前言：论Dirac符号的积分_百度文库
wenku.baidu.com/view/b66cebc54afe04a1b071de4c.html
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狄拉克符号（Dirac）
nc.dzu.edu.cn/bumen/dzxywlx/jingpin/wjh/.../jiao42.doc
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关于电磁理论中矢量符号法的一些研究_CNKI学问
xuewen.cnki.net/CJFD-DKDX200801026.html - 轉為繁體網頁
在梯度、散度和旋度三种基本运算中,散度与旋度均是由积分-比-极限来定义的,可以完全不 .... 波函数按力学量算符的本征函数系展开，要求表示力学量的算符线性、厄米性、且全连续。 .... 狄拉克方程描述的氢原子定态不是算符S·"非汉字符号"的本征态.
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具有不寻常角动量的非常光子 - 中国科学G辑 - 中国科学杂志社
phys.scichina.com:8083/sciG/CN/.../abstract412968.shtml - 轉為繁體網頁
本征态矢-文章搜索-吾喜杂志网
wuxizazhi.cnki.net/MagaSearchArticle.aspx?Keys=本征态矢
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狄拉克(Dirac)符号_百度文库
wenku.baidu.com/view/a10dddd176a20029bd642d95.html
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算符：. •平均值：. •测量： 对某量子态|ψ >测量力学量O，则原|ψ >态将有 c i. *c i. 的几率被塌缩至O的本征态矢之一|φi. >；此. 时O的测量值为|φi. >态所对应的本征值o.
轨道角动量 - 北京大学物理学院
www.phy.pku.edu.cn/~xurenxin/teach/.../04_angular.pdf
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请教一个数学问题，相当感谢！
给定一个微分算子（比如包含求一阶和二阶偏导数符号的一个多项式），假设它的一个本征态集合是正交归一和完备的。 我的第一个问题是：这表明该微分算子的所有可能的本征态都已经给出了吗？ 可能你会说，是的，因为本征态集合是完备的。但是，这个本征态集合，可能只是构成某个完备的子空间。同一个算子，在不同的表示空间有不同的具体表示，从而可能有不同的谱结构以及不同的本征态集合。比如空间转动操作算子，在二维空间有一个表示，可以求出它的完备的本征态集合，但这个集合只是属于三维空间表示下的完备本征态集合的子集。 那么，给定一个微分算子（例如一个哈密顿算子），我们去求它的本征态时，得到的，是它所有可能的本征态集合，还是某个完备的子空间中的元素？换句话说，我们能否根据算子本身一次性地给出它的所有可能的本征态、使得这些本征态构成这个算子所有可能的表示空间的直和空间？ 反过来，已知算子的某个完备的表示空间，有没有一种系统的办法，对这个表示空间进行扩张，从而得到该算子的所有可能的表示空间？ 不好意思，问题有点长，不过也许你会觉得问题有趣。 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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萍踪浪迹  发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 |  Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 哦.........对泛函有关的问题我认识不深,还是小心点,别掉陷阱 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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卢昌海  发表文章数: 1617 武功等级: 北冥神功 (第一重) 内力值: 602/602 |  Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 呵呵，这里有研究微分算子的吗？ 一般来说，微分算子的谱问题中要预先给定三类信息： １ 微分算子本身。 ２ 它所作用的空间。 ３ 边界条件。 因此，如果得到一个完备的本征态集合，它表明的是本征态集合在２和３所限定的空间中是完备的。星空兄是想要在不指定２的情况下求解吗？ 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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星空浩淼  发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 谢谢昌海兄的回答！ 估计由你提到的（1）微分算子本身和（3） 边界条件，通过求解特征方程，可以给出它所作用的空间（2）。我想知道的是，如果不考虑边界条件时，微分算子的谱会不会都是在（－∞，＋∞）之中？ 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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季候风  发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 当然不可能离开边界条件来谈算子的谱。因为边界条件实际上影响到算子作用的空间。比如同样是 d'Alembert 算子，两端固定的弦就有驻波解，而不固定的弦就没有驻波解。这是因为两端固定的弦可能的状态空间比较小。还有一个例子我忘记了，好像是讨论 i d/dx 这个算子在什么样的边界条件下是自伴（粗略来说就是物理上说的 Hermitian，但要满足更多的跟扩张有关的条件）的。复习一下泛函分析吧，比如张恭庆那本泛函分析下册，无界算子那一章。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 那么，给定一个微分算子（例如一个哈密顿算子），我们去求它的本征态时，得到的，是它所有可能的本征态集合，还是某个完备的子空间中的元素？换句话说，我们能否根据算子本身一次性地给出它的所有可能的本征态、使得这些本征态构成这个算子所有可能的表示空间的直和空间？ 反过来，已知算子的某个完备的表示空间，有没有一种系统的办法，对这个表示空间进行扩张，从而得到该算子的所有可能的表示空间？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 这里还有一个概念问题。“表示” 一般指一个代数或者群的表示。“一个算子的表示” 不是有固定意义的概念。任意性太大。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 谢谢季兄的回答！ “当然不可能离开边界条件来谈算子的谱。因为边界条件实际上影响到算子作用的空间。比如同样是 d'Alembert 算子，两端固定的弦就有驻波解，而不固定的弦就没有驻波解。这是因为两端固定的弦可能的状态空间比较小。” 的确如你所说。不过我想，假定求解一个算子F的特征方程：Fψ＝λψ （1） 在不施加边界条件时，求出的ψ是不是对应F所有可能的本征态，而边界条件相当于对所有可能的ψ加上一个额外限制，使得我们事实上得到的只是{ψ}的一个完备的子集，这个子集中的ψ才符合边界条件。现在我的问题是：如果不加边界条件，由一般微分算子F的特征方程（1），给出的本征值λ是不是分布在（－∞，＋∞）上？ 关于算子的“表示”，我有特指的含义：我们知道，量子力学有波动力学描述方式和矩阵力学描述方式，一旦给定一个Hilbert空间（假定由ψn张成, n=1,2,3...），那么算符F在这个“表示空间”{ψn}中就有对应的矩阵表示，例如矩阵元Fmn=<ψm|F|ψn>，（m，n=1, 2, 3 ...)。 由线性代数我们知道，给定一个矩阵，单凭这个矩阵就可以确定它的所有本征值和本征态，不需要其他条件。但实际上，一个矩阵对应某个算符的具体表示，相当于算符的表示空间已经确定了，所以这里仍然可能有边界条件，只是它隐含在求解这个矩阵具体形式的过程中了 “还有一个例子我忘记了，好像是讨论 i d/dx 这个算子在什么样的边界条件下是自伴（粗略来说就是物理上说的 Hermitian，但要满足更多的跟扩张有关的条件）的。” 应该是i d/dx 所作用的空间元素满足无穷远边界条件（通常称作自然边界条件）。 有些微分方程求解，没有专门给出边界条件，但在求解过程中，把一些物理要求逐渐地加进去，这些物理要求就相当于边界条件。例如简谐振子的量子力学方程求解，只用到无穷远边界条件。 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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| 卢昌海 发表文章数: 1617 武功等级: 北冥神功 (第一重) 内力值: 602/602 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ :: 现在我的问题是：如果不加边界条件，由一般微分算子F的特征方程（1）， :: 给出的本征值λ是不是分布在（－∞，＋∞）上？ 所谓分布在（－∞，＋∞）上指的是λ遍布整个实轴吧？否则的话显然任何实本征值都分布在（－∞，＋∞）上，问题变成trivial的了。一般微分算子的本征值不一定遍布整个实轴，比如恒正算子谱不包括负实轴。另外，在你说“不加边界条件”的时侯，很难把自然边界条件也排除在外，因为否则的话你所考虑的空间将不再是Hilbert空间，甚至将超出广义函数所能表示的范围。大量分析学的东西都得抛弃。如果包含自然边界条件，那么即使不附加任何其它边界条件，本征值也将进一步受限，比如谐振子的本征值谱是离散谱。 :: 假定求解一个算子F的特征方程：Fψ＝λψ （1）在不施加边界条件时，求出的ψ是不是 :: 对应F所有可能的本征态，而边界条件相当于对所有可能的ψ加上一个额外限制，使得 :: 我们事实上得到的只是{ψ}的一个完备的子集，这个子集中的ψ才符合边界条件。 这个与上面的问题有关，我还是假定你并不想把自然边界条件也排除在外，在这种情况下上面的说法不成立。还是以谐振子为例，在不附加任何边界条件（自然边界条件除外）时，{ψ}是对应于λ=n的各本征态的集合（注意因为你的问题讨论的是本征态集合与边界条件的关系，因此这个集合是本征态的集合而非本征态的任意线性组合的集合，后者并非本征态）。现在我们加一个边界条件，比如让波函数在x<0与x>1均为零，则显然原先那些ψ_n都不再是本征态，因此新的本征态集合不是原本征态集合的子集。新定义域下算子的谱也并非λ=n的子集。 算子的谱与边界条件密切相关，我们无法通过对不带边界条件的算子的谱分析得到任意边界条件下的谱。尤其是，一个算子在有边界条件下的谱通常并不是没有边界条件下谱的子集。 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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| 萍踪浪迹 发表文章数: 1983 武功等级: 深不可测 内力值: 645/645 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ Hilbert和Courant的书好象有比较多这方面的东西吧，我以前没有细看。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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Omni  发表文章数: 305 武功等级: 太极剑法 (第五重) 内力值: 374/374 | Re: Greek Letters A curious question not related to mathematics --- how can you type in Greek letters, infinity sign, etc. when you post in this forum? I guess you guys know some simple tricks that I don't know. 海天一片，对景愁怀倦。心似木船独飘零，惆怅远景难见。 命里沉浮谁主，流年似水空度。浩翰烟波如故，当时容颜何处。
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| 卢昌海 发表文章数: 1617 武功等级: 北冥神功 (第一重) 内力值: 602/602 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ sure, you can enter greek letters, infinity symbol, etc. There is a character map on Windows (most probably on other OS as well), just copy characters into the text you are composing. Or you can copy characters from the following webpages: http://www.htmlhelp.com/reference/html40/entities/latin1.html http://www.htmlhelp.com/reference/html40/entities/symbols.html http://www.htmlhelp.com/reference/html40/entities/special.html They contain most of the commonly used special characters. 宠辱不惊，看庭前花开花落 去留无意，望天空云卷云舒
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 谢谢各位的解答！你们的回复对我有很大的启发和帮助 其中昌海兄的回答，一开始就让我感觉他似乎洞悉到我想干什么，而后面的回答，就更是直指我要搞的东西了:-) 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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| 星空浩淼 发表文章数: 1743 武功等级: 九阳神功 (第五重) 内力值: 617/617 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ Omni 兄的问题，昌海兄已经替我回答了。 一般地，当你敲打汉字时，你的电脑屏幕上会出现一个标志你用什么软件输汉字的图标，那图标上有几个小图标，你用鼠标点住它，点右键，就出现各种符号软盘的选择，选择后，在进去就可以输了，但用完之后，要退出来，才能继续输汉字，不然会继续输特殊符号 我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 奇怪啊，你的问题我一点也不明白呢。 你是在讨论算子的特征值吧？ 你的 完备 归一 是什么意思呢？ 或者你说的是特征子空间？ 很奇怪啊，莫非我学的PDE和算子谱理论和大家学的不一样？ 术语差好多。 另外 自伴算子的特征值肯定是实的，离散的。 玻尔的原子模型 对应于数学上 就是Laplacian的谱是离散的吧.
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西门吹牛  发表文章数: 469 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 416/416 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ “自伴算子的特征值肯定是实的，离散的。” －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 谁说一定是离散的？ 一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡 形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ “自伴算子的特征值肯定是实的，离散的。” －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 谁说一定是离散的？ ================================ 不是吗？自伴算子的特征值不是这个样子的吗？ {0=\lamda_0<\lamda_1\le\lamda_2\le\cdots} 原问其详
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 打错字了，sorry 愿闻其详
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 不是吗？自伴算子的特征值不是这个样子的吗？ {0=\lamda_0<\lamda_1\le\lamda_2\le\cdots} ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 这种叫对称紧算子。对于有界算子，对称就是自伴。无界自伴算子不仅要对称，还要跟对偶算子有相同的定义域。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 呵呵，我犯一错误 对称紧算子的谱是有界的......0是聚点 无界自伴算子没有点谱的，比如坐标和动量，作用在 L2(R) 上都是连续谱的 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 嗯，想起来了 是学过的紧自伴算子谱理论 呵呵，把紧算子的要求忘掉了, my fault.
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 对称紧算子的谱是有界的......0是聚点 =========================== 嗯，没有紧的要求的话，只对于自伴算子，特征值 {0=\lamda_0<lamda_1\le\lamda_2\le\cdots}的\lamda_k 可能会趋于无穷 无界自伴算子没有点谱的，比如坐标和动量，作用在 L2(R) 上都是连续谱的 =============================================== 好像自伴算子没有剩余谱，但是没有点谱不知道吧？ 连续谱里面的不叫特征值的。。。 特征值的集合是点谱 注意我说的是关于特征值，不是谱点。。。
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 呵呵，我的造句有问题，我是说那两个例子是没有点谱的自伴算子的例子。 我的理解也有问题，自伴算子的点谱可能不是离散的吧...对称紧算子是自伴，但 0 有可能既是特征值也是特征值的聚点。当然，我的记忆模糊了，手头没有书，你查一下吧。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| 冠臻 发表文章数: 29 武功等级: 野球拳 (第三重) 内力值: 103/103 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 我也没有谱理论的书 明天去图书馆看看吧 对于紧自伴算子 0可以是特征值的聚点（当然没有其他聚点）
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| 西门吹牛 发表文章数: 469 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 416/416 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 量子力学中，动量算符和空间位置算符都是厄米的，它们的本征值通常是连续分布的。 自由粒子的Hamiltion算符，也是厄米算符，它的谱是连续分布的。 可能有些争论，来自于不同学科之间的术语含义有区别吧 一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡 形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
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| yinhow 发表文章数: 727 武功等级: 弹指神通 (第二重) 内力值: 469/469 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 积分算子有没有同样的好的性质？
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| 季候风 发表文章数: 291 武功等级: 太极剑法 (第四重) 内力值: 370/370 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 如果积分核是连续函数，那么这个积分算子是紧算子。 如果作用在L^2 函数上，积分核是实值连续函数，那么积分算子是对称紧算子。 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
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| yinhow 发表文章数: 727 武功等级: 弹指神通 (第二重) 内力值: 469/469 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 考虑上半平面上在SL（2，R）作用下不变的微分和积分算子，它们之间有有趣的联系。 非欧拉普拉斯算子是最基本的不变微分算子，其他不变微分算子是它的多项式。不变积分算子的本证值和非欧拉普拉斯算子的本证值有联系，Selberg最早研究它。
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gage  发表文章数: 466 武功等级: 空明拳 (第三重) 内力值: 415/415 | Re: 请教一个数学问题，相当感谢！ 无界自伴算子没有点谱的，比如坐标和动量，作用在 L2(R) 上都是连续谱的 ============================================= 坐标算子的谱在某种意义上是点谱，谱 a 所对应的特征向量为函数 \delta_a. 繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。 一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。 |
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