如果不深入的追究，Hilbert空间实际上理解起来很简单，从定义来看就已经很清楚来啊。
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
Hilbert空间是作为完备函数系用来展开其他函数的。这个基本是微积分一开始就教的内容。一开是理解积分的时候，是把一个函数的定义域等间隔分成一些区间，（从图像上看比较清楚）然后算出每个小区间的面积，然后累加起来。这个累加可以写成向量(矩阵)的形式。然后如果我们要算两个这样的向量的内积，就简单的用向量内积的定义就可以了。
可是问题在于，这是两个函数啊，怎么能有内积呢？实际上这个内积就是这两个被积函数乘积的积分的近似(只需要上面积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大)。这样我们就根据向量内积定义来函数的内积。(这个大概大家都知道了)
通过这样的类比，有些函数其实可以像向量一样使用，等价于一个无穷维度的向量(当积分的分割的小区间的个数趋于无穷的时候，这个积分才是准确的，也就是说我们定义的函数的内积的准确值等价于两个无穷维度的向量的内积)。(换句话来说，如果我们需要用到无穷维的向量空间，那么向量的内积需要用积分来算。)
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