给定时空点上的A值本身是没有意义的。然而，A沿闭合回路的线积分却是规范变换下的不变量，可以具有物理意义，这就是该闭合回路所包围的磁通量

http://202.207.213.2/jingpinkecheng/web/22/22_4.htm
给定时空点上的A值本身是没有意义的。然而，A沿闭合回路的线积分却是规范变换下的不变量，可以具有物理意义，这就是该闭合回路所包围的磁通量

§22.4  粒子在电磁场中的运动

一  有电磁场情况下的薛定谔方程

( 1 ) 经典力学中的哈密顿量

考虑质量为m、电荷为q的粒子在电磁场中的运动。由洛伦兹力公式(10. 2)可得，粒子的运动方程为

    .                                                     (22. 51)

为了得到量子力学中的薛定谔方程，首先我们对于电磁场引进矢势A和标势j，也就是式(12. 10)和式(11. 4)，即

    ,    

    .                                                           (22. 52)

然后，代替粒子的运动方程(22. 51)，可采用哈密顿正则方程：

    ,

    .                                                           (22. 53)

可以证明，上式中的哈密顿量H为

    ,                                      (22. 54)

其中P是带电粒子的正则动量。

应该注意到，在有磁场的情况下，带电粒子的正则动量P并不等于它的机械动量p = m v，而是

    .                            (22. 55)

( 2 ) 正则量子化程序  薛定谔方程

按照量子力学中的正则量子化程序，应把正则动量P换成算符，即

    .                                                 (22. 56)

由式(22. 54)和式(22. 56)可得，电磁场中带电粒子的哈密顿算符为

    .                                       (22. 57)

因此，相应的薛定谔方程为

    ,                     (22. 58)

或          .  (22. 59)

可以证明，在一般情况下，与A并不对易，且

    .                                     (22. 60)

如果像在恒定磁场情况下(见§12 - 2)那样，满足横波条件

    ,                                                               (22. 61)

则与A对易，薛定谔方程(22. 59)可以表示为

    .           (22. 62)

( 3 ) 规范不变性

电磁场具有规范不变性，即当矢势A和标势j 作下列规范变换时：

    ,                                              (22. 63)

    ,                                          (22. 64)

电场强度E和磁感应强度B都不改变。

在经典的牛顿运动方程

                                                   (22. 51)

中，以及在麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式中，只出现E和B，不出现A和j，其规范不变性是显然的。

在量子力学中，矢势A和标势j 都直接出现在薛定谔方程中，因此必须考虑它在规范变换[式(22. 63)和式(22. 64)]下的变化。可以证明，波函数如作相应的变换

    ,                                                     (22. 65)

则所满足的薛定谔方程

    ,           

与y 所满足的薛定谔方程(22. 58)，在形式上完全相同。然而，波函数的变换(22. 65)中的c 是r和t的函数，不是一个整体的相位变换。因此，物理观测结果的规范不变性并非一目了然。但可以证明，r，j和等在规范变换下都是不变的。

 

二  A - B效应

在经典物理学中，描述电磁场和带电粒子运动的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式，都是以场强E和B作为基本物理量来表达的。矢势A和标势j 的引入只是为了数学上的方便，只能确定到相差一组规范变换的程度，因此它们只是一组并不具有“真实”物理意义的辅助的物理量。在量子力学中，虽然矢势A和标势j 以动量和能量的地位出现在薛定谔方程[式(22. 59)]中，但是电磁场经规范变换后，也只是导致波函数多一个相因子。因此，在A - B效应发现以前人们一直认为，在量子力学中也如同在经典物理学中一样，只有电磁场的场强E和B才具有可观测的物理效应。

1959年，阿哈罗诺夫和玻姆从理论上指出，即使在电子的运动路径上不存在电场E和磁场B，但只要存在标势j 和矢势A，也会使电子波函数的相位发生变化，而这种相位变化可以通过电子波的干涉效应加以观测，这就是著名的A - B效应。A - B效应表明，j 和A是比E和B更为基本的物理量。

问题的关键是检验带电粒子在一个非零势的零场区域内，是否会表现出可观测的物理效应。当然，首先是要找到一个非零势的零场区域。我们知道，一个通电的密绕长螺绕管所产生的磁场集中在螺线管内，管外的B恒为零，但是在管外存在环形的矢势分布。如图22 - 8 ( b )所示，利用的积分形式

   

和斯托克斯公式

    ,

可得      .                                     (22. 66)

再利用长螺线管所产生的A和B的轴对称性，可得

    ,

    .

所以，通电密绕长螺线管外就是一个非零势的零场区域。同理，密绕螺绕环外也是一个非零势的零场区域。

图22 - 8 双缝干涉和A - B效应

如图22 - 8 ( a )所示，将一个小的通电密绕长螺线管放在紧靠双缝的后面，电子通过双缝并经过螺线管外的两侧。按照A - B效应理论，电子在观察屏上的双缝干涉图样应与没放螺线管时的情况不同；换言之，若矢势A是基本的物理量，它可以引起电子运动的可观测物理效应，则螺线管的存在将使管外的A ¹ 0，电子所经过的螺线管两侧的A的方向不同，会引起干涉图样的移动。

可以证明，通过两个缝的电子波函数的相位因子之差为

    .                  (22. 67)

因此，可以用控制磁通量大小的方法来改变相位差，从而实现干涉图样的平移。同时，阿哈罗诺夫和玻姆还预言了电场通量的A-B效应。

阿哈诺罗夫和玻姆的上述设想是一个非常巧妙的判据。从1960年起，人们不断地设计和改进实验，终于得到了肯定的结论。1982年，A.Tonomura等人制备了一个微小的环形磁铁代替长直螺线管，使一束电子经过磁环内部，观测到了由此造成的干涉条纹的平移。1986年，他们在环形磁铁的外面镀以超导薄膜，利用超导体的完全抗磁性完全排除了漏磁通的可能性；他们又在超导体外覆盖了一层铜，以阻止电子穿入环形管内，从而观测到了“纯的”A - B效应，A - B效应的存在得到了实验的证实，从而肯定了矢势A的基本意义。

电动力学是规范不变的，一切有物理意义的量和作用都应是规范不变的。在规范变换下，矢势A将改变，因此给定时空点上的A值本身是没有意义的。然而，A沿闭合回路的线积分却是规范变换下的不变量，可以具有物理意义，这就是该闭合回路所包围的磁通量。A - B效应只与磁通量有关，因而仍是规范不变的。它所表现出来的是，矢势A的空间分布或电磁场的空间分布对电子运动的影响，是电磁场和电磁作用的整体效应。这种整体效应只有通过电子的波动性才能表现出来，这表明A - B效应是典型的量子效应。实际上，A - B效应又是一种拓扑效应。

 

三  正常塞曼效应

一般情况下，原子中的电子可近似看成是在一个平均的有心力场中运动，其能级是简并的。1896年塞曼发现，如果把原子放在强磁场中，原子所发出的每条光谱线都分裂为三条，这就是所谓的正常塞曼效应。光谱线的分裂，反映了强磁场使原子的简并能级发生了分裂，即能级简并被部分或全部解除。

在原子大小的范围内，一般的磁场都可以看成是均匀磁场，记为B. 在

   

和         

这两个条件下，可选取满足这两个条件的矢势A为

    .                                                        (22. 68)

取磁场方向为z轴方向，则上式可表为：

    ,

    ,                                                             (22. 69)

    .                 

为简单起见，以下我们考虑碱金属原子，它们只有一个价电子在原子核及内层满壳层电子所产生的势场V( r )中运动，该势场称为屏蔽库仑场。这时，描述价电子运动的哈密顿量为

           

,          (22. 70)

式中      是角动量的z分量。在原子中，有

     m²；

即使对于实验室中目前所能达到的最大的磁感应强度，式(22. 70)中的B平方项也比一次项小得多，可略去。因此，式(22. 70)可以简化为

    .                                  (22. 71)

上式中右边最后一项可以写成

    ,                                         (22. 72)

即可以看成是电子的轨道磁矩与外磁场B(沿z方向)间的相互作用能。在一些半经典的唯象理论中，往往直接从这个结果出发分析问题。

在沿z轴方向的外加均匀磁场的作用下，尽管由于原子的球对称性被破坏，角动量L已不再是守恒量了，但是L²和L_z仍然是守恒量。因此，仍然可以选取为守恒量完全集，它们的共同本征函数和能量本征值分别为：

    ,                              (22. 73)

    ,                                            (22. 74)

          

其中是在力场中粒子运动的薛定谔方程的能量本征值。

在氢原子那样的纯库仑场问题中，能量本征值E_n只与主量子数n有关，简并度为n². 在碱金属原子这样的屏蔽库仑场中，价电子的能量本征值与径向量子数n_r和角量子数l都有关，记为或，简并度为. 一旦加上了外磁场，球对称性被破坏，能级简并被完全解除。由式(22. 74)可以看出，这时的能级与n_r, l, m都有关，原来的简并能级分裂成条，分裂后的相邻能级的间距均为

    ,                              (22. 75)

其中                                                                  (22. 76)

称为拉莫尔角频率。

图22 - 9 镉 谱线的塞曼效应

根据跃迁选择定则，由于上述等间隔的能级分裂，相应的每条光谱线都分裂为三条，它们的角频率分别为w 和w ± w_L. 在如图22-9所示的例子中，选择定则只允许跃迁发生在，而且或的能级之间。因此，尽管这里共有九个跃迁，但只有三种能量差值，所以原来的643. 847 nm谱线分裂成三条分支谱线，每条包含三种跃迁。

 

本章习题(共9题)：22-1，2，3，4，5，6，7，8，9。