平面简谐波的传播过程中，介质内任一质元在任何时刻的动能和势能均相等，它们与总能量一起都不是恒定不变的，而都随时间作同相位的周期性变化

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平面简谐波的传播过程中，介质内任一质元在任何时刻的动能和势能均相等，它们与总能量一起都不是恒定不变的，而都随时间作同相位的周期性变化

§6.4  机械波的产生和传播

一 波动图象

( 1 ) 波动性

波：传播着的扰动，即某处发生的扰动以一定的速度通过空间传播。

波是能量传递的一种方式。

横波和纵波：按照波的振动方向与传播方向是垂直还是平行，可以把波分为横波(如电磁波)和纵波(如声波)。

机械波或弹性波：机械扰动在弹性介质内的传播。

    

图6 - 17 横波的形成             图6 - 18 纵波的形成

弹性介质可以看成是大量质元的集合，质元之间的相互作用使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。

介质的作用：机械波的传播有赖于弹性介质的存在，而电磁波的传播却不需要任何介质，从遥远的恒星传来的光就是在几乎是真空的空间中自由通过的。

波动性：各种类型的波存在着的普遍共性，例如有类似的满足叠加原理的波动方程，有干涉和衍射等波所特有的性质。

( 2 ) 简谐波的时空周期性 波长 l 和相速u

简谐振动具有时间周期性，用周期T、频率 n 和角频率 w 来描述。

波是振动在空间的传播，因此简谐波不但具有时间周期性，还具有空间周期性。我们用波长 l 来描述波的空间周期性，它表示振动在一个周期T内所传播的距离。于是，如果把单位时间内振动状态的传播距离称为波速，用u表示，则有

  .                                                                      (6.40)

因为振动状态是由相位确定的，所以波速u就是波的相位的传播速度，称为相速。由此可见，波长就是两个相邻的振动相位相同的点之间的距离。

 ( 3 ) 波面、波线和波前

引进以下术语来形象地描述波在空间的传播：

波面：某一时刻振动相位相同的各点的轨迹。

球面波：波面是球面的波。

平面波：波面是平面的波。

波线：切线永远和该处传播方向一致的线。

                       (在各向同性介质中，波线与波面垂直。)

波前：某时刻处在最前面的波面。

(光学中用波前泛指波场中的任意一个平面或曲面。)

( 4 ) 波在空间传播的数学描述 波函数

将处在任意位置r的质元在任意时刻t的振动状态表示为

  ，

式中量是描述波在空间传播的一个多元函数，通常称为波函数。

x 可以表示各种各样的物理量，例如弹性介质中的形变、气体的压强、电场强度或磁感应强度等等。

( 5 ) 平面和球面简谐波的波函数

设一维简谐波以相速度u沿x轴正方向传播，在时刻t的波形如右下图所示。这时，坐标原点O处的振动位移为

       . 

在同一时刻t，距O点x处的P点的振动相位比O点落后，这是因为P点开始振动的时刻比O点晚，所延迟的时间就是波从O点传播到P点所经历的时间. 于是，P点的振动位移为

  ,                                              (6.41)

图6 - 19 一维简谐波

利用, 并定义角波数为

  ,                                                                               (6.42)

于是式

                                                 (6.41)

可以写成

  ,                                                        (6.43)

其中表示位于x处的质元在t时刻的振动状态，也就是波的相位；与波源相比，x越大，该处的相位落后得越多。当时间t增大时，x必须随之增大，这样才能使得相位保持不变，即等相位的点逐渐沿x轴正方向移动。因此，式(6.43)代表一个沿x轴正方向行进的波；显然，

             

代表一个沿x轴负方向行进的波。

行波：相位逐点传播的波。

沿x轴正方向传播的平面简谐波的数学表达式与式

                                                    (6.43)

相同。若平面简谐波沿空间的传播矢量k的方向传播，其中k为沿空间任意方向的常矢量，且，则这时的平面简谐波可以表示为

  .                                               (6.44)

对于平面简谐波来说，在垂直于波线的同一平面上各质元的振动状态是相同的。

在各向同性介质中，一个点波源所产生的是以此点波源为中心的球面波。球面简谐波的一般数学表达式为

  ,                                                 (6.45)

其中加号相应于会聚球面波，减号相应于发散球面波。

 

( 6 ) 几种数学表达式——波函数的比较

       原点(波源)处：                            . 

       距原点x处：                        ,

       平面波(沿x轴正向)：  ,

       平面波(沿x轴负向)：  ,

       发散球面波：                        ,

       会聚球面波：                        ,     

       平面波和球面波：        .

              (平面波，k是常矢量；球面波，k是沿径向的常量。)

                                                        (后五式利用了角波数.)

 

二 波动方程

( 1 ) 由动力学规律导出波动方程

若一维纵波沿一根截面积为S、密度为 r 的均匀细长直棒传播，则棒中各质元将不断被拉伸和压缩。

图6 - 20 一维纵波

在棒中取任一长为dx的质元。如果在某一时刻此质元被拉长，即发生了拉伸形变，则可以设质元左端x处的位移为x，受其他部分的弹性拉力为F；质元右端处的位移为，受其他部分的弹性拉力为. 根据牛顿第二定律，该质元的运动方程为

  .                                                              (6.46)

在弹性限度内，利用胡克定律可得

  ,

即          .

代入运动方程(6.46)，可得

  ,                                                                              (6.47)

这就是沿棒传播的一维纵波的波动方程。

 

( 2 ) 由简谐解的微商导出波动方程

若在介质中传播的是形如式(6.41)的一维简谐波，则只要求出x 对t和x的二阶偏导数，即可得一维波动方程为

  .                                                                                (6.48)

( 3 ) 弹性波的波速

比较以下两式：

  ,                                                                              (6.47)                ,                                                                                   (6.48)

可得在密度为 r、杨氏模量为E的介质中传播的纵波的波速公式为

              .                                                                                (6.49)

同理，可以得到在介质中传播的横波的波速公式为

  .                                                                               (6.50)

弹性波的波速取决于介质本身的性质，如杨氏模量E、切变模量G和密度r 等，与机械波的振幅和频率无关，因此机械波被称为非色散波(见§6-7)。

注意：尽管波速u和波长 l 取决于介质的性质，但频率却只取决于振源的性质，与介质的性质无关。

( 4 ) 三维波动方程

在三维情况下，波动方程可以写成

   

或          ,                                                                                (6.51)

其中称为拉普拉斯算子或拉普拉斯算符，有时用表示。在直角坐标系中，有

  .

只要令，则任何一个形如

             

的函数，都能满足波动方程(6.51)。

( 5 ) 波动方程的线性和非线性

上述波动方程只包含自变量t和的一次幂，是线性偏微分方程。因此，若和分别是上述波动方程的解，则也是该波动方程的解，即上述波动方程的解遵从叠加原理，这是波的最基本性质之一。

实际上，这是以下实验事实的概括：若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、波长和频率独立地传播，彼此互不影响；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。

波的叠加原理是波的干涉和衍射现象的基本依据。

如果描述波的波动方程不是线性的，则波的叠加原理就不成立。

波动方程(6.48)和(6.51)仅适用于在线性无耗散介质中传播的波；超出这个范围，波动方程将是非线性的，这时波动方程的形式无法归纳为少数几种标准形式。

 

三 波的能量

在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随着能量的传递。

设在棒中传播的一维简谐波为

  ，

则任一点x处质元 的动能为

  .

它的弹性势能由

  ,                                              (5.34)

决定，其中应变为 ，于是有

  .

将   代入上式可得

              ，

其总机械能为

  .                       (6.52)

单位体积介质中波的能量，即波的能量密度w可表示为

              ，                                       (6.53)

它是随时间变化的，这是与简谐振动情况(总机械能不随时间变化)不同的。波的能量密度w在一个周期内的平均值，即波的平均能量密度，可表示为

  .                                                    (6.54)

对于平面简谐波，同样可以应用上述结果。

在平面简谐波的传播过程中，介质内任一质元在任何时刻的动能和势能均相等，它们与总能量一起都不是恒定不变的，而都随时间作同相位的周期性变化。

在波的传播过程中，介质内任一质元都在不断地从前一质元接收能量，又向后一质元传递能量。波的传播就是一种能量的传递方式，而介质本身并不作任何长程运动。

为了反映波在传播过程中的这种能量传递特征，引进平均能流密度或波的强度I来描述能量流的强度，定义为单位时间内通过垂直于波线方向的单位面积的平均能量，于是有

  .                                                             (6.55)

对于声波和光波，我们分别称它为声强和光强。在国际单位制中，它的单位是.

 

四 声波

声波：频率在之间的弹性波，能使人产生声音的感觉。

次声波：频率在之间的弹性波。

超声波：频率在之间的弹性波。

在空气和水中传播的声波是纵波，而在固体中传播的声波则既可以是纵波，也可以是横波。

声波的传播速度几乎与频率无关；但声波的传播速度对介质的密度、温度和压强的变化很敏感。

闻阈：人耳的灵敏度对于每一个频率都有一个最小的声强，低于它的声音人耳就听不见了。

痛阈：人耳的灵敏度对于每一个频率还有一个最大的声强，高于它的声音会使人感到不适或痛苦。

图6 - 21 人耳的平均听觉范围

声级L及其单位为dB (分贝)：人耳所感受到声音的响度近似地与声强I的对数成正比，常用声级L表示，即

  ,                                                                          (6.56)

其单位为dB(分贝)，是接近1000 Hz时的闻阈。

现在人们很关心噪声污染问题，有的地方法令规定户外声音不得大于100 dB. 利用式(6.56)可得，该声级所相应的声强为

  .