| 菲尔兹奖获得者丘成桐演讲:共形几何 |
| 作者：丘成桐 文章来源：新浪科技 点击数： 1542 更新时间：11/9/2005 |
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新浪科技讯11月5日“二十一世纪的计算-探索计算之源”国际学术研讨会在北京国际会议中心举行，微软公司高级副总裁Rick Rashid博士、菲尔兹奖获得者丘生桐博士、图灵奖获得者Raj Reddy博士、微软亚洲研究院院长兼首席科学家张亚勤博士、微软公司副总裁李开复博士等知名学者做了主题演讲。
以下为菲尔兹奖获得者丘生桐博士演讲全文： 丘生桐：我可以说是一个数学家，我认为几何学这个题目就是要描述自然，描述几何和代数，就是描述日常生活中所见到的几何图形。从去年开始，哈佛有些学生跟我交流，他们希望谈一谈在计算机方面的成像问题，我们花了一些时间进行交谈，今天来谈一谈古教授的一些看法。我今天的题目就是日常生活中的几何图形做一个描述。 我们使用的重要结构是共形几何。高功能的计算机计算现在能够进行三维的计算，而且硬件能够做三维的数字信息，这样就可以时几何能够描述日常的几何图形。就三维有一个内在的几何图形，其中最重要的就是共形几何，今天我要给大家介绍这一点。 为什么它很重要呢？共形几何是解决非常复杂的图形，这样使我们能够大量地由数学家在过去两千年中所开发的数学、几何、代数这些技术。在计算中基本的技术，不管是线性和非线性的，这种工程是在过去50年中所开发的。这些都是非常有用的工具，以前计算机可以说从来没有用过这方面数学的技术。非常复杂，而且很难用，非常高兴我能够触及到这一系列的东西来用于计算机。 首先我们看一下图形，到底什么是共形几何呢？共形几何实际上就是要描述的这些东西，有角的描述，比如说在这个图形中，这是一个人的面孔。我想来描述他的脸，但是这里我要保住他的脸形差不多，所以要有一些角度，就以我们所看到的在地球表面是一样的，我们在海上进行航行，可以看到这个角度的一些变化。我们可以把表面进行参数化，除此以外我们还需要知道几个角的结构。纬度和经度是如何变化的，要找一个独特的方式能有一些点。这样做非常有用，因此我们在这里一一讨论一下。 首先纹理的使用，在这里特别强调是一个非常复杂的几何，就像我们所看到的这些。这表面是非常复杂的，需要在这表面上画一些图形，总的来说这是非常复杂的，很难做。我们用手有时会有一些尖端，我们用了共形结构就比较容易了。当然还有一个三角形，我们先看一下实际的模型，都是不规则的，为了变得规则我们使用一个共形结构，来得到一个更好的图形。你们可以看看。在这里我再给大家介绍一下非常有意思的演示，有两个人的脸，一个是很漂亮的女人，另一个是男人，我们来给它变化一下。而且长出胡子了，然后上下再变换一下。再回来看一下，这是非常平滑的，能从一个男人的脸变成一个女人的脸。我以后这种共形结构非常有用。为什么我们认为它很有用？我们把这个女人的脸变成一个方块，我们再把角度的特点叠加上。因此这个图形变化的非常平滑，不用手进行详细的绘制了。 这有很多用处，我们在结合了一些医生在大脑研究方面，大家是一种非常复杂的几何结构，当然身上很多的器官，它的位置、它是什么样子的，都是非常重要的。因此医学的大脑成形是描述大脑和其他器官的。这个图形能够看到大脑发生的变化，从3岁到15岁有什么变化，而且可以准确地了解数学的参数化。这是不同的，实际上是一个平面。经过几年的成长以后大家可以看到大脑的变化是能够很明显地看出来的。我们再确定这个平面大小的点，左面的是非常复杂的，但是右面的非常有意思，这样把两个平面叠加在一起，进行比较的方法实际上就是大家的共形结构是一种六边形的，因此可以进行比较。 对数据压缩来说是非常重要的，这些是一些数据。现在这样来讲吧，我相信这只是我们做的研究的一小部分，我们尽可能地给出一些非常准确的、表面的几何的表述。我们希望能够使它数字化，把所有的内容都用数字来表述，这是非常简单的。然后再生成把数据压缩，编码。因此在这个过程中我们要演示它是如何来做的。理论背景我们来看一下，这是一个共形的结构。我们可以进行独特的、和谐的。在实际计算中，这个模型上有很多点，非常简单地进行简化这样进行角度化。我们进行计算，使用线性代数和其他一些工具。在我们进行计算之后，根据三维的图象进行计算之后，我们接着来进行压缩，计算一些共形的因素。给大家演示一下。这个茶杯有一个把，我们进行一些计算，得到了这个图形，共形地描述了这个茶杯。因此大家可以看到我们描述茶杯的一些网格。这张图可以进行共形的移 动，这是兔子，我们可以在不改变角结构的情况下变成不同的图形，我们可以更详细地看一下它的点。重要的就是改变这个图形，而不改变它的角度，这一点对描述图形来说是非常重要的，在我进行图形制作的时候，我们做了一些简单的测算。我们进行角度化，然后进行最小化。把协调进行最小化，这个过程非常重要，即使是从数学角度来说也是非常重要的，我们只是去几年才开发研究出来的。 再介绍一下我刚才说的，头部在中间，角度并不统一，多少在头部密度比较少，我给大家再移 动一下，使用六维的共形的组来进行移 动。这个很难计算，这是一个雕塑。你们看到这里有两个部分，我们进行了计算演示看网格是如何移 动的。这个做起来很有意思，可以简单描述一下在左边的图线，我们进行简单的分割，把它打开，这样才能进行计算。 左边是平行的，使用这种做法来进行描述。但是这是需要进行完整的和共形的处理。首先是研究一下下调的调低比，就是一系列的曲线，这些曲线形成了统一下调的调低比。如果你选左边的话，你得到一个更精确的数。 这里给大家提的是未来形成图片的技术，根据对曲面的计算和了解。人们对曲面整体的印象。要使用这种机理取决于你怎么样选择把表面分成好几块，我们做削减削切，这张图给大家了解曲面不同角度的图象。左边兔子的耳朵钻一个洞，如果用右边的话显然得到的图形是不一样的。我也可以在耳朵里面钻两个洞，这就是把不同的线性结合在一起，不同的组合能够得出不同的图像。 这张图是比较有意思的，我故意在中间做一些非常有意思的东西，计算里面有一个白的洞，出现白点是不对的，但是实际发生的情况是这样的，为了一个共性链。如果想画一个曲面图的话，可以通过找到一些连点。这些都有一些细节的计算，你可以看到在中部有一个图形非常好的形态，这些点是与曲面的共形结构成比例的，如果得到这几个点，比如说面部或者是鼻子，还有身体表面的一些重要特征，应该了解一下曲面的位置在哪里。这张图就能够得出更清晰的点部。通过我们的计算能够看到这个结合点，总体来说取决于如果这个图形更大，这个基点就更大。还有一些可以看到基点的形成。这是在画这个图形过程中临点的位置，使大家能够了解一下曲面共性的特征。一会儿我会详细讲这方面的计算。我们看一下这两个茶壶曲面的对比。我先把它分割，你在编辑这张图的时候，用的计算方式是不一样的。我想给大家讲的是找到这种连接点是很稳定的，无论当初你的计算是怎么做的。可以使用不同的方式把这个曲面进行割切，然后做同样的技术。左边和左边先得到同样的图。怎么样能够使左边的脸看起来角度更大一点，这两个是不一样的，可以得到面部的曲面的不同角度。还有一些表面不是很平滑的物体也可以进行计算，这就取决于几何图形的复杂程度。可以做一些很复杂的、不是很平滑表面的物体计算技术。 我们刚才讲的这些曲线没有界面，但是对于有界面的边界曲面来说可以做以下的几个事情，可以对一些曲面进行加工。就像这张图显示的，可能在右边这张图里面看到同样的结构，但是大家做了更简单的计算。原因是他们知道这种规格图。这也是相同的图形，比如说在比较密集的突出物体的部分，根据这种共形结构我们只需要计算两个函数。当我们做面部计算的时候，给大家显示这张图，这是一位女性的面部，我们计算一下右边是鼻子。这两个矩阵是不一样的，可以识别面部特征，然后再进行复杂的计算，再进行重新的复制，使用几何技术，还有一些不同的面部表情可以通过区间的计算来做。可以了解这些矩阵，通过数据能够复制这些。如果了解一下模型哪个具体部分精密度更高，对于雕塑我们也可以做同样的计算，了解成形的格局。 可以进行分类，你知道它的共性特征，通过简单的计算就可以复制了，所以可以进行数字压缩和数字转移。你把它进行切割，计算出零规格的数，你可以了解到不同的周期变量。这些数据能够使你以独特的方式来了解独特的指数，通过这些数字可以计算出不同的周期数据。所以只需要一个压缩数据就可以了。随着区间矩阵的形成，我们也可以做计算。我先把曲面进行切割，可以在二维的空间进行这种计算。使用这种计算也能够了解许多不同材料的曲面成形。这是用于一些标志物的物体。 做这种更加三维的参数化的比如说一个碗，我们可以了解图形，这是复杂得多，这是比较有意思的数学理论。因为三维几何形更复杂得多，而且引起了科学界的兴趣。因此我们使用这种共形几何理论，更复杂构成的图形结构。在不久的将来我们都能够看到这些技术成果。 |
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