分析热力学的应用：
平衡态热力学中温度的相对论变换
沈惠川!
（中国科学技术大学天文与应用物理系统计力学中心，合肥"#$$"%）
（"$$& 年’ 月() 日收到；"$$& 年($ 月") 日收到修改稿）
用分析热力学的观点和方法研究了温度的相对论变换公式，得到了与*+,-./，01-2341- 和54 6789+14 完全相同的
结果：! : !( ;!" !$
；分析热力学的特色和优点是，在推演过程中根本不需要!" : !( ;!!"$
这一可能引起争议
的和# : #$
这一显而易见的相对论变换公式，它们是作为附带结果出现的<
关键词：分析热力学，相对论热力学，平衡态热力学，热力学基本*81228- 括号
!"##：$#"$，$&("，$’)$
! 0=>,1+：2?4-?@1.?@,-A321-9?@,< 879< .-
2?4-?@1.?@,-A@23.< 45@
(B 引言
自(C$’ 年D< 01-2341- 发表相对论以来，物理学
家对热力学量的相对论变换已作了全方位的探讨；
但关于温度的相对论变换公式，从(C%# 年E< F33 开
始，至今仍有人在说“三”道“四”< 其中最主要的观点
有以下#，& 种：
（(）*+,-./［(］，01-2341-［"］，54 6789+14［#］认为
! : !( ;!" !$
， （(）
（"）0551-938-［&］，F33［’］，GH++47［%］认为
! : !$
!( ;!"
， （"）
（#）I,-52J479［)—((］认为
! : !$
， （#）
（&）另有部分人（例如K< L< M4@J@79?）认为，!$
和! 之间没有确定的变换关系<
上述各式中!$
为热力学系统在相对于它为静
止的参考系"$
中的N4+O1- 温度，! 为该热力学系统
在另一个相对于"$
以速度$% :!%&（ % : (，"，#）运
动的惯性参考系"中的N4+O1- 温度；& 为光速<
需要说明的是，54 6789+14［#］证明*+,-./=01-2341-
变换公式! :!( ;!" !$
的方法与众不同< 根据相
对论［"］，当一位静止的观测者关注着以速度$% :!%&
（% : (，"，#）运动的热力学系统时，系统内部某种周
期运动的频率"$
在此观测者眼里是
" : !( ;!""$
， （&）
紧接此式，54 6789+14 由
%6 ! : ’"< （’）
立即得到了与*+,-./=01-2341- 相同的结论< 式中%6
和’ : "#$ 分别为68+3P>,-- 常数和*+,-./ 常数<
I< 54 6789+14 由此建立了“单粒子”（+, Q,731.@+4 128+44）
的热力学理论<
我国学者谈镐生等人［("］和叶壬癸［(#—(’］于(CR"
年开始注意到有关温度的相对论变换方面的争论<
在*+,-./［(］和01-2341-［"］的论文中曾指出，若将热力
学过程中外界对系统所做的元功#( 分解为容积)
变化所对应的元功（ ; #5)）与系统动量#$%
变化所
对应的元功（*·
$%
5#$%
）之和，则关于系统内能+ 变化
的热力学第一定律可写成
5+ : !5, ; #5) ; #$%
5*·
$%
， （%）
式中, 和# 分别为热力学系统的熵和压强；*$%
和
#$%
分别为系统作整体运动时的广义坐标和广义动
量，*·
$%
: 5*$%
5-
为广义速度；重复角标按01-2341- 约定
求和（ % : (，"，#）< 谈镐生等人的文章从另一角度出
发，证明了（%）式的正确性并重新得到了（(）式；同时
还分析了0551-938- 和GH++47 的错误原因，并指出了
第’ 卷第% 期"$$’年% 月
($$$=#"C$S"$$’’（$%）S"&R"=$)
物理学报
DTUD *EVWXTD WXMXTD
Y8+<’，M8<%，Z@-4，"$$’"
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
"$$’T?1-< *?[2< W8.<
!"##$% 模型的正确处理方案! 谈镐生等人认为，在!"
参考系中的观测者看来，当!参考系中热力学系统
以速度&’#!’(（ ’# $，%，&）运动时是有整体动量的，
因而’()*+,-* 所认为的“功和热量都是能量因而必
须符合质量的相对论变换公式”以及他所得到的
!) # !)"
"$ .!%
和!* # !*"
"$ .!%
都是错误的! 但是谈
镐生等人的文章对’()*+,-* 的错误原因分析得不
够透彻! 式中!)"
和!) 分别为在!"
参考系中和在
!参考系中外界对热力学系统所作的元功，!*"
和
!* 分别为在!"
参考系中和在!参考系中所观测
到的热力学系统吸收的元热量! 至于/01123 的错误
论证，谈镐生等人在文章中也有一句同样的关键话
没有说，即正确的处理方案应是先对实际热力学过
程进行4-32*,5 变换，然后再在两个参考系!"
和!
中取准静态极限；而/01123 的错误在于将这两种操
作次序颠倒了过来!
叶壬癸的文章则指出，所有依赖于!* #
"$ .!%!*"
推导出来的关于温度的相对论变换公
式，都是有毛病的；他从狭义相对论与平衡态热力学
之间的逻辑关系出发，指出关于温度的相对论变换
公式的正确形式应是617*89:’*;,2)* 的!
近年来丁光涛等（$<=> 年），李复龄［$?］（$<=<
年），聂金柱等（$<<@ 年），高天寿［$A］（$<<@ 年），王家
庆（$<<? 年和%""" 年），张志远（$<<? 年），以及陆全
康［$=］（$<<A 年），高连歌等（$<<= 年），刘发兴等（$<<=
年），李慧（$<<< 年），张有生［$<］（%""$ 年），李延龙等
（%""% 年），也分别从不同角度讨论了这一问题!（请
查阅BCDE! *2, 和F8)2*82BG)*7! *2,! 8*）! 张有生在文
章中所说的“尚能取得共识的是：体系的粒子数+，
熵, 和压强- 是4-32*,5 不变量”，“体积. 是4-32*,5
收缩的”一席话与’*;,2)* 在文献［%］中的结论是一
致的；即
+ # +"
，, # ,"
，- # -"
，. #".$ ."
， （A）
式中
" # $
"$ .!% ! （=）
丁光涛等人和聂金柱等人的文章亦站在617*89:
’*;,2)*:(2 H3-+1)2 一边! 李复龄，陆全康，高连歌等人
和王家庆则与I,, 所持观点相同! 但值得一提的是
文献［$A］中的错误! 首先，文献［$A］用于讨论压强-
和温度/ 的相对论变换公式的基本出发点是分子运
动论中非相对论分子的近似表达式
- # %&
0J〈#〉，&%
’H / #〈#〉，
〈#〉# $%
1〈2%〉， （<）
式中1 为分子质量，0J 为热力学系统的分子数密
度，〈#〉为非相对论分子平动能的平均值，2’（ ’# $，
%，&）为非相对论分子无规运动的速度分量! 由于参
考系!相对于!"
以速度&’#!’( 运动使〈#〉#
$%
1〈2%〉中的2’必须符合相对论速度相加公式，因
而经过简单的计算可以证明文献［$A］所说的“随机
速度平方的平均不随参考系变换而改变”根本是错
误的；从而为〈#〉# $%
1〈2%〉所作的统计平均也是根
本错误的! 利用- # %&
0J〈#〉和&%
’H / #〈#〉二式的
实质，就是仅考虑分子平动能的平均值，所以文献
［$A］与’()*+,-* 没有考虑“当!参考系中热力学系
统以速度&’#!’( 运动时是有动量的”所犯的错误
也是相同的，其结果/ #"/"
亦与’()*+,-* 错得相
同! 其次，因为文献［$A］的〈#〉相对论变换的错误，导
致- #"% -"
的更大错误；实际上如果用〈#〉相对论
变换是〈#〉#"$ .!%〈#"
〉的正确形式，则由分子数
密度的相对论变换公式0J #"0J
"
，正好可以得到“压
强- 是4-32*,5 不变量”的正确结果!
本文从分析热力学［%"—%%］的角度重新讨论平衡
态热力学中温度的相对论变换! 讨论的出发点是由
617*89 和’*;,2)* 的“将热力学过程中外界对系统所
做的元功#) 分解为容积. 变化所对应的元功
（ . -(.）与系统动量-$’变化所对应的元功
（3·
$’(-$’）之和”得到的（?）式，以及617*89 所认证的
“同一系统在不同惯性系中的熵相同”（即“熵是
4-32*,5 标量”）这一普遍认同的假设! 其中，前一个出
发点作为相对论热力学第一定律的必然表达式尽管
为’()*+,-* 和I,, 所违反，但也没有被他们刻意否
认；他们以及/01123 的问题将在本文文末进行讨论!
另外，由于叶壬癸说过“所有依赖于!* # "$ .!%
!*"
推导出来的关于温度的相对论变换公式，都是
有毛病的”，所以本文有意避!* #"$ .!%!*"
这
一相对论变换公式! 同时，尽管文献［$A］中的结果-
#"% -"
是错误的，但本文在论证温度的相对论变换
公式时仍然避免提早使用- # -"
这一正确公式，而
宁可将其作为结论自然地推导出来；目的是不给人
?期沈惠川：分析热力学的应用：平衡态热力学中温度的相对论变换%@=&
以“蛮不讲理”和“强加于人”的错觉!
"# 分析热力学基础及其主要内容
关于不涉及系统整体运动的分析热力学［"$—""］，
其基础有二：一为%&’& 方程（在较为一般的开系中
是）
(! ) "(# * $(% +!& (’&
，
(( ) * #(" * $(% +!& (’&
，
() ) * #(" + %($ +!& (’&
，
(* ) "(# + %($ +!& (’&
ì
í
î
ïï
ïï
!
（,$）
二为-.//0 变分原理（(1 23456.1 称为“7’849 变分原
理”）
!# ) $ !" # : $，
!( ) $ !" ( ; $，
!) ) $ !" ) ; { $!
（,,）
式中(，)，* 分别为热力学系统的<16=>469? 自由
能，-.//0 自由能和焓；!&
，’&
分别为热力学系统的
化学势（或称为“热势”和“热力势”）和=46 数，& 为
组元编号；与前面一样，重复角标按@.8091.8 约定
求和!
实际上，%&’& 方程（,$）式就是微分形式的热力
学第一定律，而-.//0 变分原理（,,）式则等价于热
力学第二定律! 由（,$）和（,,）式，可以得到平衡态热
力学中的正则方程：
($
(’&
) *"!&
"%
，(%
(’&
) "!&
"$
， （,"’）
("
(’&
)"!&
"#
，(#
(’&
) *"!&
"" ! （,"/）
而由（,"’）和（,"/）式，又可得到平衡态热力学中的
基本%4.0048 括号
［%，$］
%，$ ) ,，［ #，"］
%，$ ) ,! （,A）
因而，熵# 和B16C.8 温度"，容积% 和压强$，是两
对共轭正则变量! 但是，平衡态热力学中每对共轭正
则变量的乘积，其量纲都是能量量纲；它与经典力学
或量子力学中每对共轭正则变量的乘积其量纲都是
作用量量纲（或角动量量纲）完全不同!
进一步，从-.//0 变分原理还可以得到热力学
正则变换和分析热力学中的“准<’.6948DE’4/. 方
程”；不过，由于在平衡态热力学中!!!$ 以及
!*!$，因而热力学正则变换只有G 种而不是,H
种；同时，正是出于这一原因，分析热力学暂时还不
能纳入“2.3I>4&& 系统动力学”［"A］的范畴!
由于分析热力学与分析力学一样，都是建立在
%&’& 方程，J1518(31 变换和变分原理的数学基础上，
因此所有在分析力学［"G，"K］中讨论的事，也可以在分
析热力学或者“分析力学—热力学”中进行讨论! 例
如，分析力学中的“化<’.6948.’ 为动量的正则变换
技术”［"H，"L］就可以用于分析热力学，以化简化学势
（正则函数）的表达式!
A# 整体运动热力学系统中的新的共轭
正则变量
在作整体运动的热力学系统（开系）中，其%&’&
方程是（,$）式的直接推广：
(! ) "(# * $(% * $"+
(,·
"+
+!& (’&
，
(( ) * #(" * $(% * $"+
(,·
"+
+!& (’&
，
() ) * #(" + %($ * $"+
(,·
"+
+!& (’&
，
(* ) "(# + %(% * $"+
(,·"++!& (’&
ì
í
î
ïï
ïï
，
（,G）
式中,·
"+
和$"+
分别为系统作整体运动时的广义速
度和广义动量! 由（,G）式可知（为简化书写略去脚标
+ 和&）
# ) * "(
" ( ) " %，, · "，’，
$ ) * "(
" ( ) % "，, · "，’，
$"+
) * "(
",· " ( ) + "，%，’，
!& ) "(
"’( ) & "，%，,·" !
（,K）
从而得到
［ $"+
，,·
"-
］%
，$ )"（ $"+
，,·
"-
）
"（%，$）
)"（ $"+
，,·
"-
）M"（%，,·
"-
）
"（%，$）M"（%，,·
"-
）
)
"$"+
" ( ) % ,
·"
"$
",· " ( ) - %
)
* "" (
"%",· " ( ) + "，%，, · "，’* "" (
",·
"-
" ( ) % "，%，, · "，’)"+-
，
即有基本%4.0048 括号：
［ $"+
，,·
"-
］%
，$ )"+-
， （,H）
"GNG 物理学报KG卷
式中!!"
为!"#$%&’" 符号( 上式（兼顾正则方程（)*+）
和（)*,））表明在作整体运动的热力学系统中，整体
运动的广义动量#!!
和广义速度$·!!
是一对新的共
轭正则变量( 由于平衡态热力学中每对共轭正则变
量的乘积，其量纲都是能量量纲，所以与广义动量
#!!
共轭的是广义速度$·!!
，而不是分析力学中的广
义坐标$!!
(
由（)-）式，又有
［ #!!
，$·
!"
］%
，& .!（ #!!
，$·
!"
）
!（ %，&）
.!（ #!!
，$·
!"
）
!（’，#）
·!（’，#）
!（ %，&）
.
［ #!!
，$·
!"
］’，#
［ %，&］
’，#
.!!"
) (
于是又有基本/01220$ 括号：
［ #!!
，$·
!"
］%
，& .!!" ( （)3）
同理还有另两个基本/01220$ 括号：
［ ()
，"*
］’，# .!)*
， （)4）
和
［ ()
，"*
］%
，& .!)* ( （)5）
67 温度的相对论变换公式
回到本文讨论的问题( 以下标8 表示在相对于
热力学系统为静止的"8
参考系中的热力学量和力
学量( 根据相对论［*］，动量的相对论变换为
#!"
.（!!" 9#$$! "
）#!
8! 9$%"
+8
,
， （*8）
而速度的相对论相加公式是
$·
!!
.
（!!" 9#$$! "
）$· !
8" 9$!%,
% ) 9$-
$·!
( 8- ) ,
( （*)）
式中$!, . .! （ ! . )，*，-）为运动参考系"相对于参
考系"8
的运动速度，+8
为热力学系统在参考系"8
中的整体运动的能量，而
# . %*
% 9 )
，% . )
#) :$*
（或$*
.%* : )
%*
）( （**）
因为
!#!"
!#!
8"
. )
#) :$* .% （不对" 求和），（*-）
!$·
!!
!$· !
8!
. ) :$*
) 9$"
$·!
( 8" ) ,
* $ ) :$*
（不对! 求和），
（*6）
（其中用到了热力学系统“整体运动速度不大”或“取
准静态极限”的假设）所以，
!（ #!"
，$·
!!
）
!（ #!
8"
，$· !
8!
）
.!（ #!"
，$·
!!
）;!（ #!
8"
，$·
!!
）
!（ #!
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，$· !
8!
）;!（ #!
8"
，$·
!!
）
.!#!"
!#!
8"
·!$·
!!
!$· !
8!
. )
#) :$*
·（) :$*
）. #) :$* ( （*<）
又因为（)3）式有
) .
［ #!"
，$·
!!
］%
，&
［ #!
8"
，$· !
8!
］%
8
，&8
.!（ #!"
，$·
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）
!（ %，&）
·!（ %8
，&8
）
!（ #!
8"
，$· !
8!
）
.!（ #!"
，$·
!!
）
!（ #!
8"
，$· !
8!
）
·!（ %8
，&8
）
!（ %，&）( （*=）
所以将（*<）式代入（*=）式后得到
!（ %，&）
!（ %8
，&8
）. #) :$* .%:) ( （*3）
最后，应用/>+$&’的“同一系统在不同惯性系中
的熵相同”（即“熵是?0"%$@A 标量”）这一普遍认同的
假设，即
% . %8
， （*4）
就有
!（ %，&）
!（ %8
，&8
）. !（ %8
，&）
!（ %8
，&8
）
. !&
!& ( ) 8 %8
. #) :$* ( （*5）
于是，
& . #) :$* &8 .%:) &8 ( （-8）
<7 几个附带的相对论变换公式
首先，根据基本/01220$ 括号（)=）式，有
) .!（ #!!
，$·
!!
）
!（’，#）
=期沈惠川：分析热力学的应用：平衡态热力学中温度的相对论变换*64<
!!（ !!"
，#·
!$
）
!（%，!）
·!（%"
，!"
）
!（ !!
""
，#· !
"$
）
!!（ !!"
，#·
!$
）
!（ !!
""
，#· !
"$
）
·!（%"
，!"
）
!（%，!）
!"# $!% ·!（%"
，!"
）
!（%，!）
，
即
!（%，!）
!（%"
，!"
）! "# $!% !"$# & （’）
将由容积% 的相对论［%］收缩公式（实际上源于长度
沿运动方向的收缩）
% ! "# $!% %" !"$# %" & （’）
代入（’）式，就自然得到
! ! !" & （’’）
其次，根据基本()*++), 括号（#-）式，有
# !!（ &’，#’）
!（ (，)） ! !（ &’，#*
）
!（ (，)）
·!（ ("
，)"
）
!（ &"’，#"*
）
! !（ &’，#*
）
!（ &"’，#"*
）
·!（ ("
，)"
）
!（ (，)）
! !（ &’，#*
）
!（ &"’，#"*
）
·!（ ("
，)"
）
!（ ("
，)）
，
即
!（ &’，#*
）
!（ &"’，#"*
）! !)
!) ( ) " ("
! "# $!% !"$# & （’）
对/)0 数不变的系统（即“闭系”）来说，有
&’! &"’& （’）
此时有
#’! "# $!%#"’& （’）
从而，在单元“闭系”中，其3*44+ 自由能的相对论变
换是
+ ! "# $!% +" & （’）
既然在单元“闭系”中其3*44+ 自由能的相对论变换
是（’）式，那么对于所有热力学系统来说其3*44+
自由能的相对论变换都是（’）式&
最后，由) ! !,
! ( ) ( %，&，#·!
可知，内能, 的相对
论变换也与（’）式类似：
, ! "# $!% ," & （’）
同样，由"- ! )"( 可得，元热量"- 的相对论变
换是
"- ! "# $!%"-" & （’）
27 结论和讨论
（8）用分析热力学的观点和方法来研究温度的
相对论变换公式十分方便，而且在数学上十分严密；
分析热力学的特色和优点是，在推演过程中根本不
需要"- !"# $!%"-"
这一可能引起争议的相对论
变换公式，甚至连! ! !"
这一显而易见（但也有人
认为并非显而易见）的相对论变换公式都不需要，它
们是作为附带结果在本文中出现的& 与此相悖，若是
按照9::;<=00>? 理论将热力学第一定律表成通常热
力学中的（非相对论）形式，则利用容积% 的@)?>,:A
变换公式和压强! 是@)?>,:A 标量作为前提条件，仍
然可得到温度) 的@)?>,:A 变换公式是(0B,CD;
E*,+:>*,;F> G?)H0*> 的，而不是EFF*,H:),;9::;<=00>? 的&
（G）本文只有两个前提条件，即相对论热力学
第一定律（2）式，以及(0B,CD 所认证的“同一系统在
不同惯性系中的熵相同”（即“熵是@)?>,:A 标量”）这
一普遍认同的假设& 这两个前提条件由于其普遍性
而根本算不上什么“额外条件”& 从而，本文的结果更
具一般性& 同时，由于本文的结果与(0B,CD;E*,+:>*,;
F> G?)H0*> 的结论完全相符，反过来也说明，分析热
力学理论是完全正确的& 当然，分析热力学的两个前
提条件，即(IBII 方程（对应于热力学第一定律）和
3*44+ 变分原理（对应于热力学第二定律）也根本算
不上什么“额外条件”&
（J）本文中推演温度的相对论变换公式的关键
是（%1）式，而在计算（%1）式之前必先计算（%’）式和
（%.）式；关键的关键是相对论动量公式（%"）式和速
度相加公式（%#）式即
!!"
!（$$" K%!!$ "
）!!
"$ K!""
."
/
，
#·
!$
!
（$$" K%!!$ "
）#· !
"" K!$"/
" # K!0
#·!
( "0 ) /
（后一式的通常形式即相对参考系沿#!
# ! #! 运动
时的形式为#· ! ! #· !
" K!/
# K!
#·!
"/
）& 注意，在进行（%.）式偏
导数运算之前不要急于将相对论速度相加公式（%#）
式化为通常形式，否则会导致错误结果& 这中间有个
“求导数运算和投影运动方向孰前孰后”的次序问
题，必须格外注意并弄清其中的物理含义&
%.62 物理学报1.卷
（!）一般来说，当问题中同时涉及相对论和热
力学时，相对论考虑和热力学考虑并不分孰前孰后；
但“平衡态”是一种近似，“准静态”则更是一种近似，
而近似处理在理论分析中总是放到最后一步才去实
现的" #$$%&’)& 的错误，表面上是对“系统动量!!"
变化所对应的元功（#·
!"
$!!"
）”未加考虑，但其本质
上则是将“*)+,&(- 变换”［在相对论热力学第一定律
（.）式中应用“相对论速度相加公式”（/0）式］和“取
准静态极限”这两种操作次序颠倒了过来：在（.）式
中不考虑（ 1 !!"
$#·
!"
）这最后一项，实际上等同于过
早地使用了“取准静态极限”条件［用非相对论热力
学第一定律取代了相对论热力学第一定律（.）式］"
而2(( 和3455,+ 的错误，表面上是将相对论考虑置于
!$ 之中，但其本质也在于将“*)+,&(- 变换”（即相对
论速度相加公式及对其偏微商）和“取准静态极限”
（即对分母的近似处理）这两种操作次序颠倒了过
来；只是程度有所不同而已" 与#$$%&’)& 的错误稍
微不同的是，2(( 和3455,+ 的“取准静态极限”操作稍
晚了几步（但也没有“放到最后一步去实现”）" 此外，
3455,+ 过早地引入! 6 !7
，是导致他犯错的另一个原
因"由此可见，#$$%&’)&，2(( 以及3455,+ 的错误，包
括所有导致% 6!%7
的错误，都是这些作者违背相
对论所致；这一点在分析热力学中看得格外清楚"
（#）从逻辑上讲，本文所证明的相对论变换关
系与*8&$9:,+’的结果无关" *8&$9:,+’错误的本质，
在于他破坏了热力学第一定律必须具有不变形式这
一得到公认的前提；关于这一点，在;8-8+)<［/=］的书
中看得很清楚" 在所谓的“温度不变量的相对论热力
学”中，甚至连许多最基本的热力学关系式都需要重
写并且随着参考系的运动速度具有不确定性" 换言
之，在*8&$9:,+’和;8-8+)< 的理论中，相对论热力学
第一定律（.）式是不成立的" 在他们的理论中只承认
>58&?@ 的& 6 &7 " 由此可见，*8&$9:,+’和;8-8+)< 的
错误，包括所有导致% 6 %7
的错误，都是这些作者
破坏热力学所致" 至于*8&$9:,+’所提到的“两个相
互运动参考系中的观测者将各认对方参考系中的温
度降低，因而应有% 6 %7
”的佯谬，实际上与通常在
相对论讨论中出现的“尺缩钟慢”佯谬是同一类问
题" 这类问题已有许多人作了解释，故而不值一驳"
（A）本文的目的就是探讨温度的相对论变换，
因而行文之初就已排斥了认为“%7
和% 之
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