量子力学基本思想和数学工具
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量子力学和广义相对论都是物理学中比较艰深的理论，本人水平所限，只能介绍一下量子力学的最基础，最浅显的内容，供爱好者参考。
由于没有参考资料，只是凭所学知识的残存记忆写的，可能有不妥和错误，诚恳希望高手指正。
量子力学的基本物理思想：
1---波粒二象性思想：
量子力学不仅认为光是具有波动性（具有波的 干涉--同频率和传播方向的相位差恒定的2列波相遇时它们的振动经过叠加形成新的波整体的现象。衍射--波遇到障碍时会呈现：把障碍边缘作为波的传播方向的偏折介质，从而在障碍边缘发生折射，改变原有直线传播方向的现象），还认为光具有粒子性（可以分立地不连续地在空间中分布，并会作为粒子，按照整数个数被物质吸收和放出。同时具有粒子性的动量。）。这就是著名的光的波粒二象性观点。
不仅如此，量子力学认为一切物质都具有波粒二象性。这个观点不是说物质具有波动和粒子双重面目，而是强调，物质既不是单纯的波，也不是单纯的粒子。世界上不存在单纯的波，也不存在单纯的粒子，粒子和波只是物质的两种表现形态使人们产生的不同感受的描述性概念，不是物质的实质。
这个观点打破了人们对粒子性和波动性的原有观念，它告诉人们，我们原来的认识不是事实，只是一种实质的2种不同表象。
关于波粒二象性的模型化描述：
量子力学主要从波动角度研究粒子性，认为一切物质都在以各自的模式作为波振动存在。
这些波分成两类：
其中一类具有在空间中振动时震动强度会随着在空间位置上的分布具有不间断的连续分布性，虽然振动根据在空间分布位置不同有强弱差别，但是总体是都比较强烈的，可以被观测到振动强度的，而且在空间中具有比较明显的按照空间位置分布的振动强弱的周期性。这一类就是具有明显波动性的波。
另一类波在振动强烈的地方显示很明显的存在性，在振动弱的地方几乎不显示存在性（很难观测或以现有方法几乎观测不到振动强度），而且振动强弱在空间中分布可能没有周期性（局部地区强烈，不强烈地区可能是很大的空间范围），这一类波就是明显具有粒子性的波（通常把这种波震动强烈且集中的那个部分叫做波包---其实这个说法不严密，波包是指用傅立叶积分把空间中某一个空间区域内所有波叠加成一个波来作为这个空间范围内一群波的总的表现的模型形式，并不是特指粒子性的波的振动强烈部分，所以我不赞成用波包特指粒子波的振动强烈部分）。
2---物质振动强度在空间中分布具有几率性
所谓几率性，包含了以下诸多思想：
（这不是量子力学专有的内容，它来自统计学）
首先，当一些事物变化（事件）显示出某种规律性（一类事物看起来总是会在特定的某些条件下显示出与条件相对应特定的性质，而这个对应似乎和其他条件完全无关，人们会假定这个对应确实和其他条件完全无关，并把这种对应作为规律。这是规律性的本质。），并且这个规律所表现出的这一些列事件按照不同时间在同一空间范围出现。
其次，与此规律相对应的一系列事件会具有以下特点：
按照实际空间形态表现的情况分成多个不同类型，每个类型包含多个重复发生的事件，所有这些事件发生时刻各不相同，事件类型对于时间没有分布的规律性。
最后，对于一定次数M的与此规律相对应的事件的统计（按照类型不同分类合计同类事件发生总次数），会发现：某一类型a的事件的发生总次数N对于M的比值N/M会随着M的增加（当然N也随M增加）而不断接近一个常数（取值范围从0到1所有实数）。这个比值N/M叫做a类事件发生的几率。
量子力学认为，所有物质的存在都是按照时间发展在一定空间范围内具有一定几率的。而且这种几率性不受因果性约束，而因果性只是几率存在性的一些特例表现。也就是说，所为因果性是那些几率接近1的规律性事件类型的表现，而实际上不存在真正的绝对因果性。
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所以，我们在很多教材上看到过按照因果性不应出现电子的势垒区出现电子几率不为0的经典例题。
量子力学的这种几率存在性是其独特的观点。
3---量子观念
量子力学中，不论何种基本粒子，在与和它同种类的基本粒子进行比较的时候，都是在质量，带电量及电性，基本组成成分和组成方式这些方面上不可区别的，例如：一个系统中2个电子互换位置，对系统内部其他粒子以及系统整体没有任何影响。这就是所谓同类粒子全同性。
量子力学中，光子的分类方法是按照光波频率不同（也就是单个光粒子的波包频率）来分类。这同时跟随了一个量子传递规则：物质吸收或者辐射光能，必须把光粒子一个一个整个的吸收或者辐射，每个光粒子能量不可以被拆分传递。也就是说，光波能量的传递是一份一份地进行的，每一份是一个光子的能量。
同样，由同一种基本粒子构成的物质的总质量必须是单个这种基本粒子的整数倍，不能有半个这种粒子单独存在。
也就是说，物质的质量和能量的取值绝对不连续。
虽然组成一个质量体的基本粒子可以多种多样，它们的基本质量份数不尽相同，但是，一个物体获得新的物质增加或者失去一部分物质，都必须是整数个基本粒子的质量的变化。由于基本粒子的质量不能无穷小，所以总是有最小质量份数的存在。小于最小质量份数的质量变化不可能发生。
虽然不同种光子对应光波频率不同，但是物体能量的改变也是整数倍化的。
这就涉及到光子被物质粒子吸收和辐射的基本规律：
任何基本粒子的能量状态都是与其所在物质结构对应的结合能量值相对应的（所谓某种结构的结合能量指的是破坏这种结合结构需要给这种结构增加的最小能量值。一旦一种结构获得超过这个能量值的能量，组成这个结构的粒子就会因为结构获得能量转化成这些粒子的动能，从而克服组成这个结构的约束作用力进行运动，从而使得结构散架。）。
同一种结构由于是由同样组成成分的基本粒子构成，因此同种结构也互相相同。每一个结构的打破或者构建需要的能量也相同。由于大粒子之中存在更基本的粒子，所以：大粒子结构的改变导致的物质总体的能量变化一定是每个大粒子结构改变的能量变化的整数倍（因为物体由整数个大粒子结构构成）。
对于大粒子结构中的变化来说，当然大粒子结构含有整数个小粒子，每个小粒子的变化也就对应一份能量变化，所以大粒子结构的能量变化也是对应某些能量份数的整数倍的。
但是请注意：大粒子中的小粒子发生变化，可能存在发生变化的小粒子数目不同的情况，有时候只有1个小粒子变化，有时候又是多个。发生变化的小粒子数目不同，导致大粒子有多种变化状态。而从整个物体来说小粒子的能量份数就成为最基本的能量份数。
实际上，物质内部同一种小粒子的变化也是有好多状态的。
这里例举原子结构中电子跃迁的例子来说明一下：
原子的基本结构是原子中心的原子核以及原子核外的诸多电子按照泡利不相容原理每2个一组形成一个亚层电子层（所谓电子层，并不是像科普读物所说那样把电子看作卫星绕着原子核这个行星运动的轨道，而是电子存在的空间中，最容易观测到电子的空间区域，一般形象地想象成一个有一定厚度的球面，球心是原子核位置。这个区域也就是电子存在的几率最大的空间区域。当然这也是量子力学的几率性存在观点的一个例子），多个亚层按照电子层随核电荷数分布规律形成多个电子层，多个电子层（同心球面）包围原子核组成原子。
电子跃迁指的是同一原子中的核外电子吸收或者放出光子从而改变该电子能量的变化。
量子力学认为，光子既然具有狭义相对论所说的高速运动特征，作为粒子，光子与其他粒子的结合也会造成其他粒子运动性的加强（这是古老的运动粒子说法的现代版），实验证实，光子就是能量，粒子与光子结合，动能增加，必然运动激烈性增加，能摆脱更强的约束力的约束，所以，电子能量的大小和他们距离原子核的距离相对应，电子能量越大，距离原子核越远。
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但是，只有同类原子中对应相同轨道的电子在发生相同的远离核（电子能量增加）或者接近核（电子能量减少）的变化时，才会伴随同样的能量变化。
也就是说，相同原子的不同电子层的电子能量一同增加各自到达所在电子层的下一电子层时，会伴随不同的能量变化。
因为电子本身相同，但是不同电子层的电子必然结合了不同样多的光子（从而具有不同能量），具有不同的摆脱束缚力的能力。只有同一层的电子才是完全相同的。
假如按距离原子核越远的电子层代号越大，那么：
---1--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁（就是能量改变移动所在电子层）到3层，这两个铁原子要吸收的光能一定相同。
---2--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的2层电子跃迁到1层，前者吸收光能，后者放出光能。
---3--同样的2个铁原子分别有2层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的2层电子跃迁到4层，2者都吸收光能，但后者吸收的光能比较多。
---4--同样的2个铁原子分别有某层的一个电子跃迁到别的层，第一个铁原子中的2层电子跃迁到3层，第2个铁原子中的3层电子跃迁到4层，二者都吸收光能，但是吸收的光能量不同，由于电子层之间的能量差与该层距离原子核距离以及核在该距离上的引力决定，而且还受到其他所有核外电子的合力影响，所以层与层之间的能量差不相等（具体数据和原理很复杂，这里不介绍了）。
---5--不同的铁原子和铜原子分别有2层的一个电子跃迁到3层，吸收的光能不相同。
但是，每个电子的跃迁运动都是要吸收或者发射1个光子来传递能量。
对于只进行同一种原子的相同起始层之间的电子跃迁变化的物体来说，它所发生的总的能量变化一定是发生电子跃迁的原子中每一个电子的跃迁能量变化的整数倍。
对于进行多种电子跃迁的（可以发生在不同种类原子中，不同电子层之间，跃迁方向可以有从低层到高层或者从高层到底层）物体来说，尽管能量变化不是特定份数的整数倍，但是，最小能量变化值还是有限的。
因为光子的发射和结合是物质能量传递的基本形式（2个粒子的碰撞能量交换也是通过交换光子达成的），所以，物质之间能量交换是量子化的（所谓量子化就是指物体发生变化时，同类单元的变化是各自作为单位按照单位整数数量发生变化，而诸多不同类单元变化的合成至少遵守使得物体总体属性变化量的最小值有限，不是无穷小。这导致物质发生任何变化的变化量值不能连续取实数值。）。
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量子力学的数学工具
1---波函数
经典力学的波函数是以静态波的形式构建的：
以波所传播到的空间位置为自变量，以该位置波的振幅为应变量，通过2者的对应形成某一个时刻波形的函数。
但是，量子力学不仅考虑到波形随空间位置分布的变化，还要考虑波形随时间的改变，所以，量子力学的波函数具有空间位置坐标和时间位置坐标2个自变量。
其一般形式为：
ψ(r_,t)=Ae^[2πi(p_*r_-Et)/h]
说明：字母后带_表示该字母代表矢量，
其中A为波的最大振幅的模（绝对值），
e为自然对数底常数e=2.71828...,
π为圆周率常数π=3.1415926...,
i为虚数单位i*i=-1,
r_为位置矢量，
p_为物质波或者光波的动量，
E为波的总能量，
t为时间坐标，
h为普朗客常数h=6.626x10^(-34_)焦耳*秒。
^表示其左边符号为底，右边代数式为指数的幂的运算。
显然这个波函数是一个复变函数（与e^i有关的欧拉公式表明复数具有三角函数形式，这是数学知识，这里不详细介绍了），不只取实数值。
振幅ψ的单位与A的单位相同，通常约掉它们的单位，波函数就成为无量纲函数，纯粹显示波形的函数。
这样做的目的是为了应用波动力学的波的强度正比于振幅的平方的规律。
由于这个规律，对某个波进行对该波所在空间范围的波的总强度累加，相当于对该波的一个瞬时波函数（不考虑时间变化，只描述某时刻瞬间整个波形，必定是经典力学静态波的函数，只含有空间位置坐标一个自变量）ψ（r_)的模（绝对值）的平方进行对该空间区域的体积的 积分。
波的总强度p(v)=∫[|ψ（r_)|^2]dv,其中v为体积，这个式子不准确，由于贴吧公式输入有困难，这里采用了不定积分，实际应该是在一个特定空间范围内的对体积的定积分。
可以看出，从量纲角度说|ψ（r_)|^2就是dp/dv,就是波强度对于空间体积的分布密度。
所以波函数的第一个特点就是其模的平方具有波强度密度的物理含义。
另外，物体对应的波（我们曾讨论过，量子力学认为一切物质都是波粒二象性的，所以任何物体都对应于它的波函数）的强度大的空间区域中该物体存在几率也大，物质波强度与物体存在几率成正比，所以，物体存在几率与常数M（县不讨论M是什么，有多大）的乘积等于物体对应的物质波强度。
p=Mρ=∫[|ψ（r_)|^2]dv
那么，波函数的模的平方就和物体在空间中的存在几率也有关。
最后讨论一下M，由于p的量纲是体积（空间长度的3次方）---因为|ψ（r_)|^2本身和波函数ψ（r_)一样没有量纲。---所以M应该是体积的量纲，因为存在几率ρ应该没有量纲。
M的取值：由于ρ作为统计学的几率，其大小应该在0~1之间，那么，M的值必须保证能把p/M的取值范围限定进入0~1之间。p的值无怪乎来自体积V和振幅的模的最大值A的平方，所以，
M=∫[A^2]dv=[A^2]V----其中A,V都是常数（一个是振幅模的最大值，一个是该物体存在的空间的固定体积，也是研究该物体对应的物质波的所在空间范围大小）
从以上讨论可以知道，波函数直接和物体的存在几率相对应，所以，量子力学的物质波都可以称为 几率波。
波函数另外的作用在于，通过量子力学的数学方法----物理量对应的算符作用于波函数就能得到波函数对应的物体的物理量的值，这个在后文介绍。总的说来，波函数本身已经含有量子力学描述一个物体的所有信息。
2---薛定谔方程
薛定谔方程是描述力场中物体的波动性质的微分方程（关于微分方程的内容是数学知识，这里不做太多介绍，只是介绍其方程未知数的形式和解与普通方程的差别：
微分方程中等号左右2端的未知数是同一个函数的不同阶数的微分函数，而这种微分方程的解就是上面说的那个函数的形式。总的来说，微分方程都是以函数的表达式作为未知数，解微分方程就是要通过解方程得出未知函数的具体表达式，而不是解出一个数。
1---波函数
经典力学的波函数是以静态波的形式构建的：
以波所传播到的空间位置为自变量，以该位置波的振幅为应变量，通过2者的对应形成某一个时刻波形的函数。
但是，量子力学不仅考虑到波形随空间位置分布的变化，还要考虑波形随时间的改变，所以，量子力学的波函数具有空间位置坐标和时间位置坐标2个自变量。
其一般形式为：
ψ(r_,t)=Ae^[2πi(p_*r_-Et)/h]
说明：字母后带_表示该字母代表矢量，
其中A为波的最大振幅的模（绝对值），
e为自然对数底常数e=2.71828...,
π为圆周率常数π=3.1415926...,
i为虚数单位i*i=-1,
r_为位置矢量，
p_为物质波或者光波的动量，
E为波的总能量，
t为时间坐标，
h为普朗客常数h=6.626x10^(-34_)焦耳*秒。
^表示其左边符号为底，右边代数式为指数的幂的运算。
显然这个波函数是一个复变函数（与e^i有关的欧拉公式表明复数具有三角函数形式，这是数学知识，这里不详细介绍了），不只取实数值。
振幅ψ的单位与A的单位相同，通常约掉它们的单位，波函数就成为无量纲函数，纯粹显示波形的函数。
这样做的目的是为了应用波动力学的波的强度正比于振幅的平方的规律。
由于这个规律，对某个波进行对该波所在空间范围的波的总强度累加，相当于对该波的一个瞬时波函数（不考虑时间变化，只描述某时刻瞬间整个波形，必定是经典力学静态波的函数，只含有空间位置坐标一个自变量）ψ（r_)的模（绝对值）的平方进行对该空间区域的体积的 积分。
波的总强度p(v)=∫[|ψ（r_)|^2]dv,其中v为体积，这个式子不准确，由于贴吧公式输入有困难，这里采用了不定积分，实际应该是在一个特定空间范围内的对体积的定积分。
可以看出，从量纲角度说|ψ（r_)|^2就是dp/dv,就是波强度对于空间体积的分布密度。
所以波函数的第一个特点就是其模的平方具有波强度密度的物理含义。
另外，物体对应的波（我们曾讨论过，量子力学认为一切物质都是波粒二象性的，所以任何物体都对应于它的波函数）的强度大的空间区域中该物体存在几率也大，物质波强度与物体存在几率成正比，所以，物体存在几率与常数M（县不讨论M是什么，有多大）的乘积等于物体对应的物质波强度。
p=Mρ=∫[|ψ（r_)|^2]dv
那么，波函数的模的平方就和物体在空间中的存在几率也有关。
最后讨论一下M，由于p的量纲是体积（空间长度的3次方）---因为|ψ（r_)|^2本身和波函数ψ（r_)一样没有量纲。---所以M应该是体积的量纲，因为存在几率ρ应该没有量纲。
M的取值：由于ρ作为统计学的几率，其大小应该在0~1之间，那么，M的值必须保证能把p/M的取值范围限定进入0~1之间。p的值无怪乎来自体积V和振幅的模的最大值A的平方，所以，
M=∫[A^2]dv=[A^2]V----其中A,V都是常数（一个是振幅模的最大值，一个是该物体存在的空间的固定体积，也是研究该物体对应的物质波的所在空间范围大小）
从以上讨论可以知道，波函数直接和物体的存在几率相对应，所以，量子力学的物质波都可以称为 几率波。
波函数另外的作用在于，通过量子力学的数学方法----物理量对应的算符作用于波函数就能得到波函数对应的物体的物理量的值，这个在后文介绍。总的说来，波函数本身已经含有量子力学描述一个物体的所有信息。
2---薛定谔方程
薛定谔方程是描述力场中物体的波动性质的微分方程（关于微分方程的内容是数学知识，这里不做太多介绍，只是介绍其方程未知数的形式和解与普通方程的差别：
微分方程中等号左右2端的未知数是同一个函数的不同阶数的微分函数，而这种微分方程的解就是上面说的那个函数的形式。总的来说，微分方程都是以函数的表达式作为未知数，解微分方程就是要通过解方程得出未知函数的具体表达式，而不是解出一个数。
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但是，如果有了函数形式的解后，再知道这个函数中一些变量的特定取值，就可以求出最后一个未知变量的具体值，但这个步骤和微分方程无关，纯粹是普通代数方程问题）
薛定谔方程可以由前面提到的量子力学的波函数变形得到，但是不是物理意义上的严格推导（没有考虑物理量的取值范围是否满足这些变形），而且要用到偏微分知识，这里就不给出推导过程了。
薛定谔方程的形式（不知道记错没有）：
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=(ih/2π)(δψ/δt)
其中Dψ=[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]=[-4ψ(π^2)(P_^2)]/(h^2)
说明：h为普朗客常数，π是圆周率，m为物体质量（或者光波的运动质量），V(r_)是个与空间位置矢量r_有关的力场的场能量标量，i是虚数单位，t是时间坐标。δ是求偏导数记号，P_是物体的动量矢量。x,y,z是空间坐标。
去掉时间影响后的形式：
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ
这里ψ=ψ(r_),ψ只和位置矢量有关。
举例说明这个薛定谔方程的含义：（一般教科书都有这个例子）
假定有一个阻碍粒子沿x轴正向运动的力场，立场能量分布满足：在x坐标>0的空间区域存在能量为V的力场，在x坐标<0的空间区域没有力场，以就是力场能量为0。
当我们的物体的能量（表现为动能）小于V的时候，在x坐标<0的空间中，
薛定谔方程{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ的力场能量部分V(r_)=0（因为这个空间区域没有力场），得到
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ=Eψ，也就是{(h^2)/[8(π^2)m]}Dψ+Eψ=0
这个微分方程的通解是：
ψ1=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
波函数ψ1它具有两部分Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}，显然它们也是2个波函数，但是它们的代表的复变波函数的实部的正负符号相反（这个涉及到复数的三角形式和指数形式的变换知识，这里不介绍了），说明这两个波函数代表的粒子具有相反的运动方向。
可以理解为正值实部波函数对应沿x轴正向前进的粒子，它们从x轴的负轴空间（没有力场）进入x轴的正轴空间（有力场），进入后受到阻碍，被减速为0后开始被力场反向加速成为沿x轴负向前进的粒子，最终离开x>0空间区域回到x<0空间区域。
负值实部波函数对应沿x轴负向前进的粒子（来源就是上面所说的被力场反向加速的粒子）。这两种粒子的振幅的模的最大值A和B有可能不同。
在x坐标<0的空间中(有力场），V(r_)=V（见已知条件），
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ
的解是
ψ2=Ce^(-αx)+De^(αx)
这里Ce^(-αx)是沿着x负方向运动的粒子，De^(αx)是沿着x正方向运动的粒子，
其中α^2=[8ππm(V-E)]/[h^2]>0
由于力场对于进入x>0空间区域的运动粒子的减速作用，以及力场对于波振动的阻碍大于粒子的冲击力（V>E)，沿x正向运动的粒子的振幅的模的最大值会小于沿x负向运动的粒子的振幅的模的最大值，也就是D<C。所以ψ2不等于0，那么|ψ2|^2也不为0，所以在x>0的空间范围内，发现粒子的几率不为0。但是由于D比较小，|De^(αx)|^2就比较小，所以仍然沿x正向运动于x>0区域的粒子的存在几率很小。
经典力学认为，物质力场会在表面处完全阻止并反射冲向它的能量不足以进入力场内的粒子（硬墙和软球模型），就像小球撞墙，不会进入墙内，在墙壁表面就要被反弹。但是量子力学表明，不论立场强度多大（墙面多坚硬），粒子（小球）入射速度多小，粒子都会部分进入力场内（小球进入墙内）。
对于E>V的情形（相当于软墙和子弹模型），按经典力学原理来说，所有子弹都应该能射进软墙内，但是，我们对这个模式下的薛定谔方程的求解得到：
ψ=Me^(-βx)+Ne^(βx)
其中β^2=[8ππm(E-V)]/[h^2]>0
同样存在正反两个方向的运动粒子，说明子弹有一部分居然被软墙反弹回来了！但是由于粒子的冲击力大于力场的阻碍能力（E>V），所以Ne^(βx)部分进入力场并克服立场阻碍继续运动的粒子的振幅受到力场阻碍不大，能被力场完全减速为0后被力场反向加速的Me^(-βx)部分所受到力场的加速作用也比原来所具有的入射冲击作用小得多，所以M<N。|Ne^(βx)|^2也相对较小，说明被反射
薛定谔方程可以由前面提到的量子力学的波函数变形得到，但是不是物理意义上的严格推导（没有考虑物理量的取值范围是否满足这些变形），而且要用到偏微分知识，这里就不给出推导过程了。
薛定谔方程的形式（不知道记错没有）：
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=(ih/2π)(δψ/δt)
其中Dψ=[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]=[-4ψ(π^2)(P_^2)]/(h^2)
说明：h为普朗客常数，π是圆周率，m为物体质量（或者光波的运动质量），V(r_)是个与空间位置矢量r_有关的力场的场能量标量，i是虚数单位，t是时间坐标。δ是求偏导数记号，P_是物体的动量矢量。x,y,z是空间坐标。
去掉时间影响后的形式：
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ
这里ψ=ψ(r_),ψ只和位置矢量有关。
举例说明这个薛定谔方程的含义：（一般教科书都有这个例子）
假定有一个阻碍粒子沿x轴正向运动的力场，立场能量分布满足：在x坐标>0的空间区域存在能量为V的力场，在x坐标<0的空间区域没有力场，以就是力场能量为0。
当我们的物体的能量（表现为动能）小于V的时候，在x坐标<0的空间中，
薛定谔方程{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ的力场能量部分V(r_)=0（因为这个空间区域没有力场），得到
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ=Eψ，也就是{(h^2)/[8(π^2)m]}Dψ+Eψ=0
这个微分方程的通解是：
ψ1=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
波函数ψ1它具有两部分Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}，显然它们也是2个波函数，但是它们的代表的复变波函数的实部的正负符号相反（这个涉及到复数的三角形式和指数形式的变换知识，这里不介绍了），说明这两个波函数代表的粒子具有相反的运动方向。
可以理解为正值实部波函数对应沿x轴正向前进的粒子，它们从x轴的负轴空间（没有力场）进入x轴的正轴空间（有力场），进入后受到阻碍，被减速为0后开始被力场反向加速成为沿x轴负向前进的粒子，最终离开x>0空间区域回到x<0空间区域。
负值实部波函数对应沿x轴负向前进的粒子（来源就是上面所说的被力场反向加速的粒子）。这两种粒子的振幅的模的最大值A和B有可能不同。
在x坐标<0的空间中(有力场），V(r_)=V（见已知条件），
{(h^2)/[-8(π^2)m]}Dψ+V(r_)ψ=Eψ
的解是
ψ2=Ce^(-αx)+De^(αx)
这里Ce^(-αx)是沿着x负方向运动的粒子，De^(αx)是沿着x正方向运动的粒子，
其中α^2=[8ππm(V-E)]/[h^2]>0
由于力场对于进入x>0空间区域的运动粒子的减速作用，以及力场对于波振动的阻碍大于粒子的冲击力（V>E)，沿x正向运动的粒子的振幅的模的最大值会小于沿x负向运动的粒子的振幅的模的最大值，也就是D<C。所以ψ2不等于0，那么|ψ2|^2也不为0，所以在x>0的空间范围内，发现粒子的几率不为0。但是由于D比较小，|De^(αx)|^2就比较小，所以仍然沿x正向运动于x>0区域的粒子的存在几率很小。
经典力学认为，物质力场会在表面处完全阻止并反射冲向它的能量不足以进入力场内的粒子（硬墙和软球模型），就像小球撞墙，不会进入墙内，在墙壁表面就要被反弹。但是量子力学表明，不论立场强度多大（墙面多坚硬），粒子（小球）入射速度多小，粒子都会部分进入力场内（小球进入墙内）。
对于E>V的情形（相当于软墙和子弹模型），按经典力学原理来说，所有子弹都应该能射进软墙内，但是，我们对这个模式下的薛定谔方程的求解得到：
ψ=Me^(-βx)+Ne^(βx)
其中β^2=[8ππm(E-V)]/[h^2]>0
同样存在正反两个方向的运动粒子，说明子弹有一部分居然被软墙反弹回来了！但是由于粒子的冲击力大于力场的阻碍能力（E>V），所以Ne^(βx)部分进入力场并克服立场阻碍继续运动的粒子的振幅受到力场阻碍不大，能被力场完全减速为0后被力场反向加速的Me^(-βx)部分所受到力场的加速作用也比原来所具有的入射冲击作用小得多，所以M<N。|Ne^(βx)|^2也相对较小，说明被反射
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的粒子的存在几率也比较小。
这就说明了，物质波都具有能被反射的特性，这个特性并不像经典物理认为的那样，因为墙硬，所有的球都被反弹，或者因为墙软，所有子弹都要射入。不论是哪种情况，入射和被反弹的粒子都有存在的几率，只不过符合因果性的情况的几率比较大。
薛定谔方程就是这样被用来研究力场中某个粒子或物体的波函数的数学工具。
由于通过解薛定谔方程就能得出已知条件下的物体的波函数，而波函数又是量子力学的核心，所以，薛定谔方程在量子力学中的地位和牛顿运动方程在经典力学中的地位一样重要。
3---物理量的算符
先举一个例子：物体的速度矢量v_的定义式：
v_=dr_/dt
=(d/dt)r_
其中(d/dt)部分就是一阶的关于时间的微分算符，但是(d/dt)r_并不是表示(d/dt)和r_相乘，而只是表示(d/dt)和r_写在一起形成新的表达式，这个新表达式的具体形式决定其代表的运算。所以我们称(d/dt)只是一个算符，它只是一个形式上的符号。本身不代表任何运算。只有当算符和物理量的函数（比如r_(x,y,z)---与坐标有关的位置矢量或者位移)写在一起（我们称写在一起的过程为 用 算符 作用在 物理量函数 上）之后形成新的表达式，这个表达式本身才具有意义。
量子力学中的物理量是通过用代表这个物理量的对应算符形式作用于物体的波函数上（就是把代表该物理量的算符与波函数写在一起）形成新的函数表达式来表示具有特定波函数的物体的某个物理量的函数的。例如：
物体波函数ψ(r_)
则：
--1--物体的动量：P_=[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}
动量算符：P_#=[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}
(由于百度贴吧公式书写障碍，我这里用字母后加下划线_表示该字母代表的物理量为矢量，δ为求偏微分记号，一个矢量后面加#表示这个矢量在量子力学中的算符形式。）h为普朗克常数，π为圆周率，i为虚数单位。
那么：P_=P_#ψ
即动量P_的函数的形式等于P_的算符P_#作用于ψ（和ψ写在一起形成新表达式）的表达式形式。
一个算符中所有求微分的记号都要分别作用于波函数ψ，这是一个默认的规定。
--2--物体的动能：T=（P_*P_）(矢量之间点乘得到标量）/2m={[(P_#)^2]/2m}ψ=<<<[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}>^2>/2m>ψ=<<[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}>^2>/2m
(这里(),[],{},<>都是括号）
可见，动能算符T#=[(P_#)^2]/2m
T=T#ψ(动能算符T#和ψ写在一起构成的函数)
--3--角动量：L_=r_xP_(注意这里r_和P_都是矢量，他们的x--叉乘符号--乘得到的量仍然是矢量，和矢量*--点乘符号--乘得到标量不一样)
由于x乘要考虑方向，所以比较复杂，我们就通过分别讨论L_在x,y,z3个坐标轴方向的分量后进行对分量的合成得到L_：
Lx_=yPz_-zPy_=[h/(2πi)][y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]
(说明：Lx_表示L_在x坐标轴方向的分量，Pz_和Py_分别表示动量P_在z轴和y轴方向的分量，z,y为z,y坐标轴坐标，δ为求偏微分记号）
同样的有:
Ly_=zPx_-xPz_=[h/(2πi)][z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]
Lz_=xPy_-yPx_=[h/(2πi)][x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]
（希望没有记错）
(L_)^2=[-(h^2)/4π]{[y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]^2+[z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]^2+[x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]^2}
那么，角动量的平方标量算符(L^2)#=[-(h^2)/4π]{[y(δ/δz)-z(δ/δy)]^2+[z(δ/δx)-x(δ/δz)]^2+[x(δ/δy)-y(δ/δx)]^2}
其他物理量也分别具有各自在量子力学中对应的算符，这里就不介绍了，但是所有的算符都是通过波函数形成这些物理量在量子力学中的函数表达式的...
通过上面的一系列介绍可以看出，只要有了物体的波函数，通过量子力学的算符，就能写出任何一个物理量的函数表达式。
这就说明了，物质波都具有能被反射的特性，这个特性并不像经典物理认为的那样，因为墙硬，所有的球都被反弹，或者因为墙软，所有子弹都要射入。不论是哪种情况，入射和被反弹的粒子都有存在的几率，只不过符合因果性的情况的几率比较大。
薛定谔方程就是这样被用来研究力场中某个粒子或物体的波函数的数学工具。
由于通过解薛定谔方程就能得出已知条件下的物体的波函数，而波函数又是量子力学的核心，所以，薛定谔方程在量子力学中的地位和牛顿运动方程在经典力学中的地位一样重要。
3---物理量的算符
先举一个例子：物体的速度矢量v_的定义式：
v_=dr_/dt
=(d/dt)r_
其中(d/dt)部分就是一阶的关于时间的微分算符，但是(d/dt)r_并不是表示(d/dt)和r_相乘，而只是表示(d/dt)和r_写在一起形成新的表达式，这个新表达式的具体形式决定其代表的运算。所以我们称(d/dt)只是一个算符，它只是一个形式上的符号。本身不代表任何运算。只有当算符和物理量的函数（比如r_(x,y,z)---与坐标有关的位置矢量或者位移)写在一起（我们称写在一起的过程为 用 算符 作用在 物理量函数 上）之后形成新的表达式，这个表达式本身才具有意义。
量子力学中的物理量是通过用代表这个物理量的对应算符形式作用于物体的波函数上（就是把代表该物理量的算符与波函数写在一起）形成新的函数表达式来表示具有特定波函数的物体的某个物理量的函数的。例如：
物体波函数ψ(r_)
则：
--1--物体的动量：P_=[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}
动量算符：P_#=[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}
(由于百度贴吧公式书写障碍，我这里用字母后加下划线_表示该字母代表的物理量为矢量，δ为求偏微分记号，一个矢量后面加#表示这个矢量在量子力学中的算符形式。）h为普朗克常数，π为圆周率，i为虚数单位。
那么：P_=P_#ψ
即动量P_的函数的形式等于P_的算符P_#作用于ψ（和ψ写在一起形成新表达式）的表达式形式。
一个算符中所有求微分的记号都要分别作用于波函数ψ，这是一个默认的规定。
--2--物体的动能：T=（P_*P_）(矢量之间点乘得到标量）/2m={[(P_#)^2]/2m}ψ=<<<[h/(2πi)]{[δ(δ/δx)/δx]+[δ(δ/δy)/δy]+[δ(δ/δz)/δz]}>^2>/2m>ψ=<<[h/(2πi)]{[δ(δψ/δx)/δx]+[δ(δψ/δy)/δy]+[δ(δψ/δz)/δz]}>^2>/2m
(这里(),[],{},<>都是括号）
可见，动能算符T#=[(P_#)^2]/2m
T=T#ψ(动能算符T#和ψ写在一起构成的函数)
--3--角动量：L_=r_xP_(注意这里r_和P_都是矢量，他们的x--叉乘符号--乘得到的量仍然是矢量，和矢量*--点乘符号--乘得到标量不一样)
由于x乘要考虑方向，所以比较复杂，我们就通过分别讨论L_在x,y,z3个坐标轴方向的分量后进行对分量的合成得到L_：
Lx_=yPz_-zPy_=[h/(2πi)][y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]
(说明：Lx_表示L_在x坐标轴方向的分量，Pz_和Py_分别表示动量P_在z轴和y轴方向的分量，z,y为z,y坐标轴坐标，δ为求偏微分记号）
同样的有:
Ly_=zPx_-xPz_=[h/(2πi)][z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]
Lz_=xPy_-yPx_=[h/(2πi)][x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]
（希望没有记错）
(L_)^2=[-(h^2)/4π]{[y(δψ/δz)-z(δψ/δy)]^2+[z(δψ/δx)-x(δψ/δz)]^2+[x(δψ/δy)-y(δψ/δx)]^2}
那么，角动量的平方标量算符(L^2)#=[-(h^2)/4π]{[y(δ/δz)-z(δ/δy)]^2+[z(δ/δx)-x(δ/δz)]^2+[x(δ/δy)-y(δ/δx)]^2}
其他物理量也分别具有各自在量子力学中对应的算符，这里就不介绍了，但是所有的算符都是通过波函数形成这些物理量在量子力学中的函数表达式的...
通过上面的一系列介绍可以看出，只要有了物体的波函数，通过量子力学的算符，就能写出任何一个物理量的函数表达式。
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4--量子力学物理量函数的本征值
首先简单介绍一下数学中的复数的概念：
我们知道，最早出现的是正整数自然数1，2，3...
由于减法出现被减数不够减减数的情况，人们引入了负数。
由于除法出现被除数不能整除除数的情况，人们引入了分数。
由于正数开方出现不能开得有限位数的情况，人们引入了无理数。
到这里为止，所有的数统称实数。
由于开平方不能对负数进行，为了使得负数开平方有意义，人们引入虚数单位i，并规定i^2=-1。一个非0实数和i相乘得到一个具有虚数单位的纯虚数。
把一个实数（包括0）和一个虚数（不包括0）相加得到的既具有实数部分又具有虚数部分的数叫做虚数（可见纯虚数是虚数的分支）。所有实数和虚数总称复数。
复数一般表示成z=a+bi的形式（复数的代数形式），其中a,b都是实数，i为虚数单位。a叫做复数z的实部，bi叫z的虚部，b叫z的虚部的实数值。
z*=a-bi叫做z=a+bi的共轭复数（其实它们互相为对方的共轭复数），因为它们的虚部互为相反数。
由于欧拉公式的存在，复数经过任何形式的加减乘除乘方开方取对数运算得到的结果都是复数，数的领域终于对运算具有了封闭性和完备性。
函数，作为变量间的对应形式，也具有变量取值的特点，如果一个函数的取值范围是全体复数，那么它的函数值也会取全体复数的一个子集合数集。这种函数叫复变函数。
但是我们要求的物理量的函数，取值范围只能取实数，因为目前来说，复数值没有实际测量意义。
而另一个重要的要求是：
量子力学的算符不仅要能和波函数在一起表示出物理量的函数，还要保证这个物理量的函数具有本征值。
所谓的本征值是这样的：
以动量P_=P_#ψ为例，我们要求在ψ的形式已经确定（物体的状态确定）的情况下能找到一个和这时的ψ相对应的实数矢量p_作为简化P_#对此时的ψ的作用的量，满足
P_=P_#ψ =p_ψ(p_乘以ψ，矢量乘以标量得到矢量），也就是说利用p_与ψ相乘的形式来简化把P_#和ψ 写成一个表达式的形式，当然所谓简化的前提是这两种形式是等价的。
由于我们通过算符和波函数写出了物理量的函数表达式，当波函数已知的时候，通过方程P_=P_#ψ =p_ψ（ψ为已知），变形成为p=(P_#ψ)/ψ(这里(P_#ψ)是一个含有ψ的表达式，不是P_#和ψ的乘积，这个前面说过，这里提醒一下），就能解出p的值，p_ψ乘积就是动量P_的函数值，也就是动量P_在这个波函数ψ条件下的物理量量值。
如果这样的实数p存在，那么它就叫做关于此时ψ条件的P_函数的本征值。
当ψ已知时P_=P_#ψ =p_ψ叫做动量P_对应于当前ψ条件的本征方程。
对于ψ的所有取值，p=(P_#ψ)/ψ都有对应函数值p与ψ对应，所以这个函数式叫做P_的本征值关于波函数ψ的本征函数。
不同的ψ对应不同的P_函数本征值p。一个函数P_=P_#ψ 会根据ψ的不同有不同的本征值。
这样做的意义在于：把波函数ψ作为系统状态的已知条件，通过量子力学算符作用于这个已知条件得到该算符对应的物理量的值---与ψ对应的那个本征值p，从而得出物理量对于特定ψ状态的物理量量值。
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量子力学物理量的算符的基本数学性质（1）
量子力学的任意一个算符A#都满足：
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ
说明：
φ1，φ2是2个波函数（复变函数），且都满足积分的边界条件（这个不清楚的朋友可以先不考虑），φ1*是φ1的共轭函数（这两个函数表达式最简式中没有因子虚数单位i的部分--实部函数--相同，有因子虚数单位i的部分--虚部函数--互为相反数）。
等式左边∫φ1* A#φ2 dτ中φ1* A#φ2部分是函数φ1*（φ1的共轭函数）和函数A#φ2的乘积（函数A#φ2是由算符A#和函数φ2写在一起形成的函数表达式，不是乘积）。
等式右边∫(A#φ1)* φ2 dτ中(A#φ1)* φ2部分是函数(A#φ1)*和函数φ2的乘积，其中(A#φ1)*是函数A#φ1的共轭函数（类似φ1和φ1*），函数A#φ1是由算符A#和函数φ1写在一起形成的函数表达式，不是乘积。
τ是任意标量。
左右这两个对τ的积分式相等，对应了以下两个基本推论：
--1--若A#ψ=aψ （说明：算符A#和ψ写在一起组成的函数A#ψ等于数a和函数ψ的乘积，a就是A#的本征值。）
那么，φ1=φ2时，∫φ* A#φ dτ=∫(A#φ)* φ dτ
∫φ* A#φ dτ=∫(A#φ)* φ dτ可以由A#ψ=aψ 变成∫φ* aφ dτ=∫(aφ)* φ dτ
由于(aφ)* =a*φ*(a的共轭复数a*和函数φ*的乘积）
∫φ* aφ dτ=∫(aφ)* φ dτ也就是∫φ* aφ dτ=∫a*φ* φ dτ
也就是a∫φ* φ dτ=a*∫φ* φ dτ,由于∫φ* φ dτ=∫|φ|^2dτ永远不为0（φ* φ=|φ|^2是复数的基本数学性质，即：复数和它的共轭复数的积等于这个复数的平方的模--绝对值）
所以约掉等式两边∫φ* φ dτ部分，等式变成a=a*,根据复数的性质，只有实数与自身的共轭复数相等，所以,a是实数。
那么，量子力学的物理量的算符的第一个数学性质：该算符对应的一系列的本征值都是实数。
--2--∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中φ1和φ2不相等，A#φ 1=mφ 1,A#φ 2=nφ 2(即A#对于波函数φ 1对应的物理状态的本征值是m,A#对于波函数φ 1对应的物理状态的本征值是n) ,对应φ1和φ2不相等，m和n也不相等。
那么：
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ等式就成为
∫φ1* n φ 2dτ=∫(mφ1)* φ2 dτ（=∫m* φ1* φ2 dτ）
也就是
(n-m*)(∫φ1* φ 2 dτ)=0
由于n,m*都是A#的本征值，所以都是实数，则m*=m
上面的式子就成为：
(n-m)(∫φ1* φ 2 dτ)=0
由于m和n不相等，(n-m)永远不为0，那么为了等式成立，只有(∫φ1* φ 2 dτ)=0成立才可以。
于是，我们发现，量子力学算符都满足的等式∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ在φ1和φ2不同（且对应的A#的本征值m,n不相等）时，导致(∫φ1* φ 2 dτ)=0成立，这在数学上叫做函数φ1和φ2正交（它们的卷积为0）。
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中的φ1=φ2=φ时，φ不为0才有意义时，∫φ1* φ 2dτ=∫φ* φ dτ=∫|φ|^2dτ=非0正值。
我们总能找到一个物理量τ使得∫|φ|^2dτ取值范围不超过1。那么，在对τ的所有取值的范围作定积分∫|φ|^2dτ，当τ取值能趋近∞的时候，这个积分取值就趋近1。
所以∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中的φ1=φ2=φ时，在τ取值范围接近∞极限值时对τ的整个取值范围积分∫φ1* φ 2 dτ=1，数学上叫做φ1， φ 2具有归一性（2者卷积极限为1）。
这两点是符合了如下的物理含义：
--1--任何物理量的测量值必须是实数
--2--同一个物体任何两个已知运动状态如果相同，这两个状态一相关（互相影响），若这两个状态不同，它们一定无关（互相没有影响）。
可见，量子力学采用符合∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ的算符A#就是为了能符合物理学的研究需要。
符合∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ的算符A#都叫做厄米算符。
量子力学的所有算符都是厄米算符。
量子力学的任意一个算符A#都满足：
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ
说明：
φ1，φ2是2个波函数（复变函数），且都满足积分的边界条件（这个不清楚的朋友可以先不考虑），φ1*是φ1的共轭函数（这两个函数表达式最简式中没有因子虚数单位i的部分--实部函数--相同，有因子虚数单位i的部分--虚部函数--互为相反数）。
等式左边∫φ1* A#φ2 dτ中φ1* A#φ2部分是函数φ1*（φ1的共轭函数）和函数A#φ2的乘积（函数A#φ2是由算符A#和函数φ2写在一起形成的函数表达式，不是乘积）。
等式右边∫(A#φ1)* φ2 dτ中(A#φ1)* φ2部分是函数(A#φ1)*和函数φ2的乘积，其中(A#φ1)*是函数A#φ1的共轭函数（类似φ1和φ1*），函数A#φ1是由算符A#和函数φ1写在一起形成的函数表达式，不是乘积。
τ是任意标量。
左右这两个对τ的积分式相等，对应了以下两个基本推论：
--1--若A#ψ=aψ （说明：算符A#和ψ写在一起组成的函数A#ψ等于数a和函数ψ的乘积，a就是A#的本征值。）
那么，φ1=φ2时，∫φ* A#φ dτ=∫(A#φ)* φ dτ
∫φ* A#φ dτ=∫(A#φ)* φ dτ可以由A#ψ=aψ 变成∫φ* aφ dτ=∫(aφ)* φ dτ
由于(aφ)* =a*φ*(a的共轭复数a*和函数φ*的乘积）
∫φ* aφ dτ=∫(aφ)* φ dτ也就是∫φ* aφ dτ=∫a*φ* φ dτ
也就是a∫φ* φ dτ=a*∫φ* φ dτ,由于∫φ* φ dτ=∫|φ|^2dτ永远不为0（φ* φ=|φ|^2是复数的基本数学性质，即：复数和它的共轭复数的积等于这个复数的平方的模--绝对值）
所以约掉等式两边∫φ* φ dτ部分，等式变成a=a*,根据复数的性质，只有实数与自身的共轭复数相等，所以,a是实数。
那么，量子力学的物理量的算符的第一个数学性质：该算符对应的一系列的本征值都是实数。
--2--∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中φ1和φ2不相等，A#φ 1=mφ 1,A#φ 2=nφ 2(即A#对于波函数φ 1对应的物理状态的本征值是m,A#对于波函数φ 1对应的物理状态的本征值是n) ,对应φ1和φ2不相等，m和n也不相等。
那么：
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ等式就成为
∫φ1* n φ 2dτ=∫(mφ1)* φ2 dτ（=∫m* φ1* φ2 dτ）
也就是
(n-m*)(∫φ1* φ 2 dτ)=0
由于n,m*都是A#的本征值，所以都是实数，则m*=m
上面的式子就成为：
(n-m)(∫φ1* φ 2 dτ)=0
由于m和n不相等，(n-m)永远不为0，那么为了等式成立，只有(∫φ1* φ 2 dτ)=0成立才可以。
于是，我们发现，量子力学算符都满足的等式∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ在φ1和φ2不同（且对应的A#的本征值m,n不相等）时，导致(∫φ1* φ 2 dτ)=0成立，这在数学上叫做函数φ1和φ2正交（它们的卷积为0）。
∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中的φ1=φ2=φ时，φ不为0才有意义时，∫φ1* φ 2dτ=∫φ* φ dτ=∫|φ|^2dτ=非0正值。
我们总能找到一个物理量τ使得∫|φ|^2dτ取值范围不超过1。那么，在对τ的所有取值的范围作定积分∫|φ|^2dτ，当τ取值能趋近∞的时候，这个积分取值就趋近1。
所以∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ中的φ1=φ2=φ时，在τ取值范围接近∞极限值时对τ的整个取值范围积分∫φ1* φ 2 dτ=1，数学上叫做φ1， φ 2具有归一性（2者卷积极限为1）。
这两点是符合了如下的物理含义：
--1--任何物理量的测量值必须是实数
--2--同一个物体任何两个已知运动状态如果相同，这两个状态一相关（互相影响），若这两个状态不同，它们一定无关（互相没有影响）。
可见，量子力学采用符合∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ的算符A#就是为了能符合物理学的研究需要。
符合∫φ1* A#φ 2dτ=∫(A#φ1)* φ2 dτ的算符A#都叫做厄米算符。
量子力学的所有算符都是厄米算符。
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算符的对易性和海森伯格不确定原理
如果算符A#和算符B#满足：
(1)这两个算符能作用于同一个波函数ψ
(2)当它们作用于同一个波函数的时候，不论波函数ψ的形式是怎样的，总满足：
A#B#ψ-B#A#ψ=2πihψ成立。
这样的２个算符称为A#对B#对易的算符。
注意式子：A#B#ψ-B#A#ψ=2πihψ
我要强调的是：由于算符作用于波函数等效于把算符对应的表达式和波函数写在一起形成新的表达式，所以A#B#和B#A#由于排列顺序不同，对应成的表达式就可能不同，只有当A#和B#都是表示与波函数相乘的形式，才能根据乘法交换律具有等价性，通常其他算符都具有求导数的算符结构，所以顺序不同会对表达式形式产生巨大影响。
另外，A#对B#对易不表示B#对A#也对易。
通常把简记符号定义为[A#,B#]=A#B#-B#A#，从这个式子可以看出，A#对B#的这个式子和B#对A#的这个式子（[B#,A#]=B#A#-A#B#)不同，而且作用于函数ψ之后，由于A#和B#之中可能含有微分算符，所以，[A#,B#]和[B#,A#]不是简单的相反数关系。
算符之间的关系关系归根结底就是对易或者不对易的关系。
这里[A#,B#]也是一个算符（由算符A#和B#组成的算符)。
通常我们有以下规律：
--1--位移的沿某个空间坐标系坐标轴方向的分量对应的算符r_#一定和与这个r_#分量的同坐标轴方向的动量算符P_#的分量对易。
举例子来说，同是x坐标方向的r#_对于P#_对易，也就是[r#_x,P#_x]=2πih
--2--动量的沿某个空间坐标系坐标轴方向的分量对应的算符P_#一定和不是这个坐标轴方向的位置矢量算符r_#的分量对易。
例如，动量的x坐标方向分量对位移的y坐标分量对易：[P_#x,r_#y]=2πih
--3--时间算符对于能量算符不对易，能量算符对于时间算符也不对易。
--4--角动量算符互相之间的对易关系：
[L_#x,L_#y]=2πihL_#z
[L_#y,L_#z]=2πihL_#x
[L_#z,L_#x]=2πihL_#y
对易或不对易的算符对应本征值的之间的关系：
当算符A#对B#对易，它们一定具有全部相同的本征函数（函数ψ若满足能使A_#ψ =a_ψ成立，其中a为算符A#对于函数ψ的本征值，那么ψ叫做A#的一个本征函数），并且所有这些本征函数满足使得A#是厄米算符。
当算符A#对B#不对易，一定满足：
|△A||△B|>=πih
其中，△A，△B分别是物理量A,B的测量值的不确定度。
这个式子表面就说明，对于不对易的２个物理量的测量，当其中一个的测量精确度提高，另一个的测量精确度就要下降，不可能同时测准。
这就是著名的海森伯格不确定度原理。它只对于不对易的２个物理量成立。
另外，海森伯格不确定度原理还直接显示：单一物理量的测量永远存在误差，因为客观世界对于任何物理量必然存在和它不对易的物理量，互相不对易的物理量必然遵照这个不确定度原理，所以不对易的物理量的不确定度永远不可能有任何一个为0，也就是说，测量误差（来源于不确定度）永远不能消除。
这是对物理学测量原理的理论揭示，这也是量子力学的巨大贡献之一。
量子力学的内容远不止于此，我的帖子只是介绍一下量子力学中最浅显，最简单的内容，其他涉及应用这些基本原理研究原子结构或者更微观结构的内容涉及的知识更加深奥，但是量子力学是很美的，它具有完美的算符工具系统，并且直接可以和统计学（包括热力学）等基础科学接轨，尽管它和相对论还不是很默契，但是实践证明它们都是正确的理论，我相信总有一天这两种理论会被另一种全新的理论融合在一起。
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