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一、前言
在二十世紀初期，也就是近一百年之前，數學與理論物理學的發展有著息息相關、相輔相成的關係。在大尺度的世界裡，黎曼幾何成為了愛因斯坦的廣義相對論的自然語言，相對論也提供了二十世紀幾何研究的自然素材。在小尺度的世界裡，量子力學的發展融合了數學中的分析(變分法，希伯爾特空間算子論)、幾何(哈彌爾頓力學，辛幾何學)、 代數(群表示理論)、以及機率統計方法，並與這些數學理論的研究平行地成長。那是一個輝煌的年代，其成就也為近代科技奠定了堅實的理論基礎。
不過，很快地(約在二戰之前)數學與物理在各自的世界裡面臨了本質不同的挑戰。數學面臨自身論證基礎的一致性問題。數學家被迫重新檢視其公設系統，數理邏輯。每一個數學的分支都不能倖免於這一波可能撼動數學千年根基的嚴峻考驗。除了電腦的發明，數學的應用漸漸遠離了數學發展的核心。法國的布爾巴基學派(Bourbaki)是這一個時期的代表。甚至有數學家以其研究與實體世界毫無關聯而引以為傲。在70年代中期，透過規範場論與矢量叢理論，當數學與物理的研究似乎又重新找回共通之處時，數學家Dieudonne仍然堅稱數論將為數學保留一塊永不受科學污染的淨土(近年來的發展顯示，數論與物理的研究也愈趨相關)。另一方面，在理論物理的發展歷史上，如何將大尺度與小尺度的作用力在一致的理論中實現(所謂的統一場論)是許多人夢寐以求的終極理論。眾多嘗試所需的數學模型已不再存在。最著名者如費因曼的路徑積分，這個理論必須在無窮維度的路徑空間中進行積分。至今數學上仍然無法嚴格建構這種理論，但是它已經被物理學家使用了數十年，並且有著不能撼動的地位。
弦論(string theory)是一個企圖統一所有已知基本作用力的物理理論。弦論經歷了幾次的改革之後，在80年代初成熟。在包含Witten等人的努力下，不少人認為終極理論(theory of everything)已經找到。然而由於弦論運用巨大且艱深的數學工具，其涉及的物理量也無法透過實驗量測，因此更多物理學家不相信弦論，視之為一個艱難的數學遊戲。但事實上弦論企圖使用更多缺乏嚴格基礎的數學論證，因此多數數學家也不能接受弦論。80年代是一個奇妙的年代。 幾個事件扭轉了數學與物理之間的關係。首先英國數學家Donaldson利用規範場論中Yang(楊振寧)-Mills方程式的解空間的初等拓樸性質得到了幾何學中四維度空間結構的重大突破。這是物理思想透過嚴格數學回饋高等數學研究的首例。在當時許多數學家仍以為這僅僅是一個偶然的特例。但更大的衝擊則來自稍後在弦論中所推測出的Calabi-Yau流形與其模空間的結構問題與鏡對稱(mirror symmetry)現象。這一個火花開啟了歷史新頁，最尖端的數學研究與弦論的研究相輔相成，數學與物理再一次尋回共通語言。以下筆者將從幾何學的觀點介紹20年來關於此的一些進展與筆者近年來相關的研究工作。
二、幾何觀點下的弦論
20世紀中葉以來許多基本粒子被相繼發現。弦論認為，粒子其實是由弦(一條線段或圓圈)所構成。弦的各種不同的震動形式決定了其在古典觀測下不同的粒子行為。粒子在時空裡運動的軌跡在弦論中變成了二維的曲面(世界面，world sheet)。這個模型自然地克服了一些奇異點的困擾。例如粒子的碰撞在弦論裡變成是一個光滑變動的過程。
然而，弦論斷言時空必須是26維，而非熟知的4維。這預測了外在維度以及一種或數種逼近古典極限的過程(所謂緊致化)的存在性。早在80年代已知至少有5種弦論以及數種相對應的緊緻化理論。其中一種稱為heterotic理論是此處筆者所欲闡述的對象。這個理論包含特殊李群E8×E8的16維規範群，因此時空可以建構在10=26–16維的模型上。 對於這多出來的6=10–4維，它形成一個捲曲在極小尺度的彎曲流形X，以至於在正常相對論時空的尺度之下人們感受不到其存在。 但是X在小尺度之下，其量子效應便趨於顯著。這些量子現象經由物理推論，其衍生的量可以通過幾何學給予精確的數學描述。這使得雖然我們尚無法設計實驗驗證弦論，數學家卻可能透過數學證明來取代實驗，進行驗證。
一般而言，從10維到4維的緊緻化所依賴的6維流形X上具有一個黎曼度量g，使得它成為真空狀態下愛因斯坦方程的解，即其Ricci曲率恆為零。這些所有的Ricci平坦解g即構成了弦論的模空間M(g)。Heterotic弦論是具有兩個超對稱的保角不變量子場論(N = 2 super-symmetric conformal field theory)。它的第一個主要推論是流形X具有複結構J，並且其Ricci平坦度量g與複結構相容。這樣的複流形的一般構造方法必須透過Yau(丘成桐)在1976年關於Calabi猜想的解答才能獲得，因此(X，J，g)通稱做Calabi-Yau流形。然而，這樣的流形有很多，而弦論並沒有進一步闡明哪一個才是用來刻劃我們的世界。既然沒有任何一個數學模型優於另一個，一個自然而大膽的猜測是任何一個Calabi-Yau流形應該都可以適用，因此他們所對應的量子場論應該都是等價的! 毫無疑問地，這樣的臆測立即導致疑惑，例如相異Calabi-Yau流形的拓樸形狀可大不相同。故其合理性與正確性仍然需要更多的證據來支持。
為此，我們需要一些幾何概念: 對複流形X，透過J，黎曼度量g可以唯一對應一個辛結構w(一個封閉的二次微分形式: dw =0，w又稱Kaehler度量)。而Yau的定理證明了每一個辛結構w的拓樸類[w](cohomology class of w)均唯一對應一個的Ricci平坦度量g。因此一般而言g和(J，[w])有局部的一一對應關係，且模空間M(g)可以局部拆解為一個乘積空間M(J) x M(w)，其中M(J)為流形X複結構的模空間，而M(w)為其Kaehler class的模空間。M(J)的切空間可由向量空間H1(X，T)表示，而M(w)的切空間為向量空間H1(X，T*)，其中T為複流形X的全純切向量叢。這些向量空間以及其相關的Dolbeault上同調群構成了這個量子理論的希爾伯特狀態空間H = H(X) (the Hilbert space of states)，而其中的元素稱為場(field)。根據複流形的數學理論，每一個場均可以表達成X上的一個張量場。
三、鏡對稱
若將heterotic理論的N = 2超對稱算子代數u(1) x u(1)的生成元素記為(Q，Q’)，則前述二向量空間恰為特徵值(1，1)與(-1，1)的特徵空間。由於Q和Q’的選取可以差一個正負號，因此我們也可以選(-Q，Q’)作為生成元。當我們利用Calabi-Yau流形X來構造H(X)，這個操作將上述兩個特徵空間互相交換。然而，這個交換過的空間應仍是形如H(Y)，其中Y是另一個Calabi-Yau流形。 因此我們將有
H1(Y，T) = H1(X，T*),
H1(Y，T*) = H1(X，T)。
由於X和Y決定相同的量子場論，可以預期某種程度上X和Y互換其M(J)與M(w)。 我們稱這個關係為鏡對稱，而稱Y為X的鏡像流形(mirror manifold)。
希爾伯特空間H僅涉及場的種類與數量，完整的量子理論尚需涵蓋場a，b，c，ˇ之間的交互作用函數(correlation functions) <a，b，c，ˇ>。 其中的函數的變數是弦論模空間的參數。根據費因曼的路徑積分原理，交互作用可以表示成所有弦的可能路徑(world sheets)上的加權積分，而每一路徑的權重依賴於一個作用泛函(action functional)。如前所述，這個無窮維度的積分(Lagrangian)至今仍缺乏數學的嚴格定義。然而對於保角不變的場論，利用局部化原理，弦論學家可以將積分化簡為有限維度模空間上的問題。這使得問題得以透過嚴格的代數幾何來呈現。
例如對於heterotic理論，有所謂A-模型(固定J，變動[w])與B-模型(固定[w]，變動J)兩種特殊情形。在A-模型裡，交互作用函數變成黎曼面模空間上子空間的相交理論(intersection theory in the moduli of holomorphic maps from Riemann surfaces of genus g to X)，現在通稱為Gromov-Witten不變量。這類問題在數學上稱做enumerative geometry，並且已有百年的歷史。在1990之前，代數幾何學家尚未找到解決此類問題的系統方法。在古典的極限情形，交互作用退化成代數拓樸中X的子流形間的相交理論(X的上同調環H*(X))。在A-模型裡，Vafa發現透過所謂的WDVV方程，所有(虧格為零，genus g = 0)的交互作用函數(含量子修正項)給出了H*(X)一個新的量子環(big quantum cohomology ring)的結構。
在B-模型裡，交互作用函數在弦論中稱做Yukawa coupling，(至少在虧格為零的部分)它可以透過代數幾何中的Kodaira-Spencer理論來計算。 更具體而言，它滿足Hodge結構的變分理論中(the theory of variations of Hodge structures)的Picard-Fuchs方程式，因此可以透過古典的微分方程理論求解。如果X和Y互為鏡像流形，鏡對稱的驚人推論在於其交換兩者的A-模型與B-模型。也就是說，X上難以計算的量子環，可以轉化為Y上容易計算的Picard-Fuchs方程的解。
當然，給定一個Calabi-Yau流形X，鏡對稱推測其鏡像流形Y存在，卻沒有說明如何去構造Y。第一個具體實現的構造方法是Greene和Plesser在1990提出的關於4維射影空間中5次多項式的零根所定義的Calabi-Yau流形X的orbit-fold構造法。根據鏡對稱，Candelas，de la Ossa，Green和Parkes等物理學家於1991利用這個構造出來的Y推導出X上所有虧格為零的enumerative不變量的公式。這些公式在數學上只能稱之為猜想(conjectures)，但是這種猜測的能力在當時完全無法由數學內部產生。數學家開始重新思考大自然帶來的啟示。對於弦論學家，他們雖然對其推論深信不疑，卻也期盼這些推論能夠獲得嚴密數學的驗證。
經過多人的努力，這個所謂的鏡對稱猜想(mirror conjecture)終為Givental與Lian-Liu-Yau於1996前後找到嚴格的數學方法所解決。這項成就也為弦論做出了第一個關鍵性的數學驗證。關於鏡像流形Y一般的構造方法，在90年代Batyrev推廣了orbit-fold構造法，找到了一種環面幾何中(toric geometry)對偶多面體(reflexive polytope)的組合構造法。但是真正的突破是Strominger-Yau-Zaslow利用T-對偶(T-duality)於1996提出的幾何構造。對偶(duality)是弦理論在90年代最重要的方向。如前述的已知5種弦理論均可以在對偶的意義下視為同一種理論，即所謂的M理論。SYZ斷言複3維Calabi-Yau流形X均有一個分布於三維球面上的纖維化，使其一般的纖維為特殊的3維Lagrange環面。而Y則來自於這個纖維化的對偶纖維叢。這個方向是現在Calabi-Yau流形的研究中最熱門的核心方向。
四、K等價關係與flops
Heterotic弦論中有一個比鏡對稱更基本的觀察可以和代數幾何產生深刻的聯結：如果作為緊緻化的Calabi-Yau流形X和X’僅僅相差一個侷限在子空間的小範圍變化，則他們之間的量子理論應如何對應呢? 在代數幾何學的語言裡，X和X’是一組複3維的雙有理極小模型(bi-rational minimal models)。Kollar和Mori在1990證明了X可以通過一系列稱做flops的基本空間手術(surgery)變化至X’，這個過程並可以保持兩者的複結構模空間M(J)與古典拓樸上同調群。因此，X和X’具有完全相同的B-模型，以及A-模型中一樣多的場。 但是很容易發現其古典上同調環的乘法結構並不保持。因此合理的推論應是，加上量子修正項之後，X和X’有相等的A-模型與量子環。然而，這個相等並不能在傳統的函數意義之下達成。Witten於1992首先注意到在A-模型模空間M(w)引入解析延拓的必要性。這個推論在3維時，於2000為Li-Ruan所證明。因此筆者感興趣的是更高維度的情形。
高維度代數幾何學的核心理論無疑是Mori在1982年提出的極小模型理論(MMP)。 Mori在1988年完成三維空間的MMP。然而，極小模型在更高維度的存在性與不唯一性一直是一個大問題。最近Hacon與McKernan結合了Siu(蕭蔭堂)與Shokurov的工作，對於存在性取得了重要的進展。另一方面，筆者在1998的博士論文中曾提出了K等價關係企圖理解極小模型的不唯一性。最近Kawamata證明了雙有理極小模型間均可以透過flops來連結。K等價是flops的推廣，其將Calabi-Yau流形與極小模型的雙有理幾何研究放寬到一般的情況。由於從幾何的本質上來看似乎毫無可能對高維度一般的flops做分類，因此筆者捨棄了傳統的MMP，而嘗試在允許辛結構的擾動(symplectic deformations)之下，看是否能將K等價關係分解成可以理解與計算的平凡手術(ordinary flops)。在3維這是已知的結果，也是Li-Ruan為何能驗證A-模型相等的基礎。 只可惜這個分解定理目前的唯一證明尚需依賴MMP與3維奇異點的分類。因此不可能推廣至一般的維度。
作為前述Kollar在3維的結果，筆者曾於2000前後證明拓樸群的Betti與Hodge數在K等價之下保持不變，並且找到了所有在K等價之下保持不變的曲率積分(curvature integrals)。 曲率積分也就是著名的Chern numbers(陳省身示性數)。結論是這些不變積分正是所謂的複橢圓虧格(complex elliptic genera)，即路徑空間(loop space)上Dirac算子的index。這個結果對研究Ricci曲率相近的流形之間的關係有重要的應用。譬如他們之間應可透過一系列的平凡手術將其中一個空間變化至另一個空間。在允許將複共邊界(complex cobordant)流形視為等價的關係下，上述結果可用於驗證此一猜想。這個結論給予不唯一性問題在所有維度之下一個拓樸的部分解決。當前的難題是要將複共邊界提升到辛結構的擾動。
五、量子環的不變性 (Lee-Lin-Wang 2007)
K等價流形雖保有相同的拓樸同調群，其乘法環結構卻無法保持。在空間的平凡手術之下，其拓樸差項(topological defect)在2004年初被筆者與林惠雯(中央大學數學系)所完全決定。隨即我們在一類簡易平凡手術(simple ordinary flop)之下推廣了Lian-Liu-Yau在1996年研究鏡對稱中所發展的尤拉數據理論(the theory of Euler data)，找到一個小量子同調環(small quantum ring)不變性的積極證據。更確切來說，古典同調環的乘法結構引起的誤差項被Mori的extremal射線上對應的量子修正項所修補。我們最主要的結果是完全決定了關於3個點(3 fields)的交互作用函數(Gromov-Witten不變量的生成函數)，我們稱之為一般化的覆蓋公式 (generalized multiple cover formula)。這個成果將Witten在1992年的觀察從三維空間推廣到所有的維度。筆者也曾因而獲邀在第三屆世界華裔數學家大會報告此一進展。注意到，n點交互作用函數在X和其flop後的流形X’上是分別定義於他們自己的Kaehler cone上的解析函數，而不變性表示他們是彼此的解析延拓(analytic continuation)。這是高維度代數幾何學中一個全新的現象。
關於整個量子環的不變性還需要處理兩個問題。 (1)非extremal射線的討論。 (2) 大量子環(big quantum ring)，即4點以上的交互作用函數。在2005年初，我們已經開始嘗試結合Y． Ruan與J． Li關於Gromov-Witten不變量的退化公式(degeneration formula)把問題化簡到局部模型的計算(某一種射影纖維叢)。在2005下半年，在與國家理論科學研究中心訪問學者李元斌(Y． P． Lee，Utah大學)的幾次研討中，透過他和Pandharipande在stable maps模空間上的除子關係(divisor relation)，我們共同找到前述覆蓋公式的另一個新的證明，把3個場的交互作用函數的計算逐步降回到1個場的重力衍生作用函數(1 point gravitational descendents)的計算。這個新方法也使我們的定理在大量子同調環的不變性上得以擴展。實際上，extremal射線上的Gromov-Witten不變量在任意多個場的情形都被這個新方法完全決定。不過，為了探討非extremal射線的量子修正項，我們仍然需要新的技術。
在2006年初，我們(與李元斌、林惠雯)終於在局部模型的情況下取得完整的突破。我們的證明要利用一個關於解析延拓與函數方程式(functional equations)的5層數學歸納法。此歸納法在環面流形(toric varieties)上倚賴於一種J函數的詳細研究。稍後於4月間我們徹底地解決將問題從一般的情況簡化到局部模型過程中的所有細節問題，因此完全解決在任何維度的simple ordinary flop之下的大量子同調環的不變性問題。這是近年來Gromov-Witten理論最主要的結果之一，也是K等價理論研究的一個新的里程碑。這個工作於2007年初通過學術審查並被數學年鑑(Annals of Mathematics)所接受刊登。
六、 結語
本文利用代數幾何與heterotic弦論的交互影響，企圖指出部分的數學與物理正走在一條共通的大道上。事實上在應用的範疇裡，數學與物理以至於其他科學從未停止彼此之間的合作，數學在許多角落也逐漸扮演了關鍵的角色。只是在尖端理論研究的方向上，在20世紀中的某一段長時期主流數學確曾與其他科學分流，各自去面對其本質上的挑戰。現在大自然重新給予數學研究大量的素材與思維。相反地，20世紀裡數學依賴其自身內在思維所發展而出的抽象物件也竟然都在自然界中找到其扮演的角色。嚴密的數學證明甚至取代實驗，擔任起驗證自然定律的任務。這樣的場景似乎將時空帶回了20世紀的初期。我們可以樂觀地期待數學與科學在21世紀的水乳交融。更多的驚奇正在前方等待著我們！ |
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