"量子力学右矢"
辽宁上学学报
舅然科学版
幕埘卷第3期1991年
JOURNAL OF ，， OA,'ING L'A：II／ERSFFY
dtHrnI sciencgs Editln*
V01l8 m 3 199I
赋值映射、递降方程与双上同调系列
胡是中
(物理系)
摘 要： 车之肯先讨论r规范童按群的数学结构一然后利用Ij0nIlra等人舟绍的赋值映射方位推
导，规范珲论的递降方程．并且推广，B．Zumino* ：叔上同饵系列的-寸沧，得到了一般情况 由上链的
j搬算 △ 和底外微分d构成的积』 同调蕞刮
关键词： 反常；纤维丛； 卜同调；规范．
1 引 言
经典理论进行量子修正 体最的对称性遭到破坏时．就出现了反常现象． 更确切地应称之为
量千系统的对称醴缺“． 反常影响了与无质量性相联系的对弥性[z_：不仅影响r无质量场的标度和
保形 ；变性．也影响了无质碹费米子的手征不变性．
近年来，人们发现非Abel反常的拓扑行为可以用规范代数或规范群的上同调闭链描述 ，代数
与群的上同调闭链为表示的相因子[z]．Bonora等(3]．Stora~43和ZuminoS~，给出丁关于规范代数
和底外微分d的递降方程．Zumino~8指出了规范群的上同调可以约化为它的李代数的上同调．
下面我们根据B0n0ra( 等人的赋值映射方法推导量子规范理论中的递降方程，并推广
Zumino 关于规范群及其李代数的上同谓的讨论．给出并证明一般情况F， 由上边缘算子△ 和底外
微分d构成的双上同调系列．从而阐明了递降方程与双上同调系列之间的深刻联系， 也说明了
FaddeevE~的规范群上闭链可由微分形成的积分得到．
2 规范变换群的数学结构
我们记p(M．G)为主纤维丛，其底流形为M，全空问为P， 结构群为G， 假定是紧致的、连通
的和定向的．G是紧致李群，P的投影记为 ：P一^f．
记DiffM是M的所有馓分同胚形成的群， P的自同掏群记为AutP ，其定义是
AutP= {妒I ∈OiffP． 且妒扣a) 毕“)a Va∈G， u∈P ) (2．1
存在群同志 ：^ufP—D，，，^f r J = t Jj (2．2)
其中x∈M， 是PfM，Gj中的投射t且o。E 一
， 的核是自同构群， 记为^ut P，这就是规范变换群．可以看到， ∈Aut P
：u 卜． (2 3)
其中“ 、 1 E 一 )
本文l9曲年l2且l6日收到
18 辽宁大学学报 自然科学咂 1991年 第3期
亦即，规范变换只是纤维上的坐标变化一并且，Map(M，GJ与^u0尸同构．
即Map rM，GJ ≈ AutvP ‘2
． 4)
3 超度和Chern—Weil同态
设Q是G的李代数LieG上的 个变量的不变多项式．A是尸rM，GJ上的一个连络．F是相应
的曲率． 则
F； 十号(A^) dA+AAA；dA+A。
式中“^ 表示形式的外积．
显然，F是2一形式．
考虑闭基本的2 一形式 Qr ⋯，F J
k十F
如果Ao是P『M，GJ上的另一个连络，相应曲率是 ， 刚有
卜 ．1 = 凡J
我们有：¨，q ，一。J=k l dfa 一A" ，⋯， J
’
0
这里， 是P 上连络为rl— f 。+ 的曲率．
QrFt⋯， 给出了M上独立于连络A的DeRham上同调类．
存在一十代数同态~pChern—Weij 同态
W ：I(G卜 d Rham 『MJ
，rGJ表示Lie G的不变多项式．
Q『F，⋯， FJ是恰当的． 这是因为
令 三t + rt ／2 J(A，A]和
丁Q J；k r dtO(A，Ft，⋯，F J
’
0
vQ∈ rG Q含有k十变量． 我们有
d TQ㈤=QI 0j}
k十F
形式(3．3)叫做关于不变多项式Q的Chern超度，或简单地叫做超度形式
4 用赋值映射方法推导规范场中的递降方程
f 3．1)
(3 2)
(3．3)
考虑赋值映射：
e ：PX Aut PH P
『P j 卜． fPJ (4_¨
其中P∈P， ∈Aut P
P×Aut P可看成是M×Aut v P上的主G丛． 赋值映射是丛问态， 所以， 对尸上的任何连络
A ，e ’A是PXAut，P上的连络，若F是A 的曲率，则e ’F是ev’A的曲率．
单位元『dEAutv P的切空问Ti d≈Lie Aut P中的向量，是P上的切矢量场． 如果Z∈ d
作者：胡良中赋值映射、递降方 与双上同调系列 19
Aut v P，则c 4．1，式中的妒诱导的切映射妒。作用于Z t， 得到的妒 Z ， 或是P 七的矢量场， 或
是 Aut v尸中的矢量． 事实上， 。或者是 ：尸_+P的切映射，或者是Aut P中左乘 的切映
射．
对于X∈TpP， Y∈T Aut P
令Y= 妒。Z ． 则Z 也是P 的矢量场、
我们有：
r e ’一J口 f丘 =r 一 f +ft'z妒 一 (4 2)
这里 是P上的形式关于矢量场z的内积． f 4．21中等式右边第二项是Aut P上的 ～形
式、用记号 ．， A 表尔要在每点 ∈Aut P上赋值． 定义为
r ) ^tl『rJ= i
． -y ’A= r JY Aj (4 3)
其中Y∈ Aut P
注意iv A是尸上的函数． f 4 2】变为如下形式：ev A = A + ～．) A t 4．4)
并且有ev’F = F f 4．5)
很明显t映射e 把尸上的闭(恰当)形式变换成PxAut P上的闭r恰当)形式． 并且，如
果ev x 是尸×Aut P上的闭f恰当】形式， 则x是P 上的闭(恰当)形式． 这是田为：
ev x= Σ ^： ×Aut P J
r+ s
为了适应物理上的要求．我们现在假定底流形M的维数dimM=n为偶数． 设0是LieG上有
『门／ 2+ 1 J个变量的不变多项式，Tq 是相应的超度形式． 利用 4．4)． 我们有：
Tq(eV A J= ev Tq J
： Tq J + ) Tq J
一
． “．1 TQ J+ 一-
+r— l Jn‘“ ， )⋯‘ ) J
+ 1，十^ I
这里eV TQfA)∈^ +1 fPxAut v P，
：： ： Q(A∈^：+1一k ×Aut v P
k十^
因为dfTQ 】j=Q(F，⋯，Fj= 0
并且知道 ^ 一十^： 是Aut P中的外微分，
fd+ )ev TQ J= 0
(4．6
d：^：一+^ +1是P中的底外微分、我们有
(4．7)
其中dx三r— l Jpdx，x是Aut P 上的 一形式． 亦即对于七 0，-．n有
d ：1二 ’Tq(A) L0 L Tq(A)
+ 1什 ' 个^ )
令 ：+】一k= ，)⋯．}妒’丁0
朴 )
即得：d 一 。：+1一 (4．8)
这就是递辟方程 0}， ‘)-f¨ )r】2)· 1 3)．
注意 k+1一 在不同文献中其形式是有差别的， 比如可差一系数．
由(4．8)， 可得如下递推关系式：
20 辽宁大学学报 自然科学版 l991年 第3期
n+1= d∞：
= d ：一 (4
． 9)
d ： ‘= 0
形式 的空时积分，给出了n维时空的非Abelian反常，从(4．9)第二式，得到如下方程
d f =f ∞ =f d∞一2 1
Space- time Space- time Space-time
S~tokes f ：，些 0 (4
． 10)
a Space- time
(4．10)式是反常必须满足的相容性条件 1．
同样， ： 1的空阃积分与空间维数为(n- 1 J的规范群的生成于的等时对易子中的反常
Schwinger项有关． 必须满足
d J =f d ：，=I d =f 3 =0
Space Space Space a Spa~e
该方程是与Schwinger项有关的相容条件．
5 任意上链的双上同调系列
t．11
根据Faddeev ·考虑规范群中的上链．这些上链是连络A和规范群元素gI，⋯， ，⋯的实
值函数． 一的规范变换筒记为
一g-= g d gi+g『 A
以下将采用此记号．
一般地，对于非负整数 n一上链 ； g】，⋯，gn J的上边缘算于定义为；
r△ nJ ；g】，一， +l J= n g1；g2，⋯， 十1卜 ； gt g2，驰，⋯，gn+1j
+ ’’+r一1 Jl n ； gI，⋯，g．g +l，⋯，gn+I J
+⋯+r一1 Jn ’ n ；g】，⋯．gnj (5．1)
可以证明：△ = 0 (5
． 2)
上链 -是一个上边缘，如果它可表为：
n= △ n一1 5．3)
上链 是一个上闭链，如果满足
△ t= 0 (5． 4)
上链是非平凡的，如果它不是上边缘．
我们可以用通常的方式定义等价类和上同调‘1 t，
下面考虑规范群单位元的有限邻域内的情况． 给出一般情形下，上链与第四部分介绍的微分形
式之间的联系．
考虑底空间的密度；
zi{IJ
l(^“， g】 =J (g一 g’A g】 f 5．5)
1
对于每个 ∈底空阃M，积分路径是群空问中连结单位元和群元口lf 的道路． 如果选择另一
作者：胡良中 赋值映射，递薛方程与双上同调系州 2l
路径积分t 1将发生变化，适当的规一化，x 的积分就是WZ项．对于路径积分的微小变艏， 积
分不依赖道路的特殊选择． 现计算：
等式右边第一项做积分变量替换．(5．6j
△p ：J fg g，AgJ—f 。
i i
gt，
d g，^gj+』 ∞ rg一 g，Ag)
式变为
fg一 g'Ag)十f rg Ag)
5 6
5．7
5．7，的积分路径是l— gz一．g-g2— 1，是群空问中的闭合路径． 据Stokes定理，(5．7)可表
为沿群空闻中2一单形y2= [1 t gl，g gz j的表面的积分． 其边界恰是上面提到的闭台路径．
应用方程(4．9)， 得
△p J =』 =』d t：d』 ：d f 5．8
这里p 2f^；g】，g2j j f ：一1 (5．9)
因此． WZ 项正比于
al r^；gJ I pl (5．10'
这里M 是底梳形． 即是n 维时空氍域，
a 是规范群的1～ 上闭链：
似 ～ Ⅲ Ⅲ I1 。
15．11)
令g1 g2：g t则
aI(Ag】；gl gJ 一 1 r^； ： 一a】f^；g1 J
令g1一．1 (单位元)，则等式右边就戚了反常．
5．12)
这样我们得到了WZ项满足反常的Ward恒等式．
现在我们推广上述的关于 与p关系的讨论． 从而得到任意上链的双上同调系列，
我 1得到如下的一般性结论：
△ k： d k¨
p k ry k|l： +】-k -l3
r
其中 ≤n十1，y k一(1一．g1，g】g2，⋯一g1 g2一g1]
证明： = 1时 由(5．8)．(5．9) 得
△ 1： d 2
p =J 。1：J =』
2 ： f 2一I
即 = 1时，(5．13)成立．
假设 =m— l时(5．13)成立
g
f
n
，
驰 』．
6' 一
- ，
J
A g
卢 ^
一
)
；
阳
口 ∞n
I一
II
△
22 辽宁大学学报 自然科学版 1991年 第3期
即△ m 1=
l 5．141
f7 j=f +1Ⅲ
刑 ：m 时， 由(5．1】9玎
A卢 三卢 r^g】；g2，。-t g 1j一卢m r^；g】g2，g3，‘， g lj+‘。
+f．一1 卢 f^；g】，⋯，g．gi+】，· ，gm+】j+‘ +f一1j 卢mf^；gl-‘-gm，
由假没(5．14】， 得
A ：f ： 一【 n+ m + ’
【g二，gl g2， ‘， gi g 】 L1，0l g2．gl - g2 g| gn 1)
+r一1) l
(1，g L，gl l。． g2 。g l， gl g2 g， L g，gJ g2 g-一 gJgJ¨_ 2-⋯， g2 g 11
+·- +】一 +⋯f_1 Jm f 。 +l
1．g】，g1目2- t， 口1 g2 g )
据单形的求边规则
△ m= f
d (1l gl，gl g2- · g L g2
= j d =d I
1 y 1
其中’ “ = f m十l一( +】l
1
即 =m时，(5．13)式成立
6 结论
一 一m = I ∞ + 一m j 一 一m
gm+1 a 1
： d t
以上我们用L．Bonora 的赋值映射方法，得到了递降方程，并且推广了Zumino关于双上同
调系列的讨论， 用数学归纳法证明了一般情况下的双上同调系列，得到了卢与 之间的关系．这为
具体分析非Abel反常体系物理量的规范同调的联系提供了理论基础．我们也应注意到高阶上链对
应的物理意义还不甚清楚，这有待继续深八的讨论．
致谢： 衷心感谢宫学惠教授对本文的精心指导
参考文献
1 Charles Nash and Siddhartha Sen．Topology and geometry for physisists．London，Orlando，
New York．Academic Pre船．INC． 1983 140
2 R．Jackiw in： M ark J．Bowick Feza G0rse Proceedings of the Yale Theo retical Advanced
Study Institute High Energy Physics 1985 Singapore，W orld Scientific Publishing CO．Pte．Ltd．
1986 83
3 L．Bonora et．a1．Cumin un．M ath．Phys 1983： 87：589
4 R．Stora In：H—Lehmann． “Cargese Lectures ，1983)’ in Progress in Gauge Field Theory
Plenum．New York． 1984
作者：胡良中赋值腴射．递降方程与双七同嗣系列 23
5 lt．Jackiw in：】；．S．Dewitt and R．Stora in Relativity Group and Topology．Les ]touches
Lectures ，1983)North— HoIland． Am sterdam 1984
B Zumino Nuc1．Phys．1985； I；253： 477
T ．Bonora et a1．Commun． M ath．Phys 1987： 112： 237
L D Faddeev Phys． 1．ett．1984； R 145： 81
Chern S S．Complex m anifolds without potential theor~．
Springer V erlag． New York 1979： i
J．Wess and B．Zumino Phys．Lett．197】： 37(ID： 95
Bardeen W．Zuminn l；．N ucl Phys 1984： B 244： 42t
Bonora L．et a1．Phys．Lett 1987： J{107： 87
Bonnra I ．et a1．Phys． Rev．1986； D 33： 3055
tl—Cartan and S． Eilenberg Homological algebra USA． Princeton University Press．1956： 1
Evaluation M ap，Descent Equation and
Double-CohomolOgica』Series
Hu Liangzhong
Department对Pk ics Liaoning V~z zversity
ABSTRACT
The mathematical structure of gauge transform ation group is discuss Using the methods 0f
aluation map introduced by L—Bonora et a1．
． the descent equation in gauge field is given By
im proving or generalizing the idea of B． Zumino about the relationship betw唧gaⅡge r0up co y．
ties and differential forms．the general formula of the double—C0horn0IogicaI series is 0btained
．
Key Words：Anom aly， Fibre bundle， Cohomology and Gauge．
(上接第27页
chains exist in gauche isomers in aqueous solutions．W ith the increasing concentration and deerea’
sing tem perature．the order degree of chains reduces A 50％ ．aqueous solution of SLS gives rise to a
phase transition from gel to liquid——crystalline ．
Key words：sodium lauryi salfate，conform ation， Ram an spectrum．
6 7 8 9 儿 珀H
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