、
Jeans处理和物质成团
Jeans考虑了一个自引力流体的不稳定性问题．接J!}l Jeans理论， 宇宙大尺度物质运
动可用如下流体力学方程模拟：
暂宙， 绒 缮扫／发尸＼虚
第l0卷第3期 紫金山天文台台刊 v。1 10 N。．3
1 1 1 年!月I~BLICAT[ONSOF PURPLE MOUNTAINOBSERVATORY Sep．，I 9 9 I
／ f0(， >
l，J ’
／6f一：81 宇宙中大尺度非线性结构
|51
宇宙像一团巨大的永恒的谜出现在我们面前
errEinstein
摘 要
宇宙物质在太尺度上戚团是字宙学的基本问题．本文综述了金斯理论和泽和多维奇近
似-指出：双戚分自引力系坑的非线性相互作用的动力学描述是太尺度戚团的现代研究课
题．
详违了过击在这十课题方面被我们获得的结果．表明： 自弓l力系统的结构可由一组非
线性藕合方程描写；抗动场能塌氅并形戚类薄饼结构．在宇宙条件下，我们得到了星系
团．超团和巨洞的特征尺度．
茫茫宇宙． 朗朗乾坤一浩瀚无垠的宇宙中，繁星灿烂．用现代科学的语言．我们可以
比较准确她描述这种观察结果：宇宙物质均匀地分布在一个甚大尺度上，而在不到几百个
Mpc范围内(Mpc：3×10 厘米)物质分布呈成团趋势， 星系。星系团、超团
(superclusters)和巨洞(Voids)是典型的样品．因此，一个基本的而又古老的宇宙学同
题是，在甚大尺度的均匀宇宙背景上为什么呈现大尺度不均匀性? 著名的英国天文学家
J．Jeans率先研究了这个重要问题(Jeans，1902)．
一
、
Jeans处理和物质成团
Jeans考虑了一个自引力流体的不稳定性问题．接J!}l Jeans理论， 宇宙大尺度物质运
动可用如下流体力学方程模拟：
1991~=7月1日收到．
+ · (p ) =o
—
l6l一
+ ( = 一 一
昌
4 Gp ：
(1．2)
(1．3)
其中压力P仅仅只是密度P的函数：
P=P (p) ． (1．4】
Jeans把一个无限均匀( =const)、静止的( 。=0)平衡态选择为问题中的基态，那
么从(1．2)一(1．4)可得到如下线性扰动态方程：
+p。 0，
h，一 I ，
l= 4ⅡGpI ；
对于平面波形式的扰动
(p1， l 1)∞ c-ie~t+iE．Y
，
可以从扰动方程得到如下的色散关系
∞ =k2v：一4nGp。
从(1．6)可 看到， 当且仅当
k< kJ E —
(4~~ Gp
一
0
)2
(1．5)
(1 6)
(1．7)
所研究的系统是引力不稳定的，扰动量将随时间指数地增长(见(1．5))．换句话说，如
果系统的尺度L大于它的Jeans波长，即如果
L > J； v
。， (1．8)
那么这种系统将发生引力塌缩导致物质分布的局部非均匀性．这就是Jeans理论的主要结
果(Jeans，1902)． 虽然Jeans基于极为简单的物理模型导出引力不稳定判据(1．8)或
(1．9)，但对各种复杂的物理系统，Jeans判据仍然不丧失它的正确性．诚然，Jeans选择
的基态，一般来说是不令人满意的．一个静止的无限均匀的引力系统， = 0 ，P
=
Const从(1．4)和(1．2)可见， ．=0；它与泊松(Poisson)方程(1．3)相悖
(除非P。=0)．这就是所谓的Jeans蒙混(Jeans swindle)．如果平衡的密度和压力变化的
标高1(经过1之后，密度和压力改变c倍)远大于声波的波长L 这相当于一种短波长近
一
162—
似，这时Jeans swidle是一种可采取的近似； 另外． 在均匀旋转的系统中， 引力可被离心
力所平衡，故在旋转标架中均匀系统可以处于静态平衡，这时不需要Jeans蒙混．类似
地， 在一个膨胀的哈勃流上(Hubble flow)。空间均匀系统的稳定性分析也不需要Jeans
蒙混。这时未扰引力只不过使膨胀减速．
通过Jeans质量
Jeans不稳定判据成为
Mj=警 “ 譬 c v j3
M>M J— V．： ／Gi， p1i
在宇宙学中，往往对重子物质感兴趣， 这时重子的Jeans质量为
MJB=(pⅡ／p)M J—pBV．： ／G ， p ，
(I．9)
(I．10)
其中总质量密度是重子质量密度和辐射密度之和：p~ps+p ．在复合之前，宇宙处于辐射
占优势阶段，这时p～ ，Vs～c：而且由于体系的膨胀，p oCR-^oc ，pBoCR一 ocT 。
其中R和T分别是宇宙标量因子和宇宙温度．因面在这阶段，我们找到
M m ocT一’ (1
．
12)
另一方面，在复合时(T～4000。K)，物质密度与辐射密度相符埒， ～p ，并且热平衡
的辐射密度 =aT％cT4， 我们就可以用今天的辐射密度 =4·10 克／厘米
仃。；2．7。K)来表示复合时的值：
或
因而复合前，我们有
p ~(4000／2．7)‘p ；
(M JB)I．~10”M
。
M JB一1 T )～M
@
(1．I3)
(1．14)
从上面可以看到，相对于今天的非均匀性典型样品，星系，星系团、超团的质量来说，
Jeans质量(I．14)未免太大了．因此，所有现在观测到的结构都不大可能在复合前整个
阶段形成．
在复合期，辐射与物质脱藕， 重子的速度降为V ～(k。T／m )“ ，因而在刚好复合
期之后，对应于(1．13)，这时的Jeans质量为(T～4x10 K)
一
163—
M Ⅱ~10” ·(
B
／c) M@~i0’M
@ (1．15)
由于(1．10)．M v：，在上式估值中．我们假定了v。一v．．另一方面，复合后，宇宙物
质绝热地膨胀．这时重子温度T。为
TB∞ )一 一”一R一 一 ’
这时物质主要是氢和氮， 因而 =5／3；同时在这个物质与辐射相互作用甚弱的阶段，亦
有RT～Const， 故有
或
TB oc
～ Vg OC T ；
这时质量守恒导致psOCR— 。cT’； 因而复合后．p～ 从(1．11)可找到
考虑到(1．15)，上式成为
M J|acT
M m 0 ， ( 个 ) ， M@
f1．16)
(1．17)
这种Jeans质量比起不均匀性典型质量(10 M@，10“M@，10 SM~)来说，是很为适中
的，换言之，这些典型结构可以由于引力不稳定而形成(参见(1．10))．
氢一氮等离子体在复合后可以经受引力不稳定，这时假这初始扰动是绝热．单个气体
分子对应的熵 为常数：
一
一一旦： ：c。nst
N 意 。
因此密度的脉动与温度的脉动相类似
：
9 ： ， 1 ： (1．18)
B
另一方面．在绝热情况，度规的脉动能引起微波背景的温度脉动 它是相当小的(uson
and wihlinson， 1984)：
8T／T < 2．9× 10一 n
．
19)
从(1．18)和(1．19)看到，初始的绝热脉动却。／9。是非常小的．它不可能发展到今日
宇宙的非线性脉动阶段．但是，如果宇宙中还存在看相当稠密的暗物质．那么所述的困难
一
l64—
可以克服．这种无碰撞的暗物质不与辐射藕合， 因此暗物质脉动在复合前可能增长，在复
合后．它们的曲率脉动将加速重子脉动增长。使之演化到今日的高涨的非线性阶段
(sza]ay．1987)．
有一些证据说明宇宙中可能存在暗物质．其一是旋涡星系的旋转曲线呈平坦形状；这
意味着星系的质量正比于径向距离r；换句话说。宇宙大部分质量是暗物质成分，分布于
星系外部冕区(Rubin，1983)．第二个证据是质光比M ／L：发现星系群和星系团的
M ／L很大于单个星系的M ／L； 这意味着星系团大部分物质是啃物质(Faber Ct a1．，
1979)．但是目前我们并不完全清楚宇宙暗物质可能是什么样的成分．推测它们大多是不
可视见的微子， 例如有质量的中徽子． 引力徽子．轴子、光徽子等等．
从这一小节的讨论，我们有如下二个结论：典型的大尺度非均匀性板可能是复合后形
成的；这时物质与辐射相互作用 弱，物质是质量密度的主要部分．此外，宇宙物质大部
分是暗物质，除引力作用之外．它们和重子几乎没有相互作用．
二、Zel'dovich近似和薄饼结构
为避开Jeans蒙混．我们来考虑宇宙膨胀效应．这时通常标架(亍， 就可以变到共动
标架(i。百)：
7=R(t) 。 (2．I)
=
。
+R(t)百， 。兰R(t)i ， (2．2)
(2．2)式右边 。就是Hubble流t 。=Ri=(R／R) =H 在此情况下· 方程(1．1)一
(1．4)可以分成空间均匀的膨胀方程(在 。v-)标架下)
(t) ～ 。_0 ， (2．3a)
+( 。· ) 。 i。，
·
i。= 一4 Gp。(t】，
以及扰动方程(标架 ，砷)
+ ·砷=( + o(t))。
+ 州椰 一 + ，
V — 一 G 。
茸中
(2．3b)
(2．3c)
(2．4a)
(2．4b)
(2．4c)
一
16卜
从(2．3a)可得
f2．5a)
f2．5b)
p。(t)R’(t)一COD8t (2固
这时(2·Ca)左恰好为0， 取(2
．3b)的散度，并利用(2．3c)，有
引人如下Fourier变换
考虑到绝热扰动
． ．
4 *G
R(t) j p o )
A一( ，’，酉1)=IAE(t)c ’ ，
pI V。PI ，
线性化忧动方程(2．4)之后， 可以找到
d2~i
[ +
R(t
生
dt ’ ) dt 一 Gpo (t)
这就是通常的密度扰动的演化方程(WeiDber量
．
1972)．
利用(2．6)， 积分(2．7)得
良 =学po(1】R 一K
(2．7)
(2．1 0)
(2．11)
其中K 为积分常数， (2．11)正好是标准的Friedmann方程(Friemann
，
1972)．常数取
± 。-如果R(t)《R(t。) R。，以至(2-11)中的赢 和警Gp。(t)R 都远大于l，这时
R(t)虻t
铂比情况下(2．10)有如下形式解(Weinbcrg，1972)：
i— A t + B t—I
，
并且增长模A ft ，必须满如下条件：
一
1^6--
(2．12)
(2．13)
d一出
．( 6 Gp
。
(2．14)
它实际上与经典Jeans判据(1．7)相一致．而速度场可从(2．13)确定；对于增长模，
t卜
蒋 (2．15)
线性理论可以给出引力扰动模的增长。但不能直接分析不稳定模的结构。这是它的主
要弱点．这实际上与线性理论不能确定脉动谱有关．把(2．15)代人(2．8)，我们有
=
J(一i2 ik A t_! ’ d =B )
，
(2．16)
这说明。在任何点百的本动速度可以由生标和时间的分离函数乘积来确定．
后．可找到流体元坐标i的表示式：
i=百+b( 百)， B(I)= b(t)；
积分(2．16)
(2．17)
坐标百描述未扰背景而b (t) (百)项表示初始物质分布的不规则性．方程(2．16)及
(2．17)是线性理论的结果．这时相对的密度扰动是很小的：6=P ／Po《1； 在非线性情
况下．特别当密度扰动变得很大． 1时。关系(2．16)和(2．17)不再是正确的．然而
ze1，dovich (1970)指出， 这种关系也能利用来描述非线性演化，作为提供描述非线性不
均匀性的一个好的近似．这被称之为ZcVdovich近似．由质量守恒：
dM =p(t。)d百一p(t)di
我们可得到时刻t的密度P (t)反比于从可到i变抉的Jacobian
p ，t)=p(t。)。JO"， )，
其中
耵， ～
利用(2．17)， 可得
0x
¨
oP
令 为矩阵“ ’‘的特征根'因而 · 。 可写为
(2．18)
(2．19)
p(_' p 2。)
对于增长模，b (t)是时间的增长函数，因此， 当^．是正的，例如 >0，那么就将发生
塌缩(卜b 一0)，此时刻密度变成无限大．一般地，物质沿表面ctct(0 ／0q日) =0
堆聚在一个薄片上(一维塌缩)，这个塌缩结构将是相当平坦的，ZcYdovich称它为薄饼
(Pancakes)．Zel，dovich的薄饼结构预言．虽然被以后的三维N 体数字模拟所证实
(Effathi OU and Silk，1988)，但明显地缺乏坚实的直接分析的基础．
从这一小节的讨论，我们得出结论： 白引力系统的非线性理论将决定大尺度非均匀性
的特征结构．
三、自引力系统动力学描述
从上面的分析，我们看到，宇宙太尺度非均匀性多在复合发生以后形成的，这时宇宙
物质占控制地位，辐射作用很小，物质的运动是非相对论的，可用牛顿理论描述：宇宙中
的物质至少是双成分的，并且暗物质是主要成分，它和星系物质除引力相互作用以外，无
其它作用；而且自引力系统运动的非线性藕合是决定大尺度非均匀结构的主要因素．此外
过去的研究(Jeans，1902，Bonnor，1957；ZeYdovich，1970．1980)都基于流体力学
的描述；这意味着，分布粒子间的碰擅自由程远小于问题中的特征尺度：但是，如果我们
要分析星系成团，把星系作为分布粒子，那么短平均自由程的假定就不再是对的，这时，
我们应该把物质的分布看作为类尘埃而不是类气体：换言之，大尺度物质的运动和发展决
定于动力论．
因此，双成分物质的白引力非线性相互】}乍用的动力描述，是大尺度物质成团的现代研
究方向．不待言， 这个课题是相当复杂的．底下给出我们的详细研究(Li Xiao-qing，
19901．
描述太尺度双成分物质的动力学行为的无碰撞Boltzmann方程是
0f 0f 0f
+ + +虿。 o， 1，2 (3·1)
这儿百是非引力加速度，虿。是引力加速度．它满足Poisson方程
V ·虿。= 一4 G
1
+p2)，
×蓄。：0；
质量密度P．满足
t】
我们可以假皂
r3．2a)
(3．2b)
(3．3)
p1 p2 ，
这里p1表亮物质(星系物质)的质量密度，p2表暗物质．
可以把 和喜。分成为未扰和扰动部分
(3．4)
f
。
=
f：+f：， 一g。一i +喜 (3．5)
因为fl和l。通过方程(3．1)一(3．3)紧密藕台，我们就可以把e展开为扰动场虿 的幂
级数：
f==Σfm (3．6)
其中指标-i，表示 的第i次幂． 由于非引力加速度存在(例如旋转)，我们就可选择一种
均匀的背景(p。≈const)，这时未扰态处于平衡：百+蓄 =0而无需借助于Jeans Swindle；
在此情况下， 未扰态方程
被导致到
。f 。f - 。f
+ + +喜 ) 0 (。· )
af‘
— =
0 (3．8)
ot
满足(3．8)的e也是能量积分的任意函数．合理地，我们取f：是Boltzmann分布。
， ．
r：= x 2 】
从(3．1)减去(3．7)井令百+i ：0， 得到
把(3．6)代人(3．10)，我们就得到如下一组级联方程：
a
，n’ afT ’ ．af‘
寺+ 言 营‘ 。
。
， a ．afT
寺+ 言 喜‘言‘。
(3．9)
(3．10)
(3．11)
(3．12)
一
169—
0
I1
』+g
ll言
』+g
一V
+
-I
百霉 + o寺fTo)+一g To亩fT~)；0。 (3．13)
在时一空坐标系统中， 我们还不能直接分析方程(3．11)一(3．13)： 一种有效的方法是把
它们变换到Fourier空间． 然后把分析的结果经反变换回到时一空系统(李晓卿，
1987)．引人如下Fourier变换．A=(百 ，fI)：
A ， ，t)一IAke⋯⋯dk， (3．14)
其中
A k Ab · dk； dkd∞ ；
它的逆变换为
Ak 』A ， ～e-nt-,~-T
(
d
2
／
Ⅱ
'd t
(3．15)
可以证明(李晓卿，1987)，两函数乘积的Fourier逆变换为
(L·M)t=JLt +Mt (k—kl—k 2)dkldkz， (3．16)
其中
一
k1 一k z)誊 (k—k1一k2) ∞ 一∞1一∞z) (3．17)
是Dirac函数．因此．从(3．11卜(3．13)可以找到
i(o— · f =
i(o— · 一
i(o— · f =
dk dk
z 一kl—k2)，
0f” )
号dlc~dk (1【～。一 )，
0
-
V
'dk
1
dk2 (k—k1一k 2)，
同时，Possion方程(3．2a)可写为
．
·l +4 Gp ”=一4 GΣp
- z
其中
p = p + p ，
一
170-=
(3．18)
(3．19)
(3．20)
(3 2l a)
(3．21b)
(3．21a)左边的项是非线性项。在我们所研究的情况下。只考虑到三级非线性，这和电磁
现象的情况类似(李晓卿，1989)．(3．21)的Fourier表象是
喜： G dr ．= G莩 ， (3．：：)
未扰态的Boltzmann分布(3．9)是一种时空均匀分布，从(3．15)可得到它的Fonricr积
分核：
毫=
=
f：5 ； (3．23)
如果我们把(3．18)代人(3．22)左边第三项，并利用(3．23)。我们就得到如下积分表示
式：
ofx ／oV dV
： (‘ 3．24)
这个积分是奇异的。被积函数在∞一 处有极点．象电磁现象所出现的情况那样，我们
可以用朗道围路方法来正确处理这个奇异积分(Birmey and Tremaine，1987)：这意必须
用Fourier-Laplace变换来代替(3．14)．这就增加了数学的复杂性．然而，从物理上可
认为场A～e 是在t=一一时才缓慢地激励起来的。换句话说． 即认为在无限遥远的过
去场值实际为零． 这样， 就可用∞+i6(6一十0)代替∞， 这是由于在t=一∞ 时， A
～ e 啪‘
。
我们正要求这样．另一方面，在t；一时。场值在此代换下会变为无穷大．但
这是无关紧要的， 因为按因果律．它不会影响研究时刻的场．但是若5一-0， 那么在
t=-oo时，场也会变得异常强。将产生极强非线性效应，这当然不是我们所期望的．通常
称代换 一∞+iO为朗道约定(Li／'shifz and pitaevskfi，1981)．用朗道约定。我们就能正
确地处理形如(3．24)的奇异积分．在此情况下．(3．22)成为
G dV ：一 ， ：s
同时(3．2b)给出
印扰动场是纵场． 因此，(3．25)可写为
G T 一4 G ． T棚
t T 皇 t’
(3．26)
(327 a】
一
17l一
其中。介电常数 定义为
B
：=I+8：’+8： ， (3．27b)
。r：
： 一+
．
』。 寺， ：
不失一般性，选择波矢 的方向为X轴．利用分布(3．9)． 就有
e ⋯商 ，
其中
kJl 2 — 4
—
~zG p
一
，
‘
z(o= 』
一 t— f— i0
(3．28a)
(3．28b)
(3．28c)
按照朗道约定，色散函数定义在上半个复平面(Imp>O)，这实质上是因果律的结果(李
晓卿，1987)．在此情况下，利用等式
而I =一i c 一 却
( 一t) IJ o’ 一
(3．28c)就可变成
z( )=i2 c一 』! c_tzdt (3．30)
从(3．30)立即看到，这个函数在整个复平面上是解析的(除了有限几个点以外)． 因此
(3．30)可以看作为(3．280 的解析延拓(在下半个复平面．Im{<0)．现在利用场论中
的Plemcli公式
(3．28e)变成
1
0
玎±i
= ? 玎孙⋯ ¨)
：
： e音dt+ c (3．31)
符号 表示主值意义上的积分．在线性近似下，略去(3．27a)右边非线性项，我们就得
到线性色散方程：
一
l72—
s
：=o，
利用(3．27b)和(3．28a)，得到如下色散关系
氍[1+z(商)
应该指出，线性结果(3．33)是与Ikeuchi等人的分析相一致
于不稳定的模，Im∞4=O，这时由于k为实数，从(3．33)可褥
ImZ(击)_0
令 ={I+i{2，{l和{2为实数； 由(3．31)可得到
ImZ(t)= 』：
+峨c。s(2 ． 2)+c． in(2tl 2)】
(3．32)
(3．33)
(Ikeuehi et al，1974)． 对
(3．34)
(3．35)
我们可以看出， 当且仅当时， 。=Re{=O(3．35)右边积分才为0(被积函数是奇函
数)，而右边第二项明显地等于0．因而色散关系(3．33)仅仅允许纯不稳定模，即
Im∞ ≠0， Rem=0 ． (3．36)
此外，对于稳定模．Imm4=O，在此情况下，(3．35)右边积分为0(t2=O)，第二项只在
{ =0时才为0， 即也要求Reo=O示． 因而，从色散关系(3．33)可以得到重要结论，
不允许有纯振荡模(Reo~≠0：，Imo=O)仅仅允许有纯不稳定模(Reo=0，Im∞≠O)这一点
和流体描述的情况大有径庭(参见(1．6))．在流体情况下，是允许有纯振荡模的，只要
k>kJ时，R∞ ≠O．然而，对于不稳定模．令∞=±i 代入(3．3O)不难得到( >0)
、
r ， !
+z({)=佴 。 ：( 吉 ， 0．37)
从上式可以看出，对不稳定增长模∞=i ，色散关系(3．33)给出
K < KJ
】
+ KJ
2
(3 38)
它和流体描述下的Jeans判据相吻合． 另一方面． 对于不稳定的衰减模，∞=一i
(3．33)给出
K > K J
，
+ K J
z
； (3．39)
换句话说，满足于(3．39)的模被阻尼而使之不存在．这点和流体的情况又很不同。在流
一
l73—
体情况下， > J 的模却是稳定的．
现在写下色散函数的浙近表达式(Fride and contc，1961)
z( 一l一 一 3 ， (1引 1
，
。，Im 志)， (3㈣
z(。≈i {一2 一 2{ 】
，
( 《1)， (3．41)
这时．。介电常数 成为
e 一+
k 2
c·一
筹+
把(3．40)代人(3．33)， 就得到不稳定模的色散关系
由于(3．4)， 它成为
》kcr
。 ，
，
l∞I《ko"。
m 一(k： +k： ：)，ImI k 。，
co ≈ ∞
：=一4 Gp ，I∞I》k ．，
四、自引力系统非线性效应
由(3．27a)．可以写下直到三级非线性的扰动的场方程
e
k gk = T半iz。 (p + p )
首先未研究低频场：g：=g 情况．二级非线性质量密度为
(3．43)
(3．44)
(3．45)
(3 46)
(4．1)
p "ra) dV
—
fs：KL ：gTK1g：： 一k 一k：)dk dk：， (4．2a)
其中s 是相互作用矩阵元：
s
，
景J + t 南 爵
由于Dirac函数出现在(4．2a)被积函数中， 故必须满足能量动量守恒条件
一
174-一
学
《
一
一
☆
CL)= CL)1+ CL)2 ， 一k 一 + —k—
2 ； (4．3)
现在CL)和k属于低频场，那么CL)。和∞ 一定是高频且有相反的符号； 因而
gT ‘gT
t，=g Tl ’gl L‘gt±=gtI‘·’g 一 +g Tt Ll 一 ·’g T【 ，
这儿上标 + 和。一 表示正和负的高频扰动场部分．在此情况下．
p =SsL。 (g ·g +g ·g k,’·a(k 一k2)dk dk：， (4．4)
对矩阵元进行对称化：在(4．4)右边第二个积分作代换kr+k2和k『．k1．就有
p =j(s +s )g g ·a(k-k 一k：)dk。dk
因此(4．1)，变为(对低频场只计及二级非线性)：
t
G
gkTS
=
(一4桕i) t g g k
2
’
·
(k～k1一k2)dk。dt 2， (4．5)
其中
§n -n(a-
-
2 ) - 1 j
。+
嘉
南c ：
嘉a
在上面表达式中， 由于(3．4)．我们略去成分 =I对积分的贡献．
现在来研究高频场方程．如果方程(4．1)中的 是高频扰动场，则二级质量密度
pT
～
(2’中 二次项应是
这是因为，由于Dirac函数缘故，两个高频场乘积g： g 将导致倍频场一我们并不去研
究它，而两个低频场乘积 不可能产生高频扰动场．另一方面，三级非线性质量密度p
包含有三个场的乘积：gT
，
gT g T
，
；它可以被组合为三个高频场乘积，或高频场与低频场
的混合乘积．事实上利用低频场方程(4．5)．这个混合乘积组合包含4个以上的高频场乘
积，这当然是更高级小项．因此．p TO 中的三场乘积为
Th n n
gt
1
gl
2
gt
，
；
由于p 的积分表达式中(参见(3．20)及下面)存在一个被积分的因子M∞一∞
，
)+(
一
l7 一
k—k-)’ + _。·当g： 是正频率扰动场时这个因子对积分的贡献最大·因此在包括在
三级质量密度中的三场乘积为
g TI ’·(g ’·g 一 +g：一 ·g ’)
在此情况下，从(4．1)就获得高频扰动场方程为：
：g=r =一4 Gifs ． (dl g ’ (k—k 一k2)dk dk：
+j6 ^(g g g · (k_k．一k2一k 3)dkldk2dk，， (4．7)
其中
6
，
蠹J c ， 丽
嗉 c ⋯
。南c I．：奇； s
类似地·第一个成份对6
，
t，
的贡献也被略去； 而矩阵元s
，
形式上和(4·6)一样，
只是s
．
中的∞：是低频·在(4·7)右边第一个积分项，在对dk：积分之后成为
fs
．
g g
．
dk
其中低频场gTI ．用(4．5)代人．我们就有
￡
：g 一(一4 Gi)fG ． (g TI”gTc”g Tf～·6(k—k．一k：一k~)dk．dk：dk，．(4．9)
其中
二 G sk-kI ^ 。sul 一
^ ，一——薏■一
现在未化简矩阵元(4．6)、(4．8)、(4．10)． (4．6)右边大括号内的项微分，
c )It： c南
一
176—
·
l+ 靠c - ： + 靠
’
(t )( )}； (4_l1)
对于高频场从(3．45)可见，∞．。∞： ．是正高频．∞：是负高频．见(4
．5))满足
并且
∞．I》k ．．：， l∞：I》k： ．．：，
∞ 1 ∞ - ≈ 一∞
2 ’
f4．12)
(4．13)
因此· 由于(4．6)右边被积函数出现分布函数 ：，(4．11)中的 可估计为v一
。． ： ，
故
利用(4．12)和(4．I 3)，立即可见(4．I 1) 中的第二个大括号内的项为零；而右边第一个
大括号的项在对 微分后成为
k，k2
(∞2一k2 +i8)
利用条件(4．12)及(4．13)，它变成为
等 等 一
结果。(4．6)被简化为：
』 寺
茜警cs
类似地。我们可以找到如下简化了的表达式：
； 去 州，
6G —二 言 }上 二 Gt2—一 t。+ -
r4．14)
(4．15)
r4．16)
一
177一
nl
一
瞩丽 一曲 nl
G 让
．
k k，
(4 17)
有了这些简化的矩阵元，我们就能把所获得的场方程反演到时问一空间坐标系统． 把
(4 17)代人(4 9)，有
其中
(4．18)
# 2 G2
G jg 『】誉一t： ，
我们可以证明．P r恰好是低频场引起扰动密度． 事实上
利用(3．27b)，拈： +1)=E：一e： ．而eG g T．作为一级(线性)近似·它为0，因此
r
ik G1 TI
Pk 丽。k g
代入(4．5)并利用(4．14)．有
一 一p位
·
6(k—k 2一k 3)dk 2dk， (4 20)
对于高频∞h，可以代之以(3．46)∞；=∞：=—4 Gpo2．则(4．20)就与(4．19)相合·现
在把(4．18)式转化为如下包络
’
．
t)e - = c dk (4 21)
的方程：利用两乘积函数的F变换式(3．16)，(4．18)可写为
一
e =俺 ~ k- ki k
k g k Jgk =(
- p 一 ’
两边乘以c-iot+i~f并对dk积分(注意到对于高频，由(3．43)，有 ： +1)》(e： +1)即
G
—
I+E?+E：’=(1+￡ G2)+(1+e： )一I≈(1+E G2)一I=E G2，上式就成为
一
178-
十一
m坚 一
二
≈
％
堕
血
旦
g
等
g
+
也k
(4．22) 左边可变为
2
_
3 2
2
营 e一俯dk_
_ _ ) e Lt (4_22)
-
1【t ,0 ，2- ∞ 2
e
⋯矗
=
2 2
：
2
考虑到百(了，t)缓变(即可略去 百(亍，t))，上式为
0t
因此，最后有
另一方面，如果低频场满足
百⋯一o
p位
(4．23)
k／ lm I kto ， l∞ I Im 。I=√ 石 ， (4．24)
则从(3．43)和(3．44)有
因此
c
害，
： 一等2 2 一
：⋯ G1 害一 k 2 2
一
l79一
一l
一口o
兰
( _
2 一
一g
+
一
旦
这时，(4．19)成为
( 一k， v2
’
P∞
对(4．21)取复共轭
一
k，：( k2
丘：)
n
z )
卫n
’
·6(k 一k 2一k，)dk 2dk】 (4．25)
v
：= k 2 ：
一
P o
_
L
(虿‘ ’)’c ：‘一J H+1)’c 一疵dk
在右边作积分变量代换k一(∞，')一一k=(一∞，一 ))'则
( ’)‘c =J⋯( c⋯矗dk
这正好是负频场的时空包络
因此，
’
e =j⋯ T(-1c一 t~Tdk
)’ =画H-1
把(4．27)代人(4．25)并进行Fourier变换有
，
一：V )( )=警．2 2 V I
f4．26)
(4．27)
f4．28)
引进无量纲变量：
一，=； 一 2⋯ ．t， POI
一
l副卜
《
≈
m等
+
牟
￡
‘
： 一
三
和P∞
f4．29b)
(4．29c)
这时，注意到∞：=一4EGp 。方程(4．23)和(4．2s)可写为(以下略去 中的擞
号)：
堑
ot—V
i+n
喜
一
0
。
( 一v )n v
(4．30)
f4．31)
非常有趣的是，我们可以把方程(4．30)和(4．31)与强湍动等离子体中的控制方程
-
Zakharov方程(Rudskov and Tsytovich，1978)：
I．o E
—
V 巨+厄一0， (4．32)
、一
( 一V ) v (4．33)
相比较， 差别是在于出现虚数i·它相应于等离子体中存在纯振荡波模，(Re∞=∞
。
0)
而在无碰擅引力系统，如第三节所述，一般不存在纯振荡模．
五、引力塌缩和薄饼结构的形成
现在来研究非线性场方程的运动稳定性问题．在静态扳限下，对应于亚一声速 运动
(4．31)成为
这时(4．30)成为
n： 一l引
萼一V 喜一引百l =0
引进如下李雅普洛夫(Lyapunov)~数L：
L一一lV喜l + Iil‘
我们就可把方程(5．2)写为
(5．1)
(5．2)
(5_3)
一
l8卜一
其中
aL
。 。百
aL
0 一
pji’)
a 兰— —
】 0X
(5．4)
函效L对应的 自由能 ￡为
￡=一jLdf， (5．5)
它的一级变分(例如对百’= 场)是
毒一 c毒～ aL ；
因而 =0导致(5．4)右边为0， 即对应稳定情况：0菖／钾 一O； 另外．(5．4)两边对
空间体积积分．我们看出，若
6 ￡< 0 f5．6a)
则
臃d了> o (5_6b)
即对应于不稳定的场运动．
从(5．3)． 我们写下。自由能 8的形式
Jf1v．百l 一 l百l‘]dr (5 7)
现在来研究 自由能 的二级变分问题。引进标度因子 (t)，并作如下标度变换：
，
百 ( ii ( 名)
这时．V = ) ，，dT=dxdydz=( 0)) d r"，， 于是(5．7b) 可写为，
E：fn IV ．百，l 一 Ii，I‘】d ， (5．9)
上式对参变量 (t)求导， 有
一
)l · 一 3 训 ]dr (5_10)
一
l82—
令。 ／。 =0，就得到能量￡取极值时的 。
《此情况下，
f1蓄 1‘d =； ·蓄 l d了 ；
。
= 一
，< 0
(5．I1)
(S．12)
这意味着， 当 变化时，￡达到极大(在 = c处)； 而此种极大能量态当然是不稳定
的． 当人趋于一(这时由(5．8)可知， 一0，即对应于塌缩过程)．能量6不断变小，即
向稳定态过渡．换句话说， 运动将按标度变换(s．8)规律塌缩．
在一维情况下， 可作如下标度变换：
：
，’， g：^ 【 )J ’，
这时在^： 处能量达到极值，而这个极值是极小值
因而一维运动是稳定的．从上面讨论我们看到，三维的扰动场一定会发生塌缩，
地沿 方向． 也就是沿初始扰动场的方向塌缩时， 由于(3．2b)，
x百：=k·始三_L=0，
(5．1 3)
(S．14)
如果初始
即横向扰动6g： =0：换言之，这种塌缩是各向异性的：塌缩沿初始场方向进行下去，
而横向塌缩是禁戒的． 这就必然导致薄饼结构形成：另一方面． 塌缩时， 按照标度规律
(5．8)， 场变强(虿变大)， 从(5．4)及(4．29c)，质量密度扰动P ／Po2将变大， 因而导
致塌缩形成的薄饼结构是扰动密度的薄饼状形成物．我们证明了，大尺度非均匀都呈现为
一
种薄饼-Pancanc结构．
六、大尺度非均匀样品典型尺度
在上节们已经证明了， 扰动场实际上会沿一维塌缩，也就沿初始扰动场方向塌缩， 这
种塌缩一直进行，直至纵向轮廓近似地由如下非线性方程所确定的形状为止(这时纵向扰
动就趋于稳定了)．
墼一 4-ng：0
，
ot (6．1)
0x
一
183—
0
>
X
2
一
-
一
寻找一种行渡解：n=n(x-u~)，这时(6．2)
代人(6．1)，变成为
n= lgl ，
：
士
(u：一1)
竺一1o g+艇Igl 0， 0f 0
X
～
用两个实函数西和 来表示g：
g=
把(6．5)代人(6．4)，就得到
西 一： c 辜
设
则从(6．6)可得
对于 >0．令
罢一 +西鬯 + ’=。
西=西(x—u f)， 叮=叮【x—u ，
翼一o，
+ u
。
々X ‘等。)【 m。 ’一o
西= ) ，
则(6．9)变为Lane-Emden方程
一
184_一
Z 一 e—I．-
U
d ’
观 Z
(6．2)
f6．3a)
f6．3b)
(6．4)
(6．5)
f6．6a)
f6．6b)
(6．7)
(6．8)
『6．9b)
f6．1o)
(6．11)
它的解 中心(z=0)开始向外渐次减小， 并在
Iz【_6．897 (6．12)
处出现零矗 即 的。界面 (Chandrasekhar，1939)． 因此， 对超。声速 运动(口>0)，
这种Panca j短轴尺度为
(6．13)
回到有量纲单位(见(4．29))．并取llc≈2上式为
1e=21·(： )( )_l pc)， (6_l4)
' _
¨
2
单位是厘米／秒，P 01单位是克／厘米’． 由于(6．3a)， (4．29c)以及fl>O， 可见这种
Pancakt是暗结构(扰动质量密度p，／Po2<0)．
在静态极限下，llc 0， ；一I， 这时(6．9)成为
一
m，： 0
，
(6．15)
3X
它的解是
其中X0与X=O哟m有关，
c
高
m：：{
r6．16a)
r6．16b)
根据(6．16a)，我们可以定义一种纵向特征尺度， 经过这个特征尺度之后，强度m 改变
10倍， 它为
lzhl=2．94， (6· )
在得到(6．17)时已令m。～I， 回到有量纲单位，(6．17)为
1 -48×( × Po1 )一(Mpc)
h ‘ ×
．_ (6_l博8 )
这种亚。声速’运动的pancake( ‘0)，
如果我们取pol=10一 克／厘米’，
对应的是亮结构(P ／p02>O)．
0"2=10。(>O"I～10 厘米／秒，则由
1h= 2 M pc ，
(6．18)得
r6．19)
一
185—
这正是典型的星系团尺度．
如果取P口l=10 ’克／厘米’．dr2=10。厘米／秒，从(6．】8)可得
1b 16 M ix ， (6．19b)
这也落在典型超团尺度范围之内。
如果取P01=10～ ~-10 。克／厘米’． =5×10’厘米／秒，则由(6．14)得
1d=(35— 1oo)Mix ， (6．20)
它和观测到的巨洞(Voids)尺度相一致．以上有关星系团和超团的质量密度和不可视见
的物质弥散的速度的取值， 以及我们推算出来的尺度(6．19a)，(6．19b)值， 都与
de Vaucouleur给出的值相台(参见Lang，1 974)。
最后， 我们顺便指出， 在过去的工作中(Li Xiao-qing，1990)， 原文公式(3．14)
下面给出的P k的式子有一个符号错误， 即积分号前面应舔加一个负号(虚数i是误
写!)．这使得原文中代换式(3．23b)中密度扰动n也差一个负号．结果，我们只要在原
文最后的讨论中把静态极限改正为对应于亮结构，和超 声速 运动改正为对应于晴结构就
行了。
我们要结束这篇略显冗长的评述，我们看到，大尺度非均匀性的产生和演化这个现代
研究方向．涉及到非线双成份的物质动力学描述，是非常诱人的；当然研究的任务是极其
复杂和繁重的．我们的工作只是在这个方向上迈了步，在这个领域内还有许多地方需要我
们辛勤地耕耘．
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LARGE SCALE NONLINEAR STRUCTURES
IN THE UNlVERSE
Li Xiao——qing
ABSTRACT
The clUstering of cosmic matter on large scale is a fundamental problem m
cosm ology In this paper the review on Jeans theory and Zcl dovich approxim ation Js pres’
entcd， It is shown that kineric description of a two-component self-gravitating systems
with nonlinear interaction is a modem research subject on the clustering·
Thc results obtained by US concoming the subject are presented．It is shown that the
structures of self-gravitating systems can be described by nonlinear coupling equations；
the perturbation fields m ay collapse and form a pancakc-like structure， For cosmic condi’
tion． we obtained the characteristic scales of山e clusters， the superclusters and the voids·
一
187—
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