ustc01 relaxation01 fire01 格子Boltzmann方程(LBE):沿特征线»的时间微分 格子玻尔兹曼方法简介

http://math.ustc.edu.cn/Ch/docs/wm_58.pdf


*1988***Los Alames**********************

*****,**-*****法(Lattice Boltzmann Method)*******


****************************,******

*****************,*****************
********,*****-********************

*********道*[1]*

********(****LBM) **********,******


**********,********************,***

****************,***********,******
*****************LBM***********,****

****,*Boltzmann****************,*******


*********,*************************
*************************LBM********


**:
1. ********(****)****,***(stream)***(collision)*


*********拟********
2. LBM**********Possion*****************


****到*
3. LBM***************************

4. LBM****************,**************

5. LBM******************,*********

6. *********


**********法******

 

其中d

dt

= @t + » ¢ r是沿特征线»的时间微分

对(3)式在[ 0; ±t]上积分，假定±t充分小且feq足够光滑，通过Taylor展开，并做

逼近处理，便可得到BGK模型下的格子Boltzmann方程

格子玻尔兹曼方法简介[2]

考虑Boltzmann方程的BGK(Bhatnagar，Gross，Krook 1954年)逼近模型[3]：

@tf + » ¢ rf = ¡

1

 

r

  

(f ¡ feq) (1)

其中f = f(x; »; t)是单粒子分布函数，¸是松弛时间，feq为Maxwell-Boltzmann平

衡分布函数：

feq = ½

(2¼RT)D=2

exp

 

½

 

¡

  

(» ¡ u)2

2RT

¾

 

(2)

 

R是理想气体常数，D是空间维数，½,u,T分别是宏观密度、速度和温度。将(1)式

改写为常微分形式：

df

dt

  

+

1

 

¸

  

f =

1

 

¸

  

feq (3)

其中d

dt

  

= @t + » ¢ r是沿特征线»的时间微分。

对(3)式在[ 0; ±t]上积分，假定±t充分小且feq足够光滑，通过Taylor展开，并做

逼近处理，便可得到BGK模型下的格子Boltzmann方程(LBE)：

f(x + »±t; »; t + ±t) = f(x; »; t) ¡

1

 

¿

  

(f(x; »; t) ¡ feq(x; »; t)) + O (±2

t ) (4)

写成全离散(时间、空间、速度全离散)形式：

f®(x + e®±t; t + ±t) ¡ f®(x; t) = ¡

1

 

¿

  

(f® ¡ feq

® ) (5)

其中¿ = ¸=±t是无量纲化的松弛时间。®是离散速度指标，e®是®方向的速度。方

程(5)式左边反映了粒子的流动过程，而右边通过松弛模拟碰撞过程，将LBM方

法写成以下两个计算步