量子力学将这种相位的变化与粒子的动量联系在一起：动量 = 平移单位距离所积累的相位。而对于构成流体微观自由度来说

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Everett的日记

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从涡旋到电与光的演生

2013-04-30 21:10:10

（一）经典涡旋的动力学

涡旋是一种在流体中常见的运动形式，它指的是在一定范围内流体围绕涡旋中心做持续性的旋转流动。涡旋广泛地出现在各种尺度上，包括木星上的气旋和咖啡杯里的漩涡。

木星上的涡旋与咖啡杯里的涡旋

由于涡旋可以在流体中维持一段时间，我们可以把它看成一种有限寿命的粒子。我们可以在咖啡杯里制造涡旋：用匙子在杯中划过，往往就会在尾流上激发两个反向旋转的涡旋。如果找一个闲暇的下午，坐在咖啡厅里观察一下涡旋的世界，就会发现以下一些有趣的物理：(1) 涡旋按照其旋转方向可以分为正涡旋（逆时针旋转）和负涡旋（顺时针旋转）两种，就好像两种电量相反的电荷一样。 (2) 一个孤立的涡旋总是随着背景流体一起流动，没有惯性。也就是说，涡旋是无质量的。(3) 一对反向旋转的涡旋总是束缚在一起平行运动（比如匙子后面的两个涡旋会一起脱离匙子，并顺着尾流运动）。 正负涡旋可以互相湮灭，并释放旋转的能量（一般是通过粘滞耗散掉了）。这种行为有点类似于正反夸克构成介子，夸克湮灭以后，介子可以衰变成光（释放能量）。

匙子划过激发的正负涡旋对，及其受力分析

涡旋的这些特点暗示我们可以把涡旋类比为某种携带“电荷”的无质量粒子。这里所谓的电荷，就是涡旋量[;\Gamma;]，它衡量涡旋的旋转程度的大小，并正比于流速场[;u;]在包围涡旋的环路上的线积分[;\Gamma=\oint u\cdot\mathrm{d}l;]。这个定义与静电学中电荷的高斯定理非常相似，都明显地带有拓扑的风格：也就是说环路可以形变，但只要不扫过涡旋，涡旋量就不会有差别。 这种拓扑的定义也表明涡旋也是全局的概念：尽管涡旋的中心可以看成点状的粒子，但涡旋的意义却蕴于中心以外环流的完整样式之中。

如果说涡旋是一种演生的电荷，那么涡旋之间是否也像电荷一样同性相斥、异性相吸呢？答案是肯定的，同号涡旋之间确实存在类似于静电作用的斥力，而相反涡旋之间则表现为引力。这个演生的静电作用源于流体的Bernoulli原理：同一条流线上，流速大的地方压强小。

一对涡旋附近的流场

对于一对同号的涡旋，流速大的地方在涡旋的外侧，因此受到的压力向外；而对于一对异号的涡旋，流速大的部分在涡旋之间，因此受到的压力向内。只不过涡旋之间的这种静电力并不遵从我们熟知的平方反比律，而是遵循一次方反比律[;F_E\propto\Gamma_1\Gamma_2/r_{12};]。这是二维与三维世界的一个重要差别。因为涡旋生活在二维的世界里，演生的电场线也只能在两个空间维度上散开，这样电场强度就不会衰减得像在三维空间中那么快，结果就得到一次方反比的静电作用。因此，我们看到涡旋不但可以看作演生的电荷，而且它们之间的相互作用也满足二维世界的Coulomb定律。

如果两个相反涡旋之间具有所谓的静电吸引，那么它们为什么不像双星一样相互绕转呢？这是因为除了演生的电力[;F_E;]，涡旋还受到演生的磁力[;F_B;]。也就是说，当涡旋在流体中运动的时候，会受到垂直于运动方向的偏转力。它的起源与香蕉球的原理相同（旋转的球周围也存在涡旋，从而导致球的轨迹偏离直线），其效果就像电荷在均匀磁场中运动会受到Lorentz力[;F_B=v\times B;]一样。所以对于涡旋来说，流体背景就像一个均匀的磁场一样，其磁场强度正比于流体的密度。当作用在涡旋上的演生电场力和演生磁场力平衡的时候，就出现了我们看到了咖啡杯里一对相反涡旋在一起平行运动的现象（见上文图中的受力分析）。

我们看到电场和磁场都出现了，那么会出现电磁波吗？答案仍然是肯定的。如果把涡旋视为演生的电荷，那么演生的电磁波就是流体中的声波（密度波）。可以证明在二维空间中，电磁波的Maxwell方程与声波的Euler方程在形式上是完全对偶的。电动力学中的电磁感应就等价于流体力学中的流守恒方程：电磁波中电场和磁场交互激发的过程，相当于是流体中流动导致密度积累，而密度积累又驱动新的流动这样的过程。综上所述，我们可以建立如下类比关系：
涡旋动力学 = 电动力学
涡旋 = 电荷
流体密度 = 磁场
流体速度 = 电场
声波 = 电磁波

通过以上的讨论，我们显示了（二维空间内）涡旋在流体中的行为就像电荷在电磁场中的行为一样。涡旋其实就是电荷演生的一种最简单的模型，而流体扮演的角色就像人们曾经构想的以太一样：光的媒介。

（二）量子流体与量子涡旋

现在，我们需要从经典走向量子。因为在现实世界中，电荷往往是量子化的，也就是说存在最小的单位电荷（比如电子电荷）。为了从涡旋的角度来理解这件事情，我们需要涉及一点点量子力学。量子力学的基本原理就是波粒二象性：波动可以视作粒子，而粒子都有波动的行为。这里的波动是一种波函数相位随空间变化的运动形式，而量子力学将这种相位的变化与粒子的动量联系在一起：动量 = 平移单位距离所积累的相位。而对于构成流体微观自由度来说，它们的速度与动量成比例，因此也就与相位的空间梯度成比例，可以表达为[;u\propto \nabla\theta/2\pi;]。也就是说，在量子流体中，每个涡旋的背后实际上是一个围绕涡旋中心旋转而改变的相位分布。

不同的颜色代表不同的相位，量子流体的流速与相位的梯度成正比

由于波函数的单值性（也就是说一个点只能有唯一确定的波函数取值），这就要求流体环绕一周以后相位只能相差[;2\pi;]的整数倍（因为[;2\pi;]表示相位转过一周，波函数恢复原来的取值），也就是说涡旋量只能是一个基本单位的整数倍。这个最小单位就是环绕一圈相位改变一周的涡旋，称为量子涡旋。量子涡旋是量子流体波函数的拓扑奇异点，围绕这些奇异点，波函数的相位将有一个周期的改变。在量子流体中，涡旋只能一个一个单位地激发，而比量子涡旋更小的涡旋将导致波函数的出现割线而不被量子力学所允许。按照我们之前所做的类比，涡旋量代表演生的电荷量，那么量子涡旋就提供了关于电荷量子化的一种自然的理解：如果涡旋必须一个一个激发，那么电荷也是一样的。这就在某种程度上解释了电荷存在基本单位的量子力学原因（至少对二维空间的情形而言）。

量子涡旋的中心是由整个背景的相位分布的图样决定的，也就是说关于涡旋在哪里的信息实际上是散布在整个量子流体的背景中的。这是一个令人惊讶的观念，也就是说粒子的定义不来自于自身而来自于整个真空的集体作用。在还原论的观念中，真空是舞台，粒子才是舞台上的主角；而在演生论的观念看来，真空不但积极地参与了粒子建构，而且实际上操纵着粒子的行为。而粒子本身的意义反而变得模糊，或者说粒子只是作为真空的运动模式的物化体现。而这种运动模式的具体规律则由真空的序（组织方式）决定，这也就是凝聚态物理的核心观念：序决定激发，真空决定粒子。

（三）奇异弦与弦网凝聚

为了更加明确地看出量子涡旋的非局域本质，我们需要提取量子流体相位分布背后所隐含的结构。下图显示了包含有许多量子涡旋的相位分布，其中以+/-标记涡旋的符号。

我们将所有的零相位线标出，并且以箭头标明方向（从正涡旋发出而收于负涡旋）。可以看到这些线总是连接一对正负涡旋（或者延伸到无限远去），它们就是量子涡旋之间看不见的奇异弦。在奇异弦的刻画下，原先光怪陆离的相位分布背后的结构立刻变得清晰明了： 每次跨过奇异弦，相位就变化一周，至于是增加还是减少取决于奇异弦的方向与跨越方向之间是右手还是左手关系。在这个图像下，量子涡旋获得了一个更加深刻的含义：它们是奇异弦的末端！ 隐藏在相位结构中的奇异弦明确地表达出了涡旋的非局域本质：它们是量子流体的拓扑激发。

将粒子理解为开弦的末端，这种思路始于超弦理论，并且产生了深远的影响：物理学不再局限于对点状对象（粒子）的研究，而是拓展到了线、面等更加高维的延展几何对象（比如弦、膜等）。而从量子涡旋到奇异弦的这一拓展并不仅仅是理论家的一种数学游戏，它代表了从“面向对象”的物理学到“面向关系”的物理学这样一种风格上的转变。在面向对象的物理学中，我们关注的是流体中看得见的一个个涡旋；而在面向关系的物理学中，我们强调的是涡旋之间的一种看不见的关系（奇异弦），而且更进一步，我们甚至可以而且应该用这个关系来定义涡旋。也就是说，涡旋是作为奇异弦的末端存在的！是奇异弦的关系定义了涡旋的意义。

对于由涡旋演生电荷来说，奇异弦就相当于演生的电场线：电荷是作为电场线的末端而存在的。量子化的电场线就给出量子化的电荷。这些电场线在量子涨落的作用下，不断地在空间中扭动变形，而且真空中也充满了涨落的电场线闭弦，这种状态被称为弦网凝聚，对应于我们熟知的解禁闭的电动力学。涨落的电场线同时也传递了电荷之间的相互作用，这等价于在量子场论中由光子传递的电磁相互作用，因此电场线的涨落模式就是演生的光子。研究还表明，电荷的费米统计也可以由弦网凝聚自然地给出，从而得到演生的电子。如果假定我们的真空是弦网凝聚体，那么电子的光子就有一种很简单的图像：光子是弦的震荡，而电子则是弦的末端。这样看来，宇宙的图景就像一锅巨大的面汤一样充满了流动的面条。我想飞面神教的信众们也许会很欣赏这样的看法。

量子电动力学与（量子）弦论的这种等价关系被称为规范-弦对偶。而另一方面，某些弦论的经典动力学自然地是引力理论，就像广义相对论那样。这实际上就建立了规范理论和引力理论的一种对应关系，比如AdS/CFT对应就是一个广为人知的例子。特别是最近几年来，这种对应在凝聚态物理学领域也激起了广泛的兴趣，人们希望通过AdS空间的引力理论，来理解其边界上强耦合的规范动力学。在历史上，高能物理曾经多次与凝聚态物理携手共进，每一次都取得了辉煌的成就，比如对称自发破缺以及重整化群理论的发展，那么在今天蓬勃兴起的AdS/CFT对应会不会是他们第三次成功的合作呢？让我们拭目以待~

eynman的路径积分方法最好理解。系统从A到B，可以沿着任何路径演化过去，每种路径对应的几率振幅是exp(iS)，求和之后得到总的振幅，就是AB两点格林函数，或者关联函数。这个关联函数对时间在复平面内做一个转动，变成虚时，就成了统计力学里边的配分函数。不同种类的粒子，和不同的边界条件，对应的S的形式不一样，就得到不同系统的配分函数

谁学得懂文小刚的 量子多体理论

来自: 589124 2010-03-13 23:00:45

我现在在上量子多体理论这门课，教材是文小刚的，但几乎听不懂，推导太复杂了！我是学凝聚态物理的，量子场论只听过一丁点，难啊！我的研究方向是轨道物理，属于强关联方面的 ，偏向实验方面的定性分析，有谁是做这个的，一起交流一下。

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用这种近似方法计算体系的能量和波函数，可作得H2的电子分布的等密度线和H2能量曲线。

（概念：电子在原子内还存在一种能呈现磁性的运动方式——绕着自身的轴作“自旋”运动，

 且自旋角动量子数只可取1/2 或-1/2，故可说其有两个自旋方向：正或反。）

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認識電磁波

本校孝章樓、惇敘樓變電站與基地台電磁波，95年5月檢測結果為0.2-8.8毫高斯(請詳見本網頁照片)，遠低於行政院環保署所訂833毫高斯之標準，請本校家長與全校師生安心。

您了解「電磁波」嗎？ 惇敘樓變電站電磁波檢測 從科學的角度來說，「電磁波」是能量的一種，凡是能夠釋出能量的物體，都會釋出電磁波。 　　電與磁可說是一體兩面，變動的電會產生磁，變動的磁則會產生電。電磁的變動就如同微風輕拂水面產生水波一般，因此被稱為「電磁波」，而其每秒鐘變動的次數便是頻率。當電磁波頻率低時，主要藉由有形的導電體才能傳遞；當頻率漸提高時，電磁波就會外溢到導體之外，不需要介質也能向外傳遞能量，這就是一種輻射。舉例來說，太陽與地球之間的距離非常遙遠，但在戶外時，我們仍然能感受到和勳陽光的光與熱，這就好比是「電磁輻射藉由輻射現象傳遞能量」的原理一樣。 　　電磁輻射是傳遞能量的一種方式，輻射種類可分為三種： 游離輻射，有熱效應的非游離輻射，無熱效應的非游離輻射。 和電磁波「朝夕相處」 　　在我們的生活環境中，「電」和「磁」的現象無所不在，除了大自然的太陽光和閃電外，舉凡各種電器用品，如電視、微波爐、電燈泡、電腦等，甚至廣播電台、電視台、業餘無線電台、無線電計程車、警用無線電台或衛星行動通信等之無線電磁波，都存在我們的生活環境中，所以我們在享受便利生活的同時，也正和電磁波「朝夕相處」，「和平共存」呢！ 各項設備產生電磁波頻段 頻段 設備 50Hz至5KHz 電力公司所使用之高壓輸配電線、變電所 家電用品：電磁爐、吹風機、電腦、電視機、洗衣機、電毯、冷氣機、檯燈、電刮鬍、錄放影機。 5KHz至 500MHz 廣播電台：調頻廣播、調幅廣播。 無線電及電視訊號：AM 收音機上之天線。 500MHz至 50GHz 雷達、微波爐。 50GHz至 2.4×1015 Hz 可見光：太陽光、加熱鎢絲。 紅外線：夜視鏡、太陽光、烤箱、煉鋼、電燈泡、烘烤麵包機。 電磁波 V.S 人體健康 惇敘樓室二忠教室電磁波檢測 生活中的各種電磁波是否對人體有害呢？其實，電磁波對生物的影響很複雜，每種電磁波因為來源不同而產生不同頻率，不同強度組合的電磁波，其對人體的影響程度也互異。 　　一般而言，人體是極差的非游離電磁波接收體，只要電磁波強度符合標準，多不會超過人體可接受的安全範圍。 　　小平是個活潑好動小男孩，他看到了書桌上的檯燈，覺得亮亮的燈泡好神奇喔！小平用手輕輕碰觸燈泡......好燙！他大哭起來，趕忙跑來的媽媽既心疼又生氣，她不停地告訴小平：「要保持當距離，才不會又痛痛喔.........」 認識「基地台電磁波」 惇敘樓室二忠走廊電磁波檢測 基地台主要由天線發射電磁波，我國交通部電信總局在規範基地台電波發射功率之同時，已經考量國內住宅人口較國外密集等因素，將美國管制值降低一半，即天線的有效發射功率不得高於500瓦(在美國為1000瓦以上)。 　　室外型基地台傳送信號至室內時，容易於室內產生通訊死角，因此針對室內或小範圍通訊需求之區域，必須使用室內型微細胞基地台或增波器，因此二者的天線電波發射功率比室外型基地台小幾十倍甚至百倍。 　　事實上，基地台天線如架設在建築物時，傳送到地面的電磁波，其功率遠低於安全標準！此外，基地台天線的位置和建築物的屏障作用，也能大幅降低電磁波的強度： 　　天線背面的電磁波原本就低於天線正面數百至數千倍，再加上建物屏障作用，最少能降低1000倍以上，而小於1uW/cm2，根本可以完全忽略。 天線所附著的建物後方或下方部位，因為不在電磁波傳遞方向上，其電磁波功率比天線正面低數百至數千倍。 基地台電磁波 絕非游離輻射 電磁波的能量和頻率高低成正比。當高能量電磁波把能量傳給其他物質時，有可能撞出該物質內原子、分子的電子，使物質內充滿帶電離子，這種效應稱為「游離化」，而造成這種游離化現象的電磁波就稱為游離輻射，包括伽瑪射線、Ｘ光、紫外線等。 　　進入可見光頻率以內的電磁波均及紅外線均無法造成游離化效應，稱為非游離輻射。 　　我們必須澄清一個觀念，輻射傷害是指游離輻射（游離輻射會與身體內的物質搶奪電荷，產生離子破壞生理組織），非游離輻射則不具游離化能力，不會產生有害人體的自由化離子，大量非游離電磁波只會造成溫熱效應，就如同做日光浴或站在燈泡下方一般，只要不在短期內傳太多能量給人體，生理組織就能加以調控，所以在安全範圍下長期接受非游離電磁波，並不會產生累積性傷害。 　　大哥大的頻率介於電視、電台與微波爐之間，屬於非游離電磁波，不論是基地台或手機，都不會放出游離輻射波。 「基地台電磁波」與人體健康 孝章樓變電站電磁波檢測 基地台會發射電磁波，但是不會釋放「游離輻射波」。基地台的電磁波是用來載送訊息，雖然頻率同屬微波，但所需強度極低，所以不會有熱效應，也不會影響環境溫度或傷害生物。 　　 電信總局在規範基地台電波發射功率的同時，已經考量國內住宅人口較國外密集等因素，因此訂定了國內基地台最大有效等向發射功率比美國更為嚴格，為美國規範值的一半。 厝邊好鄰居--大哥大基地台 　　市區基地台通常是呈長條狀具方向性的扇形天線(Sector Antenna)，或者是圓柱形不具方向性的全方向式天線(Omnidirectional Antenna))。 　　目前最普遍的大哥大網路系統為「蜂巢式系統」，顧名思義，每一個通話地區依照容量及領域的不同，被劃分為一塊塊小區域，整體看來，這些小區域像是蜂巢般被緊密地串連起來，當您撥電話時，電波訊號會直接傳送至每一小區域的基地台，透過基地台傳送至電信交換局，最後再傳送至受話者的電話中。 　　在上述過程中，基地台扮演著關鍵性的角色，其數量，位置與通話品質息息相關，因此，如何正確及尚地架設基地台，一直是電信工程師們努力不懈的課題。 國內大哥大基地台的安全性無虞 孝章樓室一忠走廊電磁波檢測 依據美國C95.1-1996規範，基地台到達附近區域的電訊強度必須小於550mW/cm2，而一般基地台為避免相鄰基地台間相互干擾，均刻意降低天線功率。以國內基地台為例，在大樓屋頂所產生的電訊強度約僅0.5mW/cm2左右，遠比安全規範之千分之一還低。 　　經交通部電信總局委託研究單位測量結果顯示，國內基地台的最大電磁波輸出功率密度值為每平方公分0.000193毫瓦，遠低於美國的管制值0.55毫瓦，只有其三千分之一，因此國內基地台安全性相當高。 　　事實上，我國民營基地台使用之行動電話系統係屬於歐洲規格，在歐洲先進國家均已普遍使用多年，近年來美國亦廣泛使用。這些先進國家對基地台設備向來有嚴格的檢查規範，而國內業者之基地台設備均自歐美進口，也都符合國際安全標準。 國際組織對「電磁波」的相關評論 　　世界健康組織(WHO)人體暴露於極低頻的電磁波中，不會產生生理影響。美國國會技術評核室(OTA)許多實驗結果發現，是否暴露在電磁波之下，對生物並無差異。 　　英國國家放射線防護委員會(NRPB)無線電波沒有足夠的強度損傷人體基因組織(DNA)，也不會引起癌症。 　　美國南加州電力公司(SCE)一項針對36,221位員工所做的調查顯示：這些員工雖然比一般民眾接觸較多的電磁波，但整體受訪者在白血病、腦瘤、癌症的罹患機會上與一般民眾相同，並沒有比較高的傾向。 　　美國聯邦通訊委員會(FCC)與電機電子工程學會(IEEE)這兩大組織在1990年代開始支援一些回顧性研究之後發表陳述：迄今尚無有力的科學證據能證明，常規使用的非游離電磁波會危害人體。 　　美國勞工部(DOL)沒有確信的證據支持「暴露在家電器具、電力線及顯示幕等所釋出的極低頻電磁波下，會有害健康。」瑞典國家電力安全局(NESB0於1994年發表電磁場資訊小冊，說明尚無法證實磁場對人體是否有影響。 國際組織對「基地台」的相關評論 　　美國貝爾實驗室於1995年提出聲明：即便是在各種基地台功率最大極限下，基地台附近群眾所能到達的範圍內，其電磁波功率最少小於各種安全規範687倍以下，因此大眾根本不必擔心。 　　美國國家研究評議會該組織統計十七年來五百多種不同主題後表示，沒有明顯可信的證據顯示基地台的電磁波會對週遭居民造成傷害，當地居民罹患癌症比例、婦女生產率、嬰兒成長狀況、學習能力與其他地區相較並無明顯差異。

brain01 脑电波 β波，频率为每秒14－30次

电磁波+脑电波

   2009-07-26 06:04 星期日

　　
　　电磁波+脑电波
　　
　　
　　电磁波可大致分为：
　　（1）无线电波——波长从几千米到0.3米左右，一般的电视和无线电广播的波段就是用这种波；
　　
　　（2）微波——波长从0.3米到10-3米，这些波多用在雷达或其它通讯系统；
　　
　　（3）红外线——波长从10-3米到7.8×10-7米；
　　
　　（4）可见光——这是人们所能感光的极狭窄的一个波段。波长从（78～3.8）×10-6厘米。光是原子或分子内的电子运动状态改变时所发出的电磁波。由于它是我们能够直接感受而察觉的电磁波极少的那一部分；
　　
　　（5）紫外线——波长从3×10-7米到6×10-10米。这些波产生的原因和光波类似，常常在放电时发出。由于它的能量和一般化学反应所牵涉的能量大小相当，因此紫外光的化学效应最强；
　　
　　（6）伦琴射线——这部分电磁波谱，波长从2×10-9米到6×10-12米。伦琴射线（X射线）是电原子的内层电子由一个能态跳至另一个能态时或电子在原子核电场内减速时所发出的；
　　
　　（7）γ射线——是波长从10-10～10-14米的电磁波。这种不可见的电磁波是从原子核内发出来的，放射性物质或原子核反应中常有这种辐射伴随着发出。γ射线的穿透力很强，对生物的破坏力很大。
　　
　　
　　
　　
　　波段名称 波长范围 电磁波名称 频率范围 极长波 1 × 10 5 m 以上
　　极低频（ ELF ）
　　<3KHz
　　超长波 1 × 10 5 ~10 4 m
　　甚低频（ VLF ）
　　3~30 KHz
　　长 波 1 × 10 4 ~10 3 m
　　低频（ LF ）
　　30~300 KHz
　　中 波 1 × 10 3 ~100m
　　中频（ MF ）
　　300~3000 KHz
　　短 波 100~10m
　　高频（ HF ）
　　3~30 MHz
　　超短波 米 波 10~1m
　　甚高频（ VHF ）
　　30~300 MHz
　　分米波 10~10 -1 m
　　特高频（ UHF ）
　　300~3000 MHz
　　微波 厘米波 10~1cm
　　超高频（ SHF ）
　　3~30 GHz
　　毫米波 10~1mm
　　极高频（ EHF ）
　　30~300 GHz
　　
　　
　　紫外线：在光谱的紫光区外侧的一种看不见的光线，特点：化学效应。一切高温物体发出的光都含紫外线，紫外线的应用：
　　①利用紫外线很容易使照相底片感光，用紫外线照相能分辨出细微的差别。
　　②紫外线有消毒杀菌的作用，紫外线频率比紫光频率高。伦琴射线：比紫外线频率还高的一种电磁波，又称x射线，有很强的穿透能力，例如：人体透视，检查金属部件是否有砂眼，裂纹。
　　
　　红外线：在光谱的红光区外侧一种看不见的光线。特点：热效应。温度高的物体发出红外线较多。红外线的应用：①利用红外线热作用加热，例如：红外线炉，红外线烤箱，红外线干燥器。
　　②远距离摄影，红外线遥感，军事上用的夜视仪。红外线的频率比红光还低。
　　
　　雷达概述
　　　　雷达，英文单词radar中文译音，即radio Detection and ranging（无线电发现和测距）开头字母组成，早期的雷达就是用来发现目标和测量目标距离，那么雷达在什么时间、什么情况下出现的呢？
　　　　二十世纪初，无线电技术的迅速发展，得力于人们对电磁波的不断深化认识，同时人们对电磁波的应用也不断扩大。电磁波帮助人类将通信距离伸展几千公里，是一个很好的例子。那么，能否利用电磁波实现对运动物体的远距离测量呢？人们从蝙蝠这一动物得到启发，它利用喉部发出的超声波，通过障碍物如虫、飞蛾的反射，再被耳朵接收，从而发现目标。
　　　　利用电磁波探测目标是在二十世纪三十年代后期出现的。１９３４年，英国科学家R.W瓦特在对地球大气层进行无线电回波信号研究时，偶然发现荧光屏上有一串明亮的光点。经过反复试验，证实了这些光点正是实验室附近某幢大楼的反射回波信号。这个意外的发现，使他萌发了利用无线电回波探测移动目标的设想。１９３５年由瓦特和其他英国电气工程师研制的第一部用于探测飞机的雷达，虽然探测距离只有几十公里，但却开辟了利用电磁波探测和定位的道路。
　　　　第二次世界大战却给刚刚诞生的雷达事业提供了良好的发展机会。大战开始阶段，雷达作为一种新型防御系统用来预报敌机的入侵，当时在德国飞机狂轰滥炸的威胁下，英国根据瓦特的建议在沿海地带建起了许多雷达站，用来预报来犯敌机的数量，航向和距离。这是雷达首次投入使用。而随后太平洋战争爆发，著名的"珍珠港"事件给美国了沉重的一课，使他们从轻视雷达神奇作用的迷梦中惊醒过来。１９４１年１２月７日，美国夏威夷海军基地风平浪静，谁会想到一场著名的偷袭战的来临，而战前美国的雷达预警确有一群来犯的日本飞机。而美国人的猛醒又给日军以沉重的打击。在随后爆发的中途岛海战中，美国打了一个漂亮的报复仗，而在其中，雷达也帮了不少美国的忙。
　　　　在战争中逐渐成长起来的雷达，不断接受战争的洗礼，因此越发变得成熟完美。战争后期，雷达与武器操纵系统结合在一起。也被炮兵、部队用于搜索自动跟踪和轰击目标，从而使火炮的命中率大为提高，逐渐广泛用于海、陆、空全面的防御和打击战中，发挥着举足轻重的作用。
　　　　雷达不仅在国防军事方面有着重要的作用。同样，雷达的广泛应用不断渗透到国民经济的各个领域。如：应用雷达探测大气奥秘，进行天气灾害预报；跟踪导航对卫星进行跟踪和定轨。对飞船进行和控制，所有这些都是雷达电波为人类社会做出的卓越贡献。作为一名大学生，有必要对雷达的工作系统、原理作较为系统、全面的了解。
　　２．雷达工作原理
　　２．１雷达系统的组成
　　　　雷达最主要的功能是发现目标和测定目标的位置，它的基本组成包括三个部分，发射机，接收机和无线外加显示器、定时器和控制系统等主要构件。
　　脉冲发射机在定时器控制下
　　周期地产生强大功率的矩形脉冲
　　调制的高频电磁波，这个电磁波
　　经系统和收发开关到天线后，按
　　特定的方向向空间集束辐射。天
　　线受控制系统操纵使波束在空间扫
　　描，以便搜索目标，当目标受电磁 图１ 雷达系统示意图
　　波照射时，产生后向散射回波。这个回波经收集，通过无线开关送到接收机。接收机将收到的回波信号连同发射机工作时通过收发开头漏过来的一小部分主波信号，一起进行高频放大、中放、检波和视频放大、最后将视频脉冲信号加至显示器。
　　　　雷达显示器在受到定时信号触发后开始工作，最初在显示器的荧光屏上出现的是经开线开头漏过来的主波信号。这也是电磁波离开天线时的起始信号。待回波信号到来时，经计算机处理，荧光屏上显示目标的位置及有关参数。
　　最常用的雷达显示器采用极坐标的平面显示装置，屏幕的中心代表雷达站所处的位置，目标以亮点显示出来。亮点与圆心之间的距离即目标与雷达站之间的距离显示。它与正北的夹角就是目标的方位角，在实际的显示器中都有坐标的机械刻度和电子刻度；因此能直接从显示器上读出有关目标的系列参数。
　　新型雷达采用电子计算机进行数据处理，内置相应支撑软件，计算机控制各部分协调工作达到方便、快捷，有的雷达还根据实际情况，由计算机控制工作频率或变更工作方式，以提高工作效率和精度。
　　２．２电磁波定位和测速的原理和方法：
　　　　如右图是电磁波定位的原理图，由发射机
　　产生的一定调制的高频电磁波，经发射天线按
　　特定方向辐射到空间，若电磁波在空间传播时
　　遇到目标，一部分高频电磁波被反射回来，经
　　过无线并且进入接收机，观察人员通过显示器 图２ 雷达工作原理示意图
　　在接收终端判断有无目标及目标的性质，且通过自动化处理，给出目标的系列参数，以明辩敌我，及时作出应对。
　　　　一般情况下，我们只用一副即可完成电磁波的发射和接收，当有脉冲时，电磁波通过天线发射出去，这时可以利用触动开关或电子信号使接收机关闭，当发射机停止工作时，立即打开接收机，则可利用一副天线，而完成电磁波的发射和接收。
　　　　现在我们假设空间传播介质是均匀的，则电磁波在这样的空间内传播我们认为是匀速的；沿直线的传播，电磁波离开天线到目标后，经反射又回到天线所用的时间为 ，设目标距离雷达站的距离为Ｒ，则电磁波在这段时间内所经历的路程为２Ｒ，根据路程的速度公式 ，则 ，其中ｃ为电磁波的传播速度。
　　这是雷达测量目标距离的基本公式，从式子我们可以看出，只要测出 即可实现对目标距离的测量，但在通常情况下，我们所要知道的是运动目标的系列参数，如径向速度，即目标向着或（背着）雷达站方向的速度。在雷达系统中，我们利用多卜勒效应来实现测速的。
　　　　日常生活中有这样的体验，当鸣笛的火车由远处开来时，我们听到汽笛声由低到高；而当火车急弛而过时，我们则感觉到汽笛声由高到低，音调的高低是由声源振动的频率所决定的，但是在上述情况下，我们听到的音调变化完全是由声源与听者之间的相对运动所引起的，由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象，称为多卜勒效应，是奥地利物理学家多卜勒（J.C.Doppler）在1842年发现的。[2]
　　多卜勒效应有如下三种情况：
　　１．观察者静止而波源运动，则有： （１），其中 为观测频率， 为波源频率， 为波速， 为波源运动速度。
　　２．波源静止而观察者运动，则有 （２），其中 为观察者运动速度。
　　３．若观察者和波源在同一直线上运动 （３），其中 为波源运动速度。
　　自从在音频范围内发现多卜勒效应以后，
　　经过几十年研究，在1938年证明了在电磁
　　波频域内同样有多卜勒效应，下面，我们结
　　合有关电磁波的知识，研究利用多卜勒效应
　　测量目标经向速度的方法。 图３ 电磁波受移动目标的反射
　　设雷达发射波长为 ，频率为 的一段电磁波，它在空间延伸的长度为Ｄ，而其中包含的波数为： .
　　　　若这段电磁波自左向右传播时，在Ｐ点遇到了目标，则在前方Ａ点的电磁波先反射回来，然后是后方的Ｂ点被反射，如果目标Ｐ是静止的，则这段电磁波与目标的接触时间为 ，且反射后ＡＢ点的距离也为Ｄ。
　　　　若目标沿一定速度 向雷达站飞行，由运动学知识所知，目标与这段电磁波的接触时间变为 ，在这段时间内目标的前进距离为： ，也就是说Ｂ点受目标反射时将比Ａ点反射时缩短了以上这段距离，在这段距离上电磁波传播时间为： ，也即接收这段电磁波的持续时间将缩短 。因而由于目标的径向运动，接收的持续时间将是
　　
　　因回波信号在AB间的波长数ｎ不变，所以持续的减少必使频率 的增高：
　　（４）
　　由上式可知：
　　（１）当 ，说明目标与雷达站无相对运动，回波频率等于发射信号的频率。
　　（２）当 ，说明目标向雷达站运动，接收频率高于信号频率。
　　（３）当 ，说明目标远离雷达站运动，接收频率低于信号频率。
　　同样，也可直接从（１）、（２）式推导出雷达接收频率 与雷达发射频率 之间的关系：
　　（同上式）
　　通常，我们将相对运动所引起的接收频率与发射频率之间的差距称为多卜勒频率，用 表示
　　（５）
　　由于电磁波的传播速度远远大于相对运动的速度 ，即 ，则略将（７）式化简为：
　　（６）
　　从上式可以看出，只要测出信号的多卜勒频率 就可以求出目标运动的径向速度 ：
　　
　　在雷达系统中，采用一种专门的设备，可直接测量出 ，经计算机处理，在显示器上可读出 。
　　２．３雷达目标的散射截面积：
　　雷达发射的电磁波遇到目标时，一部分能量被目标吸收转化为热，另一部分在目标表面产生感应电流而重新辐射，这种重新辐射的能量，有一小部分被接收天线截获，从而发现目标。
　　为了便于发现目标，通常希望目标尽量少吸收发射的电磁波的能量，且有较强的将电磁波反射回雷达站的能力，然而这种能力不仅取决于雷达站发射电磁波时天线的定向性，电磁波的波长和极化方式，还与目标的几何形状、尺寸、表面性质以及电磁波的入射角等因素有关。
　　通常情况下，我们用目标的雷达截面积来表示目标对电磁波的散射能力。它定义为：目标散射的电磁功率 与目标所在处入射的电磁波密度 之比，即 （㎡），具有面积的量纲。
　　如果雷达站的发热功率是 ，发射无线的方向函数是 ，目标与雷达站间的距离为Ｒ，则在目标入射处电磁波的功率密度是：[3]
　　（7）
　　由 可知： 即目标的雷达截面积，它的等效形式是：
　　[3]
　　式中 为目标处散射波的电场强度， 为入射波的电场强度。
　　２．４雷达方程：
　　　　雷达最基本的功能是发现目标，因而雷达用户往往关心的是当雷达参数给定时，它究竟能发现多远处的目标，也即雷达的作用距离。
　　设目标的雷达截面积为 ，入射电磁波在目标处的功率密度是 并假定目标把入射的电磁能量全部均匀散射到各个方向，由 可知，经目标散射回到雷达站的功率密度将是： 代入（９）式有：
　　（8）
　　根据无线理论，接收无线的有效面积 和无线增益 之间有关系 ，其中 为电磁波波长，因而天线接收到的回波功率是
　　
　　或者表示为Ｒ与一般参数之间的形式为：[3]
　　（9）
　　即雷达的作用距离。
　　通常，雷达采用一副无线并作接收和发射，在微波波段，天线的效率接近于１，天线的增益系数与天线方向系数相等，于是在共用天线的雷达中，上式可简写成：
　　（10）
　　此即雷达方程，当接收的回波功率低于为发现目标所必需的最低输入功率 时，雷达就不能发现这个目标，也就是目标处于雷达的作用距离之外，当 取最小值时，Ｒ有最大值，也就是此时雷达的作用距离最大。
　　[3] （11）
　　所以雷达工作时，通常要求接收机将全部回波信号积累起来，以便提高接收灵敏度和更加有效地增加雷达的作用距离。
　　２．５环境对电磁探测的影响：
　　　　影响雷达探测的因素是多方面的，首先是地面反射的影响，有的情况下，地面反射波有可能使跟踪雷达把目标在地面以下的镜像误以为真实目标，从而造成错误的跟踪，有时也会影响到探测距离和精度，从而影响工作效果。其次，地表的弯曲也给探测目标的高度和仰角带来麻烦。还有，比如地球磁场，宇宙射线，雷电，建筑等都会给雷达的探测精度带来麻烦，这就要求在雷达开发中，尽显通过各种方法和手段减少这种不必要的影响。
　　３．雷达的应用
　　　　雷达在军事方面的应用主要用于预警系统，下面分析台湾独立分子所布置的雷达防御系统，借以说明其应用。
　　　　台独分子借用美国支持，疯狂扩军备战，企图分裂祖国大陆，不断布置其防御系统，目前已基本构筑了一个由地面、空中和空间立体配制的近、中、远多种探测手段相结合的全方位立体预警系统，该系统的布置主要由三部分组成：
　　１．地面防空雷达：在地面子系统中，用各种雷达构成一个雷达网，对覆盖的空域 进行严密的监视，如台独配置的大型返程相控阵预警雷达，能对1448公里之外的弹道导弹进行探测，可提供７－１０分钟的预警时间；其低空监视雷达，主要对小型飞机的探测距离为８０公里。可连续跟踪２６５个目标，主要承担低空补盲的作用；另外其配制的４Ｒ－3000防空雷达对雷达同为１平方米目标的探测距离为３２０公里。主要用于对空搜索构成了台军地面的防护网。而美国所实施的ＮＭＤ导弹防御系统，其中也是由各种雷达所构成的雷达网，承担预警任务。
　　２．机载雷达：即装在飞机上的各种雷达，就其基本功能来说与地面防空雷达，没什么区别，即将地面雷达搬到了空中。由于站得高，望得远，所以能为防空系统提供更多的预警时间，台军配有的低空监视雷达，主要由轻型车辆或运输机空运，实际上是对低空的扫描控制。另外如Ｅ－２Ｔ预警机，配有ＡＮ／ＡＰＳ－１４５雷达在正常情况下，它可以探测达至６４８公里以外的轰炸机，４８０公里以外的战斗机和２５８公里外的导弹。可同时跟踪、监视，显示２０００个空中和海上目标，预警时间提高到２５分钟。某些机载雷达还具有识别跟踪和瞄准目标的功能。
　　３．预警卫星：台军空间通信技术刚刚起步，但由于地理位置，不在赤道地区，所以不能用一颗卫星持续不断地提供预警信息，需要发射多颗卫星才能使卫星轮流通过台湾上空完成预警任务。而美国的参与，则加快了预警卫星的发展。目前，空间预警也是各国所大力开发研究的一个方面。
　　　　雷达在国民生活中也有重要的运用。如现代化的机场，利用雷达来管理和调度，航海雷达可以帮助避免触礁等；雷达也应用于天气和灾害预报；同时在宇宙航行方面，雷达已被用于测量火箭、人造卫星和飞船的位置，速度等轨道参数，也可以用来地下探测等，成为我们日常生活中不可缺少的组成部分。
　　4．对雷达发展的展望
　　　　针对雷达对抗技术的迅速发展，对未来雷达的发展也提出了新的要求。针对各种干扰，雷达可辐射频率不断改变的电磁波。使它们分别工作在不同波段，从而摆脱干扰信号的跟踪；也可以使用多部的发射机迫使干扰机在宽频带内分散干扰功能，从而降低干扰的能力。同时，我们期望使用多部发射机，使其发射的电磁波频率覆盖整个雷达工作频段，且随计算机控制不断跳变，抵制干扰，增强抗干扰能力。
　　　　在更多的情况下，我们认为改变电磁波的频率，极化方向和调制方式是提高抗干扰能力的主要途径。也是当今电子战（ＥＷ）对新的雷达提出的要求。而目前研制的太空雷达，则是未来战场上的核心。与地基雷达相比，太空雷达可辨清地面０.3米至１米大小的物体，自动发现并跟踪地面上速度在每小时４公里至１００公里的移动目标，拍摄地图，形成分辨率１米左右的地形数学图等地其雷达所不具备的功能。另外，太空雷达具有很强的抗干扰能力，它使用有源立向天线阵，这种天线能将工作频率限定在３cm的范围内，这样一来，敌方的电子或电磁干扰信号都显得无能为力了。如美国的发现１号太空雷达，可保证雷达工作的全时性。另外这种雷达造价低廉，物超所值，且能满足民用及商业方面的用途，将使各大国都投入到雷达系统侦察系统的研制中来。可以预言，新世纪的头１０年，将成为制造观测地球的太空雷达的新起点，也是雷达技术的一个跳跃性发展，势必掀起一场雷达革命。
　　　　雷达技术是随着科学技术，特别是电磁学的发展而发展起来的。同时，雷达技术本身也极大地丰富着电磁学的内容。电磁波的应用与空间技术的紧密结合，使传统的雷达技术别开生面，电子计算机的应用又使雷达技术锦上添花。可以预期，电磁波的各项新应用与其相互渗透，必将在雷达技术的百花园中不断争艳斗妍，并继续绽出各种鲜艳的奇葩。
　　
　　
　　
　　脑电波
　　
　　人身上都有磁场，但人思考的时候，磁场会发生改变，形成一种生物电流通过磁场，而形成的东西，我就把它定位为“脑电波”，通过能量守恒，我们思考的约用力，形成的电波也就越强，于是也就能解释为什么大量的脑力劳动会导致比体力劳动更大的饥饿感。
　　
　　生物电现象是生命活动的基本特征之一，各种生物均有电活动的表现，大如鲸鱼，小到细菌，都有或强或弱的生物电。其实，英文细胞（cell）一词也有电池的含义,无数的细胞就相当于一节节微型的小电池，是生物电的源泉。
　　
　　人体也同样广泛地存在着生物电现象，因为人体的各个组织器官都是由细胞组成的。对脑来说，脑细胞就是脑内一个个“微小的发电站”。
　　
　　我们的脑无时无刻不在产生脑电波。早在1857年，英国的一位青年生理科学工作者卡通（R.Caton）在兔脑和猴脑上记录到了脑电活动，并发表了“脑灰质电现象的研究”论文，但当时并没有引起重视。十五年后，贝克（A.Beck）再一次发表脑电波的论文，才掀起研究脑电现象的热潮，直至1924年德国的精神病学家贝格尔（H.Berger）才真正地记录到了人脑的脑电波，从此诞生了人的脑电图。
　　
　　这是一些自发的有节律的神经电活动，其频率变动范围在每秒1－30次之间，可划分为四个波段，即δ（1－3Hz）、θ（4－7Hz）、α（8－13Hz）、β（14－30Hz）。
　　
　　δ波，频率为每秒1－3次，当人在婴儿期或智力发育不成熟、成年人在极度疲劳和昏睡状态下，可出现这种波段。
　　
　　θ波，频率为每秒4－7次，成年人在意愿受到挫折和抑郁时以及精神病患者这种波极为显著。但此波为少年（10－17岁）的脑电图中的主要成分。
　　
　　α波，频率为每秒8－13次，平均数为10次左右，它是正常人脑电波的基本节律，如果没有外加的刺激，其频率是相当恒定的。人在清醒、安静并闭眼时该节律最为明显，睁开眼睛或接受其它刺激时，α波即刻消失。
　　
　　β波，频率为每秒14－30次，当精神紧张和情绪激动或亢奋时出现此波，当人从睡梦中惊醒时，原来的慢波节律可立即被该节律所替代。
　　
　　在人心情愉悦或静思冥想时，一直兴奋的β波、δ波或θ波此刻弱了下来，α波相对来说得到了强化，因为这种波形最接近右脑的脑电生物节律，于是人的灵感状态就出现了。
　　
　　脑电波的节律来源于丘脑，科学家曾将动物大脑皮层与丘脑的联系切断，脑电波的节律消失，而丘脑的电节律活动仍然保持着。如果用8－13Hz的电脉冲刺激丘脑，在大脑皮层可出现类似α节律的脑电波。因此，正常脑电波的维持需要大脑与丘脑都要完好无损。
　　
　　另外，大家都知道“电生磁，磁生电”的道理，也就是说，电场与磁场总是相伴而生的。既然人脑有生物电或电场的变化，那么肯定有磁场的存在。果然，科学家Cohen于1968年首次测到了脑磁场。由于人脑磁场比较微弱，加上地球磁场及其它磁场的干扰，必须有良好的磁屏蔽室和高灵敏度的测定仪才能测到。1971年，国外有人在磁屏蔽室内首次记录到了脑磁图。脑磁测量是一种无损伤的探测方法，可以确定不同的生理活动或心理状态下脑内产生兴奋性部位，无疑是检测脑疾病的有效方法之一。
　　
　　脑电波或脑电图是一种比较敏感的客观指标，不仅可以用于脑科学的基础理论研究，而且更重要的意义在于它的临床实践的应用，与人类的生命健康息息相关。

温度梯度如同一种热力学力，给系统一个“推动”，引发了 ..... 检测与控制、环境保护等领域具有广阔的应用前景；脑电波

“时间之箭”，热力学第二定律，熵的悖论！！_化学吧_百度贴吧

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石墨烯具有獨特的線性電子能帶結構，其傳導電子是無質量的狄拉克費米子。電子在石墨烯中運動幾乎沒有阻力，遷移速度極快，是世上已知的電阻率最小的材料。因為這一特點，石墨烯被期待可用來發展更薄、導電速度更快的新一代電子元件或晶體管

[转载]电子间相互作用是石墨烯具备超性能的关键

已有 586 次阅读 2012-8-4 15:56 |个人分类:物联工程|系统分类:科研笔记|关键词:的 石墨烯 北京时间 美国科学家 物理学家

电子间相互作用是石墨烯具备超性能的关键

    作为一种超薄、超强、超柔和超高速的导电体，石墨烯已被电子领域视为具有广泛应用的神奇材料。但要想充分发挥石墨烯的巨大潜力，科学家们首先必须了解石墨烯的超能力从何而来。据物理学家组织网8月3日（北京时间）报道，美国科学家已经朝这个方向迈出了最新一步：他们的研究首次证实，石墨烯中电子间的相互作用是石墨烯具有非凡性能的关键。相关论文已发表于《自然·物理学》杂志。

    电子在石墨烯中能以接近光速的速度行进，是硅材料中电子移动速度的100倍。由于石墨烯中的电子表现得与没有质量的极端相对论性自由电子一样，而科学家保罗·狄拉克在1928年用狄拉克方程描述了相对论性的电子行为，因此石墨烯中的电荷载体也被称为“狄拉克准粒子”，也就是无质量的狄拉克费米子。领导该研究的美国加州大学伯克利分校物理学家迈克尔·克罗米说：“石墨烯中的电子对带电杂质制造的库仑势作出的回应与传统的原子—杂质系统中非相对论性电子的表现应该极为不同。然而，直到现在，与这种极端相对论性系统有关的许多关键理论预言都还没有得到检验。”

    而他带领的研究小组首次在显微尺度上观测并记录了一个门控石墨烯设备中电子和空穴是如何对库伦势作出回应的，从而为“电子间相互作用是石墨烯非凡性能的关键”的理论提供了实验支撑。他们先在最常见的半导体基底二氧化硅衬底上放置氮化硼薄片，然后在薄片上沉积一个石墨烯层，由此制成一个门控设备，并利用超高真空扫描隧道显微镜（STM）对门控设备进行探测。同时，他们用显微镜的尖端自动操纵钴单体在石墨烯片上构建出钴三聚体来作为制造库伦势的带电杂质。

    超高真空扫描隧道显微镜通过记录石墨烯电子结构的空间变化，展示了电子和空穴对库伦势作出的回应。将实验中观测到的电子—空穴不对称与理论模拟相比较，研究小组不仅能够验证相关的理论预测，而且还发现石墨烯的介电常数足够小，而这正是电子间相互作用决定了石墨烯非凡性能的佐证，并且对于理解石墨烯中的电子如何移动非常重要。

    “有些研究人员认为，电子与电子的相互作用对石墨烯的内在性能而言并不重要，但另一些专家的观点相反。我们首次用图像展示了极端相对论性电子如何通过重新排列自己来对库仑势作出回应，证明了电子间相互作用是决定石墨烯性能的一个重要因素。”克罗米说。

    总编辑圈点：

    硬度超过钻石，却可像橡胶一样伸展；导电和导热性能超过任何铜线，重量却几乎为零；把20万片晶体薄膜叠加到一起，也只有一根头发丝那么厚——这就是石墨烯，一种堪称神奇的“超级材料”。而其超能力从何而来，文中所述或可看出端倪。制造“太空电梯”缆线、代替硅生产超级计算机、做人工光合作用高效催化剂……石墨烯的超能力或许远非如此，而了解了其“能量”由来，无疑会加速石墨烯潜力的发掘。

   

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向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant)，所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。

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1│2│3│4　 基礎幾何學》 五、向量幾何和向量代數 ——空間結構的系統代數化 （第 2 頁） 項武義   首頁 | 搜尋 ．作者任教於香港科技大學數學系 ‧對外搜尋關鍵字   位移向量的運算律 在上一節所定義的位移向量的加法運算，顯然具有下述熟悉的運算律： 交換律：      a+b=b+a 結合律：      (a+b)+c=a+(b+c) [註]：因為一般的變換組合都是滿足結合律的，而位移向量的加法是定義為平移的組合，當然也會滿足結合律。再者，由 亦可以直接驗証位移向量的加法結合律。 零和可逆性： 以 表示恆等變換這個特殊的平移， 表示和 互逆的平移，則有 [註]：平移和[定理 5.2]的証明都和空間中的「平行性」 (parallelism) 以及平行四邊形定理密切相關的。而交換律 a + b = b + a 更可以想成是平行四邊形定理的向量表述形式。由此可見，往後我們每次運用向量加法交換律，其實也就是對于所研討的幾何問題用了一次平行四邊形定理。       相似三角形定理和位移向量的倍積 一個數 a 的整數倍 其實就是 n 個 a 相加的總和。同樣我們也自然地把 n 個（位移向量）a 相加的總和定義為倍積 ，亦即： 再者 。 由上述位移向量的整數倍的定義，容易直接驗証下列運算律，即： (i) (ii) (iii) 對于任給整數 m, n 和任給位移向量 , 恆成立。 [習題：試用歸納法驗証 (i), (ii) 和 (iii)。] 設 ，我們可以把 作 n 等分，令 為其等分點，則有 由此可見，我們應該把 定義為 ，因為它是那個滿足 的唯一解。再者 的定義應該就是 這樣，就可以把位移向量的倍積由整數倍擴張到有理數倍。而且上述擴張法是唯一能夠使得下列運算律依然成立者，即 (i') (ii') (iii') 最後一步，讓我們來分析一下位移向量的實數倍應該如何定義。設 λ 是一個非比實數（亦稱為無理數）， 。令 B* 是直線 AB 上那個唯一的點使得有向長度之比 則 應該定義為 ，因為它是唯一能夠使得下述比較原則成立者，即 「設 λ 介于兩個有理數 和 之間而且 , ， 則 B* 亦必介于 B', B'' 之間。」 而運用上述比較原則和 Eudoxus 夾逼原理即可驗証上述所定義的實數倍的倍積也滿足同樣的運算律，即 (i'') (ii'') (iii'') 對于任給實數 λ, μ 和位移向量 , 恆成立。 [註]：放大、縮小這種相似變換是空間中常見常用者，而平面幾何中的相似三角形定理則是關于相似變換的基本定理。在此，值得注意的是倍積分配律 的本質就是上述基本定理的代數化形式（參看 [圖 5-2]）。 令 , ，則 。如 [圖 5-2] 所示， [ 圖 5-2 ] , A=A' 而且 k 是其相似比，則 , , 。       勾股定理和位移向量的內積 一個位移向量 含有方向和長度這樣兩種本質，我們將用符號 |a| 表示其長度，以 表示兩者的方向之差，亦即兩者之間的夾角。在平面幾何學的研討中，三角形是既精且簡的基本圖形，用向量來表達三角形，則它的三個有向邊就可以分別表達成 , 和 。由平面幾何中所熟知的 S.S.S. 疊合條件可見夾角 業已被其三邊邊長 , , 所唯一確定。再者，中國古算中的勾股定理（即古希臘的畢氏定理）則可以改寫成 而在一般 , 並非互相垂直的情形則 。例如當 的特殊情形，則有 總之，對于任給兩個位移向量 , ，下述函數 (1) 是一個值得研討的幾何量，例如 乃是 , 互相垂直的充要條件，而 。所以它顯然是一個和 , 的長度、夾角都密切相關的幾何量。但是歸根究底 (5.1)-式所定義的幾何量是否真正有用、好用，還得要看它是否具有簡潔好用的優良性質。它顯然具有對稱性，即 ，而詳加研討的結果會發現它其實還具有下述簡潔易算的性質，即 (2) 若以 的定義（即 (5.1)-式）代入 (5.2)-式，即得所需証者，實乃下述含有三個任意向量的恆等式，亦即 要証明上述對于任給三個向量 都普遍成立的恆等式之前，自然要看一看是否有一種對于任給二個向量 都普遍成立的恆等式呢？若有，則一來肯定比較容易証明，二來說不定還可以把「後者」用來証明「前者」。要把上述想法付諸實踐，當然就得有一個「後者」究竟是怎麼樣的恆等式的「猜想」才能進而証明之，是不？ 在此，我們自然要用上反推法去「按圖索驥」。亦即假想 (5.2)-式成立的話，應該會有那種對于任何一對向量都普遍成立的恆等式？若用 (5.2)-式反推，則有 由此可見，應該有恆等式（稱之為廣義勾股定理） (3) 請注意，上面這一小段反推法分析只是說明：假如 (5.2)-式恆成立，則 (5.3)-式也恆成立。而我們真正要做的是先用幾何直接証明 (5.3)-式恆成立，然後再設法用它來証明 (5.2)-式（亦即 (5.2')-式）恆成立。反推法的分析其實只是讓我們想到 (5.3)-式恆成立這個待証的猜想。在論証上述猜想之前，不妨先對幾個特別簡單的情形，看一看它是否成立，亦即在 , 之間的夾角是 0, 和 π 這三種情形： 當 時， ，所以 當 時， ，所以 當 時，由勾股定理，即有 上述對于三種簡單特例的驗証，其實也提供了下述把一般的情形的証明歸于上述業已 驗証的三種特殊情形來加以推導的思路，如 [圖 5-3] 所示，我們可以用垂直投影把 分解成 ，其中 和 垂直 而 和 同向（或反向）。 [ 圖 5-3 ] 這樣，就可以把 (5.3)-式的証明歸于上述三種業已驗証的情形作如下推導： (4) 現在讓我們再用剛才証明的 (5.3)-式純代數地去推導 (5.2')-式的普遍成立： 令 , ，即有 (i) 令 , ，即有 (ii) 令 , ，即有 (iii) 令 , ，即有 (iv) 將上述四個恆等式相加後再遍乘以 ，即得恆等式 (5.2')，亦即 (5.2)-式普遍成立。 總結上面的討論，我們以勾股定理為基礎，証明幾何量 具有 (5.2)-式所表達既簡且精的性質，它將是用向量去研討幾何廣泛有用的有力工具。在向量代數中，我們索興把它想成是一種由兩個向量求得一個數值的一種乘積，叫做向量的內積 (inner product) 並改用符號 表達之，亦即以 為向量內積的定義式。這樣做的基本原由就是使得性質 (5.2) 可以直截了當地改寫成 這種分配律的形式，使得它運用起來能夠更加得心應手。 【定義】：（向量內積）位移向量 , 的內積 定義為 內積的運算律： (i) (ii) (iii) [當 k 是整數或有理數時，(iii) 是 (i) 和 (ii) 的推論。當 k 是非比實數時，則可用倍積的比較原則和 Eudoxus 原理加以推導。] 內積的幾何意義： (i) (ii) （亦即 ） (iii) 在 的一般情形 [ (iii) 的証明] 先驗証 或 這兩種特殊情形。 若 ，則有 |a+b|=|a|+|b| 。所以 若 ，則有 ，所以 在一般的情形，可將 b 分解成 而 或 π，則有 而 。 □ [註]：上述公式提供了用內積表達兩個非零向量的夾角餘弦的公式，即 其實，上述公式就是平面幾何中熟悉的餘弦定律。由此可見，長度和角度都可以用向量內積去有效計算，而內積本身又具有一套十分簡明有力的運算律，特別是分配律。在本質上，內積分配律乃是勾股定理的提升和精簡之所得，也可以說是勾股定理代數化的最佳形式。       面積的勾股定理和位移向量的 × -積 四面體是三角形的三維推廣。而具有三個棱正交于一點的四面體則是直角三角形的推廣，我們將稱之為正交四面體，如 [圖 5-4] 所示： 面積的勾股定理： 設 , , 正交于 O，它共交于 O 點的三個三角形 , , 互相垂直，而 則是和其他三個面斜交者。是否也有類似于勾股定理的公式說明上述正交四面體的四個面積之間的關係呢？例如斜面面積的平方是否恆等于其他三個面的面積平方之和呢？這就是我們接著所要論証者。 【定理 5.3】：（面積的勾股定理）一個正交四面體的斜面面積的平方恆等于其他三個面的面積平方之和，亦即如 [圖 5-4] 所示 証明：令正交四面體的三個正交于 O 點的棱長分別是 , , ，則由勾股定理即得其斜面 的三邊邊長分別是 易見其三個互相正交的三角形的面積分別為 再者，由平面幾何中的秦九韶公式，其斜面面積平方是 □ 在坐標幾何中，勾股定理的重要推論是下述距離公式 其幾何意義是：空間中直線段 的長度平方等于它在三個互相垂直的直線上的各別垂直投影的長度平方之和。再者，設向量 a 和 b 在三個坐標軸上的垂直投影的有向長度分別是 (a1,a2,a3) 和 (b1,b2,b3)，則有內積坐標計算公式 當 a=b 時，即有 由此可見上述內積公式實乃距離公式的推廣。 [定理 5.3]的幾何意義是：空間中一片平面的面積平方等于它在三個互相垂直的平面（例如一個正交坐標系的三個坐標面）上的垂直投影的面積平方之和。由此可以猜想到，我們也應該試著將面積的勾股定理的本質進一步轉化為在空間中一片平面和另一片平面之間的「內積」的適當定義。 假如我們把一個有向線段想成一種有向的 1-維基本幾何事物，定向平行四邊形 想成一種有向的 2-維基本幾何事物，就自然會想到是否也可以定義一種 和 之間的「內積」使得 而且 和 的「內積」也可以有類似于上述的坐標計算公式。 讓我們先來看看 1-維的情形。設 和 共線，則兩者的內積就等于它們的有向長度的乘積，即： 若 和 不共線，令 是 在 AB 上的垂直投影，則 現在讓我們試著對于 和 的內積作類同的定義如下，即 (i) 當 和 共面時，定義其內積為兩者的定向面積的乘積； (ii) 當 和 不共面時，則定義其內積為 和 的定向面積的乘積，其中 乃是 在 所在平面上的垂直投影。 且以符號 表示上面所定義的量。 【定理 5.4】： 証明：(i) 設 和 共在一個平面 Π 之內。在 Π 上取定一組向量 。令 ，則由上述定義和行列式乘法公式即有 (ii) 設 和 不共面，而 則是 垂直投影到 的所在平面 Π 的影象，由定義和上述所已証者，即有 再者，c-c' 和 d-d' 乃是垂直于 Π 的向量，而 , 則是位于 Π 之內者，所以 亦即 即已証得 □ [定理 5.4]的公式充分顯示這種內積的 2-維推廣肯定就是我們所想要者，例如 再者，設 e1,e2,e3 分別是一個取定正交坐標系在 x,y,z 軸上的單位向量。令 不難用直接計算去驗証： 向量的 ×-積： 在一個已經定向的空間之中（通常約定以右手型為所選之正向），我們可以用一個唯一的向量 (a x b) 去充分表達空間中一個（定向）平行四邊形 的方向和面積，如 [圖 5-5] 所示。它是一個和 , 皆為正交，長度等于 的面積而 (a,b,a x b) 是右手型者，稱之為 , 的 ×-積。 [ 圖 5-5 ] 由上述 ×-積的定義易見 a x b=-(b x a) 而且對于任給 c， 其實上式就是平行六面體的體積等于底面積乘高的向量表達式。 【定理 5.5】：向量的 ×-積滿足下列運算律： (i) a x b=-(b x a) (ii) (ka) x b=a x (kb)=k(a x b) (iii) (iv) a x (b1+b2)=a x b1+ a x b2 (v) (vi) 証明： (ii) (iii) , (iv) (v) 乃是[定理 5.4]和-積定義的直接結合。 (vi) 四元數——時空的代數： 時間是一維的，空間是三維的，所以時空組合的總體是四維的，亦即 Hamilton 的創見賦予時空一種既自然又美妙的代數結構，這也就是著名的四元數 (quaternions)。其加、乘運算的定義如下： 上述加、乘運算除了乘法的交換律之外，滿足所有其他各種慣用的運算律，例如加法的交換律和結合律，加、乘結合的分配律和乘法的結合律等等。其中驗起來比較繁複的是乘法結合律，茲証之如下：運用分配律，可以把所要驗証的要點歸結到 這個最不平凡的情形。由前述四元數的定義，即有 由此可見，用[定理 5.5]的公式 (vi) 即有 再者，我們也可以類同于複數 (complex number) 的情形定義共軛和絕對值，即 則有 總之，四元數乃是研討時空的精簡有效的數學工具，它也是研究學習電磁學、狹義相對論的基本工具。     　1│2│3│4　 《基礎幾何學》 五、向量幾何和向量代數 ——空間結構的系統代數化 （第 3 頁） 項武義

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結語 總結上述對于空間的保長變換和向量代數的討論，我們再提綱絜領地把所得的結果和認識作一概括性的系統列述： 1. 反射對稱是空間中最為簡單的保長變換，而空間的所有其他保長變換又都可以由它們的組合而得之，所以它們又是最為基本者。再者，等腰三角形是一種最為初等簡樸的反射對稱圖形；在古希臘的幾何學中，能夠僅用等腰三角形的各種特徵性質之間的邏輯轉換來分析空間對稱性在幾何學中的各種各樣反映，究其原因其實也就是反射對稱性的組合，已經含蓋了保長變換的全體這個基本事實。 2. 將兩個反射對稱 , 加以組合，其所得的保長變換以 , 是否相交而分成兩種：當 時 是一個平移，它把空間每一點在 , 的公垂線上由 往 的方向向前移動 ；當 時， 保持其交線 上的每一點固定不動，而其他各點 P 則在其 的垂面 中以 為中心作 的旋轉。 3. 兩個平移 , 的組合還是一個平移，而且 。用群的術語來說，空間所有平移組成的是保長變換群的一個正規子群；從幾何的本質來看，一個平移把空間每一點都作了一個同向等距的位置移動，所以它是位移的自然「量化」，稱之為位移向量。總之，平移和位移向量是同一事物的兩種觀點；從變換觀點來看叫做平移，從幾何的本質來看則是位移向量，這是同一事物的兩面觀，各有所長。我們用前者來定義其加法和倍積，但是在討論長度、角度、面積、體積等等的幾何內含時，則自要採取位移、有向線段這種幾何的觀點。在第二節中的討論中，這種觀點的自然轉換是十分明顯的。 4. 位置是空間最為基本原始的概念，由此可見位移向量理所當然地是空間的最為基本原始的幾何量。第二節中所討論的向量代數基礎理論也就是要把其他各種各樣基本幾何量歸結到位移向量去表達、計算；由此自然地產生了內積和　×-積運算，但是這種順理成章、返璞歸真的探索的成果，不但求得用位移向量去表達、計算其他基本幾何量的精而簡的公式，而且還把定量幾何學中的基本定理如相似三角形定理、勾股定理和面積勾股定理等等有系統地轉換成向量代數中的運算律！ 例如： (i) 向量加法的定義（即[定理 5.1]）植基于空間的平直性（亦即平行性或三角形內角和恆為平角）。在古典幾何學中關于平行的基本定理就是平行四邊形的各種特徵性質之間的轉換，而平行四邊形定理所轉換而得者就是向量加法的交換律！ (ii) 相似放大縮小是（歐氏）空間的特色，這也就是向量的倍積的來源。而關于相似形的基本定理——相似三角形定理——用倍積來表達就是倍積分配律： (iii) 關于長度和角度的基本定理——勾股定理及廣義勾股定理——經過一番分析和整理之後又可以簡化、優化而成為簡單易用的內積分配律： (iv) [定理 5.4] 和 [定理 5.5] 所總結的 ×-積運算律乃是空間 幾何學中關于面積、體積、兩面角等等的基本定理是也！但是這些基本定理在古希臘時期尚未能發現。 由上述分析可見向量運算不僅提供了表達計算各種各樣基本幾何量的有效能算的代數公式，而向量運算律本身其實就是一套完美精簡的幾何基本定理，且其中重要的都是分配律或多線性函數這種簡單易用的形式表達。由此可見，向量代數乃是空間結構的全面而且美妙的代數，而其運算律則是空間本質（亦即基本定理所表達者）的一種至精至簡的表達。 5. 空間的基本結構在于任給兩點 A, B 之間的唯一最短通路 ——直線段 ，而空間的基本本質主要的就是對稱性和平直性。在古希臘幾何學中，用疊合公理來描述對稱性，而用平行公理來描述平直性；在現代的幾何學中，我們把空間的對稱性的總體賦予自然而且全局的結構，稱之為保長變換群，而其中的平移子群則系統表述了空間的平直性，從而把空間幾何學的研討提升到保長變換群的不變量理論。再者，向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant)，所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。 總結上述五點分析，我們認識到用向量代數研討幾何可以寓不變量理論于向量運算之中，而空間的基本性質和基本定理的運用則轉化為其運算律的系統運用。這就是學習向量幾何，並用以探索大自然所 要達到的境界！