告一段落
今天几何方面的学习告一段落，巩固了纤维丛的知识，也弄懂了示性类，这段时间的“不务正业”还是很有成效的。以前看Nakahara的书是冲着指标定理来 的，但现在倒觉得没必要把目光限制得那么死，基本而丰富的内容更重要些，比如流形理论，黎曼几何，复流形，纤维丛和示性类。指标定理乃至指标理论算是一个 专门的方向，不属于微分几何的基本内容，作为莫斯科大学数学系教材的《现代几何学》三卷压根儿就没有讨论指标定理。Taubes有句名言：“物理学家先学 指标定理，然后才是黎曼几何。“这意思是说物理学家比数学家学得更快是因为学习方式不同，不过我觉得这也有些言过其实。指标定理以前的基本内容还是很重要 的，没有这些铺垫，构建空中楼阁是很危险的。物理学家之所以那么看重指标定理，是因为它在场论和弦论中有重要途。指标定理的思想源头还是古老的 Gauss-Bonnet定理，了解这一点并且加上基础知识再深入也是不难的。
侯伯元的那本书和Nakahara的书内容接近，只是降低了讨论的严格性。这本书有时间翻翻我觉得也是不错的，有了NakaharaGTP的严格训练，侯 的书当作一个参考和巩固的资料也是不错的。微分几何真正公认的经典是Kobayashi和Nomizu的Foundations of Differential Geometry两卷本，Nakahara的很多内容就取材于这本书。据我估计，Nakahara的书涵盖的内容相当于《现代几何学》卷一和卷二70%的 内容，因此有了现在的基础再”蜻蜓点水“似的看看MG也是个不错的选择。不过MG在语言的表述上和Nakahara的书不尽相同，另外MG比较注重分析 （昨天翻了一下MG，发现MG定义示性类的方法和GTP不同，它没有用到Chern-Weil定理）。
侯伯元的那本书和Nakahara的书内容接近，只是降低了讨论的严格性。这本书有时间翻翻我觉得也是不错的，有了NakaharaGTP的严格训练，侯 的书当作一个参考和巩固的资料也是不错的。微分几何真正公认的经典是Kobayashi和Nomizu的Foundations of Differential Geometry两卷本，Nakahara的很多内容就取材于这本书。据我估计，Nakahara的书涵盖的内容相当于《现代几何学》卷一和卷二70%的 内容，因此有了现在的基础再”蜻蜓点水“似的看看MG也是个不错的选择。不过MG在语言的表述上和Nakahara的书不尽相同，另外MG比较注重分析 （昨天翻了一下MG，发现MG定义示性类的方法和GTP不同，它没有用到Chern-Weil定理）。
几何笔记v1.5
这篇笔记主要基于Nakahara的Geometry,Topology and Physics
v1.1 homology group and homotopy group revised
v1.2 fiber bundle revised
v1.3 Riemannian geometry revised
v1.4 manifold revised
v1.5 connections on fiber bundles and characteristic classes revised
同调群
对于一些闭链，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的一个分解。因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的商群来表示一个流形的分解,这就是同调群。
以一维同调群为例，考虑以整数为系数的定向棱的线性组合，若边缘算子作用在其上为零，则称没有边界，于是这个线性组合构成一维闭链。一维闭链构成交换群。
假如能找到定向三角形的一个线性组合，其边缘正好是某个闭链，则这个闭链是一个边缘闭链，简称边缘。所有的边缘构成一维闭链的一个子群，它不能用来区分不同的拓扑（比如球面与环面），为了忽略它，做闭链群与边缘群的商群，这个商群就是（一维）同调群。
由Stocks定理，微分算子和边缘算子互为伴算子，所以下同调和de Rham上同调形影相伴。
同伦群
一条闭曲线如果能够通过连续形变变成另一条曲线，则称这两条曲线“同伦”。同伦是一种等价关系，对应的等价类被称为“同伦类”。考虑一个有洞的圆盘X，显然绕洞n圈的闭曲线和绕洞m圈的闭曲线是不同的等价类（m!=n），所以X的同伦类由整数群标记，群的加法n+m对应于绕洞n圈后再绕m圈，这样同伦类就被赋予了群的结构，这样的群被称为基本群。
GTP在这一章后面举了好几个与同伦相关的物理实例。
值得一提的是Penrose在《The Road to Reality》中考虑的刚体的构型空间(configuration space)。在讨论了环面（同伦群为Z⊕Z）相对于球面不同的拓扑后（实际上就是同伦群的不同），考虑了表示刚体旋转取向的三维空间R。由于刚体旋转一周在R中的轨迹就是一个闭曲线，所以可以籍此考察R（或者构型空间C）的拓扑。Penrose的方法是引入了一个他在此前考虑过的spinorial object（书和皮带的例子），由于spinorial object旋转2π后与未旋转时不等价，所以围绕R的闭曲线不能收缩成一点，由此推出这个六维流形C相对于六维欧式空间的拓扑不平凡性。更有趣的是由spinorial object的旋转性质（旋转4π后可以消除旋转带来的影响，或者说旋转4π后与原位等价），围绕R的一个4π的圈可以收缩成一点，这被称为拓扑挠率（topological torsion）。
微分流形
Nakahara为引入流形的概念而列举的实例给人印象深刻，微分流形最早的模型似乎是出现在复分析中，也就是黎曼面的模型，而这个例子出现在复流形一章中，即是球面在复平面上建立球极坐标，并引入坐标间的全纯映射后，球面便赋予了复结构。而相应的实坐标情况则对应实流形。
如果两个图册的并也是一个图册，这两个图册就被叫做相容的（compatible）。相容性是个等价关系，对应的等价类叫做微分结构。
矢量，1形式和张量是每本微分几何书必然涉及的内容，但不同的书处理方式不尽相同，像《现代几何学 卷一》着重强调的便是矢量和余矢量（covector）在坐标变换下不同的变换方式。而Nakahara的GTP则是通过考察流形上参数曲线的切矢量（速度矢量）来引入向量的，顺带着定义了X[f]（f:M->R），（切）矢量自然导致了切空间（tangent space）的概念。
由于切空间是向量空间，所以存在与之对偶的余切空间（cotangent space），其中的元素被称为对偶矢量（dual vector），余矢量（cotangent vector）或者1形式（1-form）。由X[f]可以定义1形式与矢量的内积。
张量可以看作是向量和余向量的推广。可以定义张量与1形式和向量的作用，在这样的定义下<ω,X>=ω(x)。
一个流（flow）就是流形上由向量场生成的积分曲线。可以把一个flow看成稳定的流线，一个在t=0时刻在x的粒子在t时刻将会出现在σ(t,x)。定义了flow后直接导致了单参数变换群的概念，在这个语境下，矢量场被称作无穷小生成元。给定一个矢量场，对应的flow通常被称作是这个矢量场的指数化。
定义了flow后就可以方便地讨论李导数，它是一个矢量场沿着一个flow（对应于另一个矢量场）的改变率。李导数可以表示成李括号的形式。
所谓李群就是一个定义了群结构的微分流形。可以证明左不变向量场在李括号运算下封闭，称这样的结构为对应李群的李代数。单参数子群和左不变向量场之间存在一一对应。李群的结构常数完全决定了李群。引入标架的对偶基后可以利用外微分公式得到Maurer－Cartan结构方程。
在物理学中，李群通常用来表示作用在流形上的变换群。例如SO(3)是三维空间中的旋转群，庞加莱群是Minkowski空间中的变换群。一个flow就是R作用在流形M上。在这一节讨论了SL(2,C)作用在Minkowski空间的特殊方式（SL(2,C)作用在M4上代表罗伦兹变换 ，但SL(2,C)—>O(1,3)的同态不是一对一的，SL(2,C)到O(3)的同态是二对一的，这导致了旋量的存在）。
de Rham 上同调
这一章可能是看得最流畅的一章了。在看这一章之前我曾经有过顾虑，因为这一章显然和前面的同调有很多联系，而同调在当时看的时候忘得差不多了，不过，当我真正仔细看这一章的时候却几乎没有遇到任何阻碍，原因很简单——由de Rham定理，一个流形的同调群和上同调群互为对偶：Hr×H^r–>R，因此同调和上同调既相互独立又相互联系，这就是为什么能单独看这一章的原因。
讨论上同调需要广义Stokes定理，Nakahara书上的证明方法和我以前看过的方法不同，他主要利用了微分形式的性质，而以前看的是对超立方体作为边界的证明，相对而言，这个证明简单些。
由于d^2=0，所以Z>B，因此可以将de Rham上同调群定义为H=Z/B，即上链群与上边群的商群。一些简单流形的上同调群的计算是相当有趣的。比如H^1(R)={0}；而在计算H^1(S1)的时候可以有两种方法，一种是利用群同态基本定理（以前一直以为只有离散群可以用基本定理：（），另一种是凑微分的方法。两种方法都很漂亮。在定义了微分形式和链算子的内积后，Stokes定理便可以表示成外导数和边缘算子对偶的形式。
由于同调群和上同调群存在同构，所以二者的Betti数相等，于是Euler示性数可以表示成上同调群的Betti数的交错和。这个关系的左边是一个拓扑量而右边是一个解析量，这一点是很有趣的。
一个恰当形式总是闭形式，但反之未必，Poincare引理回答了在什么条件下逆命题也成立。Kuenneth 公式可以用来计算一些流形的上同调群，比如利用S^1的上同调群可以计算出环面的上同调群，从计算中可以看出Poincare对偶，即阶数互余的两个上同调群同构。
黎曼几何
这一章的很多内容其实在看Nakahara的书之前也已经接触过了，不过Nakahara对一些问题的处理方式和《现代几何学》不同，比如对诱导度量和度量与联络的相容性的处理就很好理解。在看《现代几何学》的时候一直对所谓诱导度量一直不甚明白，Nakahara在这一章的开头就很清晰地处理了这个问题：由于流形嵌入时必然引入一个映射，嵌入映射的拉回映射（pullback）便诱导了一个度量。另外，曲面的第一基本形式就是曲面在欧式空间中诱导的度量，这一点在《现代几何学 卷一》中讲得很明白。黎曼几何的深刻之处在于，它不仅限于讨论经典曲面论中的诱导度量， 而更加一般地赋予流形M一个度量g，这个度量g可以是相当任意的函数。度量为非二次型的情况对应Riemann-Finsler几何。
讨论黎曼几何最好先考察一下非欧几何。在三维伪欧式空间中可以定义伪球面（和球面的定义类似），它是双叶双曲面。伪欧式度量在伪球面上诱导了一个负定的度量（这表示伪球面是类空双曲面），这就是罗巴切夫斯基度量。建立伪球面到（x,y）平面的球极映射后，在新坐标下的度量被称作罗巴切夫斯基几何的庞加莱度量。在引入上半平面到单位元盘的分式线性变换后，可以引入克莱因度量。单位伪球面（罗巴切夫斯基几何）的高斯曲率为-1。
为了讨论协变导数，需要讨论仿射联络。协变矢量作平行移动时，平移后的矢量与原矢量之差与矢量本身和位移成正比，比例系数就是该点的仿射联络。联络的反对称组合叫做仿射空间的挠率张量。定义了联络后便可以定义协变微商，定义中用到了平移操作。利用协变微商的乘法规则和标量及矢量的协变微商公式可以很方便地得到高阶张量的协变微商公式。联络是决定空间几何性质的重要量，但它不是张量，由联络可以构造出一个重要的张量，叫曲率张量。如果空间某区域内曲率张量和挠率张量都恒为零，则总能找到一个坐标变换使得在该空间内联络为零，即空间是平坦的，也就是说曲率和挠率描述空间弯曲的程度。
仿射空间中借助联络定义了矢量的平移，在黎曼空间中如果要求平移保持矢量的长度不变（这对黎曼流形是个自然的要求），则导致Christoffel联络，它完全由度规场决定。有一个重要的定理：在一个坐标下的非零联络总可以找到一个坐标变换，使得这个非零联络在新坐标下为零。这在广义相对论中的含义是：任一时空点的无穷领域内引力效果是近似地可消除的，即局域惯性系是永远可以找到的。
如果无穷小映射前后不变矩离相等，则映射叫等度规映射，等度规映射的生成元叫Killing矢量场。Killing矢量满足的方程叫Killing方程，它可以用一种直观的方法推导出来，这需要利用李导数的定义。Killing矢量场的作用是刻画时空结构的几何对称性质，比如，在求Einstein方程的球对称解的过程中，首先利用Killing方程简化度量的形式，这便利用了问题的对称性。
非坐标基（Non-coordinate bases)是一种很有启发性的工具，它是由坐标基（coordinate bases）经GL(m,R)旋转得到的，“旋转系数”叫做”vierbeins”(非坐标基下的系数叫“zweibeins”)利用非坐标基可以简化度量的形式。在引入联络1-形式后，可以得到挠率2-形式和曲率2-形式的两个方程，也就是Cartan结构方程。利用结构方程可以得到非坐标基形式的Bianchi恒等式。这些在广义相对论中用处很多，比如利用结构方程和无挠条件可以确定曲率2-形式。
这一章的一个很重要的主题便是Hodge定理，包括Hodge分解定理（Hodge decomposition theorem）和Hodge定理（Hodge’s theorem）。Hodge分解定理是说对于紧致无边定向黎曼流形，任意一个微分形式都可以分解成恰当微分形式，余恰当微分形式（coexact）和调和微分形式所构成集合的直和。Hodge定理是说紧致定向黎曼流形的上同调群和调和微分形式同构。这两个定理似乎在现代微分几何中是处于基础地位的，学数学的应该比我更清楚。Nakahara的书上对这两条定理给出的似乎不是严格的证明，而更像是一个handwaving，因为我曾经翻过代数几何方面的书，似乎讲得更严格些。Hodge定理在讨论指标定理时会用到。
这章最后还讨论了一些广义相对论和弦论。给出了广义相对论的作用量表述，也就是Einstein-Hilbert作用量，这在《现代几何学》中有更完整的讨论，其中的推导有些技巧性，《现代几何学》甚至还用这套方法（实际上就是变分法）推出了Gauss-Bonnet定理（只是等式右边的常数需要用其他方法定出）；还讨论了弦论的作用量和基本对称性，不过并没有从第一性原理来推出作用量，有些遗憾。
复流形
这一章的内容难度比较平均，基本上都是在讲理论，很多内容是和实流形相平行的，所以看起来比较平淡（也有很大的可能是我没有看出其中的玄机：）。
开头列举了几个复流形的例子，比较清楚的只有一个，就是S^2作为复流形的情况。有两个很重要的例子没弄懂，一个是和格（lattice），模形式有关的那个例子（格点坐标在环面上定义了一个复结构）；另一个是代数多样体（algebraic variety）。其实我想专门花功夫在这些上面应该能够弄懂，只是需要参考一些其他的资料。
其后的内容主要是在发展复流形的理论，很多是和实流形相平行的（从近复结构（almost complex structure），到复微分形式）。其中很重要的一节是厄米流形，一个复流形总是存在一个厄米度量。利用Kaehler形式可以证明任何厄米流形（从而任何复流形）是可定向的。对复流形同样可引入协变导数，度量相容条件，曲率和挠率。联络系数为零的度规相容联络称为厄米联络。
Kaehler流形和Kaehler微分几何似乎在数学中具有相当重要的地位（ms在弦论中用的也很多）。Kaehler流形是Kaehler形式为闭的厄米流形。黎曼结构和厄米结构在Kaehler流形上是相容的。任何维数为1的可定向复流形是Kaehler流形。一维紧致定向复流形被称为黎曼曲面。Kaehler度规定义的联络和Levi-Civita联络很相似，因为Kaehler度规是torsion free的。第一陈类为零的紧致Kaehler流形称为Calabi-Yau流形。
对复流形有与之对应的Hodge定理，表述和实流形的类似。复流形的上同调群可以用Hodge diamond总结，其中的Hodge number满足特定的关系。
在这章的最后还讨论了轨形（orbifold），也就是商空间M/G，其中G是作用在M上的离散群。在M上存在不动点，它们在G的作用下不变，这些点是奇点，并且轨形一般不是流形。轨形有一些微妙的地方，似乎在弦论中用处很大，不过Nakahara的书讨论得不多。
纤维从与联络
这两个内容其实是两章的内容，但由于他们联系得很紧，所以写在一起。
利用等价关系可以把纤维丛定义成E=X/～，其中的～是一个等价关系，这就是通过低空间，转换函数，纤维和结构群构造纤维丛的方法。第九章主要罗列了一些关键的概念，比如纤维从的交换图，pullback bundles，矢量丛，余切丛，乘积丛（product bundle），主丛和伴丛。主丛就是以结构群为纤维的丛，主丛有个重要的定理：P(E)和E是平凡的，当且仅当P(E)有一个截面。
令p表示在低空间M上能够具有的最大数目的线性无关向量场，当p=dimM时M被称为可平行化的（parallelizable）。M是可平行化的和F(M)(M的frame bundle)有截面是同一个意思。李群总是可以平行化的，这是因为对于李群G的李代数g，g是G在单位元处的切空间，如果{X1,,,Xn}是g的一组基，则这组标架可以通过群元素的作用而连续地映射到在另一点的标架{sX1,,,sXn}，这样便得到任意点的标架，从而得到F(G)的截面，所以G是可平行化的。对于S^n，只有当n=1,3,7的时候球面才是可平行化的，重要的是这一点和复数，四元数和Cayley数的存在有关系：单位复数在拓扑上是S^1；一个四元数可以写成复数对，单位四元数（和SU(2)同胚）在拓扑上是S^3；Cayley数以此类推。这句话很重要：”It is in this latter sense that parallelizable manifolds are the exception rather than the rule.”其中的latter sense指的是给定任意流形，它不太可能是某个李群的流形，从而导致可平行化。
X或者G如果是可收缩的，则E是平凡的。对于F(M)，结构群是GL(n,R)，这个群不是可收缩的，但它有可收缩的部分。由于GL(n,R)=O(n)×C,C是可收缩的，所以GL(n,R)可以收缩到O(n)。这有两个后果：1，这意味着结构群GL(n,R)可以约化成O(n)，这是一种简化。2，由于每个流形允许一个黎曼度量，度量的存在可以等同的认为是内积的存在(对于切空间的矢量)，并且内积在O(n)下是不变的。GL(n,R)到O(n)的约化等同于对低空间每点赋予了一个正交标架，或者说提供了切空间的内积，所以这提供了底空间上的黎曼度量。
如果GL(n,R)约化到其他子群G，就称M有一个G-结构。当dimM=偶数时，对应的G-结构通常有两种：(i)，G=Sp(n,R)，Sp(n,R)是辛群，在这种情况下，称M有一个近哈密顿量（almost Hamiltonian），或者辛结构（symplectic structure）。(ii)，G=GL(n/2,C)，这种情况下称M有一个近复结构（almost complex structure）。更一般的，如果主丛P(E)有纤维G，并且G是一个联通李群，则G=H×D，其中H是G的最大紧致子群，D是一个（拓扑等价）欧氏空间。从GL(n,R)到O(n)的约化并不是一个典型的G-结构，这是因为：GL(n,R)到O(n)的约化总是可行的，但GL(n,R)并不是总能约化成Sp(n,R)或者GL(n/2,C)，这二者的约化仅当（由示性类组成的）某些整体拓扑条件满足的时候才可能。
Nakahara的书讲主从上的联络用的是将纤维丛切空间分离成“垂直”和“水平”的子空间的方法。主丛上的联络是切空间TP到VP和HP的唯一分解，它满足：1.TP=HP⊕VP
2.P上的光滑矢量场分解成HP和VP空间中分量的和 3.HP是左不变的空间。条件3保证了如果点u被平行移动，则ug也被平行移动。
引入TP到VP的一个投影ω，称为联络1形式，它满足两个性质。定义HP为ω的核。利用这些定义可以证明HP是左不变的，这表明联络1形式的定义和联络的定义是等价的。这样定义的联络1形式被称作Ehresmann联络。
引入规范势（ω的拉回）后，可以吧联络1形式用规范势表出。GTP在给出一个引理后，得到了相容条件，它的分量表示就是规范变换。联络1形式或者{A}（满足相容条件）携带了纤维丛的整体信息。
已知底空间的一条曲线γ，则P中的曲线γ’称为γ的水平提升（horizontal lift），如果γ’的投影是γ，并且γ’的切矢量在水平子空间中。可以得到水平提升的形式化解。GTP在这里举了一个例子，其中P=M×R，平面上单位园的水平提升是一条螺旋线。定义了水平提升后就可以定义平行移动，即P中的点沿着γ’移动。
对于M上的一条闭曲线γ：[0,1]—>M，p=γ(0)= γ(1)，则一般的说γ’(0)≠γ’(1)，所以一条闭曲线定义了纤维上的变换，变换群被称为和乐群（holonomy group）。
曲率2形式联络1形式的协变导数，二者满足Cartan结构方程。回忆在黎曼几何中，曲率是向量移动的变差，纤维丛的情况是类似的，一条闭曲线的水平提升不是闭合的，其差别正比于联系起始点和终点的垂直矢量，曲率描述的就是这个距离。曲率的拉回对应于场强，表示成F=dA+A∧A，还可以得到它在坐标下的分量表示。
这部分后面的物理例子能帮助理解相应的数学概念，除了U(1)规范理论和AB效应，我理解的最好的要属Berry相，其中的主从，联络（对应Berry联络）都赋予了物理意义。Berry猜测绝热态的含时变化和不显含时变化的两类量由动力学相与Berry相的乘积决定。其实由Berry相的定义可以猜到它是由和乐（或者说是联络）所决定的，这一点可以严格证明。Nahahara的书上还举了一个spin1/2粒子在磁场中的Hamiltonian，最后的计算得出系统Berry相是通过一个球面的磁通量（场强的面积分）。
示性类
给定纤维F,结构群G和底空间M后，可以在M上建立很多纤维丛，这依赖于转换函数的选取，这自然引发了两个问题：对于给定的F和G，M上有多少丛和它们相对于平凡丛有多大的差别。示性类是底空间上同调类的子集，它描述了纤维丛的非平凡性（或者扭曲的程度），在这个意义上，他们是避免纤维丛成为平凡丛的障碍。
在引入不变多项式（invariant polynomial）后，讨论Chern-Weil定理，它有两条陈述：(a)dP(F)=0，即曲率2形式的不变多项式是闭的。(b)令F和F’是对应于A,A’的曲率2形式，则不变多项式的差P(F’)—P(F)是恰当的。由(a)可以定义M上的上同调类，(b)保证了这个上同调类与规范势的选择无关。这样定义的上同调类被称为示性类(characteristic class)。紧接着引入了Weil同态和naturality: Weil同态的拉回与拉回丛的同态相等。
对应复矢量丛，可以定义总陈类(total Chern class)：c(F)=det(I+iF/2π)，c(F)=1+c1(F)+c2(F)+…其中每一项被称为陈类（chern class）。GTP上面举了一个G=SU(2)，dimM=4的例子，由行列式展开来计算陈类，但这样的方法比较繁琐，可以将曲率形式作对角化，这样陈多项式可以表示成基本对称函数的和，从而得到陈类的表达式。陈类具有自然性（naturality）,并有c(E⊕F)=c(E) ∧c(F)，证明很简单。
n维矢量丛E的陈类和n个复线丛的Whitney和的陈类相同，尽管E一般来说不是复线丛的Whitney和，但当考虑陈类时，我们可以把二者等同对待，这被称为分离原理（splitting principle）。另外陈类还有一个公理化的定义。
在示性类中，陈特征（Chern character）由于出现在指标定理中，因而其有相当的重要性。总陈特征（total Chern character）定义为ch(F)=trexp(iF/2π)，陈特征可以由陈类表出。GTP给出的例子中有一点值得注意：磁荷N和瞬子数可以表示成陈特征的积分。陈特征同样有自然性。还引入了Todd类，它是陈类的某种组合。
考虑实矢量丛，由于O(k)的李代数生成元是反对称的，场强F也是反对称的。一个反对称矩阵不能由GL(k,R)的子群元素对角化，但它可以分块对角化，这是与陈类不同的地方，这导致了总Pontrjagin类：P(F)=det(I+F/2π)，同样可以导出Pontrjagin类的表达式。
欧拉类定义为Pontrjagin类的平方根。GTP给出了TS^2的例子来说明欧拉类，它在球面上的积分等于2，即S^2的欧拉示性数。将之推广到一般便是Gauss-Bonnet定理：∫e(M)=χ(M)。引入Pfaffian后可以得到欧拉类的表达式。Hirzebruch象征定理: Hirzebruch象征表示为Hirzebruch L多项式在底空间的积分。
对于一般的2j形式的示性类，可以引入Chern-Simons形式，由Stocks定理可以看出它刻画的是流形边界的拓扑。后面的一个场论中的例子比较有意思：在3维时空中，一个规范理论可能具有一个由Chern-Simons 3形式所赋予的规范不变质量项。
指标理论
这一章无疑是整本书的高潮部分（指标定理也是20世纪数学史上公认的一座奇峰：）。正如Atiyah在一次访谈中所说的那样：他更愿意用“指标理论”的提法，而不是“指标定理”，因为前者包含了更为丰富的内容，虽然后者是其初始形态。
指标定理的简化版本其实不难理解，只是需要做一些准备，如解析指标，椭圆算子，Fredholm算子等等。解析指标是算子与其伴算子核空间维数的差：ind D=dim kerD-dim ker D+（D+表示伴算子）。Fredholm算子是核与伴核为有限维的算子，解析指标对Fredholm算子而言是良好定义的（由算子理论知道，紧流形上的椭圆算子是Fredholm算子）利用伴算子可以定义Laplace算子，并且对应一个Hodge分解。类似于上同调群，可以定义Hi=ker Di/im Di-1，有dim Hi=dim Harmi，椭圆复形的指标可以写成Laplace算子核空间维数的交错和，这样定义的指标是Euler示性类的推广。对于de Rham复形，前面定义的Hi就是de Rham上同调群，指标是Euler示性类，由Hodge定理dim H^r=dim Harm^r，于是Euler示性类（Euler类在M上的积分）可以写成dim Harm^r的交错和，这就是一个典型的指标定理！因为右边是一个纯拓扑（不变）量，而左边由微分方程的解决定,是一个解析量。
AS定理和Riemann-Roch定理有很多联系，Nakahara的书在讨论了Dolbeault复形后讨论了Hirzebruch-Riemann-Roch定理，RR定理的热方程证明在讨论弦论的那章中有详细讨论。中间有一节讨论了特征复形（signature complex）和Hirzebruch 特征复形，不过忘得差不多了，有空看看再补上相关内容-_-！。
从自旋复形开始后面的内容是物理上常用的知识。Atiyah-Patodi-Singer指标定理ms和量子场论有很深的联系，不过有一个很关键的地方我没弄懂，就是所谓的”spectral flow”，这个概念肯定有对应的物理，只是我现在暂时还不清楚。
AS指标定理ms有很多证明方法（热方程方法，基于代数k理论的方法等），Nakahara的书为了照顾物理，用的是超对称量子力学的方法，这种方法用了很多物理的术语，所以比较适合学物理的人看。首先讨论的是平直空间中的SUSYQM，然后将之推广到一般流形的情况（SUSYQM的这套方法看上去不可思议，不过并不丑陋^_^）。然后和前面一样，讨论指标，用路径积分来表示指标，后面的推导就是把这个积分凑成标准的形式，就是Dirac算子的指标定理。
量子反常与玻色弦
这两个内容是分作两章讲的，不过由于它们同属于物理部分，所以在这儿写在一起。由于对反常的数学讨论涉及很多同伦的知识，所以当时也只是浏览了一下，这里主要写写物理方面的内容，数学内容以后再补上。
1.反常
如果拉氏量的经典对称性在量子化的过程中不能被保留下来，理论就存在反常，比如手征反常，规范反常和超对称反常等等。由手征对称性导致一个手征流，由于在量子化的过程中拉氏量的手征对称性会被破坏，所以（手征）流守恒方程在量子化后不成立，而存在新的关系，这个关系（关于手征流的方程）被称为反常。Abelian和non-Abelian反常在形式上看起来很相似，但是其中的归一化因子和分数因子有着很深的拓扑起源，这一章后面的内容主要围绕着这个问题展开。
2.玻色弦
这一章主要讨论的是玻色弦（闭的，在26维欧式空间中的定向玻色弦）的单圈振幅，其作用量由Polyakov作用量描述。
作为数学准备，这一章讨论了黎曼曲面的微分几何，（度规，复结构，矢量，形式，张量，协变导数），给出了Riemann-Roch定理（也是一种指标定理）的热方程证明（可以看作是指标定理的一种证明）。总的配分函数可以表示成对应于各种亏格（g圈振幅）的配分函数之和；作用量由两部分构成，一部分是Polyakov作用量，另一部分是Euler示性类（由于这一项是拓扑不变的，所以它不影响弦的动力学）。Polyakov作用量具有对称性，一个是微分同胚下的不变性，一个是共性不变性。这两个对称性在量子化的过程中必须保持，否则理论会有反常。商空间Mod=M/G称为模空间（moduli space），其中G=Diff×Weyl是规范群，M为黎曼面上的度规空间。
接下来的大部分内容是配分函数中测度的推导，这个推导很长，很技术性。中间有一个结构很重要，就是在共形变换下积分测度不变的充要条件是D=26，这个26被称为临界维数（critical dimension），利用这一点可以简化中间结果，最后得到了g圈配分函数的表达式。
在这一章的最后推导了单圈真空振幅。首先是用Teichmuller参数化简因子部分，接着求行列式部分，先求Laplace算子的本征谱，于是行列式被表示成无穷乘积的形式，在求值的时候需要做正规化，由求得的行列式可以得到单圈振幅的表达式。
v1.1 homology group and homotopy group revised
v1.2 fiber bundle revised
v1.3 Riemannian geometry revised
v1.4 manifold revised
v1.5 connections on fiber bundles and characteristic classes revised
同调群
对于一些闭链，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的一个分解。因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的商群来表示一个流形的分解,这就是同调群。
以一维同调群为例，考虑以整数为系数的定向棱的线性组合，若边缘算子作用在其上为零，则称没有边界，于是这个线性组合构成一维闭链。一维闭链构成交换群。
假如能找到定向三角形的一个线性组合，其边缘正好是某个闭链，则这个闭链是一个边缘闭链，简称边缘。所有的边缘构成一维闭链的一个子群，它不能用来区分不同的拓扑（比如球面与环面），为了忽略它，做闭链群与边缘群的商群，这个商群就是（一维）同调群。
由Stocks定理，微分算子和边缘算子互为伴算子，所以下同调和de Rham上同调形影相伴。
同伦群
一条闭曲线如果能够通过连续形变变成另一条曲线，则称这两条曲线“同伦”。同伦是一种等价关系，对应的等价类被称为“同伦类”。考虑一个有洞的圆盘X，显然绕洞n圈的闭曲线和绕洞m圈的闭曲线是不同的等价类（m!=n），所以X的同伦类由整数群标记，群的加法n+m对应于绕洞n圈后再绕m圈，这样同伦类就被赋予了群的结构，这样的群被称为基本群。
GTP在这一章后面举了好几个与同伦相关的物理实例。
值得一提的是Penrose在《The Road to Reality》中考虑的刚体的构型空间(configuration space)。在讨论了环面（同伦群为Z⊕Z）相对于球面不同的拓扑后（实际上就是同伦群的不同），考虑了表示刚体旋转取向的三维空间R。由于刚体旋转一周在R中的轨迹就是一个闭曲线，所以可以籍此考察R（或者构型空间C）的拓扑。Penrose的方法是引入了一个他在此前考虑过的spinorial object（书和皮带的例子），由于spinorial object旋转2π后与未旋转时不等价，所以围绕R的闭曲线不能收缩成一点，由此推出这个六维流形C相对于六维欧式空间的拓扑不平凡性。更有趣的是由spinorial object的旋转性质（旋转4π后可以消除旋转带来的影响，或者说旋转4π后与原位等价），围绕R的一个4π的圈可以收缩成一点，这被称为拓扑挠率（topological torsion）。
微分流形
Nakahara为引入流形的概念而列举的实例给人印象深刻，微分流形最早的模型似乎是出现在复分析中，也就是黎曼面的模型，而这个例子出现在复流形一章中，即是球面在复平面上建立球极坐标，并引入坐标间的全纯映射后，球面便赋予了复结构。而相应的实坐标情况则对应实流形。
如果两个图册的并也是一个图册，这两个图册就被叫做相容的（compatible）。相容性是个等价关系，对应的等价类叫做微分结构。
矢量，1形式和张量是每本微分几何书必然涉及的内容，但不同的书处理方式不尽相同，像《现代几何学 卷一》着重强调的便是矢量和余矢量（covector）在坐标变换下不同的变换方式。而Nakahara的GTP则是通过考察流形上参数曲线的切矢量（速度矢量）来引入向量的，顺带着定义了X[f]（f:M->R），（切）矢量自然导致了切空间（tangent space）的概念。
由于切空间是向量空间，所以存在与之对偶的余切空间（cotangent space），其中的元素被称为对偶矢量（dual vector），余矢量（cotangent vector）或者1形式（1-form）。由X[f]可以定义1形式与矢量的内积。
张量可以看作是向量和余向量的推广。可以定义张量与1形式和向量的作用，在这样的定义下<ω,X>=ω(x)。
一个流（flow）就是流形上由向量场生成的积分曲线。可以把一个flow看成稳定的流线，一个在t=0时刻在x的粒子在t时刻将会出现在σ(t,x)。定义了flow后直接导致了单参数变换群的概念，在这个语境下，矢量场被称作无穷小生成元。给定一个矢量场，对应的flow通常被称作是这个矢量场的指数化。
定义了flow后就可以方便地讨论李导数，它是一个矢量场沿着一个flow（对应于另一个矢量场）的改变率。李导数可以表示成李括号的形式。
所谓李群就是一个定义了群结构的微分流形。可以证明左不变向量场在李括号运算下封闭，称这样的结构为对应李群的李代数。单参数子群和左不变向量场之间存在一一对应。李群的结构常数完全决定了李群。引入标架的对偶基后可以利用外微分公式得到Maurer－Cartan结构方程。
在物理学中，李群通常用来表示作用在流形上的变换群。例如SO(3)是三维空间中的旋转群，庞加莱群是Minkowski空间中的变换群。一个flow就是R作用在流形M上。在这一节讨论了SL(2,C)作用在Minkowski空间的特殊方式（SL(2,C)作用在M4上代表罗伦兹变换 ，但SL(2,C)—>O(1,3)的同态不是一对一的，SL(2,C)到O(3)的同态是二对一的，这导致了旋量的存在）。
de Rham 上同调
这一章可能是看得最流畅的一章了。在看这一章之前我曾经有过顾虑，因为这一章显然和前面的同调有很多联系，而同调在当时看的时候忘得差不多了，不过，当我真正仔细看这一章的时候却几乎没有遇到任何阻碍，原因很简单——由de Rham定理，一个流形的同调群和上同调群互为对偶：Hr×H^r–>R，因此同调和上同调既相互独立又相互联系，这就是为什么能单独看这一章的原因。
讨论上同调需要广义Stokes定理，Nakahara书上的证明方法和我以前看过的方法不同，他主要利用了微分形式的性质，而以前看的是对超立方体作为边界的证明，相对而言，这个证明简单些。
由于d^2=0，所以Z>B，因此可以将de Rham上同调群定义为H=Z/B，即上链群与上边群的商群。一些简单流形的上同调群的计算是相当有趣的。比如H^1(R)={0}；而在计算H^1(S1)的时候可以有两种方法，一种是利用群同态基本定理（以前一直以为只有离散群可以用基本定理：（），另一种是凑微分的方法。两种方法都很漂亮。在定义了微分形式和链算子的内积后，Stokes定理便可以表示成外导数和边缘算子对偶的形式。
由于同调群和上同调群存在同构，所以二者的Betti数相等，于是Euler示性数可以表示成上同调群的Betti数的交错和。这个关系的左边是一个拓扑量而右边是一个解析量，这一点是很有趣的。
一个恰当形式总是闭形式，但反之未必，Poincare引理回答了在什么条件下逆命题也成立。Kuenneth 公式可以用来计算一些流形的上同调群，比如利用S^1的上同调群可以计算出环面的上同调群，从计算中可以看出Poincare对偶，即阶数互余的两个上同调群同构。
黎曼几何
这一章的很多内容其实在看Nakahara的书之前也已经接触过了，不过Nakahara对一些问题的处理方式和《现代几何学》不同，比如对诱导度量和度量与联络的相容性的处理就很好理解。在看《现代几何学》的时候一直对所谓诱导度量一直不甚明白，Nakahara在这一章的开头就很清晰地处理了这个问题：由于流形嵌入时必然引入一个映射，嵌入映射的拉回映射（pullback）便诱导了一个度量。另外，曲面的第一基本形式就是曲面在欧式空间中诱导的度量，这一点在《现代几何学 卷一》中讲得很明白。黎曼几何的深刻之处在于，它不仅限于讨论经典曲面论中的诱导度量， 而更加一般地赋予流形M一个度量g，这个度量g可以是相当任意的函数。度量为非二次型的情况对应Riemann-Finsler几何。
讨论黎曼几何最好先考察一下非欧几何。在三维伪欧式空间中可以定义伪球面（和球面的定义类似），它是双叶双曲面。伪欧式度量在伪球面上诱导了一个负定的度量（这表示伪球面是类空双曲面），这就是罗巴切夫斯基度量。建立伪球面到（x,y）平面的球极映射后，在新坐标下的度量被称作罗巴切夫斯基几何的庞加莱度量。在引入上半平面到单位元盘的分式线性变换后，可以引入克莱因度量。单位伪球面（罗巴切夫斯基几何）的高斯曲率为-1。
为了讨论协变导数，需要讨论仿射联络。协变矢量作平行移动时，平移后的矢量与原矢量之差与矢量本身和位移成正比，比例系数就是该点的仿射联络。联络的反对称组合叫做仿射空间的挠率张量。定义了联络后便可以定义协变微商，定义中用到了平移操作。利用协变微商的乘法规则和标量及矢量的协变微商公式可以很方便地得到高阶张量的协变微商公式。联络是决定空间几何性质的重要量，但它不是张量，由联络可以构造出一个重要的张量，叫曲率张量。如果空间某区域内曲率张量和挠率张量都恒为零，则总能找到一个坐标变换使得在该空间内联络为零，即空间是平坦的，也就是说曲率和挠率描述空间弯曲的程度。
仿射空间中借助联络定义了矢量的平移，在黎曼空间中如果要求平移保持矢量的长度不变（这对黎曼流形是个自然的要求），则导致Christoffel联络，它完全由度规场决定。有一个重要的定理：在一个坐标下的非零联络总可以找到一个坐标变换，使得这个非零联络在新坐标下为零。这在广义相对论中的含义是：任一时空点的无穷领域内引力效果是近似地可消除的，即局域惯性系是永远可以找到的。
如果无穷小映射前后不变矩离相等，则映射叫等度规映射，等度规映射的生成元叫Killing矢量场。Killing矢量满足的方程叫Killing方程，它可以用一种直观的方法推导出来，这需要利用李导数的定义。Killing矢量场的作用是刻画时空结构的几何对称性质，比如，在求Einstein方程的球对称解的过程中，首先利用Killing方程简化度量的形式，这便利用了问题的对称性。
非坐标基（Non-coordinate bases)是一种很有启发性的工具，它是由坐标基（coordinate bases）经GL(m,R)旋转得到的，“旋转系数”叫做”vierbeins”(非坐标基下的系数叫“zweibeins”)利用非坐标基可以简化度量的形式。在引入联络1-形式后，可以得到挠率2-形式和曲率2-形式的两个方程，也就是Cartan结构方程。利用结构方程可以得到非坐标基形式的Bianchi恒等式。这些在广义相对论中用处很多，比如利用结构方程和无挠条件可以确定曲率2-形式。
这一章的一个很重要的主题便是Hodge定理，包括Hodge分解定理（Hodge decomposition theorem）和Hodge定理（Hodge’s theorem）。Hodge分解定理是说对于紧致无边定向黎曼流形，任意一个微分形式都可以分解成恰当微分形式，余恰当微分形式（coexact）和调和微分形式所构成集合的直和。Hodge定理是说紧致定向黎曼流形的上同调群和调和微分形式同构。这两个定理似乎在现代微分几何中是处于基础地位的，学数学的应该比我更清楚。Nakahara的书上对这两条定理给出的似乎不是严格的证明，而更像是一个handwaving，因为我曾经翻过代数几何方面的书，似乎讲得更严格些。Hodge定理在讨论指标定理时会用到。
这章最后还讨论了一些广义相对论和弦论。给出了广义相对论的作用量表述，也就是Einstein-Hilbert作用量，这在《现代几何学》中有更完整的讨论，其中的推导有些技巧性，《现代几何学》甚至还用这套方法（实际上就是变分法）推出了Gauss-Bonnet定理（只是等式右边的常数需要用其他方法定出）；还讨论了弦论的作用量和基本对称性，不过并没有从第一性原理来推出作用量，有些遗憾。
复流形
这一章的内容难度比较平均，基本上都是在讲理论，很多内容是和实流形相平行的，所以看起来比较平淡（也有很大的可能是我没有看出其中的玄机：）。
开头列举了几个复流形的例子，比较清楚的只有一个，就是S^2作为复流形的情况。有两个很重要的例子没弄懂，一个是和格（lattice），模形式有关的那个例子（格点坐标在环面上定义了一个复结构）；另一个是代数多样体（algebraic variety）。其实我想专门花功夫在这些上面应该能够弄懂，只是需要参考一些其他的资料。
其后的内容主要是在发展复流形的理论，很多是和实流形相平行的（从近复结构（almost complex structure），到复微分形式）。其中很重要的一节是厄米流形，一个复流形总是存在一个厄米度量。利用Kaehler形式可以证明任何厄米流形（从而任何复流形）是可定向的。对复流形同样可引入协变导数，度量相容条件，曲率和挠率。联络系数为零的度规相容联络称为厄米联络。
Kaehler流形和Kaehler微分几何似乎在数学中具有相当重要的地位（ms在弦论中用的也很多）。Kaehler流形是Kaehler形式为闭的厄米流形。黎曼结构和厄米结构在Kaehler流形上是相容的。任何维数为1的可定向复流形是Kaehler流形。一维紧致定向复流形被称为黎曼曲面。Kaehler度规定义的联络和Levi-Civita联络很相似，因为Kaehler度规是torsion free的。第一陈类为零的紧致Kaehler流形称为Calabi-Yau流形。
对复流形有与之对应的Hodge定理，表述和实流形的类似。复流形的上同调群可以用Hodge diamond总结，其中的Hodge number满足特定的关系。
在这章的最后还讨论了轨形（orbifold），也就是商空间M/G，其中G是作用在M上的离散群。在M上存在不动点，它们在G的作用下不变，这些点是奇点，并且轨形一般不是流形。轨形有一些微妙的地方，似乎在弦论中用处很大，不过Nakahara的书讨论得不多。
纤维从与联络
这两个内容其实是两章的内容，但由于他们联系得很紧，所以写在一起。
利用等价关系可以把纤维丛定义成E=X/～，其中的～是一个等价关系，这就是通过低空间，转换函数，纤维和结构群构造纤维丛的方法。第九章主要罗列了一些关键的概念，比如纤维从的交换图，pullback bundles，矢量丛，余切丛，乘积丛（product bundle），主丛和伴丛。主丛就是以结构群为纤维的丛，主丛有个重要的定理：P(E)和E是平凡的，当且仅当P(E)有一个截面。
令p表示在低空间M上能够具有的最大数目的线性无关向量场，当p=dimM时M被称为可平行化的（parallelizable）。M是可平行化的和F(M)(M的frame bundle)有截面是同一个意思。李群总是可以平行化的，这是因为对于李群G的李代数g，g是G在单位元处的切空间，如果{X1,,,Xn}是g的一组基，则这组标架可以通过群元素的作用而连续地映射到在另一点的标架{sX1,,,sXn}，这样便得到任意点的标架，从而得到F(G)的截面，所以G是可平行化的。对于S^n，只有当n=1,3,7的时候球面才是可平行化的，重要的是这一点和复数，四元数和Cayley数的存在有关系：单位复数在拓扑上是S^1；一个四元数可以写成复数对，单位四元数（和SU(2)同胚）在拓扑上是S^3；Cayley数以此类推。这句话很重要：”It is in this latter sense that parallelizable manifolds are the exception rather than the rule.”其中的latter sense指的是给定任意流形，它不太可能是某个李群的流形，从而导致可平行化。
X或者G如果是可收缩的，则E是平凡的。对于F(M)，结构群是GL(n,R)，这个群不是可收缩的，但它有可收缩的部分。由于GL(n,R)=O(n)×C,C是可收缩的，所以GL(n,R)可以收缩到O(n)。这有两个后果：1，这意味着结构群GL(n,R)可以约化成O(n)，这是一种简化。2，由于每个流形允许一个黎曼度量，度量的存在可以等同的认为是内积的存在(对于切空间的矢量)，并且内积在O(n)下是不变的。GL(n,R)到O(n)的约化等同于对低空间每点赋予了一个正交标架，或者说提供了切空间的内积，所以这提供了底空间上的黎曼度量。
如果GL(n,R)约化到其他子群G，就称M有一个G-结构。当dimM=偶数时，对应的G-结构通常有两种：(i)，G=Sp(n,R)，Sp(n,R)是辛群，在这种情况下，称M有一个近哈密顿量（almost Hamiltonian），或者辛结构（symplectic structure）。(ii)，G=GL(n/2,C)，这种情况下称M有一个近复结构（almost complex structure）。更一般的，如果主丛P(E)有纤维G，并且G是一个联通李群，则G=H×D，其中H是G的最大紧致子群，D是一个（拓扑等价）欧氏空间。从GL(n,R)到O(n)的约化并不是一个典型的G-结构，这是因为：GL(n,R)到O(n)的约化总是可行的，但GL(n,R)并不是总能约化成Sp(n,R)或者GL(n/2,C)，这二者的约化仅当（由示性类组成的）某些整体拓扑条件满足的时候才可能。
Nakahara的书讲主从上的联络用的是将纤维丛切空间分离成“垂直”和“水平”的子空间的方法。主丛上的联络是切空间TP到VP和HP的唯一分解，它满足：1.TP=HP⊕VP
2.P上的光滑矢量场分解成HP和VP空间中分量的和 3.HP是左不变的空间。条件3保证了如果点u被平行移动，则ug也被平行移动。
引入TP到VP的一个投影ω，称为联络1形式，它满足两个性质。定义HP为ω的核。利用这些定义可以证明HP是左不变的，这表明联络1形式的定义和联络的定义是等价的。这样定义的联络1形式被称作Ehresmann联络。
引入规范势（ω的拉回）后，可以吧联络1形式用规范势表出。GTP在给出一个引理后，得到了相容条件，它的分量表示就是规范变换。联络1形式或者{A}（满足相容条件）携带了纤维丛的整体信息。
已知底空间的一条曲线γ，则P中的曲线γ’称为γ的水平提升（horizontal lift），如果γ’的投影是γ，并且γ’的切矢量在水平子空间中。可以得到水平提升的形式化解。GTP在这里举了一个例子，其中P=M×R，平面上单位园的水平提升是一条螺旋线。定义了水平提升后就可以定义平行移动，即P中的点沿着γ’移动。
对于M上的一条闭曲线γ：[0,1]—>M，p=γ(0)= γ(1)，则一般的说γ’(0)≠γ’(1)，所以一条闭曲线定义了纤维上的变换，变换群被称为和乐群（holonomy group）。
曲率2形式联络1形式的协变导数，二者满足Cartan结构方程。回忆在黎曼几何中，曲率是向量移动的变差，纤维丛的情况是类似的，一条闭曲线的水平提升不是闭合的，其差别正比于联系起始点和终点的垂直矢量，曲率描述的就是这个距离。曲率的拉回对应于场强，表示成F=dA+A∧A，还可以得到它在坐标下的分量表示。
这部分后面的物理例子能帮助理解相应的数学概念，除了U(1)规范理论和AB效应，我理解的最好的要属Berry相，其中的主从，联络（对应Berry联络）都赋予了物理意义。Berry猜测绝热态的含时变化和不显含时变化的两类量由动力学相与Berry相的乘积决定。其实由Berry相的定义可以猜到它是由和乐（或者说是联络）所决定的，这一点可以严格证明。Nahahara的书上还举了一个spin1/2粒子在磁场中的Hamiltonian，最后的计算得出系统Berry相是通过一个球面的磁通量（场强的面积分）。
示性类
给定纤维F,结构群G和底空间M后，可以在M上建立很多纤维丛，这依赖于转换函数的选取，这自然引发了两个问题：对于给定的F和G，M上有多少丛和它们相对于平凡丛有多大的差别。示性类是底空间上同调类的子集，它描述了纤维丛的非平凡性（或者扭曲的程度），在这个意义上，他们是避免纤维丛成为平凡丛的障碍。
在引入不变多项式（invariant polynomial）后，讨论Chern-Weil定理，它有两条陈述：(a)dP(F)=0，即曲率2形式的不变多项式是闭的。(b)令F和F’是对应于A,A’的曲率2形式，则不变多项式的差P(F’)—P(F)是恰当的。由(a)可以定义M上的上同调类，(b)保证了这个上同调类与规范势的选择无关。这样定义的上同调类被称为示性类(characteristic class)。紧接着引入了Weil同态和naturality: Weil同态的拉回与拉回丛的同态相等。
对应复矢量丛，可以定义总陈类(total Chern class)：c(F)=det(I+iF/2π)，c(F)=1+c1(F)+c2(F)+…其中每一项被称为陈类（chern class）。GTP上面举了一个G=SU(2)，dimM=4的例子，由行列式展开来计算陈类，但这样的方法比较繁琐，可以将曲率形式作对角化，这样陈多项式可以表示成基本对称函数的和，从而得到陈类的表达式。陈类具有自然性（naturality）,并有c(E⊕F)=c(E) ∧c(F)，证明很简单。
n维矢量丛E的陈类和n个复线丛的Whitney和的陈类相同，尽管E一般来说不是复线丛的Whitney和，但当考虑陈类时，我们可以把二者等同对待，这被称为分离原理（splitting principle）。另外陈类还有一个公理化的定义。
在示性类中，陈特征（Chern character）由于出现在指标定理中，因而其有相当的重要性。总陈特征（total Chern character）定义为ch(F)=trexp(iF/2π)，陈特征可以由陈类表出。GTP给出的例子中有一点值得注意：磁荷N和瞬子数可以表示成陈特征的积分。陈特征同样有自然性。还引入了Todd类，它是陈类的某种组合。
考虑实矢量丛，由于O(k)的李代数生成元是反对称的，场强F也是反对称的。一个反对称矩阵不能由GL(k,R)的子群元素对角化，但它可以分块对角化，这是与陈类不同的地方，这导致了总Pontrjagin类：P(F)=det(I+F/2π)，同样可以导出Pontrjagin类的表达式。
欧拉类定义为Pontrjagin类的平方根。GTP给出了TS^2的例子来说明欧拉类，它在球面上的积分等于2，即S^2的欧拉示性数。将之推广到一般便是Gauss-Bonnet定理：∫e(M)=χ(M)。引入Pfaffian后可以得到欧拉类的表达式。Hirzebruch象征定理: Hirzebruch象征表示为Hirzebruch L多项式在底空间的积分。
对于一般的2j形式的示性类，可以引入Chern-Simons形式，由Stocks定理可以看出它刻画的是流形边界的拓扑。后面的一个场论中的例子比较有意思：在3维时空中，一个规范理论可能具有一个由Chern-Simons 3形式所赋予的规范不变质量项。
指标理论
这一章无疑是整本书的高潮部分（指标定理也是20世纪数学史上公认的一座奇峰：）。正如Atiyah在一次访谈中所说的那样：他更愿意用“指标理论”的提法，而不是“指标定理”，因为前者包含了更为丰富的内容，虽然后者是其初始形态。
指标定理的简化版本其实不难理解，只是需要做一些准备，如解析指标，椭圆算子，Fredholm算子等等。解析指标是算子与其伴算子核空间维数的差：ind D=dim kerD-dim ker D+（D+表示伴算子）。Fredholm算子是核与伴核为有限维的算子，解析指标对Fredholm算子而言是良好定义的（由算子理论知道，紧流形上的椭圆算子是Fredholm算子）利用伴算子可以定义Laplace算子，并且对应一个Hodge分解。类似于上同调群，可以定义Hi=ker Di/im Di-1，有dim Hi=dim Harmi，椭圆复形的指标可以写成Laplace算子核空间维数的交错和，这样定义的指标是Euler示性类的推广。对于de Rham复形，前面定义的Hi就是de Rham上同调群，指标是Euler示性类，由Hodge定理dim H^r=dim Harm^r，于是Euler示性类（Euler类在M上的积分）可以写成dim Harm^r的交错和，这就是一个典型的指标定理！因为右边是一个纯拓扑（不变）量，而左边由微分方程的解决定,是一个解析量。
AS定理和Riemann-Roch定理有很多联系，Nakahara的书在讨论了Dolbeault复形后讨论了Hirzebruch-Riemann-Roch定理，RR定理的热方程证明在讨论弦论的那章中有详细讨论。中间有一节讨论了特征复形（signature complex）和Hirzebruch 特征复形，不过忘得差不多了，有空看看再补上相关内容-_-！。
从自旋复形开始后面的内容是物理上常用的知识。Atiyah-Patodi-Singer指标定理ms和量子场论有很深的联系，不过有一个很关键的地方我没弄懂，就是所谓的”spectral flow”，这个概念肯定有对应的物理，只是我现在暂时还不清楚。
AS指标定理ms有很多证明方法（热方程方法，基于代数k理论的方法等），Nakahara的书为了照顾物理，用的是超对称量子力学的方法，这种方法用了很多物理的术语，所以比较适合学物理的人看。首先讨论的是平直空间中的SUSYQM，然后将之推广到一般流形的情况（SUSYQM的这套方法看上去不可思议，不过并不丑陋^_^）。然后和前面一样，讨论指标，用路径积分来表示指标，后面的推导就是把这个积分凑成标准的形式，就是Dirac算子的指标定理。
量子反常与玻色弦
这两个内容是分作两章讲的，不过由于它们同属于物理部分，所以在这儿写在一起。由于对反常的数学讨论涉及很多同伦的知识，所以当时也只是浏览了一下，这里主要写写物理方面的内容，数学内容以后再补上。
1.反常
如果拉氏量的经典对称性在量子化的过程中不能被保留下来，理论就存在反常，比如手征反常，规范反常和超对称反常等等。由手征对称性导致一个手征流，由于在量子化的过程中拉氏量的手征对称性会被破坏，所以（手征）流守恒方程在量子化后不成立，而存在新的关系，这个关系（关于手征流的方程）被称为反常。Abelian和non-Abelian反常在形式上看起来很相似，但是其中的归一化因子和分数因子有着很深的拓扑起源，这一章后面的内容主要围绕着这个问题展开。
2.玻色弦
这一章主要讨论的是玻色弦（闭的，在26维欧式空间中的定向玻色弦）的单圈振幅，其作用量由Polyakov作用量描述。
作为数学准备，这一章讨论了黎曼曲面的微分几何，（度规，复结构，矢量，形式，张量，协变导数），给出了Riemann-Roch定理（也是一种指标定理）的热方程证明（可以看作是指标定理的一种证明）。总的配分函数可以表示成对应于各种亏格（g圈振幅）的配分函数之和；作用量由两部分构成，一部分是Polyakov作用量，另一部分是Euler示性类（由于这一项是拓扑不变的，所以它不影响弦的动力学）。Polyakov作用量具有对称性，一个是微分同胚下的不变性，一个是共性不变性。这两个对称性在量子化的过程中必须保持，否则理论会有反常。商空间Mod=M/G称为模空间（moduli space），其中G=Diff×Weyl是规范群，M为黎曼面上的度规空间。
接下来的大部分内容是配分函数中测度的推导，这个推导很长，很技术性。中间有一个结构很重要，就是在共形变换下积分测度不变的充要条件是D=26，这个26被称为临界维数（critical dimension），利用这一点可以简化中间结果，最后得到了g圈配分函数的表达式。
在这一章的最后推导了单圈真空振幅。首先是用Teichmuller参数化简因子部分，接着求行列式部分，先求Laplace算子的本征谱，于是行列式被表示成无穷乘积的形式，在求值的时候需要做正规化，由求得的行列式可以得到单圈振幅的表达式。
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