phymath999: 劇變論(二) 摺點劇變、尖點劇變與燕尾點劇變

Wednesday, March 20, 2013

劇變論(二) 摺點劇變、尖點劇變與燕尾點劇變

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．原載於科學月刊第八卷第三期

劇變論(二)
摺點劇變、尖點劇變與燕尾點劇變

蕭欣忠

五、燕尾點劇變

當你讀過了上期對於董禮內教授以及他所創造的劇變論的介紹之後，可能你還記得他的劇變論帶來了一大堆新的定性的語言詞彙，我們現在想把一些最簡單、最實用的詞彙介紹出來。當你學會了這些，你就開始會運用劇變論了。

一、摺點劇變

大家對多項式都很熟悉，因此我們就來考慮一個以 x 為變數的多項式 V(x)。假設 V(x) 沒有常數項，因此 V(0)=0。取 V(x) 的導數 V'(x) 以及第二次導數V''(x)，我們特別有興趣考慮那些滿足V'(x)=0以及V''(x)=0的點。舉例來說，令 $V(x)=\frac{1}{3} x^3+ax$ ，則 V'(x)=x²+a，V''(x)=2x。首先考慮 V'(x)=0，則 $x=\pm\sqrt{-a}$ ，因此當a>0時，實根不存在。V(x)的圖形如圖一所示，沒有什麼極大或極小出現。但若a<0，則x有兩個實根，其中 $\sqrt{-a}$ 為極小， $-\sqrt{-a}$ 為極大。當 a=0，則有重根，極大與極小相重疊而消失。如果把 V(x) 想成一個位函數（potential function），而其極小代表一種穩定的物理狀態（通常極大不具有任何物理意義），則當 a<0 時，只有一個極小，因此表示我們有一種物理現象或穩定的物理狀態。但是當 a 由負值變為正值，則不再有任何極小存在，這表示此物理現象之消失。反之，若 a 由正變到負，則表示某種物理現象之出現。發生這種出現或消失的不連續變化的所在可藉解 V'(x)=0 及 V''(x)=0 而得；即 x=0 故 a=0。我們稱a=0這點是一個奇異點。在這點附近，a值微小的變化能決定某物理現象之出現或消失。圖二中我們畫出 V'(x)=x²+a=0 的拋物曲線，但通常把這曲線往上平移到 Q 點（平移的原因請讀下一個例子）。上支實線代表極小，下支點線代表極大。這拋物現在 a 軸的投影構成負 a 軸。這樣的圖形叫做摺點劇變（fold catastrophe）模型，O 點（或即 Q 點）稱為摺點。當控制因子（control factor）a 小於 0 時有一個極小存在，但 a 大於 0 時極小消失，因此摺點劇變的模型中的摺點，能用來表達某種現象之出現或消失的不連續變化。