phymath999: 当质点沿曲线反向. nbxzhy020.gif (26964 字节). 绕了一周，r'就在单位圆上沿反向绕了二周nθ=-2

质点运动的位移与路程都是与时间相关的物理量，前者是矢量，后者是标量。位移是一段时间里质点的初位置到末位置的有向线段，路程则是质点运动路线的长度，即初位置至末位置间的轨迹曲线的长度。因此，曲线运动质点一段时间里的路程肯定大于位移的大小。如果质点沿闭合曲线运动一周，则这段时间里的位移为零，而路程等于闭合曲线的周长。

2．曲线运动的速度与速率

速度的方向就是质点的运动方向，运动的方向时刻在变化着。质点沿曲线轨迹运动，总是沿着轨迹的切线运动，因此，速度的方向时刻改变着。速率是速度大小，曲线运动中，质点的速度方向肯定是变化的，但速度的大小，即速率却可能不发生变化，比如匀速圆周运动。因此，曲线运动是变速运动。曲线运动质点某时刻的瞬时速度的方向，就是该时刻质点在曲线上所处位置的切线方向。

3．曲线运动的加速度

对于曲线运动的质点，由于它的速度方向在时刻变化，它的速度是时刻变化着的。因此，曲线运动质点的加速度是不会等于零的，且加速度的方向与速度方向不会在一条直线上。二者方向间的夹角小于90^o时是加速曲线运动，如斜下抛、平抛运动、斜上抛运动的下降阶段；二者方向间的夹角大于90^o时是减速曲线运动，如斜上抛运动的上升阶段。如果加速度的大小方向均保持不变，是匀变速曲线运动，如各种抛体运动。如果加速度的方向始终与速度方向垂直且大小不变，质点做匀速圆周运动。

例1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内

A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变

B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变

C．速度可以不变，加速度一定不断地改变

D．速度可以不变，加速度也可以不变

解析：曲线运动是变速运动，速度一定是时刻变化的，因此，加速度肯定不等于零，但加速度是否变化，不取决于速度，而是取决于质点所受外力是否变化。合力恒定，加速度恒定；合力变化，加速度变化。本题选B。

点评：曲线运动质点的加速度可以恒定，也可以变化，但加速度方向与速度方向一定不在一条直线上；曲线运动质点的速度大小可以变化，也可以恒定，但速度方向一定是时刻变化的。

4．曲线运动质点的合力

曲线运动质点的加速度不等于零，由牛顿第二定律可知，质点所受外力的合力肯定不等于零，且合力方向与速度方向不在一条直线上。若合力恒定，质点做匀变速曲线运动，如各种抛体运动。否则是非匀变速曲线运动。如果合力方向与速度方向的夹角小于90^o，是加速曲线运动；夹角大于90^o，是减速曲线运动。匀减速曲线运动中，当速度方向与合力方向垂直时，速度减至最小，接着讲匀加速曲线运动，如斜上抛运动，质点经过轨迹最高点前是匀减速曲线运动，之后是匀加速曲线运动。如果合力方向与初速度方向的夹角等于90^o且恒定，是平抛或类平抛运动。

例2．关于运动物体的轨迹与所受合力的关系，下列叙述中正确的是

A．受恒力作用的物体一定作直线运动

B．做曲线运动的物体一定受变力作用

C．做曲线运动的物体，所受合外力必不为零

D．受变力作用的物体，一定做曲线运动

解析：曲线运动质点的加速度不等于零，由牛顿第二定律可知，合力肯定不等于零。若合力恒定，且与速度方向在一条直线，质点将做匀加速（同向时）或匀减速（反向时）；若合力恒定但不与速度方向在同一条直线，质点将做匀变速曲线运动。A、B错C对；质点无论受变力作用，还是恒力作用，只要合力方向与速度方向不在同一条直线，质点必定做曲线运动。D错。本题选C。

5．质点做曲线运动的条件

综上所述，质点做曲线运动的条件就是，质点所受合力不等于零且方向与运动的速度方向不在同一条直线上。或者说加速度不等于零且方向与速度方向不在同一条直线上。

例3．在地面上观察下列物体的运动，其中物体做曲线运动的是

A．向东运动的质点受到一个向西的力的作用

B．正在竖直上升的气球突然遭遇一阵北风

C．河水匀速流动，正在河里匀速驶向对岸的汽艇

D．在以速度v行驶的列车上，以相对列车的速度v水平向前抛出的一个小球

解析：向东运动的质点受到向西的力作用，力的方向与速度方向在同一条直线上，将做直线运动，先是向东减速直线运动，当速度减至零后向西加速直线运动。正在竖直上升的气球具有竖直方向的速度，受到的风力向东，与速度方向不在同一直线上，将做曲线运动，相对于地面，它一边上升一边向北偏移。北风过后，虽只受重力作用，但它的速度方向已不在竖直方向，将继续曲线运动。河水匀速流动，汽艇匀速驶向对岸，相对于地面，汽艇同时具有随水匀速流动的分速度与匀速驶向对岸的分速度，按平行四边形定则，合速度大大小、方向均恒定不变。所以，汽艇相对地面的运动是直线运动。在匀速行驶的列车上以相对列车向前的方向水平抛出小球，相对于地面小球具有水平方向的速度，而所受重力（合力）却竖直向下，二者方向不在同一条直线，小球做曲线运动。本题选BD。

例4．一个物体在几个恒定的共点力的作用下，保持平衡状态，如果撤去其中一个力F₁，而其余力保持不变。关于该物体的运动，下列说法中正确的是

A．可能沿着F₁的方向做匀变速直线运动

B．可能沿着F₁的反方向做匀变速直线运动

C．可能做匀变速曲线运动

D．可能做匀速圆周运动

解析：由于受力质点处于平衡态，各力的合力为零，所以F₁与其它力的合力等值反向。如果质点原来处于静止状态，则撤去F₁后，质点将沿其余各力的合力方向（F₁的相反方向）匀加速直线运动。如果质点原来处于匀速直线运动状态，若速度方向与F₁方向在同一条直线上且同向，撤去F₁后，质点做匀减速直线运动，速度减至零后，将沿F₁的相反方向匀加速直线运动；若速度方向与F₁方向在同一条直线上且反向，撤去F₁后，质点做匀加速直线运动。若质点的运动速度方向与F₁方向不在同一条直线上，撤去F₁后，质点将做匀变速曲线运动。即使F₁方向与速度方向垂直，撤去它之后，其余力的合力也只是与撤去F₁时刻的速度方向垂直，并不是一直与速方向垂直。所以，质点不会做圆周运动。本题选ABC。

点评：决定质点是直线运动还是曲线运动，不在于合力是否恒定，关键是合力方向与速度方向在不在同一条直线上。

二、分析求解曲线运动问题的两种思路

对于曲线运动问题的分析与求解，常见的思路与方法有两种，一是将曲线运动按平行四边形定则分解为同时进行着的两个直线运动，这是将复杂运动化解为简单运动的策略。另一种是将曲线运动近似看成圆周运动（定性分析类问题）或利用曲率圆将一般曲线化解成一个个的圆，质点经过曲线上各点时的运动，就相当于沿曲率圆经过该点。这是将一般的运动化解为特殊运动的策略。

1．运用运动的分解与合成分析求解

质点运动的速度、加速度、位移均为矢量。可将曲线运动的速度、加速度、位移按平行四边形定则分解，这就将曲线运动分解为两个同时进行着的直线运动，按直线运动的有关公式求出两个分运动的速度、加速度、位移，再按平行四边形定则求出两个分运动的速度、加速度、位移的和速度、合加速度、和位移，就是曲线运动的速度、位移、加速度。

例5．如图1所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ。一物块沿斜面从上方顶点P水平射入斜面，从右下方顶点Q离开斜面。求物块入射的初速度。

解析：物块抛出后，所受合力是重力沿斜面的分力，它与初速度方向垂直，物块将做匀变速曲线运动。由于斜面光滑，被水平抛出的物体在水平方向不受外力作用，将以初速度做匀速直线运动；在沿斜面向下方向，对物体运用牛顿第二定律有：，解得：。由此可知，沿斜面方向，物体做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动。设抛出时的速度为v_o，运动时间为t，对物体上述两个方向的运动分别有：，。解得：。

点评：两个分运动，具有同时性与独立性。对曲线运动的分解，一般按曲线运动的实际效果确定分运动的方向。

例6．如图2所示，在水平地面上有高度为H的竖直立杆，在距离立杆L处，以抛射角θ向立杆顶部抛出一个小球，若不计空气的阻力，要使小球在上升阶段恰能掠过杆顶，小球的初速度应是多大？

解析：

方法一：如图3所示，将小球的运动分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀减速直线运动。则从小球被发射到经过杆顶，在水平方向有：；在竖直方向有：。解得：。

方法二：如图4所示，将小球的运动分解为初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动。则对初速度方向上的匀速运动有：；对竖直方向的自由落体运动有：。解得：。

点评：对曲线运动的分解，也可按解题需要，本着简化运算的原则，确定分运动的方向。

2．运用圆周运动分析求解

在定性分析类曲线运动问题中，可将一般曲线运动近似看成圆周运动的一部分，圆心在曲线的凹测，按圆周运动进行分析求解。对于定量计算类问题，可在质点经过处做出与曲线凹测相切的圆（曲率圆），求出此圆的半径（曲率半径），将质点经过曲线上该点的运动，看成沿曲率圆运动经过该点。

例7．一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）

解析：带点质点只在电场力作用下做曲线运动，电场力（合力）方向应沿电场强度的反方向，又要指向曲线的凹测（相当于圆的圆心），又由于速率递减，合力方向与速度方向（轨道切线）的夹角要大于90^o。只有D选项所示符合条件。本题选D。

例8．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图5-a所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度v_o抛出，如图5-b所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是