先給一物理系統後, 我們會觀察它有
什
麼對稱性, 然後導出相關守恆量, 叫cur-
淺
談場量子化與低維拓樸
鄭
日新
隨著量
子力學的發展, 量子化後的物理
系
統恆為精密的實驗所支持, 而描述量子系
統
的“新”數學在某種意義下也推廣了舊有的
數
學。本文嘗試介紹若干低維拓樸理論與某
些場
量子化理論的關聯, 而“新”的精細拓樸
不
變量常可理解為有關場算子的n-“point”
相
關(correlation) 函數。我們將提到因為這
個
看法而導致研究方法改變的一個例子: 即
Donaldson
四維微分結構不變量的研究因
Seiberg-Witten
場論的看法主方程由瞬息
子
(instanton) 方程轉到較易處理的某種
單
極(monopole) 方程(現在叫Seiberg-
Witten
方程), 另外也提一個量子場論思想
對原
拓樸問題思考方式影響的例子: 即某種
精細
的三維觸結構拓樸不變量的定義。
1.
從量子化談起
對
一個物理系統的描述, 須要知道什麼
是
它的態(state), 什麼是可觀測的物理量
(observable)
。一般描述量子物理系統中的
態
是用所謂Hilbert space的數學語言, 而物
理
量則為作用其上的算子。當我們對某物理
態
|- > 去測量某物理量O 時, 我們量到
的是
O 的某個固有值(eigenvalue) n, 這
裡
O|-n >= n|-n >, 而量到 n 的機率
是
|h-n|O|-i|2。我們現在看一個點粒子的量
子力學
, 其Hamiltonian H (代表能量) 為
H
= −(~2/2m)∇2 + V (x).
這
裡∇2 為Laplacian 算子, V (x) 為
位
能函數。(~ 表Planck 常數, m 表粒
子
質量) 令x(0) 表位置算子, 即其固有
值
表粒子位置, 在通常用波函數- 表達態
時
, (x(0)-)(y) = y-(y) (一維時, 以
下同
)。令時間t 時的位置算子x(t) =
exp(
iHt)x(0) exp(−iHt)。調整H (加一
常數
) 使其最小固有值為0, 對應的固有向量
|
0 > 稱為此系統的基態(ground state)。取
t
1 > t2 > · · · > tn, h0|x(t1) · · · x(tn)|0i
或
簡單表為hx(t1) · · · x(tn)i 是極重要的物
理
量, 所謂的n-point 相關函數。在量子場
論
中此等量(見後述) 有直接的物理意義, 它
們
包含了所有的物理預測。它們也叫Green
函
數, 可驗證2-point 相關函數在某些情況
確為
一般方程意義下的Green 函數。此n-
point 相關
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