谈论局部的时候（可以）还没有尺度呢（但也可以有）。而有了度量（尺度）后当然可以继续谈论局部，并运用度量来将局部定量化，比如谈论半径为多大的圆盘

柱面的度量及局部 [ changshou ] changshou
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正三品:金紫光禄大夫|冠军大将军
注册:2012-02-03 20:29:20
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我们可以把柱面看成是二维平面卷起来所得的内在的流形从而从二维平面诱导出一个柱面上的度量。这个度量是没有内在弯曲的。
你所说的与平面的不同是所谓的“拓扑”上的不同， 描述这种不同不需要使用任何度量（虽然可以使用，但可以使用和必须使用不是一回事）。
“局部”和“尺度有限”是两个完全不同的概念。前者属于“拓扑”即不依赖任何度量的选取（指出柱面整体上不同于平面不需任何测量（度量））。后者是个度量概念。简单的讲，谈论局部的时候（可以）还没有尺度呢（但也可以有）。而有了度量（尺度）后当然可以继续谈论局部，并运用度量来将局部定量化，比如谈论半径为多大的圆盘。
另外，这个“局部”不能从普通词义上理解为仅仅是整体的一部分。不是每个整体的作为点的集合的一部分都是拓扑意义上的局部。必须回到流形的定义。最简便安全的办法就是将定义使用的平面膜当作“局部”。
内在弯曲是个度量的概念，同时是个局部的概念。柱面上任一点的某个（而非任意）邻域可以在保持度量的情况下等同于平面上的圆盘，所以柱面没有内在弯曲。要说柱面的度量结构整体上等同于平面是不行的，因为在不要度量结构的时候都不行（拓扑上不一样）。所以你举的例子和这度量是否内在弯曲的问题不相关---半径足够大后就不是柱面的“局部”了。