topology01 拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质拓扑不变性质拓扑不变性质拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质

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拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质拓扑不变性质拓扑不变性质拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质

从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，，，，它们的定义域和值域它们的定义域和值域它们的定义域和值域它们的定义域和值域都是欧氏空间都是欧氏空间都是欧氏空间都是欧氏空间（（（（直线直线直线直线，，，，平面或空间等等平面或空间等等平面或空间等等平面或空间等等））））或是其中的一部分或是其中的一部分或是其中的一部分或是其中的一部分．．．．在这一章中我们在这一章中我们在这一章中我们在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，，，，将连续将连续将连续将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（（（（参见参见参见参见§2.1§2.1§2.1§2.1）．）．）．）．然然然然后将两者再度抽象后将两者再度抽象后将两者再度抽象后将两者再度抽象，，，，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（（（（参见参见参见参见§2.2§2.2§2.2§2.2）．）．）．）．随随随随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，，，，闭包闭包闭包闭包，，，，内部内部内部内部，，，，边界边界边界边界，，，，基和子基和子基和子基和子基基基基，，，，序列等等序列等等序列等等序列等等

在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．．．．如在线性代数中我们考如在线性代数中我们考如在线性代数中我们考如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换虑线性空间和线性变换虑线性空间和线性变换虑线性空间和线性变换，，，，在群论中我们考虑群和同态在群论中我们考虑群和同态在群论中我们考虑群和同态在群论中我们考虑群和同态，，，，在集合论中我们考虑集在集合论中我们考虑集在集合论中我们考虑集在集合论中我们考虑集合和映射合和映射合和映射合和映射，，，，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．．．．并且对于后并且对于后并且对于后并且对于后者都要提出一类来予以重视者都要提出一类来予以重视者都要提出一类来予以重视者都要提出一类来予以重视，，，，例如线性代数中的例如线性代数中的例如线性代数中的例如线性代数中的（（（（线性线性线性线性））））同构同构同构同构，，，，群论中的同构群论中的同构群论中的同构群论中的同构，，，，集集集集合论中的合论中的合论中的合论中的————一映射一映射一映射一映射，，，，以及初等几何学中的刚体运动以及初等几何学中的刚体运动以及初等几何学中的刚体运动以及初等几何学中的刚体运动（（（（即平移加旋转即平移加旋转即平移加旋转即平移加旋转））））等等等等等等等等．．．．     我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．  定义定义定义定义2.2.52.2.52.2.52.2.5    设设设设XXXX和和和和YYYY是两个拓扑空间是两个拓扑空间是两个拓扑空间是两个拓扑空间．．．．如果如果如果如果ffff：：：：X→YX→YX→YX→Y是一个是一个是一个是一个————一映射一映射一映射一映射，，，，并且并且并且并且ffff和和和和：：：：Y→XY→XY→XY→X都是连续的都是连续的都是连续的都是连续的，，，，则称则称则称则称ffff是一个同胚映射或同胚是一个同胚映射或同胚是一个同胚映射或同胚是一个同胚映射或同胚．．．．        定理定理定理定理2.2.22.2.22.2.22.2.2    设设设设XXXX，，，，YYYY和和和和ZZZZ都是拓扑空间都是拓扑空间都是拓扑空间都是拓扑空间．．．．则则则则 （（（（1111））））恒同映射恒同映射恒同映射恒同映射：：：：X→XX→XX→XX→X是一个同胚是一个同胚是一个同胚是一个同胚；；；；    （（（（2222））））如果如果如果如果ffff：：：：X→YX→YX→YX→Y是一个同胚是一个同胚是一个同胚是一个同胚，，，，则则则则：：：：Y→XY→XY→XY→X也是一个同胚也是一个同胚也是一个同胚也是一个同胚；