所以，并不能说应为度规是内秉的，所以外曲率张量也是内秉的
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学渣霸
- 丽雅Leah
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Planck11
你所说的是从高维流形的度规来“诱导”出低维上的度规，但事实上后者是可以内秉存在的。
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嗯嗯，是的，我的意思正是觉着，如果第二形式（切向量）是诱导的，那与之匹配的度规也应当是诱导的，而度规确实可以有内禀的，那就不需要嵌入，但切向量也是内禀的，那样，可能无法几何化，也可能无法与外曲率的形式相匹配，但这样好像没有什么不自然的吧？
至于各种奇异的非黎曼或者病态的流形，我就真完全不了解了，呵呵。
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嗯嗯，是的，我的意思正是觉着，如果第二形式（切向量）是诱导的，那与之匹配的度规也应当是诱导的，而度规确实可以有内禀的，那就不需要嵌入，但切向量也是内禀的，那样，可能无法几何化，也可能无法与外曲率的形式相匹配，但这样好像没有什么不自然的吧？
至于各种奇异的非黎曼或者病态的流形，我就真完全不了解了，呵呵。
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英语难民
- 一直想思考
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SUSY9
酱油的，太多了，没细看。
说2个有趣的事情，几何的定义用纯几何的意思是什么？不明白，难道我流形的微分结构定义还都不能用映射来定义么？你也许说既然代数定义和几何定义等价，为什么不采用几何方法了，事实上流形本身，据说在代数几何里也有另外的定义，看你研究问题的角度了。
我也可以选择标架让“黎曼曲率”为0了，只要扭量不为0所谓的T理论，之前好多宇宙学家灌水算f（T）微扰..虽然我认为f(T)是错的，T当然是对的。
所以建议说曲率，不要顺便召唤黎曼大人
说2个有趣的事情，几何的定义用纯几何的意思是什么？不明白，难道我流形的微分结构定义还都不能用映射来定义么？你也许说既然代数定义和几何定义等价，为什么不采用几何方法了，事实上流形本身，据说在代数几何里也有另外的定义，看你研究问题的角度了。
我也可以选择标架让“黎曼曲率”为0了，只要扭量不为0所谓的T理论，之前好多宇宙学家灌水算f（T）微扰..虽然我认为f(T)是错的，T当然是对的。
所以建议说曲率，不要顺便召唤黎曼大人
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英语难民
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SUSY9
回复：32楼
黎曼大人的几何是chern大人的子群。
GL（n.R)={A属于R（n） detA不等于0}
话说一个简单的线性代数基本理论知道，任意非奇异举证A可分解为正交矩阵B属于O（n）与正定对称矩阵C的积。
而0（n）就是黎曼几何所需要的局部群。
我很奇怪的是，这是线性代数的基本理论么?怎么没印象学线性代数看到过这个基本定理了...
黎曼大人的几何是chern大人的子群。
GL（n.R)={A属于R（n） detA不等于0}
话说一个简单的线性代数基本理论知道，任意非奇异举证A可分解为正交矩阵B属于O（n）与正定对称矩阵C的积。
而0（n）就是黎曼几何所需要的局部群。
我很奇怪的是，这是线性代数的基本理论么?怎么没印象学线性代数看到过这个基本定理了...
似乎被岔楼歪得太过分了……………………
度规是一个流形的内秉性质，保角映射则保持流形的度规并将其嵌入到高维中，所以应当是对嵌入方式给出了一个限制。而流形在高维中才能谈起它的切矢量这么个东西吧，所以在谈论内秉性质的时候不存在这个东西吧。就好比如果没有嵌入的话，谈论第二形式是没有意义的。
所以，并不能说应为度规是内秉的，所以外曲率张量也是内秉的。
事实上，平面也可以嵌入成一个外曲率张量非零的子流形啊，难道你能说平面的内秉曲率就因为外曲率非零而非零了吗？
还是别岔楼了，风神明显被岔得在说和主题无关的话了……
度规是一个流形的内秉性质，保角映射则保持流形的度规并将其嵌入到高维中，所以应当是对嵌入方式给出了一个限制。而流形在高维中才能谈起它的切矢量这么个东西吧，所以在谈论内秉性质的时候不存在这个东西吧。就好比如果没有嵌入的话，谈论第二形式是没有意义的。
所以，并不能说应为度规是内秉的，所以外曲率张量也是内秉的。
事实上，平面也可以嵌入成一个外曲率张量非零的子流形啊，难道你能说平面的内秉曲率就因为外曲率非零而非零了吗？
还是别岔楼了，风神明显被岔得在说和主题无关的话了……
回复：34楼
和插楼没关系.....我好象看错了....总之我觉得直观的曲率而且是内禀的就应该是高斯曲率了吧....毕竟用黎曼联络算的黎曼曲率在二维下就得到二维高斯曲率.
回复：35楼
他的意思应该是说法矢.
和插楼没关系.....我好象看错了....总之我觉得直观的曲率而且是内禀的就应该是高斯曲率了吧....毕竟用黎曼联络算的黎曼曲率在二维下就得到二维高斯曲率.
回复：35楼
他的意思应该是说法矢.
39楼：
黎曼情形下的话，我所说的几何意义上的适配和代数意义上的适配就是等价的，所以无法体现出区别了啊。
但我想，既然描述曲面弯曲情况的第一形式是度规，从而是度量，那用几何意义的适配（在一些非黎曼情况下才有区别）应该才能更加直接和自然地描述出曲面的弯曲情况，而不是代数意义上的那个适配。
黎曼情形下的话，我所说的几何意义上的适配和代数意义上的适配就是等价的，所以无法体现出区别了啊。
但我想，既然描述曲面弯曲情况的第一形式是度规，从而是度量，那用几何意义的适配（在一些非黎曼情况下才有区别）应该才能更加直接和自然地描述出曲面的弯曲情况，而不是代数意义上的那个适配。
回复：40楼
问题就是非黎曼下什么叫做几何意义.曲率的几何意义可能是曲线切矢对参数的导数.Finsler下有些东西做得完全没意义．大多数东西都要抽象化的，比如说欧拉示性类，原来是纯拓扑的凸凹顶点之类，后来进化到代数拓扑的同调群维数乃至微分几何的G-B定理．但都是一样的．
问题就是非黎曼下什么叫做几何意义.曲率的几何意义可能是曲线切矢对参数的导数.Finsler下有些东西做得完全没意义．大多数东西都要抽象化的，比如说欧拉示性类，原来是纯拓扑的凸凹顶点之类，后来进化到代数拓扑的同调群维数乃至微分几何的G-B定理．但都是一样的．
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英语难民
- 一直想思考
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回复：34楼
微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。
------------------------------------------------------------
微分几何中，流形的曲率是由联络给出的。里面包括riemann张量。
----------------------------------------------------------------
事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一给出的，并不需要度规的参与——这里先不做联络与度规的适配。
-------------------------------------------------------------------
我在某楼已经举了一个有趣的例子了，T理论，你难道不愿意看看么?您这里的的还能叫做普通意义上的Ricci张量吗？
那么，是否可以说，流形的局部“弯曲”性质和“平移”性质只由联络唯一确定？
那样的话，就有一个很有意思的问题了：为什么要做联络与度规的适配？
----------------------------------------------------------------
联络与度规适配是选择“某”一种联络的方式，或者结构要求。这种选择可以描述所有几何的量，当然我举得例子也说了，我也可以选择另外一种等价描述方式。
---------------------------------------------------------------
我们是否可以给出一个流形，只有联络而没有度规，但一样可以描述这个流形的所有整体和局部弯曲性质？
另，联络与度规的适配为何要是现在这种形式？
-------------------------------------------------------------
可能，只是在没有附加度规的结构时候，你必须知道另一个附加结构是什么才可以描述
-------------------------------------------------
联络给出了局部“平移”的性质，或者，更准确地可以说是流形上平移与流形所给参照系的平移之间的“偏差”。而度规给出的是局部的“度量”性质或者说“内积”性质。虽然说度量和“平移”都是几何量，但为什么要用现在这种形式将两者联系起来？
--------------------------------------------------------------------
我更倾向联络，是截面之间的映射关系。
我把内积当成标量场来看，你认为这是几何的吗？“为什么这种形式联系起来”
我感觉我很难回答，至少我认为我回答的你肯定不满意。
-------------------------------------------------------------
从形式上看，现在的适配条件更多的是一种“代数规则”：缩并与微分是可交换的。但这种形式是如此地代数，以至于不能很直观地看出其中的几何联系。
相比来说，从测地线来给出适配似乎更加“几何”一点：
----------------------------------------------------------
对于黎曼几何，如你所说测地线也许更“几何”一点，也如你所说，对于抽象来说，测地线很难推广到一般几何的，不是所有的力都像引力那样解释成时空的弯曲。
微分几何中，流形的曲率（Riemann张量）是由联络给出的。
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微分几何中，流形的曲率是由联络给出的。里面包括riemann张量。
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事实上，双下标的Ricci张量也可以说是由联络唯一给出的，并不需要度规的参与——这里先不做联络与度规的适配。
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我在某楼已经举了一个有趣的例子了，T理论，你难道不愿意看看么?您这里的的还能叫做普通意义上的Ricci张量吗？
那么，是否可以说，流形的局部“弯曲”性质和“平移”性质只由联络唯一确定？
那样的话，就有一个很有意思的问题了：为什么要做联络与度规的适配？
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联络与度规适配是选择“某”一种联络的方式，或者结构要求。这种选择可以描述所有几何的量，当然我举得例子也说了，我也可以选择另外一种等价描述方式。
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我们是否可以给出一个流形，只有联络而没有度规，但一样可以描述这个流形的所有整体和局部弯曲性质？
另，联络与度规的适配为何要是现在这种形式？
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可能，只是在没有附加度规的结构时候，你必须知道另一个附加结构是什么才可以描述
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联络给出了局部“平移”的性质，或者，更准确地可以说是流形上平移与流形所给参照系的平移之间的“偏差”。而度规给出的是局部的“度量”性质或者说“内积”性质。虽然说度量和“平移”都是几何量，但为什么要用现在这种形式将两者联系起来？
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我更倾向联络，是截面之间的映射关系。
我把内积当成标量场来看，你认为这是几何的吗？“为什么这种形式联系起来”
我感觉我很难回答，至少我认为我回答的你肯定不满意。
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从形式上看，现在的适配条件更多的是一种“代数规则”：缩并与微分是可交换的。但这种形式是如此地代数，以至于不能很直观地看出其中的几何联系。
相比来说，从测地线来给出适配似乎更加“几何”一点：
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对于黎曼几何，如你所说测地线也许更“几何”一点，也如你所说，对于抽象来说，测地线很难推广到一般几何的，不是所有的力都像引力那样解释成时空的弯曲。
分拆得真散……
能否简要说说重点？分拆得太散了，而且感觉逻辑链条不是很明显……
至于最后一天，我想和我们所讨论的问题一点关系都没有。
我没有讨论物理，一点物理都没讨论，所以我不知道你为什么要牵扯到引力的问题上。
能否简要说说重点？分拆得太散了，而且感觉逻辑链条不是很明显……
至于最后一天，我想和我们所讨论的问题一点关系都没有。
我没有讨论物理，一点物理都没讨论，所以我不知道你为什么要牵扯到引力的问题上。
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英语难民
- 一直想思考
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回复：46楼
没有义务这么做，你愿意看就看，不愿意看就不看。
回复34楼的目的，不是要说服你，我只针对1楼的话回复,免得你的贴还不能插楼似地，后面的太多讨论，我没仔细看，也没具体可以说的，更不知道你的重点在哪里。
至于最后一条，很明显我想强调的黎曼几何是特殊的几何而已。这和谈物理不物理有什么关系？
period
没有义务这么做，你愿意看就看，不愿意看就不看。
回复34楼的目的，不是要说服你，我只针对1楼的话回复,免得你的贴还不能插楼似地，后面的太多讨论，我没仔细看，也没具体可以说的，更不知道你的重点在哪里。
至于最后一条，很明显我想强调的黎曼几何是特殊的几何而已。这和谈物理不物理有什么关系？
period
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英语难民
- 一直想思考
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回复：49楼
你说我“为什么牵扯到引力上去了”
我只是拿这个做个背景比喻，说明重点，所以又说：“这和谈物理不物理有什么关系?"是用疑问的方式回答你问我“为什么牵扯到引力上去了”。
你得主题是你需要的。纠结这些对你我都没必要。所以你对重点的回复才是你想要的。
你说我“为什么牵扯到引力上去了”
我只是拿这个做个背景比喻，说明重点，所以又说：“这和谈物理不物理有什么关系?"是用疑问的方式回答你问我“为什么牵扯到引力上去了”。
你得主题是你需要的。纠结这些对你我都没必要。所以你对重点的回复才是你想要的。
其实呢我从头到尾都觉得咖啡说的代数方法好些，原因是简单、直接、好用，觉得非要捣鼓出另外一种定义没什么意思。
我的意见和咖啡的一直有分歧。分歧在于咖啡认为用“几何方法”来定义适配才是最自然的，而我一直认为“代数方法”已经足够好了，然后咖啡就追问我“代数方法”比“几何方法”好在哪里，我答不上来，因为我根本不知道怎么用几何方法定义适配。还有前面提到，咖啡想出在黎曼几何里怎么用几何方法定义适配，但很难在一般的几何里这么做。我觉得我们要想得出个结论，就要对为什么要做适配达成共识。
一个纯粹的流形，没定义度规也没选定联络的流形，只有微分结构和拓扑结构。要对流形上的张量做协变微分会有五花八门的做法。如果想排除各种各样的协变微分只留下一种，就要求我们引入联络这么一种附加物。还有，引入度规我们就可以谈论矢量的内积。现在这个流形上有两种附加物，一个是联络，另一个是度规。适配条件可以使我们不把联络当成附加物，就是说我们给流形指定了度规后，联络可以通过度规给出。
到这里，我们知道，适配条件是用来给指定度规后的流形算联络用的。
让我们想想没有度规，但指派了联络的流形可以得到什么。它可以定义曲率张量，可以做两种缩并的（1，3）型张量。可是我们没有度规，做不了指标的上升和下降，不能得到曲率标量，很多有用的东西做不了。
我的意见和咖啡的一直有分歧。分歧在于咖啡认为用“几何方法”来定义适配才是最自然的，而我一直认为“代数方法”已经足够好了，然后咖啡就追问我“代数方法”比“几何方法”好在哪里，我答不上来，因为我根本不知道怎么用几何方法定义适配。还有前面提到，咖啡想出在黎曼几何里怎么用几何方法定义适配，但很难在一般的几何里这么做。我觉得我们要想得出个结论，就要对为什么要做适配达成共识。
一个纯粹的流形，没定义度规也没选定联络的流形，只有微分结构和拓扑结构。要对流形上的张量做协变微分会有五花八门的做法。如果想排除各种各样的协变微分只留下一种，就要求我们引入联络这么一种附加物。还有，引入度规我们就可以谈论矢量的内积。现在这个流形上有两种附加物，一个是联络，另一个是度规。适配条件可以使我们不把联络当成附加物，就是说我们给流形指定了度规后，联络可以通过度规给出。
到这里，我们知道，适配条件是用来给指定度规后的流形算联络用的。
让我们想想没有度规，但指派了联络的流形可以得到什么。它可以定义曲率张量，可以做两种缩并的（1，3）型张量。可是我们没有度规，做不了指标的上升和下降，不能得到曲率标量，很多有用的东西做不了。
一般几何里是可以做的啊，为什么不能做？
事实上，你之所以感觉代数方法简单，是因为对易的东西容易处理。
但是，从我所说的几何角度入手来构造适配其实操作很简单。先做极值曲线方程，然后就能得到一个东西，这个东西是度规的一阶导数和矢量的乘积。然后要求协变微分对张量满足莱布尼茨，就可以将上述乘积限制到只差一个扰率的形式。最后要求扰率为零，协变微分的形式就能被唯一确定。
事实上，你之所以感觉代数方法简单，是因为对易的东西容易处理。
但是，从我所说的几何角度入手来构造适配其实操作很简单。先做极值曲线方程，然后就能得到一个东西，这个东西是度规的一阶导数和矢量的乘积。然后要求协变微分对张量满足莱布尼茨，就可以将上述乘积限制到只差一个扰率的形式。最后要求扰率为零，协变微分的形式就能被唯一确定。
今天要回答这个问题，貌似不难了
先说度规。流形上给定一个度规场，就是说如果流形上任意给出两个切矢场，那具体到流形上的一点，就是两个切矢。在该处度规作用到他们上，赋予了“长度”“角度”之类的度量意义。
再说联络，给定联络就是给定一种平移规则。如果说一个切矢场，其协变导数为0 .那我可以认为切矢场可以通过平移某一点上的一个切矢得到的。
那么，联络与度规适配，无非就是要求平移是“保度量”的。
设想一开始说到的两个切矢场，都是通过从一点上的两个切矢平移得到的，那就是两个切矢场的协变导数为0
然后流形上有一个度规场，作用上去之后就是一个标量场了。
那所谓“保度量”，无非就是，在这一点，着来年各个切矢的“内积”是这个数。把切矢平移后，在新点的度规下，内积还是一样。也就是说之前得到的标量场应该是一个常值（起码在一个小邻域内）。常值的话，用协变导数一座用，就应该是0吧！然后应用莱布尼兹率拆成三项。由于两个切矢场的是通过平移生成的，因此有两项自动为0.剩下一项是度规的协变导数跟那两个切矢场缩并。又因为这个切矢场是随意指定的，就是说对任意平移得到的切矢场都“保度量”就要求这个最后结果所任意两个切矢场都是0.那就是度规场的协变导数就是0
了。
所以说，“适配”从几何上来看就是让平移是“保度量”的。
先说度规。流形上给定一个度规场，就是说如果流形上任意给出两个切矢场，那具体到流形上的一点，就是两个切矢。在该处度规作用到他们上，赋予了“长度”“角度”之类的度量意义。
再说联络，给定联络就是给定一种平移规则。如果说一个切矢场，其协变导数为0 .那我可以认为切矢场可以通过平移某一点上的一个切矢得到的。
那么，联络与度规适配，无非就是要求平移是“保度量”的。
设想一开始说到的两个切矢场，都是通过从一点上的两个切矢平移得到的，那就是两个切矢场的协变导数为0
然后流形上有一个度规场，作用上去之后就是一个标量场了。
那所谓“保度量”，无非就是，在这一点，着来年各个切矢的“内积”是这个数。把切矢平移后，在新点的度规下，内积还是一样。也就是说之前得到的标量场应该是一个常值（起码在一个小邻域内）。常值的话，用协变导数一座用，就应该是0吧！然后应用莱布尼兹率拆成三项。由于两个切矢场的是通过平移生成的，因此有两项自动为0.剩下一项是度规的协变导数跟那两个切矢场缩并。又因为这个切矢场是随意指定的，就是说对任意平移得到的切矢场都“保度量”就要求这个最后结果所任意两个切矢场都是0.那就是度规场的协变导数就是0
了。
所以说，“适配”从几何上来看就是让平移是“保度量”的。
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