《我说广义相对论4》之引力几何化：场方程 [转]
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- fishwoodok
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Planck11
在我没看过场方程的推导以前，看过一些科普中的描述，那里面从
来不涉及细节，只是说爱因斯坦很严格的推导出这个引力场方程，
可是当我看到这个推导时却很不以为然，这也叫严格吗？
我们先来简单回顾一下这个推导，首先从牛顿引力势满足的泊松方
程开始：△U=4πGρ。由此推断出引力场方程应当是度规张量和能
动张量之间的一个张量方程，它的00分量的一级近似将给出牛顿引
力场的结果。进而从牛顿引力场的泊松方程猜测和度规张量有关的
部分应当只含有度规张量的一阶和二阶导数，并且关于二阶导数一
定是线性。然后引述黎曼几何的一条定理，确定了这种张量的一般
形式，最后利用能动张量的守恒性确定了这个一般形式中的几个系
数。
我的感觉，这个推导中猜的成分居多。尤其是猜测方程中包含什么
那部分，简直就是为了引用那条定理而量身定做的。其实，这种猜
测并没有去排除别的可能性，所以不能保证场方程的唯一性。场方
程很有可能是另外的形式，比如：
为什么一定是二阶张量方程而不是标量的或者矢量的？
事实上，爱因斯坦在没学好黎曼几何前曾经尝试过建立标量性的场
方程，那个方程很复杂，很丑陋。但这不能作为排除理论的唯一原
因，只能是一种佐证。再说，就算那个不正确，为什么不能有别的
可能正确的理论呢？这些在引力场方程的推导过程中都没有涉及。
我的看法是，因为场方程应该是是关于10个度规张量的一个方程组
所以，为了唯一确定这些未知数，最好场方程也是10个，而这个数
正好就是四维二阶对称张量的独立分量个数。这才是场方程取二阶
对称张量形式的真正原因。
为什么一定是二阶的微分方程并且关于二阶项是线性？
原因是牛顿方程就是这样的，可是牛顿方程为什么是这样你就没法
回答了。再说也有可能是其他样子的方程但是在低级近似下不显现
呢。我看到过关于这个的评述，说如果是高阶方程，那么得到的牛
顿极限不对，这是稍微负责任的一种态度，不过仍然不能回答“为
什么牛顿极限就是正确的”这种的问题。
对于上面这种疑惑的回答总是这样两种：一是它和实验相符，二是
它和牛顿极限相符，其实归根结底还是和实验相符。这种办法是我
不喜欢的，因为这样有时候无法看到事物的本质。
来不涉及细节，只是说爱因斯坦很严格的推导出这个引力场方程，
可是当我看到这个推导时却很不以为然，这也叫严格吗？
我们先来简单回顾一下这个推导，首先从牛顿引力势满足的泊松方
程开始：△U=4πGρ。由此推断出引力场方程应当是度规张量和能
动张量之间的一个张量方程，它的00分量的一级近似将给出牛顿引
力场的结果。进而从牛顿引力场的泊松方程猜测和度规张量有关的
部分应当只含有度规张量的一阶和二阶导数，并且关于二阶导数一
定是线性。然后引述黎曼几何的一条定理，确定了这种张量的一般
形式，最后利用能动张量的守恒性确定了这个一般形式中的几个系
数。
我的感觉，这个推导中猜的成分居多。尤其是猜测方程中包含什么
那部分，简直就是为了引用那条定理而量身定做的。其实，这种猜
测并没有去排除别的可能性，所以不能保证场方程的唯一性。场方
程很有可能是另外的形式，比如：
为什么一定是二阶张量方程而不是标量的或者矢量的？
事实上，爱因斯坦在没学好黎曼几何前曾经尝试过建立标量性的场
方程，那个方程很复杂，很丑陋。但这不能作为排除理论的唯一原
因，只能是一种佐证。再说，就算那个不正确，为什么不能有别的
可能正确的理论呢？这些在引力场方程的推导过程中都没有涉及。
我的看法是，因为场方程应该是是关于10个度规张量的一个方程组
所以，为了唯一确定这些未知数，最好场方程也是10个，而这个数
正好就是四维二阶对称张量的独立分量个数。这才是场方程取二阶
对称张量形式的真正原因。
为什么一定是二阶的微分方程并且关于二阶项是线性？
原因是牛顿方程就是这样的，可是牛顿方程为什么是这样你就没法
回答了。再说也有可能是其他样子的方程但是在低级近似下不显现
呢。我看到过关于这个的评述，说如果是高阶方程，那么得到的牛
顿极限不对，这是稍微负责任的一种态度，不过仍然不能回答“为
什么牛顿极限就是正确的”这种的问题。
对于上面这种疑惑的回答总是这样两种：一是它和实验相符，二是
它和牛顿极限相符，其实归根结底还是和实验相符。这种办法是我
不喜欢的，因为这样有时候无法看到事物的本质。
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Planck11
实验事实和理论本身那个更接近绝对真理呢？当然是理论本身，应
当是理论决定实验结果而不是实验结果决定了理论。因为广义相对
论比牛顿定律更接近绝对的真理，所以我们在回答为什么牛顿定律
是这样子的时候应当说因为广义相对论是这样子的，而不是反过来！
在这样的态度下我再来问：为什么牛顿方程是二阶的？为什么它的
二阶部分是线性？我的回答是：因为黎曼几何里的曲率就是如此！
曲率无疑是黎曼几何里最重要的量，所以以黎曼几何为基础的广义
相对论的场方程也应该是一个关于曲率的方程。下面的工作就是去
寻找曲率和物质分布的关系。为了找到这种关系，在我看来最简捷
的办法是利用作用量原理，因为这只需对标量进行操作。这个推导
在一般的广义相对论书中也有，不过前面也是罗里罗唆的说了些为
什么把时空作用量选为标量曲率对全空间的积分，在我看来，这都
是不必要的，因为就该如此，没有别的选择。这个推导的另一个好
处是，它给出了能动张量和物质作用量之间的关系，使能动张量成
为一个导出量，而不是像以前总是先验的给出。
这有一个问题，为什么作用量是对标量曲率本身积分，而不是标量
曲率的其他函数呢？这里又要把思维发散一下了，当你看到标量曲
率对全空间积分，你能想到什么相似的东西吗？当然是微分几何里
的高斯崩尼定理。我相信时空作用量取这个形式不是偶然的事情，
很可能这里面有什么更深层的原因没有被我们认识到。
另一个问题，物理里面大多数的运动方程都是二阶微分方程，这是
否意味着他们都是某个黎曼空间里曲率方程的变形？我想是这样的
不过这个问题大概只有所谓的包罗万象的理论才能解释清楚了。
当是理论决定实验结果而不是实验结果决定了理论。因为广义相对
论比牛顿定律更接近绝对的真理，所以我们在回答为什么牛顿定律
是这样子的时候应当说因为广义相对论是这样子的，而不是反过来！
在这样的态度下我再来问：为什么牛顿方程是二阶的？为什么它的
二阶部分是线性？我的回答是：因为黎曼几何里的曲率就是如此！
曲率无疑是黎曼几何里最重要的量，所以以黎曼几何为基础的广义
相对论的场方程也应该是一个关于曲率的方程。下面的工作就是去
寻找曲率和物质分布的关系。为了找到这种关系，在我看来最简捷
的办法是利用作用量原理，因为这只需对标量进行操作。这个推导
在一般的广义相对论书中也有，不过前面也是罗里罗唆的说了些为
什么把时空作用量选为标量曲率对全空间的积分，在我看来，这都
是不必要的，因为就该如此，没有别的选择。这个推导的另一个好
处是，它给出了能动张量和物质作用量之间的关系，使能动张量成
为一个导出量，而不是像以前总是先验的给出。
这有一个问题，为什么作用量是对标量曲率本身积分，而不是标量
曲率的其他函数呢？这里又要把思维发散一下了，当你看到标量曲
率对全空间积分，你能想到什么相似的东西吗？当然是微分几何里
的高斯崩尼定理。我相信时空作用量取这个形式不是偶然的事情，
很可能这里面有什么更深层的原因没有被我们认识到。
另一个问题，物理里面大多数的运动方程都是二阶微分方程，这是
否意味着他们都是某个黎曼空间里曲率方程的变形？我想是这样的
不过这个问题大概只有所谓的包罗万象的理论才能解释清楚了。
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- invariant
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CMB1
呵呵，其实场方程的导出，如果看老爱当年的推导，直接把方程左边的爱因斯坦张量和右边的能动张量设为相等，的确是有些猜测的成分在里头。其实场方程也可以从构造作用量然后再变分的方法导出，但是这里面作用量的构造过程也是一个猜测（其中只用到了曲率、确切的说是曲率标量R的一次项），近些年来有不少人在做叫做“f(R) gravity”的研究，即用一个曲率标量的函数f(R)来代替相对论所用的作用量里的R的一次项，从而来建立新的引力理论，这个方向的理论基础还没有最终解决，但是有一种猜想是f(R)引力理论可以不需要暗能量就能解释现在的宇宙。
另外，最初老爱抛弃标量和矢量理论，而确立了引力必须是一种（度规）张量理论，其具体原因还是因为前两种理论和实验数据不符。
另外，最初老爱抛弃标量和矢量理论，而确立了引力必须是一种（度规）张量理论，其具体原因还是因为前两种理论和实验数据不符。
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