3 ] 4 ] 5 ] 6 ] 7 ] 1 定理1 若定义满足A = A 的X 的子集A 为闭集, 则由闭包公理可得闭集公理( 1 ] 2) 。 首先指出, 由A G B = A G B 得, 若A ] B ] X, 则A A B。 证明: 由 U= U, 则 UI G; 由A A A, A A X 知X A X A X, 则X = X, 即X I G; 若A , B I G, 则 A = A, B = B, 由A G B = A G B 知A G B I G; 自然, H KI M AK, KI M, 由于AK是闭集, 则 H KI A AK A AK= AK, 于是 H KI A AK A H KI M AK, 即 H KI M AK I G。 定理2 若定义 O 为开集当且仅当O c 为闭集, 则由闭集公理可得开集公理( 2 ] 3) 。 证明: X c = UI G, 故 UI H; 若A, B I H, 则A c , B c I G, 于是A H B I H并利用Dt Morgan 法则有 ( A H B) c = ( A c G B c ) I G, 故A H B I H; 若AK I H, KI M, 则A c K I G, 由 H KI A AK I G 并利用Dt Morgan 法则有 G KI M AK c = H KI M A c K I G, 故 G KI M AK I H。 定理3 若定义 U为x 的邻域当且仅当存在开集O, 使得x I O A U, 则由开集公理可得邻域系公理 ( 3 ] 4) 证明: 设 I X, 则 x I X A X, 由X I H知, X 为开集, 故X I Ux , 所以 UX X U; 若 V I UX, 则存在 开集 O, 使得 x I O A U, 故x I U; 设 U I ux , 则存在开集O, 使得x I O A V, 而 V \ U, 更有x I O F V, 故 V I ux; 设 U、V I ux, 则存在开集O1、O2, 使得x I O1 A U, x I O2 A V; 于是x I O1 H O2 A U H V, 由A H B I H知O1 H O2 是开集, 故 U H V I ux ; 设 V I ux , 则存在开集 O, 使得x I O A U, 取 V = O, 则对任意y I V = O 皆有y I O A V, 故有 V I uy , 特别 V I ux 。 定理4 若定义 D是拓扑空间X 的子基, 当且仅当对每个x I X 及U I ux, 有S1 I D, i = 1, 2 ,,, k, 使得x I H k i= 1 S1 A U, 则由邻域系公理可得子基公理( 4 ] 5) 证明: 由 x 是拓扑空间便知X X U, 至少有一点x I X, 由 Ux X U, 则有 U I ux , 于是存在 S1 I D, i = 1, 2, ,, k, 使得x I H k i= 1 Si A U, 故D X U; 设x I X , 由D X U可知, 必有一Sx I D, 使得x I Sx I D, 故X = G x I X { x} A G x I X Sx A G S I D S A x, 从而有X = G S I D S 。 定理5 若定义拓扑空间X 的基为B= B | B = H k i= 1 Si , Si I D, k = 1, 2, ,, , 其中 D为X 的子基, 则由子基公理可得基公理( 5 ] 6) 。 证明: 由定理条件易见B B D, 故X B G B I B B G S I D S = X, 于是X = G B I B B; 设 U, V I B, 则有S1i , S2j I S , i = 1, 2 ,,m, n, 使得 U= H m i= 1 S1i , V = H n j = 1 S2j , 令Sk = S 1k , k = 1, 2 ,,m, Sk+ m = S2k, k = 1, 2, ,,, n, W = H m+ n k= 1 Sk, 则 W = U H V, 若有x I U H V, 便有x I W A U H V。 定理6 若定义x 是X 的子集A 的内点, 当且仅当存在B I B( B为X 的基) , 使得x I B A A, 而A 的所有内点构成 A 的内部, 则由基公理可得内部公理( 6 ] 7) 。 在证明该定理时, 我们需注意在定理条件下有以下两个事实( 证明略) : a 若x I A 0 , 则存在 B I B, 使 得x I B A A; b 若A A B A X , 则A 0 A B 0 。 证明: 设x I X, 由x I G B I B B, 则必有 ) B I B, 使得x I BA X, 于是x I A 0 , 故有X A X 0 A X, 从而 X 0 = X; 由定理条件可知, 若X I A 0 , 则x I A , 故A 0 A A ; 因为A H B A A , B, 由事实 b 知( A H B) 0 A A 0 H B 0 。若x I A 0 H B 0 , 则x I A 0 , B 0 , 于是有B1, B2 I B, 使得x I B1 A A, x I B2 A B 由x I W A U H V 存在B3, 使得x I B3 A B1 H B2, 从而x I B3 A B1 H B2, 故有x I ( A H B) 0 , 即( A H B) 0 B A 0 H B 0 , 从而得( A H B) 0 = A 0 H B 0 ; 由A 0 A a, a A X 有A 0 0 A A 0 , 下证A 0 0 B A 0 。为此证明基x | A 0 0 , 则x | A 0 , 假设不然, 由事实 a 存在Bc I B, 使得x I Bc A A 0 , 但x | A 0 0 , 又有x I Bc | A 0 , 于是前后矛盾, 故 x I A 0 , A 0 0 B A , 从而A 0 0 = A 0 。 定理7 若定义A = A c 0 c = X - ( X - A) 0 , 由内部公理可得闭包公理( 7 ] 1) 。 第2 期 陈建春: 拓扑空间的七个定义及其等价性 111 证明 依次利用 A 0 = X ; A 0 A a, a A X ; ( A H B) 0 = Ab H Bb, A, B A X; A 0 0 = A 0 , A A X 。有 U= X - ( X - U) 0 = X - X 0 = X - X = U; ( X - A ) 0 A X - A , 则 A A X - ( X - A) 0 = A; A G B = A G B c 0 c = A c H B c 0 c = A c 0 H B c 0 c = A c 0 c G B c 0 c = A G B; A = A c 0 c = A c 0 c c 0 c = A c 0 0 c = A c 0 c = A 由以上七个定理可见, 闭包公理、闭集公理、开集公理、领域系公理、子基公理、基公理和内部公理是 彼此等价的。 参考文献 [ 1] BAUM J D. Elements of Point Set Topology[ M] . Prentice- hall, Inc, Englewood chiffs. NJ. , 1964. [ 2] M EISTNBERY. Topology [ M] . Holt , Rinehart and Winston , Inc. , 1974. [ 3] 吴东兴. 点集拓扑学基础[ M] . 北京: 科学出版社, 1981. [ 4] 儿玉之宏. 拓扑空间论[ M] . 北京: 科学出版社, 2001. [ 5] JAMES R M. 拓扑学[M] . 北京: 机械工业出版社, 2004. Seven definitions of topological space and their sameness CHEN Jian-chun ( Handan Teacher. s College , Handan 056002, China ) Abstract: Seven definitions of the topological space were proposed and their sameness were proved. Key words: topological space; definit ion; sameness ( 责任编辑 闫纯有) ( 上接第104 页) 4 结论 同一个样本标准化后的效益型指标观测值乘上指标的重要性权重后, 所得乘积对不同指标具有可加性, 求得的和就是样本的总效益值。根据样本的总效益值可对样本排序或进行聚类分析。当得到样本的指标观 测值后, 确定指标重要性权重向量是最关键的问题。指标重要性权重由专家拟定, 本文采用层次分析法 ( AHP) 确定权重; 由于AHP 依据的是/ 两两比较0, 这比把所有指标一起比较打分确定权重方法更合理。 参考文献: [ 1] 白雪梅. 中国区域经济发展的比较研究[ M] . 北京: 中国财政经济出版社, 1998. [ 2] 王莲芬, 许树柏. 层次分析法引论[ M] . 北京: 中国人民大学出版社, 1990. [ 3] 江苏省统计局. 江苏统计年鉴[ M] . 北京: 中国人民大学出版社, 2001. [ 4] 边肇祺, 张学功. 模式识别[M] . 北京: 清华大学出版社, 2002. Cluster analysis of economic construction in district based on weight coefficient WANG Qiang ( Hanshan Branch of Chinese Construction Bank, Handan 056000, China) Abstract: The paper sets up a value cluster model of district economic structure based on weight of index and puts it into analysis of city economic structure. Foundation of model: 1. Different index. s importance in the economic struc- ture is different, which is different in reflection of difference; 2. Index of district economic structure can be changed into profit. s index, after observation value of standardization index in a sample multiply its. relevant index. s weight , different index can be added. Compared with model of main factor. s analysis, the model has advantages, such as sim- ple structure, small quantity of calculation and obviously interpretable value cluster. Key words: index weight; structure of district economy; AHP; C- average value cluster ( 责任编辑 刘存英) 112 河 北 建 筑 科 技 学 院 学 报 2004年