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找到r M 上的一个唯一
的向量场
【『]{
0
(一)
一
1．386
(一1．0794)
一
1．9095
(- 1．6027)
一
2．2493
(-I．94z
—
Z．5020
f—z．I950)
一
Z．70 4
(-z．3964)
一
2．B708
r一2．564o)
1．3863
(一)
1．386
(一)
0
(0．0192)
一
0．，2柏
(一0．5041)
一
0．8 O
(-0．B¨9)
一
I．I1钉
(一1．O964)
一
I．3l7I
(一1．Z978)
0．，2 2
(O．53o4)
1．9095
(一)
1．9095
(-)
O． 232
(0．，299)
0
(0．0066)
一
0．j 98
(一0．3 z5)
一
0．5925
(一O．58卯)
()中的敬字是由式(3)计算昀结果，(——)表示由谈式盂法算得．
单位；干牛／米
1Io i1o
2 3 4 5 6 7 B
7x蛛——————_一
图4
已知{g}一【110 70 oo 60 90 701lo] 代人式
．(8)，得
一2．2345× lO 【，]
ll0
70
90
60
90
70
llO
0．2 Z7
fO．255o)
0．592S
(0．s9+5)
1．1l”
(1．1178)
2．5020
(一)
2．5020
(一)
1．1I"
(1．1178)
o．592{
(O．5945)
0．05l54
0 06892
0．07530
0 07530
0．06892
0．05l 54
O
(单位；米)
5．结语
本文提出的地基柔度矩阵概念及其表达式
可作为用有限元法计算弹性地基粱的基本公式
(关于弹性地基梁的有限元解法见男文)．
● 寿文■
【1】替芝篼，弹性力学，^ 民教育出板牡(1978)．
【2】Chaadrlklnt．S．De sA[and John．T．Chri~ti=a．
Numeri~81 M ethods jn Georechni~el Engineer
lag．
MCGRAW -HILL(1997)．
(本文于I9w 年9月3 恒 )
哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号
(I)哈密顿函数不显含时间f的情况
冯承天魏白蓉牟亚萍
(1-海师范太学物理系)
提要截舟几何是力学的自然框架．本文叙述了有关
’
辛流形的一些基本事写叵，并利用它们对在啥密赣厢数
- 40 ‘
不显含时间I的情况下的哈密棚正剜方程、芷尉变丧
等物理概念作了统一的处理，阐明了它们的几何意义。
¨乳 “； 叽嗍 ∞竹 “ 犯 B ( " (-毗蜉： 盯，一¨ (一
i } ； i
0毗： ¨0 "04 7O” 7虾仃； 03博 27¨ _72¨ 0- 3”● 03¨
) ) ^ ^ ^
i i 1 2 _
39j 34j jB； 6B 249 i． 2 i一B； 68 39； 4； C， 3CO
． ● ● ● ● { ● ● ● ● ●
0 0 0 O 2 2 0 O O 0 O
( ( 1
啦 和
井盛清了一些容易混淆的概念．
关键调 里!塞 ，泊松括号，啥密顿力学，辛结橱，辛
变换
1．引言
关于正则变换的问题一直有人在探讨(例
如参见[1】)，这当然是事出有因的． 事实上，正
如Araold 所指出的那样， 甚至在朗道和栗
弗席兹的优秀论著《力学》一书中也混淆了正则
变换和保持哈密顿正则方程形式不变的变换这
两个不同的概念． 本文应用现代微分几何中的
一
些方法，绕一地论述了在哈密顿函数不显含
时间 的情况下啥密顿正则方程、正则变换和
泊松括号等物理概念的几何意义和它们之间的
相互联系． 从而完满地解决了哈密顿函数不显
台时间 时的正则变换问鼯． 关于啥密顿函数
显台时间l的情况，我们将另文讨论．
相空橱和牵结构
个自由虚的体系的状态可由广义坐标
f奄( ，矿，⋯，矿)以及广义动量P毒( ，
^，⋯， )来描述，其中Pf— OLIa~． 它们
的全体所构成的相空间{(g，p)}是位形空间
jlf一{g}上的余切丛，记为r M ．
利用r M 上的坐标(g，p)，我们定义下列
二次形式(采用求和规约)
r— dpiA由 (1)
7称为r M 上的一个辛形式． 于是r M 就
有一个自然的辛结构，而(7 M，r)就成为一
个辛海形．
哈密曩向量蛹和咕密顿正姒方程
现在来考察r M 上的相函数F(g，p)．由
，( ，p)我们先作出T jlf上的一次形式
押一嚣 +嚣啦 (2)
利用辛形式r，我们能找到r M 上的一个唯一
的向量场 满足
r(u，y，)一av(u)，对所有的向量场￡r．(3)
由此不难得到 ‘
， 一
嚣 一苗
，
称为由函数F给出的流向量场 ． 作为一
个重要的情况，体系的哈密顿函数H(g，p)一
删 — L 就给出了哈密顿(流)向量场 ．
(r M，r， )称为一个哈密顿体系．
为了求出 决定的积分曲线(或流线)所
满足的微分方程，我们注意到这些曲线是单参
数‘的函数，即(口( )，，(‘))， 而它们的切线正
是 所规定的向量，因此用分量表达即有
(㈣ )一(嚣，一 (5)
此即熟知的啥密顿正则方程
一
筹，舯)一筹 (6)
因此，哈密顿正则方程就是哈密顿向量场的积
分曲线所满足的锻分方程组．
4l泊松括号
利用相函数所定义的一次形式以及流向量
场，现在我们就可以把两个相函数，(f。，)和
e(q，P)的泊松括号内禀地定义为
{，，g}a 出( 。) (7)
如果使用r‘jlf上的坐标(g，p)，则从出和 ．
的表达式，可得{，，P}在(g，p)坐标中的通常
解析表达式
(f' }一{f' ”， 一嚣器(s)
对于坐标(g，p)显然有
{ ， }c¨' { ，口f)c -，j o， f。、
{ Pjk 一
若引入{ }罱{矿，矿，⋯， ，A， ，⋯。 }，
则可将(9)更简洁地表示为
{ ，一)一， ， 0o)
这里
J 一( ． )． )
而其中， 是 x 单位矩阵．
由于(g，p)满足(9)或(IO)，我们就把它们
称为是7 上的一个正则坐标(或辛坐标)．
5．牵变换
在辛流形(r jlf，r)上考虑坐标变换
(g， )一( }一(9，P)一4x-}
当然应保持辛形式r不变，即
Adq 一以J^,／Q (12)
满足条件(12)的变换称为辛变换．
由 。
y—dp~Adq 一专J,J：Aa~
一dPcAdQ 一÷ d ^d ． (13)
可知(口，，)一{ )一(9，P)一{j 为辛变
换的必要且充分条件是
一
器 ” )
若引入该变换的雅可比矩阵A一(0 ／a )，
则可将(1 4)表示为
，一 ·，· (15)
(is)和(14)点明了辛形式、辛变换和辛座标等
术语中“辛”字的由来 ．
．
刹用泊松括号，我们还可以得出辛变换的
另一个必要且充分条件． 为此，我们先用(“)
将(8)表示为
it,e}
一
警 悬毒(16)
由此可知
{『， 器毒一{f， l7)
成立的充要条件为 一等 一
·
J- ． ((15)的等价形式 )． 因此(I7)
也是辛变换的一个充要条件．
最后利用(9，P)的泊松括号给出正受1变换
的另一个充要条件．从(16)以及(15)，我们容
易得出
{ ，9j} ¨)一(Pi，Pi)(¨1— 0
{ ，P，}( "一 (1 8)
是辛变换的充娶条件． 因此，辛变换把一组正
则坐标变为另一组正则坐标，反之亦然．
为了把条件(12)与力学中对辛变换的通常
定义
i如 一Pcd 一出 (19)
联系起来，其申 — S(q，9)，我们注意到从
(19)能推出(12)．反之，若(12)成立，则局部地
成立(19 ． 函数 称为该变换的母函数．
6．正刚变换和啥密慎正剐方程
定义：变换( ，力一(9，P)以及H(，，
p)一K(Q，P)一hr(q(Q，P)，e(Q，P))称为一
个正则变换 ，如果( ，p)一(9，P)是一个辛
变换．
因为对任意相函数F(，，一P)，从(6)可得
萼一{F，H)㈣h (2o)
所以如果考虑正捉日变换的话，此时则从(18)不
难得出
譬出 一譬∞ ， 由 一 8口 (21)
可见正则变换并不改变哈密顿正则方程的形
式．
变换9一口，P一2p以及K(Q，P)一
2H(q，p)m 虽然仍能保持哈密顿正则方程的形
式不变，但是并不是我们定义下的正Ⅲ 变换．不
能把这一变换定义为正则变换的一个明显的原
因是{，，g} ，)一2{，，g (0 ， 泊松括号改变
了!由此可见，将正则变换定义如是不改变啥
密顿正则方程形式的变按是不妥当的．
丁．正砌盎擞和哈密慑向量场 ‘
最后分析一个我们这样定义的正则变换的
数学和物理含义． 首先从K(9，P)一n(q， )，
有dK — dH，即新的哈密顿函数 (不妨称为
卡密顿函数 )确定的一次形式与哈密顿函数
日确定的一次形式是相同的． 于是从卡密顿函
数K给出的卡密顿向量场 z应满足
r(vz)一 ． (22>
可知V — V ，即正则变换不改变哈密顿(流)
向量场． 另外，因为正则变换是辛变换，因此从
—
Adq 一dP；AdQ 及(22)，类似于(4)
有
辛，Sym plectic，镥国数学象H W eyl (188 5一
】955)在,It经典群 (1939)一茹申由希腊字灞 莰拧在一
起的 (泉正尉方程中 和 器样)而创建的词、祝字
。辛 是华罗庚蔓议的音译，台湾t教学名词，译为“佩
对 或 赫芟 ．一精者注
一
篝。 嚣 (23)⋯这是卡密顿向量场V 在(9，P)坐标系中的表 [41
达式． 于是类似于(5)的得出 ，我们知道这一
向量场的积分曲线应满足(21)。
这样，我们从几何的角度又一攻得出了正 ，
则变换不改变哈密顿正则方程的形式的结论． [7]
啥密顿函数不显台时间t的正则变换问题至此
已得到完满的解决． [81
参考文献 [9】
【l】事泽华，正婀变换对啥密顿原理的边界条件的影响，力
学与实践，8~5(1986)，50一 3．
【2】A r4oId。V．1．．M a‘hematica]Method s of cI5·
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Manilald a and Thooretica1 Pbysic5．Academjc
(】985)．115-I17． 一
(本文于l9B8年i月27日收到)
哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号
(II)哈密顿函数星盒鞋阊t的情况
冯承天魏白蓉牟亚萍
(上海师I皂大学物理系)
提要本文和J用切触流形的基本理论讨论了在哈密顿
西数显 时间I的情况下， 哈密顿正则方程等物理概
念的j 何意义， 从而阐明了正则变换问题并证明了泊
松括号在含时构正剐变换下也是一个不变量等结论．
键调堕童塑 兰，逭i 量变垫 接触变换，含
时系统，涡旋线
l。引夸
我们在【I】中曾利用近代微分几何的方法
系统而完整地阐明了在哈密顿函数不显台时间
l时的哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号．
本文继续采用这一方击叙述在哈密顿函数显台
对闻I时的哈密顿向量场的涡旋线、哈密顿正
则方程、正则变换与切触变换、辛变换之间的关
系等． 从而正则变换有了明显的几何意义并完
鞴地解释了它的数学形式．一
z扩晨的相空阊和切触流形
如果自由度为一的体系的啥密顿函数显合
时间，即日一日(g，P，，)，。那么H现在就是定
义在扩展的相空间 M x R一{g，P，f)上的
函数。在这个2 + I维流形上，我们考虑下列
二次形式rH 。
rH一矗A^de— 矗H^出- 7一 H^出(1)
扩展的相空间 M x R 与 一起构成了一
个切触流形，记为( ‘ x R， )。
为了求得哈密顿函数日(口，p，f)在( Mx
R，rn)上给出的流向量场 的性质，先讨论
(2 4-1)维流形上的涡旋线问题．
3．(2，l+ 1)维 形上由非谌化的= 次形
式所确定的渭旋线
设 是(2n4-1)维流形上的一个任意的
二次形式，此时不难证明 至少存在一个非零
的向量场 ，满足
( ，【，> 0 l对所有的商量场， 。《2)
、
· 4l ‘
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