极小曲面

第31 卷第2 期

2001 年3 月

数学的实践与认识

MA THEMA T ICS IN PRACT ICE AND THEORY

Vo l131　No12　

M arch, 2001　

有关极小曲面问题

田立平

(河北理工学院数理系, 唐山　063009)

摘要: 　本文阐述了有关极小曲面问题的研究状况以及主要研究方法, 指出目前存在尚未解决的一些问题.

关键词: 　极小曲面; 临界点; 退化和非退化;Mo rse 理论; 拓扑结构

1　引　　言

收稿日期: 2000206206

　　极小曲面最早是由P lateau 据“肥皂泡现象”提出的, 故又称P lateau 问题. 由于它在理

论研究和自然科学及工程技术领域应用方面的重大价值, 该问题自十九世纪二三十年代提

出开始便一直成为许多学者研究的重要课题. 其中一些主要代表人物有J esse

Douglas[ 5～ 7 ] , Cou ran t[ 2～ 4 ] ,Mo rse[ 9～ 10 ] , Bohm e2T rom ba[ 1, 19～ 21 ] , Th iel[ 18 ] , Schuff ler[ 13～ 15 ]和

M ichael st ruw e[ 16～ 17 ]等. 他们在如何解释“肥皂泡现象”; 极小曲面是否存在? 在什么条件下

存在? 若存在时是否稳定? 极小曲面的形状如何? 极小曲面的数目有多少? 等一系列问题

展开了深入的研究, 并相继产生了大量研究成果. 本文就极小曲面问题的主要研究方法及

现状给予概述, 并据自己的看法提出目前存在尚未解决的一些问题, 从而为研究人员和广大

学者提供了未来研究的方向.

2　极小曲面的分类

极小曲面可从以下三种不同角度进行分类: 从几何角度, 有单侧和双侧之分; 有单一边

界所围和多个边界所围曲面之分; 有单连通极小曲面和复连通极小曲面之分[ 18, 20 ] , 对于一

条和两条边界所围部分极小曲面又有园盘形, 柱形、园环形、月牙形和Mob iu s 带形之分; 对

于多条边界所围部分极小曲面又有带“洞”, 带“柄”和球形等不同形状之分[ 6, 15 ]. 从分析角

度, 有稳定极小曲面和非稳定的之分[ 9, 15 ]; 有极小类型的极小曲面和非极小类型的之分; 有

可退化的极小曲面和非退化的之分. 从拓扑角度, 有低拓扑结构的极小曲面和高拓扑结构

的之分; 低亏格的极小曲面和高亏格的之分[ 3, 7, 10, 13, 19 ].

3　极小曲面问题的主要研究方法

由于极小曲面问题是新兴起的一个数学分支, 涉及到代数、几何、拓扑、泛函等许多方面

知识, 因而研究方法尚无固定模式和理论体系, 但主要方法有如下几种:

1) 分析法

该方法是较古老的方法之一, 其基本思想是用多面体面积近似替代极小曲面的面积, 即

用面积的极小极限值表示极小曲面. 该方法的优点是简明直观, 较好地体现了精典的数学

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分析方法, 但计算量大, 研究过程繁杂[ 4～ 5, 9 ].

2) 变分法

该方法建立在分析法基础之上, 其基本思想是将极小曲面问题转化成一个面积泛函的

极值问题, 即D irich let 积分问题, 该方法克服了分析法中计算繁杂等缺点, 比较简捷, 易于

接受, 故十九世纪中期被许多学者所采取. 该方法的局限性是在一般情况下,D irich let 泛函

是不光滑, 甚至有时都不连续[ 1, 11～ 12, 16 ].

3) 拓扑几何方法

由于极小曲面在形状及拓扑结构上存在差异, 为更好地揭示这些现象, 学者们采用了拓

扑度原理和几何方法相结合的手段进行研究. 该方法是较有吸引力的, 但一般只限于研究

极小曲面的存在性及形状分析, 用好该方法实属不易, 因而未被广泛采用[ 3, 10, 13, 18, 21 ].

4) Mo rse 理论用于极小曲面问题的研究

该方法由Mo rse 率先提出并使用, 故称Mo rse 理论方法. 其基本思想是引入广义导数

和最陡梯度概念, 在收敛条件下将极小曲面与一个泛函的临界点紧密联系起来. 主要结论

是泛函的临界点即为极小曲面. 该方法采用了近代数学手法, 通俗易懂, 计算简单, 而且解

决不同边界在不同条件下极小曲面的存在性, 稳定和非稳定性, 并对极小曲面数目问题有了

较好的结果. 可以说用微分观点研究极小曲面问题在八十年代已成为新的趋

向[ 1, 9, 11, 18, 20～ 22 ].

4　极小曲面问题研究的进展状况

对该问题的研究是从如下几个方面开展的.

11 从所围极小曲面的边界曲线上:

1) 从边界曲线个数上, 首先研究由一条曲线所围极小曲面的存在性、稳定性、形状及数

目, 主要结论为在一定条件下由一条曲线所围极小曲面有稳定的和非稳定的两种, 形状有园

盘类型的, 并可给出极小曲面数目的最小值. 其次, 研究由两条边界曲线所围极小曲面的情

况, 主要结果为存在稳定的和非稳定的极小曲面, 极小曲面一定有园柱状的, 月牙状的, 环状

的和Mob iu s 带状的, 显然在在极小曲面的形状上产生了新的结果. 再次, 对有限多条边界

所围极小曲面问题进行了深入探讨, 得出: 既存在稳定的极小曲面又存在非稳定的极小曲

面, 而且存在复连通, 高亏格, 高拓扑结构的极小曲面, 形状上有带“洞”, 带“柄”的极小曲面,

在引入Mo rse 指数和建立Mo rse 不等式条件下, 对K 条边界所围极小曲面的个数给出大致

估计, 即极小曲面的个数一定是有限的, 并给出数目的最小下界. 从此, 在极小曲面的形状

和数目的研究比以往出现了大量新的成果[ 8, 15, 20 ].

2) 从边界曲线的固定性角度, 首先对边界曲线全部固定这一最简情况进行了研究, 继

而对部分边界固定, 部分不定这一较复杂情况进行了探讨, 并提出边界曲线全不固定可否围

成极小曲面这一非常复杂的问题.

3) 从边界条件的线性与否考虑, 在对线性边界条件下进行了研究并得出许多可喜成

果, 继而对非线性边界问题进行了探讨.

4) 从边界曲线相交性方面, 首先对不相交的情况进行了研究, 其次在只有一个公共点

时的情况进行了探讨, 在公共点多于一个时相交曲线所围极小曲面问题未见报导[ 3, 6, 8, 22 ].

21 从空间及维数方面

2 期田立平: 有关极小曲面问题241

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首先在欧氏空间中解决了R 3、R 4 及R N 中的极小曲面问题, 特别在空间, 在N ≥4 条件

下, 任意有限个边界, 任意拓扑结构的极小曲面的存在性, 稳定性得到解决, 其次由N 空间

推广到希尔伯特空间, 最后在同胚、“浸入”、“嵌入”意义下, 研究了微分流形上极小曲面(流

形) 的存在性, 稳定性, 在特定无穷维空间上也得出关于极小曲面问题的一些结果[ 1, 16, 18 ].

31 从拓扑结构上

从低拓扑结构的极小曲面问题到高拓扑结构的极小曲面的研究, 从单连通的极小曲面

到复连通的, 从亏格为O 和1 的低亏格的极小曲面到高亏格的, 并给出亏格数、B itle 数、极

小曲面的“柄”数和边界曲线个数K 之间的数量关系, 从理论上进一步阐述了极小曲面的分

析、代数、几何、拓扑性质, 从而将极小曲面问题的研究上升到了新的理论高度.

4) 从处理问题的方法上

从处理问题的方法上层层递进, 从原始精典的分析方法到传统的变分原理, 从传统的变

分原理到近代的拓扑几何方法, 在近代拓扑几何方法基础之上, 将M orse 理论应用于极小曲

面问题的研究, 使用微分思想研究极值这一精典理论在此得到升华. 简言之, 对极小曲面问

题的研究是从所围极小曲面的边界曲线性质, 拓扑结构、研究方法、形状和数目方面逐渐进

行的[ 7, 10, 13, 19, 21～ 22 ].

5　存在及尚需解决的问题

综上所述可见, 尽管经过几十年的研究, 学者在极小曲面问题这一领域取得了很大进展

并也涌现出大量研究成果, 但仍存在一些悬而未解的问题, 主要问题归纳如下:

1) 极小曲面的形状问题有待进一步研究. 目前只给出由一条曲线和两条不交或只有

一个交点曲线所围的部分极小曲面的形状, 其它类型极小曲面还一无所知.

2) 极小曲面数目仍是个谜. 切确知道有限条边界曲线所围极小曲面的个数显然是学

者们关心的问题. 而目前就连一个边界围成的单连通极小曲面这一最简单情况下的极小曲面

个数上界都无法得出, 至于多条边界所围具有高拓扑结构的极小曲面的切确数目更无结果.

3) 稳定的、不稳定的及唯一的极小曲面存在的充分条件急待给出, 无疑这类问题对工

程技术人员和实际应用是最为重要的.

4) 对无穷维空间、自由边界和非线性边界以及边界之间的公共点多于一个时的极小曲

面问题, 目前尚无进展结果, 有待进一步研究. 笔者认为以上四方面的问题是未来学者们研

究的主要方向, 同时也坚信在不久的将来这些问题定会得到解决, 并广泛应用于实际之中.

6　用M orse 理论对环状极小曲面问题的研究

11 文中所用符号意义和假设:

1) B = {X= (u, v ) = reiUû ûXû< 1}; #

1, #

2 为R N (N E 2) 中属于CS (S E 3) 的两个不相交

的有向Jo rdan 曲线; ri: 5B →#

i, i= 1, 2 是同胚映射.

2) A Q= {X∈B ûQ< ûXû< 1}表示R 2 中由C1= 5B , C2= C2 (Q) = {Xû ûXû= Q, 0< Q< 1}所

围圆环: X ∈C2 (A Q, R N ) ∩C0 (A

v

Q, R N ) 是问题P (#

1, #

2) 的解曲面; X û

Ci: Ci→#

i 为#

i 的弱单

值有向参数化映射⋯⋯(211) , X û 5B ∶5B →# 是# 的弱单值有向映射⋯⋯(212).

3) S (#

1, #

2) = {X ∈H 2∩C0 (A

v

Q, R N ) û0< Q< 1, X û 5A Q 满足(211) , S (# ) = {X ∈H 1, 2∩

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C0 (B

v

, R N ) û , X û 5B 满足(211) , S

3 (#

j ) = {X ∈S (#

j ) ûX e

2Pk i

3 = Q j , k = 1, 2, 3, j = 1, 2,Q kj

表

示#

j 的有向三重切点}, S

3 (#

1, #

2) = {X ∈S (#

1, #

2) ûX (1) = Q 31

}

4 ) H 1 (B , R N ) = H 1, 2 (B , R N ) , H

12

( 5B , R N ) = H

12

, 2 ( 5B , R N ) , M =

x ∈H

12

∩C0 (R , R ) x 非减且x (U+ 2P) = x (U) + 2P, M

3 = {x ∈M û x

2kP

3

=

2kP

3

, k= 1, 2, 3

5) u= {x

→= (x 1, x 2, Q) û x 1, x 2∈M , 0< Q< 1, 5u= {x

→= (x 1, x 2, 0) û x 1, x 2∈M , E(X

→ ) =

D (X (X

→ ) ) , 其中D = (X ) =

1

2∫A Q

û¨X û 2dX, u

3 = {x

→= (x 1, x 2, Q) ∈ uûx 1 (0) = 0, 5u

3 =

{x

→= (x 1, x 2, 0) ∈ 5uûx 1, x 2 ∈M

3 }.

6) 假设条件: P (#

1) , P (#

2) 的两个解X 1, X 2 之间总存在一个正常数距离.

11 几个定义

定义1　设A (X

→ ) :H

{

→H

{

是一个由(A (x

→) , U, W)H

{ = d 2E(x

→) (U, W) 给出的自交映射, (其

中H

{

= H

{

-

©H

{

+ , H = H

12

×H

12

,H

{

= H ×R ) , 若映射A (x

→) 的核是平凡的, 则临界点x

→∈u

3

是非退化的, 称dimH {

- 为x

→的Mo rse 指数.

定义2　设A (X

→ ) : H →H 是一个由(A (x

→) , U, W)H

{ = d 2E(x

→) (U, W) 给出的映射, 若A (x

→)

的核是平凡的, 则临界点x

→= (x 1, x 2, 0) ∈5u

3 是非退化的, 称dimH - 为x

→的Mo rse 指数.

定义3　若点x

→是非退化的, 则称曲面X = X (x

→) , (x

→∈u

3- ) 是非退化的, 且X 的Mo rse

指数即为x

→的Mo rse 指数.

21 引理和定理

引理1　x

→∈u 是临界点当且仅当曲面X = X (x

→) 是问题P (#

1, #

2) 的解; x

→∈5u 是临界

点当且仅当X (x

→) = (X 1, X 2) 中的X i 是对应P (#

i) 的解, i= 1, 2.

引理2　令x

→

0, x

→

1∈u

3- , P = {p ∈C0 ( [ 0, 1 ], u

3- ) û p (0) = x

→

0, p (1) = x

→

1}, B= inf

p ∈P

sup

0F tF 1

E(p ( t) ) > m ax{E(x

→

0) , E(x

→

1) }= B

0 则B是E的一个临界点.

定理1　i) 令d = inf{D (X ) ûX ∈S (#

1, #

2) }, d

3 = inf{D (X 1) + D (X 2) ûX i∈S (#

i) , i=

1, 2}若d < d

3 , 则存在一个由#

1, #

2 生成的环状极小曲面.

ii) 设#

1, #

2 满足假设条件(6) , X 是由#

1, #

2 所界的严格相对极小的极小曲面, 则或者

存在一个与X 几何形状不同的极小曲面, 或者存在相对与P (#

1 ) 和P (#

2 ) 的一对极小曲

面, 而且其中至少有一个是不稳定的.

定理2　设#

1, #

2 满足假设条件(6) , 且生成一个非退化的园盘状或园环状的极小曲

面, 则: i) 问题P (#

1, #

2) , P (#

1) , P (#

2) 至多存在有限多个几何、形状完全不同的解.

ii) 若A< B< C, 且B是E在[A, C]上的唯一临界点, 则L

3

C 是与带有k 个类型分别为C

1,

C

2, ⋯, C

k 的彼此不相连的柄的L

3

A 同伦等价, 其中x

→

1, x

→

2, ⋯x

→

k 是E∈L

3

C L

3

A 的具有Mo rse 指

数为C

1, C

2, ⋯, C

k 的临界点.

iii) 令Cm 表示问题P (#

1, #

2) 或P (#

1) , P (#

2) 的具有Mo rse 指数为m 的解的总数, 则

有如下Mo rse 关系:

(1) C0

E 1, Cm

E 0,m E 1, (2) Σ

l

m = 0

(- 1) l- mCm

E (- 1) l , (3) Σ

∞

m = 0

(- 1)mCm = 1.

2 期田立平: 有关极小曲面问题243

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推论É 　设#

1, #

2 满足假设条件, 且由#

1, #

2 生成的所有极小曲面均是非退化的, 则若

存在一个由#

1, #

2 所界的非退化环状极小曲面X , 则P (#

1, #

2) 一定存在与X 几何形状不

同的其它解, 而且它们中至少有一个是不稳定的.

注　限于篇幅, 引理及定理的证明略, 可参见[1, 16, 19, 20, 22 ].

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On the Problem forM in imal Surface

T IAN L i2p ing

(Department ofM athemat ics and Physics, Hebei Inst itute of Techno logy, Tangsan　063009)

Abstract: 　In th is paper, the development and metods fo r studying m inimal surface are

review ed, some p roblem s, w h ich haven′t so lved ard po inted out.

Keywords: 　m inimal surface; crit ical po int; Degenerate and non2degenerate; Mo rse theo ry;

Topo logical st ructure

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