Wednesday, March 6, 2013

时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间,即Lagrangian只是速度的函数. 由于空间各向同性,Lagrangian不依赖于速度矢量的方向,只能是速度大小的函数,也就是说Lagrangian是速度平方的函数

 关于惯性参考系中自由运动的质点,L. D. Landau在其《力学》(中译本,高等教育出版社,2007)中说:“我们立即可以得到其Lagrangian形式的一些结论. 时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间,即Lagrangian只是速度的函数. 由于空间各向同性,Lagrangian不依赖于速度矢量的方向,只能是速度大小的函数,也就是说Lagrangian是速度平方的函数.”“由 Lagrangian不显含质点的径矢可知……速度是常矢量.”“可见,在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变. 这个结论包括了惯性定律的内容.”




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[转载]沈惠川、沈励:《经典力学题谱》跋

已有 1963 次阅读2011-1-5 08:34|个人分类:科普文章|系统分类:观点评述|关键词:做题
学生做题,是天经地义的事,是为了理解世界、掌握知识必不可少的一个环节,是不得不迈越的一道坎儿.

我在上海市位育中学(当时曾改名为“上海市第51中学”,著名华裔物理学家田长霖(1935-2002)是我们位育中学1947级的校友)念书时,就喜欢解题,尤其是几何题和代数题(我曾在班上当过几何课代表和代数课代表,甚至当过语文课代表,记得那时班上成绩最好的是胡幼华和王景初两位女生,而不是我这个课代表). 有空的时候,就一个人(或与邻居的小伙伴如蒋仁达、张闯、经重晖、钱凯等)在弄堂的水泥地上用粉笔之类的东西边画边算;许多难题就是在那种场合被解决的. 第二天去学校,又与吴震家(现在定居于澳大利亚)、马斌华(当时也是数学课代表)、沈如林(现在是杨森公司的副总裁)等同学讨论新的习题. 当时,我的原则是“解题不过夜”、“当天的问题当天解决”,记得有一二次为了解答难题一直搞到午夜或后半夜才去睡觉. 进入清华大学之后(当时担任数学课代表和理论力学课代表),有些力学方面的“大作业”不可能一天解决,才改掉了那“熬夜拼题”的习惯.

记得在清华大学学习“数学分析”时,用的教材是前苏联G. M. Fihtengoltz的《数学分析原理》(中译本,人民教育出版社,1959),配的习题集是有4462道习题之多的前苏联B. P. Demidovich的《数学分析习题集》(中译本,人民教育出版社,1958). 这4462道习题,有些相当难解. 我花了一年半时间,牺牲了每天的午休时间(也许对不起还影响了钟勇生、金志胜、何华欣、贾鸿藻、赵国兴等同寝室的同学们的休息),终于挨个儿全数做完,并满满当当工整地抄在8厚本软皮精装的日记本上. 这个中三味,只有亲身经历过的人才会有所体会. 由于8厚本软皮精装日记本的头一本中的插页上有我的几首“歪诗”,因此在文革期间这头一本就被我弟弟沈惠申当废品卖掉了,余下的7本后来也被我自己处理了(因为已不再完整). 交通大学若干年后出版了一套《Demidovich数学分析习题集解答》,孙和成同学(现在定居新加坡)和陈利颐同学(现在上海交通大学)对我说:“早知如此,你就不该当废纸卖掉!说不定这套《习题解答》就是你的!”

除了这4462道数学分析习题外,在清华大学期间还解答了不少其他物理学方面的习题(少说也有近千道),但可惜的是都没有保存下来. 如能保存下来,也许同样伟为壮观.

1977年到中国科学技术大学当上了教师. 教师解题,是份内的事,是为了“传道、授业、解惑”之需要,是为可能的“改造世界”创造初始条件.

实际上,S. Flügge的《Practical Quantum Mechanics》(Springer-Verlag,1974;中译本《实用量子力学》,人民教育出版社,1981)和久保亮五(R. Kubo)的《Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions》(North-Holland Pub. Co., Amsterdam,1968;中译本《热力学:包括习题和解答的高级课程》,人民教育出版社,1982)、《Statistical Mechanics: An Advanced Course with Problems and Solutions》(North-Holland Pub. Co., Amsterdam,1965;中译本《统计力学:包括习题和解答的高级课程》,人民教育出版社,1985)等教科书,就是一本本习题集. 说明S. Flügge和久保亮五等人在上课前或上课时,都亲力亲为解答了不少习题. 要当好一个称职的教师,多解习题是必要条件. S. Flügge和久保亮五等人就是榜样.

我在中国科学技术大学任教期间,解答得最多的,除了张量(2厚本)和广义相对论(1厚本)方面的练习题外,就是分析力学方面(3厚本)的和热力学统计力学方面的(已有《热物理习题精解(下)》一书出版,科学出版社,2004)习题. 分析力学方面的3厚本习题解答经补充整理后,我重新装订成册,日后成了我上课的本钱(如吴大猷先生所说的). 个别学生还来我家里借去这“巨册”习题解答以作复印. 科大学生对我所教授的“理论力学”或“经典力学”课程评价相当好.

国内的大学,在分析力学、相对论、热力学这三门最重要、最基本的物理学学科的教学方面,都舍不得花学时(有理由指出,也许很多物理学教师本身对相对论都不是很清楚). 在清华大学念书时,分析力学、相对论、热力学这三门学科的教学都是一晃而过(实际上是虚晃一枪),真正学到手的东西少之又少. 其他大学也差不多. 到了中国科学技术大学后,当时为了帮助某些“老三届”报考硕士研究生以及培训新来报到的年轻教师,科大教务处请力学系的何竹修老师(他是清华校友)重新讲解分析力学约36学时,我和清华校友(比我高两届)张家渠-丁凌仙夫妇(他们现在已定居在加拿大)都去听了. 张家渠后来报考程久生老师(也是清华校友)的研究生,他说:“全部理论力学题,我都是用分析力学方法来解的!” 张家渠的这番话,对我当时自主刻苦学习分析力学是一个巨大的推力和鞭策. 何竹修老师的讲稿是他自己准备的(他的矢量符号是按印刷体书写的,当时有点不习惯),但蓝本是南京大学周衍柏的《理论力学》,习题也是周衍柏书上的.

所以,我解答的第一批分析力学习题来自周衍柏的《理论力学》. 当时,我的宿舍对门住的是叶取源(他后来到上海交通大学当上系主任、副校长). 叶取源曾写信给周衍柏,说周书的“第一版比第二版强”,并向周衍柏索讨过其书第一版. 周衍柏的第一版,我后来在上海淮海中路新华书店买到了. 我在解答周衍柏《理论力学》书上的习题时,有时与叶取源作过讨论. 叶取源学周衍柏《理论力学》的时间比我早.

当时国内通用的《理论力学》教材还有梁昆淼的《力学》(下册). 梁昆淼可以说是国内第一个将《力学》和《理论力学》“打通”教授的人. 梁昆淼的书,总的说来还是有特色的;不过,他的《力学》(下册)中关于“非完整约束”的Chetaev条件的说法以及将Lagrange方程的“广义能量积分”等同于系统的Hamiltonian的说法,是完全错误的. 后来,有些作者延续了梁昆淼的这些错误说法.

我后来所解答的分析力学习题有部分来自D. T. Greenwood的《Classical Dynamics》(Prentice-Hall,Inc.,1977;中译本《经典动力学》,科学出版社,1982)、H. Goldstein的《Classical Mechanics》(2nd ed,Addison-Wesley Pub Co.,1980;中译本《经典力学》,科学出版社,1986)和吴大猷先生的《古典动力学》(科学出版社,1983);也有一小部分来自其他教科书;另有一大部分则是在教学过程中自编的,或者是将已知的习题进行扩展而得到的. 实际上,只要了解分析力学的基本结构、懂得分析力学的程式语言,解答这些习题都是十分简单的;个别的疑难,都是概念模糊所致. Greenwood书上的习题不是很多,Goldstein书上的习题没有给出答案. 除此之外,Greenwood书上和Goldstein书上的某些讲法(例如关于所谓的“推广的Hamilton原理”)也是有问题的,吴大猷先生在给我的信件中已经指出了.

分析力学中最关键的就是首先要正确写出问题的Lagrangian或Hamiltonian;在Lagrangian或Hamiltonian二者之中,又以Lagrangian更为根本. 为了正确写出问题的Lagrangian,必须首先建立惯性坐标系,其次以约束条件选取问题的广义坐标,然后用广义坐标和广义速度写出正确的 Lagrangian. 如果Lagrangian中仍有约束,则对应的Lagrange方程也必须有所改变. Lagrangian写对之后,首先看一下有无“可遗坐标”,其次找一下“广义能量积分”,然后再由Lagrange方程得到问题的运动微分方程. 或者,由问题的Lagrangian根据Legendre变换写出问题的Hamiltonian,其次看一下有无“可遗坐标”、找一下“广义能量积分”,然后由Hamilton“正则方程”得到问题的运动微分方程.

关于惯性参考系中自由运动的质点,L. D. Landau在其《力学》(中译本,高等教育出版社,2007)中说:“我们立即可以得到其Lagrangian形式的一些结论. 时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间,即Lagrangian只是速度的函数. 由于空间各向同性,Lagrangian不依赖于速度矢量的方向,只能是速度大小的函数,也就是说Lagrangian是速度平方的函数.”“由 Lagrangian不显含质点的径矢可知……速度是常矢量.”“可见,在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变. 这个结论包括了惯性定律的内容.” Landau接着研究了“自由质点的Lagrangian”,并指出“Lagrangian在速度无穷小变换下满足Galileo相对性原理”. Landau这些由时空特征直接得到自由运动质点的Lagrangian的观点应当引起重视,因为分析力学不仅仅是数学或力学,它首先应该是物理!这就是所谓“Landau风格”!Landau的书之所以好评如潮、经久不衰,不是没有道理的. 当然,Landau的《力学》比起他的另外8本书(《弹性理论》除外)显得单薄了些,其中更是没有多少习题可资利用.

除此之外,在分析力学中还有一些技巧性的问题,例如正则变换、Poisson括号的计算、Hamilton-Jacobi理论、“化动量正则变换”和“经典对易子”、Liouville方程的精确解等,都可以在解题过程中加以熟悉. 其实都不难. 值得一提的是张量计算在分析力学中的应用:由于引入了张量运算规则,使得某些复杂的Poisson括号的计算突然变得十分简单、方便起来,它的应用前景也突然变得宽广起来.

当然,学习过程并不仅仅是解题过程,即使是思想十分开放的解题过程也还是远远不够的;所谓“学问”,就是有“学”也有“问”. 最好能有几个志同道合的“谈话对象”经常“切磋”、“交流”. “切磋”、“交流”也可以是很激烈的.(如N. Wiener在《控制论》一书的“导言”中所说的那样:“宣读者必须经受一通尖锐批评的夹击,批评是善意的然而毫不客气的. 这对于半通不通的思想,不充分的自我批评,过分的自信和妄自尊大是一济泻药,受不了的人下次不再来了. 但是,在这些会议的常客中,有不少人感到了这对于我们科学的进展是一个重要而经久的贡献.”)我在中国科学技术大学任教时,就曾有过几个“谈话对象”,例如汪秉宏、张之欧、陈银华、完(颜)绍龙、张鹏飞等人.

孔夫子说:“学而时习之,不亦乐乎!”(《论语》第一篇/学而)

若能认真解题,并能有所顿悟,则必然“下士闻道,大笑之;弗笑,不足以为道!”(《老子》第41章)

沈惠川 谨识
2008年5月10日
于中国科学技术大学

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