，系统的对称性
是指其动态在一个或一族(坐标)变换下保持不变的性质 ．而一族坐标变换构成一个“群作
用 ．因此用微分几何方法来描述控制系统的对称性较为有效．
，
第199221年誊1第0 月， 期- ． ，- 信息与控制
．
In|o n n而 ∞l Vol_21．No．5
Oct ．1992
微分几何方法与非线性控制系统(5)
张嗣瀛王景才、 ， 刘晓平
一 杀j i孚皖自拴i． ，110006)
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／ ／
8 控制系统中的对称结构及相似结构
8．1 对称性及相似性
当前，对系统科学的发展，国内外都给予极大的关注，并致力于从不同的侧面、观点探索其
规律．
今考虑自然形成的控制系统．这种系统在其发展过程中，需要适应外界环境，并力求以最
佳状态运行，故应是。自寻最优 地逐渐演化而形成其结构．这类系统除具有很强的非线性和相
当的复杂性外，在结构上也有其明显的共性和特征 例如，对称性(人和生物)、相似性(社会、管
理等系统的组织结构具有相似性)以及其它可能的结构．
生物系统结构的相似性在我国针灸医疗系统中早被察觉并应用．人体经络系统的穴位分
布是由不同层次的与总体(人体)相似的子系统构成的．例如，人耳如卧婴，其上穴位与人体对
应 山东大学张颖清教授提出“生物全息律 ”，指出“生物体的任意相对独立部分与整体相
似”．钱学森教授认为张提出了 生物是若干相似的中间层次结构所组成的“(见[1]中的序)，但
张不研究系统的控制问题．也不研究社会、管理等系统．
仅就对称、相似性来看，一个自然的控制系统，似由具有对称结构和相似结构的不同层次
子系统组成的．若为“最佳”，那么，这种结构的优点何在?具有哪些性质与功能?各层次间如何
具体地构成以及作用机理如何?由功能不同的子系统所构成的大系统，又有何种不同质的功能
呢?⋯⋯
从上述观点出发研究控制系统，国内外似尚未见到．但是，确已有人研究过控制系统的对
称性0 ，关于极特殊的相似组合系统也有人讨论过0 ．
上面提到的问题都远未清楚，但若能获得某些实质性的规律，则由于这类系统的广泛代表
性，将有重要的理论和实际意义．本章的目的，是希望这一方面的研究能引起同行们的 趣和
关注，因此就控制系统中的对称结构及相似结构做一简要介绍．
8 2 对称结构的数学插述
要讨论系统的对称性，如何用数学语言来描述或定义系统的对称性是一个关键问题．我们
知道，对称性是事物经过某些变换后仍保持的不变性或部分不变性．一般说来，系统的对称性
是指其动态在一个或一族(坐标)变换下保持不变的性质 ．而一族坐标变换构成一个“群作
用 ．因此用微分几何方法来描述控制系统的对称性较为有效．在给出对称性定义之前先介绍
几个有用的概念
定义1(李群及李代数) 如果一个集合G满足：(1)是一个微分流形}(2)是一个李群，
且群运算是光精的，则此集合即为李群．在李群上，其所有左不变向量场( ． = )的集合
收穑日崩，1991—05—06
张舅曩苷·徽分几何方法与非线性控■ 幕坑(5)
在李括号意义下构成一个k( =dimG)维李代数，称它为李群G的李代数．又 同构于单位
元 处的切空间TeG，因此通常也称TeG为李群G的李代数．
定义2(群作用) 设M 是一个光滑流形，G是李群，若光滑映射 ；GXM~M 满足
( ， )= ， V ∈ M
( ^， )= ( ， (^， ))， V ∈ M ，g，h∈ G
则称 是李群G在M 上的作用．值得注意自辱是映射 ： 一 ( ， )是M 到M 上的微分同胚，
其逆映射为 一如果映射 ： 一 ( ， )是一一的，则称作用 在 处是自由的}如果 在
所有xEM 处都是自由的，则称 是自由的．
下面就来介绍对称性的概念．
定义3(对称性) 设三(B，M，，)是一个控制系统，0和 分别是李群G在B和M 上的
作用．如果对所有的gEG，均有
．
a
f= f a
a = a
则称系统三具有对称性(G， ， )．其中 是由B到 的投影映射．
此定义的一个很重要的特例就是对称性发生在状态空间上的．即当B=MXU时系统三
关于 ，及以=( ，，似。)： ，“)一( ， )，“)具有对称性，这种对称性被称为状态对称(G， )．
以上对称性概念是建立在全局意义上的．由于实际应用中，特别是关于非线性控制系统，
大部分问题均属于局部情形，为此下面给出局部对称性定义，即无穷小对称及无穷小状态对
称．
定义4(无穷小对称) 设三(B，M， 是一个控制系统，0和 分别是李群G在B和M 上
的群作用．如果对于每个 。EM，存在 。的一个邻域 及E>0，使得
丁( ) a，(6)= ，(( ) 6)
对所有的bE ( )，ltI<e及e∈TeG(1} <1)均成立．则称系统=具有无穷小对称(G，
，
)．其中TeG是G的李代数，而 · 是TeG上的某一个设定范数，而丁( ) 表示( )
的切映射．( ) 及( ) 分别是无穷小生成元 及 的积分曲线，这里
』
( )= (exp ， )If-口
它满足[ ，e幻=一[e ， 。e ， ∈TeG．
定义5(无穷小状态对称) 设三(M×U，M，，)是一个控制系统， 是李群G在M 上的作
用．如果对每个 。∈M，存在Xo的一个邻域 及t>0，使得
丁(e ) a f(x，“)= ，((e ) ，“)
对所有的 ，“)∈ -1( )，ltl<E及 ∈nG(1l e ll<1)均成立．则称系统=具有无穷小状淼
对称(G， )．
8’3 对称系统的结构
为了能从直观的角度一眼看出对称系统的结构。首先分析一个倒子
1 = ： I '
l 一 ‘
=一 1／( + 1) + ”1，
．一二 l／(xi+ 1) 。+ “l
信皇与控■ 1992年|I 2l鲁|I 5期
一
[
而选以tB-"*B为
一
0
易证 [ 叫
因此，该系统具有对称(G， ，币)．现在引入反馈
[ 币 ]
，( ， )
容易验证
a
●
( + 1)
( + i)
．
1
’( + )
O
0
1
：
[ 一，{I
+面亡
]
0
0
一而
即系统具有状态对称(G，币)．若选坐标变换
i一 1siny,
，一 ，cog乳一费 n ”
+ c ·
则原系统(8．1)变为
【 一 ／y}一1／ 4-
．一 ，／y；
从此系统可以看出， 已从系统中分解出来了，即它不影响( ，抑， )．从此倒中可归纳出；具
有对称(G，币， )的系统可经反馈变成具有状态对称(G，币)的系统，而且有状态对称的系统又
可经状态变换进行结构分解．事实上可利用微分几何语言证明；在一定条件下，这个结论是普
遍成立的．关于全局对称性情况的证明可参看E23．下面就给出局部情形的证明．首先给出如下
引理．
张一瀛等r 分几何方法与非线性拄一秉境(5)
引理1 如果在z。处存在，不变的h维非奇异对合分布△，则存在局部坐标( ” )使
系统 一，( ， )有如下分解结构
； = (一， ，“) (8．2a)
一
( ，“) (8．2b)
其中 一( l，⋯，z．)， 一( ⋯，⋯， ．)．
证明由Froben．0us定理可知，存在局部坐标 使得△=sp{矗，杀，⋯， }．把系统
表示在 坐标中得
一
( ‘， ， )， 一 ， ，“)
因为△是，不变的，即[，，△]c△所以有
，]
[，'蠡]一 ，．．·，
J
由此得 _ 0， ⋯，^
引理得证．
对于具有无穷小状态对称(G， )的控制系统，这样的，不变的非奇异对合分布一定存在
且维数为dimG=k．这就是对称系统的主要特性之一一．它决定了对称系统具有更简单的结构．
现在给出这样的分布．为此定义；
△H= span{ I ∈TeG，i= l’．．·，h，且} ’．．·， 是线性独立的)
当 在 处是自由的，则分布△ 是 点的非奇异对合分布．且为， 不变的，其维数为h．
首先，由 在z处自由知：存在z的领域 ，使 ，·)：G一』lf是到域上的微分同胚，因
此 ． ( ，·)是同构．由此可知若 ，⋯， 线性独立， ( )，⋯， ( )也线性独立，所以
dim△ ( )I E =dimG=h，即△Ⅳ为h维非奇异分布．
其次由 ，器]=一[ ， 可推知：V} ∈ ，} ∈△ 有
～ ～
● ●
[} ，} ]一[Σ ( ) ，Σ ( )岛]一Σ Σ ( ) ，6，( ) ]
●一l J一1 ⋯1 l
● ●
一
Σ Σ{ ) )[丰0，轧]+d ( )·L bJ(x)· 一6，( )·工‘ ( ) )
‘= 1
j ● ● j
= 一
Σ Σ ( )6，( ) ‘， ] +Σ[Σ4．( )工 6，( )]
r一1 J l J— l I一1
● ●
一
Σ[Σ (z)工‘ ( )] (8．3)
·一I J— I
由于 ， ∈TeG，因此[ ， ]ETeG即
j
，
} ]=Σe
J。1
●
由此可推出 ， 一2_iC ∈△ ，所以由(8．3)得[铀，} ]∈△ ，即山，是对台的．
最后证明△ 是，不变的，由李括号及无穷小状态对称的定义知
信
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