群表示直乘的分解 直积在数学物理中的应用

直积在数学物理中的应用 (1-3)

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北落师门 发表文章数: 44 内力值: 210/210 贡献度: 481 人气: 69

标题: 直积在数学物理中的应用 (1-3) 作者: 北落师门 在数学论坛直和，直积和张量积讨论的很热闹，以前我也看过一些东西，现在就这个Topic梳理一下，介绍一下它们在数学物理上的应用。个人理解能力有限，笔记肯定有错误之处，敬请谅解。 (1) 群表示直乘的分解和MacKay 对应性 十维时空的一种理论模型是n个D3膜平行放置，形成规范群为U（n）的规范理论，规范场为A^\mu_I。有4种超对称荷，对称性为SU（4）。物质场是属于SU（4）4维表示和U（n）伴随表示的费米子场\Psi_{IJ}^4；属于SU（4）6维表示和U（n）伴随表示的波色子场\Phi_{IJ} ^6, I,J=1,2,…n. 十维时空的六维空间是CY空间，最平凡的就是C^3. 如果要返回到现实世界的大统一理论的规范群和N=1的超对称，CY空间必须带有奇点，由C^3.模掉一个离散群\Gamma来实现（严格来说，奇点摸平之后才是CY）。这个离散群取为SU(3)或SU（2）的离散子群。SU(2)的离散子群已经分类，是循环群，正多边形群，正四面体群，正八面体群和正十二面体群。在这个离散群作用下不变的规范场，物质场和超对称荷，就是现实世界中的场。 设离散群的不可约表示为r_i, 那么规范群U（n）分解为不同种类规范群的直乘\prod U(N_i), 满足\sum N_i dim(r_i)=n. 如果 SU（4）4 维或6维表示R与不可约表示为r_i的直积有分解： R\bigotimes r_i=\bigoplus_j a^R_{ij}r_j， 那么物质场分解为 SU(N_i)\times SU(N_j) 的双伴随表示 (N_i,\bar{N}_j)， 即 \Psi^{ij}_{f_{ij}} 或 \Phi^{ij}_{f_{ij}}， 其中 f_ {ij}=1,2,…a^R_{ij}. MacKay 对应性是说如果R取为 SU（2）的基本表示2，那么分解系数a^2_{ij}恰好就是affine (A_n,D_n, E_6,E_7,E_8)的Cartan 矩阵。 这个模型还远远没有达到现实世界所要求的，我们在以后继续评说。 参考文献：hep-th/0408142, Lectures on D-branes, Gauge Theories and Calabi-Yau Singularities. (2) 其实直积在自旋链模型中用到的最多，Hamilitonian 就是Pauli矩阵的直积。这么大的空间（约为2^N\times2^N）, 计算它的本征值和基态，是个难题。我简要说说我看到过的三种方法。 一种是Onserger， Kauffman的方法，首先把格点分解为L条平行链，两维Ising 模型的配分函数分解为矩阵形式，即三个矩阵L次方的迹，这三个矩阵M_{i}分别对应行最邻近行之间的能量M_1，行内最相邻作用的能量M_2，行在外磁场中的能量M_3。定义2n个广义的\Gamma矩阵（三个Pauli矩阵的直积形式），满足厄米和反对易关系式。如外磁场为零，M_1M_2就能表示为类似于\exp[i\beta\ sum\Gamma_i\Gamma_{i+1}]的形式。任意两个Gamma矩阵乘积与另外两个Gamma矩阵乘积是对易的，能同时对角化。而且，配分函数还能看作2n\times\2n维正交矩阵R（作用在\Gamma_i基上）在2^n\times2^n空间诱导出来的表示S（R），知道了R的本征值就知道了S（R）的本征值。实际采用的步骤是从配分函数的表达式中读出R，再求本征值。 参考文献：李政道，统计力学, P152-174。 一种是求转移矩阵的本征值，不算直乘，但方法类似于第一种。全平面空间上的正方形格点上有自旋，分别取为正负一。相邻作用只是两条斜对角线，耦合常数分别为K_1和K_2，求这个模型的配分函数。把平面分为四个区域，第一个区域边界为正x轴和正y轴，包括原点。边界上的自旋定好，分别为 s和s’, 注意它有2^n个。转移矩阵定义A{s,s’}为第一区域上的配分函数，对区域上所有格点自旋分布求和. 与第一种方法类似，配分函数也可以写成指数形式，而且指数项中的函数本征值有双周期性. 当K_2趋向无穷大，相应对角线上的自旋一样，配分函数是四个区域转移矩阵乘积的迹，可以表示为无穷乘积。 参考文献：John Cardy，Conformal Invariance and Statistical Mechanics. 第三种和第一种差不多，对于一维自旋链的Heiseinberg XY模型，形式几乎和第一种经典两维Ising模型完全一样。不过这儿物理动机是算基态下两部分（分链）之间的纠缠度（Von Neumann 熵），理论上只需要知道两个Feimi算符的真空（基态）期待值就能算出来。 把Hamilition对角化的基本思想是找到一连串的算符变换，第一串是把定域的Pauli矩阵转化为整体的Fermi算符a, 第二串是利用离散的Fourier变换，把算符a,转化为算符d, 第三串是利用Bogoliubov 变换，转化到算符b。具体计算方法可参照： Quan-ph/0304098, Ground state entanglement in quantum spin chains (3) 直积在物理上的定义有很多种，视具体模型而定。在CFT（共形场理论）中，如果三个场的期待值不为零，就说前面两个场的“直乘”分解为第三个场，CFT的术语称为”Fusion Rule”. 对于最小模型，Fusion系数可以通过SL(2,Z)的生成元S的表示矩阵给出，这称为Verlinde 公式。由Ising模型自旋关联函数随距离的幂次，对比CFT中两点关联函数随距离变化的公式，可以把Ising模型看足CFT，中心荷是1/2，但满足中心荷是1/2的模型不止一个，还有一个是Feremi子模型，这就是Onsager能够严格求解的原因。具体计算细节可以参考CFT的教材。 直积空间分解和Bethe假设 自旋为1/2的空间可以看作 C^2, 一维N个格点的Hilbert空间就可以看作N个C^2空间的直积，暂时不考虑哈密顿量的具体形式，只考虑对称性（平移和周期）和守恒量（总自旋），把这个庞大的Hilbert空间分解。最简单和直观的分解是按总自旋为1，2等分解。总自旋为一有N种情况，为2 有C（N，2）种情况，以此类推。Bethe假设基本思想就是总自旋为2的自旋波函数是C（N，2）个“两体”自旋波函数的线性叠加，系数是平面（离散）波函数形式，可以看足两体粒子散射矩阵。更精彩的内容请参考《Yang-Baxter 方程》。这儿一个基本但是重要的思想就是把某个空间按另一个守恒量分解，我们将在下文中继续阐述。 椭圆亏格 假设直乘空间按某种方式分解，我们能抽取出什么东西来？基本思想就像中学时代解递推数列的产生函数法，只不过系数听起来吓人，结果也吓人罢了。先从数学上讲，自旋流形M上有旋量丛，结构群为Spin(n), 基本表示为T，有无限系列表示R_i, 分解为基本表示直乘（反对称积或对称积）再直和。Witten发现这样的表示有物理解释，它其实就是按激发能量分类的Feimi子态（反对称）和Bose 子态（对称）的态空间，其上我们可以定义配分函数。因为动量算符和超对称荷对易，所以把这个空间分解为动量本征值\lambda子空间的直和。在每个子空间上，超对称荷有指标b_\lambda, 定义配分函数（产生函数）为某个参量q的无穷幂级数系数，系数就是超对称荷指标，Wirtten用物理的思想喝技巧具体求出了这个配分函数的表达式，后来数学家发现它是椭圆亏格的一种，并命名为 Witten Genus。 参考文献：Witten，Elliptic Genera and Quantum Field Theory. 月光猜想 我们继续延续这个思路，对于魔群的渐进表示V_i（可以分解为不可约表示的直和），每一层表示有个维数，把它看足某个参量无穷级数的系数，MacKay发现，加上一个常数744，这个产生函数其实就是数轮中的常见j函数，这就是有名的月光猜想。 补充：在数学界内，隔行也如隔山，Conway曾说过，j函数对于他们来说熟的不能再熟，对于我来说就是完全陌生的。现在趋势趋于融合了。Thompson把它推广，对于魔群的任意元素g，在渐进表示V_i有特征，用这个特征当系数，也可以组合出一个函数来，称为MacKay-Thompson级数。g 取单位元素，这个特征就是渐进表示的维数。 广义的月光猜想，粗略的说，MacKay-Thompson级数是上半平面H模掉一个SL（2，Z）的子群G形成的Rieman面（保准亏格是零）上的模函数的基。所谓模函数，就是在群G作用下不变（或协变）的函数。 参考文献：math.QA/9906167, Monstrous Moonshine and the Classification of CFT