哈密顿算符直接作用函数表示梯度, 点乘函数（矢量）表示散度，叉乘函数（矢量）表旋度,向量

矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。

散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变

【引用】梯度、散度和旋度的定义及公式表达作者： 李夏曦Summmmmer

梯度、散度和旋度的定义及公式表达

梯度是个向量

或表示为

散度是个标量

设有一个向量场

通量可写为

则散度

并有运算关系式

旋度是个向量

rotA或curlA

或可以写成

例如求F沿路径r做的功

矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。

散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式

梯度物理意义：最大方向导数（速度）

散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。

旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。

　
附：

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）

若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

                     欧 拉 定 理

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做

　　欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

　　（1）分式里的欧拉公式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　当r=0,1时式子的值为0

　　当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

　　（2）复变函数论里的欧拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0.

　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

　　（3）三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

　　

　　d＾2=R＾2-2Rr

　　（4）拓扑学里的欧拉公式：

　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

　　（5）初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以证明它。