为给这有牢固的实验基础的普朗克公式一个理
论说明，普朗克同瑞利一样用模分解，但不得不放弃
能量均分定理而引入一个崭新的能量量子（简称量
子）的概念，假设辐射能量在吸收或发射时是以不可
分割的整个能量量子进行! 量子的能量为该模的振
动频率乘以一个固定的常量，现称为普朗克常量
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年从辐射振子的能量，据普朗克假设，只能取整数个
量子出发，用玻尔兹曼因子作权重直接导出振子的
平均能量的量子公式，给普朗克公式添一个简单证
明! 他在"#"% 年对固体中振动模的分布作简单近似
（通称德拜近似）后，用这公式解释了固体的低温热
容行为，发展了低温热容的量子理论!
直到"#$’ 年爱因斯坦才将量子假设
用来解释光电效应! 根据能量守恒，爱因斯坦写下光
量子能量等于光电子动能加逸出功，便很好地解释
了勒纳在"#$% 年从实验得到的两条结论，即：（"）产
生光电子需要起码的频率，而更高频率的光使光电
子的动能增加；（%）光强对光电子的动能无影响，只
影响光电子的数目! "#$( 年，爱因斯坦又用振子的
平均能量的量子公式解释了金钢石、石墨、硼和硅的
室温摩尔热容比从经典理论的能量均分定理导出的
杜隆) 珀蒂（"*"#）定律所给者偏低，但随温度升高
有所改善的老问题! 这些工作解释了经典理论不能
解释的实验现象，使量子论为大家注意
量子理论的诞生和发展———从量子论到量子力学!
彭桓武
（中国科学院理论物理研究所北京!"""#"）
摘要简要叙述，从普朗克!$"" 年首次对电磁波提出量子假设到狄拉克!$%# 年对电子提出相对论性方程这段
时间内，量子理论特别是量子力学诞生和发展的演化过程& 内容分黑体辐射和量子假设；老量子论的兴与衰；第一条
通向量子力学的路———对应原理，包括矩阵力学，狄拉克的’ ( 数；第二条通向量子力学的路———波粒二象性，波动力
学；以及量子力学初步成长（指!$%) 年的表象理论、不确定关系、氦原子及氢分子和!$%# 年的狄拉克相对性电子理
论）五个部分&
关键词量子论，量子力学，矩阵力学，波动力学
对黑体辐射这个简单体系的精确而深入的研
究，不意却给物理学带来革新! 普朗克的量子假设突
破了经典理论中能量转移的连续进行方式，先是不
怎么引人注意，直到"#$’ 年爱因斯坦才将量子假设
用来解释光电效应! 根据能量守恒，爱因斯坦写下光
量子能量等于光电子动能加逸出功，便很好地解释
了勒纳在"#$% 年从实验得到的两条结论，即：（"）产
生光电子需要起码的频率，而更高频率的光使光电
子的动能增加；（%）光强对光电子的动能无影响，只
影响光电子的数目! "#$( 年，爱因斯坦又用振子的
平均能量的量子公式解释了金钢石、石墨、硼和硅的
室温摩尔热容比从经典理论的能量均分定理导出的
杜隆) 珀蒂（"*"#）定律所给者偏低，但随温度升高
有所改善的老问题! 这些工作解释了经典理论不能
! 黑体辐射和量子假设
量子概念和量子假设首先是在对黑体辐射的谱
分析的精细实验基础上作理论研究形成，由普朗克
于!$"" 年!% 月!O 日提出的& 黑体是这样一个物
体，它对于从各方向射来的各种频率的辐射都百分
之百地吸收& 这个理想物体可由壁周围皆处于同一
温度下的腔体内部来实现& !#K$ 年，基尔霍夫发现，
在壁周围皆处于同一温度下的腔体内部建立的热辐
射只与温度有关而与壁材料无关& 这称为腔辐射或
黑体辐射& !##O 年，玻尔兹曼根据光和辐射都是电
磁波，推出辐射压力为辐射能量密度的三分之一，再
利用热力学，推出辐射能量密度与绝对温度四次方
成正比的斯特藩( 玻尔兹曼定律，因为!#)$ 年斯特
藩已从实验上发现了这条定律& !#$P 年，维恩进一
步考虑一个收缩的球形腔，并利用运动界面反射电
磁波时的多普勒效应，推导出腔辐射的能量密度对
辐射频率的分布函数为频率的立方乘一个只依赖于
频率与温度之商的函数& 这结果包含了维恩位移定
律，也包含了斯特藩( 玻尔兹曼定律& 但他不能从理
论上定出这函数的具体形式，转而从事实验& 他与陆
末!#$K 年发明了在腔壁上开一小孔，这对腔内辐射
状态影响不大，但对不同频率的腔辐射强度可作定
量的测量& 根据实验结果，维恩于!#$N 年提出半经
验公式，将上述函数取为指数衰减型，称为维恩公
式&但这只能与实验的高频部分数据弥合得好，到
!#$$ 年，陆末和普林斯海姆的实验与维恩公式在稍
低一些的频率处偏差已很显著& !$"" 年，瑞利根据
辐射为电磁振动，将一立方腔电磁场作模分解后，利
用经典理论的能量均分定理，每个振动模具有玻尔
兹曼常数乘其绝对温度的平均能量，这样得到腔辐
P"卷（%""!年）K期· %NK ·
射的能量密度对辐射频率的理论分布函数，称为瑞
利公式! 瑞利公式与当时鲁本斯和库尔鲍姆的实验
在低频部分符合得很好，但在高频肯定不能用，因它
在对频率积分时发散! 普朗克得知这新实验结果验
证了瑞利公式在低频的正确，又早知维恩公式在高
频的与实验弥合很好，便赶紧做瑞利公式和维恩公
式的插值公式! 他分别从瑞利公式和维恩公式求出
其能量涨落，将二者相加作为插值公式的能量涨落，
这样求出插值公式，称为普朗克公式! 这插值公式在
低频和高频两极限情况下分别退化为瑞利公式和维
恩公式，在中间的频率处它与实验数据也符合得很
好!"#$$ 年"$ 月"# 日普朗克在德国物理学会上就
此作了报告!
为给这有牢固的实验基础的普朗克公式一个理
论说明，普朗克同瑞利一样用模分解，但不得不放弃
能量均分定理而引入一个崭新的能量量子（简称量
子）的概念，假设辐射能量在吸收或发射时是以不可
分割的整个能量量子进行! 量子的能量为该模的振
动频率乘以一个固定的常量，现称为普朗克常量! 采
用这个量子假设，普朗克便能根据统计热力学推导
出一个振动模（以后简称振子）的平均能量的量子公
式，这样恰好导出他前面凑出的普朗克公式! 普朗克
于"#$$ 年"% 月"& 日在德国物理学会上报告了这
个理论推导，以及从辐射实验定出的普朗克常量和
玻尔兹曼常量的具体数值! 这日便成为量子理论（一
般为含有普朗克常量的理论的通称）的生日!
% 老量子论的兴与衰
对黑体辐射这个简单体系的精确而深入的研
究，不意却给物理学带来革新! 普朗克的量子假设突
破了经典理论中能量转移的连续进行方式，先是不
怎么引人注意，直到"#$’ 年爱因斯坦才将量子假设
用来解释光电效应! 根据能量守恒，爱因斯坦写下光
量子能量等于光电子动能加逸出功，便很好地解释
了勒纳在"#$% 年从实验得到的两条结论，即：（"）产
生光电子需要起码的频率，而更高频率的光使光电
子的动能增加；（%）光强对光电子的动能无影响，只
影响光电子的数目! "#$( 年，爱因斯坦又用振子的
平均能量的量子公式解释了金钢石、石墨、硼和硅的
室温摩尔热容比从经典理论的能量均分定理导出的
杜隆) 珀蒂（"*"#）定律所给者偏低，但随温度升高
有所改善的老问题! 这些工作解释了经典理论不能
解释的实验现象，使量子论为大家注意! 德拜"#"$
年从辐射振子的能量，据普朗克假设，只能取整数个
量子出发，用玻尔兹曼因子作权重直接导出振子的
平均能量的量子公式，给普朗克公式添一个简单证
明! 他在"#"% 年对固体中振动模的分布作简单近似
（通称德拜近似）后，用这公式解释了固体的低温热
容行为，发展了低温热容的量子理论!
但量子论的更系统的运用和发展则是与分子和
原子光谱的实验紧密联系的! 光谱是复杂的，包含很
多条频率不同的谱线! 康维"#$( 年想象不同频率的
谱线是由大量不同原子或分子产生的，每次吸收或
发射只牵涉到某一条一定频率的谱线和一定状态的
原子或分子! 里兹"#$* 年整理谱线频率，发现其中
有如下的组合规则，即某些谱线的频率为另外两条
谱线频率之和，因而谱线频率皆可表示为两个光谱
项之差! 反过来看，并不是任意两个光谱项之差都是
谱线，有所谓选择规则需要满足! "#"% 年，+,-../0 将
量子概念用到氯化氢和溴化氢气体的红外吸收带
时，错误地将分子的转动模———简称转子———的能
量量子取为普朗克常量乘转动频率! 埃伦菲斯特于
"#"1 年对此作了改进，取转子的能量子为普朗克常
量乘转动频率的一半! 理由是转子只有动能，不像振
子还有位能! 他发现转子的量子化条件为角动量须
为普朗克常量除以圆周弧度的整数倍! 弗兰克和赫
兹于"#"1 年用电子撞击气体原子，发现能量转移是
依不同原子按一定的分立的数量间断地进行，表明
原子的确有分立的能级，但不是等间隔的! "#"1 年，
玻尔将量子概念用以解释氢原子光谱时，就是利用
卢瑟福根据其!粒子散射实验（"#""）而建立的核原
子模型，用经典力学处理电子绕原子核的圆周轨道，
加上角动量等于普朗克常量除以圆周弧度的整数倍
的量子化条件，这样定出氢原子的能级，计算结果与
氢原子光谱项符合一致! 原子从能量高的能级跃迁
到低的能级时，从能量守恒得知发射的光量子频率
为能级间能量差除以普朗克常量，这称为普朗克)
玻尔关系! 原子从低能级跃迁到高能级时吸收光量
子的频率也由普朗克) 玻尔关系决定! 量子理论用
能级间的跃迁解释光谱，能量转移以整个能量子进
行，与按经典电动力学预计的电子应连续地辐射能
量而缩小轨道半径的行为迥然不同! 玻尔关于氢原
子能级的工作，显示了量子理论的巨大威力，使原子
的稳定和光谱可以理解，成为后来称为老量子论的
典范!
"#"1 年，斯塔克发现外加电场时引起氢原子光
谱线的分裂，而外加磁场时引起原子光谱线的分裂
· %22 · 物理
早在!"#$ 年已被塞曼发现；能级分裂这样的小变动
可用微扰法处理，但这时玻尔的只考虑圆周轨道便
显得过于简单化%!#!&—!#!$ 年，索末菲与威耳逊独
立地对多自由度体系的量子化条件给出较为一般的
表达，即取每个正则坐标和正则动量的作用量积分
分别为普朗克常量的整数倍% 对一个可用分离变量
法处理的多自由度体系，上述表达从埃伦菲斯特的
寝渐不变量原理得到支持% 寝渐不变量是指那些在
非常缓慢的外界扰动下保持其值不变的量，所以是
适宜取作量子化的量% 比如一个单摆在往复摆动而
绳长非常缓慢地缩短时，容易用经典力学证明单摆
的振动总能除以频率是个寝渐不变量，而这正是普
朗克假设所选用的% 对周期运动而言，用经典力学可
以证明每个自由度的作用量积分都是一个寝渐不变
量% 埃伦菲斯特的关于角动量的量子化条件，如将等
式两侧均乘以圆周弧度后，即是转动的作用量积分，
所以也符合索末菲或威耳逊的一般表达% 索末菲就
是用这样的量子化条件认真地考虑了氢原子中电子
的三维运动，引入了三个量子数，包含了一些椭圆轨
道，得到的能级与玻尔所得的相同，但多数能级是由
量子数的不同组合而简并即能级重合在一起% 索末
菲甚至还考虑到电子的相对论性运动，这样使简并
有所分裂，所得的更细致的能级，说来也巧，与氢原
子光谱的精细结构符合得很好% 不久，史瓦西和依普
斯坦!#!$ 年在有外加电场的情况下，用类似的方法
引入三个量子数，得到能级在电场中分裂，解释了氢
原子的斯塔克效应%
尽管老量子论的这些发展对原子能级和光谱有
重大推进作用，但考虑到碱金属原子光谱的双重结
构，索末菲于!#’ 年发现需要引进第四个量子数，
以描述后来到!#’ 年乌伦贝克和古德斯密特才正
确理解是电子的一个新自由度，名为自旋，它具有半
个单位的角动量却具有一整个单位的磁矩，不能用
经典力学描述% 用四个量子数描述电子的运动，不仅
解释了碱金属原子光谱的双重结构和碱土金属原子
光谱的三重结构，还按角动量平方的一定修正规则，
解释了所谓反常塞曼效应（指原子光谱的双重或三
重结构在外加磁场较弱时引起的能级分裂）中从实
验数据总结出的朗德分裂因子% 并且，泡利!#’ 年
据此提出不相容原理，即原子内不可能有两个电子
具有完全相同的四个量子数，从而解释了元素周期
表的壳层电子结构% 这预示量子理论在化学方面的
光明前景，同时也指出老量子论的不足之处；量子理
论必须改革，才能继续发展%
) 第一条通向量子力学的路———对应原理
我们注意：先用经典力学求出普遍的运动状态，
后加量子化条件以抛弃其绝大部分而只选留少数满
足量子化条件的所谓量子态，将得到的公式通过一
定的修正后再与物理实际联系，是老量子论的特点%
具体与光谱线联系则是按如下的玻尔对应原理
（!#!"）进行% 玻尔注意到，当量子数大时按普朗克*
玻尔关系所给的跃迁频率与轨道的经典频率的倍频
相当；所以，他进一步假设，不受量子数大的限制，量
子态间跃迁所发射的光谱线的强度及其极化方向，
也与轨道的经典振幅的傅里叶展开中的倍频系数相
关% 克拉默斯（!#!#）与科塞尔和索末菲（!#!#）分别
就谱线强度与选择规则（即谱线强度为零或否）给这
对应原理许多验证% 利用玻尔对应原理，克拉默斯
（!#’）与克拉默斯和海森伯（!#’）将拉登堡（!#’）
的关于色散电子数的结果修正而给出表达原子的极
化率，即原子的感生电偶极矩与外辐射电场之比的
量子公式（克拉默斯* 海森伯色散公式）% !#’ 年，
玻恩给出了振动系统受微扰的普遍处理，包括上述
色散问题在内% 玻恩指出，对于任何物理量，经典的
与量子的量有普遍的对应关系，即经典力学中对作
用量的微商对应于量子理论中对作用量的差商，亦
即对量子数的差商再除以普朗克常量% 玻恩并第一
次用量子力学作此文标题，这是由于玻恩那时认为
严格表述玻尔对应原理即能导致量子力学% 果然，一
年内量子力学沿这条路以两个数学形式出现%
（!）矩阵力学% 先说矩阵力学这个形式% 首先提
出用方阵式的数学来表达物理量的人是’ 岁的海
森伯% 他’’岁在索末菲那儿拿到博士学位后，去哥
本哈根玻尔处，参与克拉默斯* 海森伯色散公式的
研究% 他不满先用经典力学而后加量子化条件的做
法，而信念物理学中只应引入可观测量，如光谱线的
频率和强度或振幅，振幅的平方给出其强度% 因为谱
线依赖于高低两个能级，海森伯直接引入振幅方阵，
含有频率乘时间的相因子% 海森伯考虑恢复力带有
振幅的平方项的非简谐振子，为使时间因子得以一
致，他建议对振幅方阵的平方用行乘列的乘法，但他
那时还不知道这是数学中矩阵的乘法规则% 他在度
假中开始了这个大胆尝试，将运动方程连同量子化
条件一道来求解% 量子化条件是用索末菲的作用积
分按玻恩的严格表述对应原理用振幅方阵写出% 他
得到一些初步结果，写成他一人署名的文章（!#’）%
)(卷（’(!年）&期· ’, ·
这时海森伯在玻恩教授系里工作! 他请玻恩看他的
文章并请假去剑桥被邀请作一个月演讲! 玻恩学过
矩阵的数学课，看出海森伯从里兹组合规则凑出的
乘法规则恰是矩阵的乘法规则! 玻恩考虑一维的保
守系，用正则坐标和动量与哈密顿正则运动方程，但
物理量皆用矩阵表示! 对保守系有能量守恒，因此哈
密顿量必须是对角矩阵! 玻恩知道，矩阵的乘法一般
是不满足交换律的! 从索末菲的作用积分的量子化
条件玻恩对应出正则动量与正则坐标的对易矩阵
（即颠倒秩序的两个乘积之差）的对角元均相等，为
虚数，并含有普朗克常量除以圆周弧度! 他先猜想这
对易矩阵的非对角元全为零! 他请助手约当参加合
作，约当几日内便从正则运动方程证明出这个对易
矩阵对时间的导数为零，所以是个对角矩阵，如玻恩
所猜想! 这样，矩阵力学有了自己的量子化条件，简
称为对易关系! 以玻恩和约当二人署名的这篇文章
给出简谐振子的矩阵力学处理和对电磁场的量子化
处理，再次证明了关于黑体辐射的普朗克公式! 在
"#$% 年"& 月底，玻恩应邀去’) 讲课之前，玻恩与
约当紧张合作，并于这时在哥本哈根的海森伯通讯，
完成了以玻恩、海森伯和约当三人署名的文章! 在这
篇文章中，对应经典力学中原则上可用正则变换求
解，给出矩阵力学中原则上可用相似变换求哈密顿
矩阵的对角化；发展了矩阵力学中逐步近似的微扰
理论，包括直接导出克拉默斯* 海森伯色散公式；把
对易关系推广到多个自由度! 这三篇文章奠定了矩
阵力学! 三人署名的第三篇，印出时间为"#$+ 年! 注
意，由于对易关系的出现，海森伯的矩阵不可能是有
限的行或列，这表明体系有无穷多个能级! 对无穷行
列的矩阵，乘法不一定满足结合律! 但如每行只有有
限个元不等于零时，则可证明结合律成立!
（$）狄拉克的, * 数! 海森伯"#$% 年夏在剑桥演
讲时，比他小一岁的研究生狄拉克在座! 狄拉克注意
到海森伯方阵的乘法不满足交换律，乃抽象地引入
乘法不满足交换律的数，他称为, * 数，以与满足乘
法交换律的他称为- * 数的数相区别! 在经典力学
中，运动方程和正则变量都可以用泊松符号形式表
达，所以他首先寻求两个, * 数的泊松符号该如何
表达! 从泊松符号的代数性质出发，他发现两个, *
数的泊松符号与其对易子（即颠倒秩序的两个乘积
之差）成正比，比例系数可从经典力学正则坐标和正
则动量的泊松符号的特殊值来定! 这样，对多个自由
度的体系，他得到相应的对易关系，结果与矩阵力学
的第三篇文章所得的一样，只是, * 数比矩阵更抽
象!从数学上讲，人们可以把海森伯、玻恩和约当的
矩阵看作是狄拉克的, * 数即非对易代数的一种实
现，或把后者看作前者的符号化，则这两种表达形式
便统一了! 运动方程用, * 数表达，其形式非常简
单：对时间的导数即正比于与哈密顿量的对易子! 这
对于正则坐标或正则动量或它们的任意组合都适
用，还可推广到任何非经典的自由度去! "#$+ 年，狄
拉克用, * 数与泡利用矩阵处理氢原子能级，差不
多同时都得到成功! 泡利还用矩阵处理了史塔克效
应!同年海森伯和约当用矩阵处理带自旋的电子的
塞曼效应，直接得到朗德的. * 因子公式，而狄拉克
用, * 数处理康普顿效应（参见下节），得到与实验
符合的反冲电子的角分布和散射的/ 射线! 狄拉克
还发展了含时间的微扰论，用到光谱跃迁，解决了自
发跃迁概率的计算，验证了爱因斯坦关于辐射跃迁
的比例系数间的关系式（也参见下节）!
0 第二条通向量子力学的路———波粒二
象性
爱因斯坦于"#"+—"#"1 年从分子与辐射间的
动平衡角度给普朗克公式一个新的证明! 这证明想
象丰富，富于启发! 考虑分子高低两个能级和其间的
相应跃迁频率的辐射! 爱因斯坦引入如下三种跃迁
机制：即自发辐射，吸收和诱发辐射，并假设在后两
种机制中，其单位时间的跃迁几率与辐射能量密度
对频率的分布函数成正比! 在热平衡时，注意处于两
能级的原子数分别与相应的玻尔兹曼因子成正比，
则从能量转移的细致平衡容易导出普朗克公式和上
述三种跃迁的比例系数间两个关系式（这关系式在
量子力学建立后都得到特别是狄拉克的理论验证）!
根据狭义相对论，爱因斯坦还想象辐射量子不仅具
有能量，而且具有单方向的动量，分子在吸收或发射
辐射时，虽然总动量守恒，但辐射与分子间有动量转
移! 根据上述三种跃迁，利用他在布朗运动中处理随
机过程和在电磁理论中运用参考系变换的优势，他
计算了（只需准确到分子速度的一次方）包括上述三
种跃迁的总平均阻力使分子速度的涨落减少的效应
和由于上述三种跃迁都是随机过程而使分子速度的
涨落增加的效应，在分子的玻尔兹曼分布与辐射的
普朗克分布间的热平衡时，它们恰好抵消，而维持分
子速度的麦克斯韦分布不变!
这个具有能量和单方向动量的量子的想象，后
来被康普顿引用来解释/ 射线散射实验中的康普
· $+2 · 物理
顿效应，并赐名为光子! 康普顿效应指"#$$ 年康普
顿所发现的随散射角增大而散射的% 射线的波长
也稍有增大的现象，康普顿便是用具有能量和单方
向动量的光子，与散射体中的自由电子间的弹性碰
撞（满足能量守恒与动量守恒）来解释的! 玻色"#$&
年认为辐射是全同的光子的集合，又一次从统计热
力学推导出普朗克公式，这工作直接启发了玻色’爱因斯坦统计! 后来，更直观的实验，博特和盖革
（"#$&—"#$(）或康普顿和西蒙（"#$(）用符合计数或
用云雾室显示反冲电子和散射的% 射线，确凿地证
实了电磁波’光子的这种量子的波粒二象性!
理论上受电磁波’光子的波粒二象性的启发，
德布罗意于"#$)—"#$& 年反向思维而推广到包括
电子在内的任何粒子，都设想具有与其能量和动量
相应的波的性质，称为德布罗意波! 粒子的速度为德
布罗意波的群速，德布罗意波的相速与群速的乘积
为光速的平方，光子的德布罗意波即是电磁波! 他注
意到几何光学中的费马原理与动力学中的最小作用
原理相似之处，他指出玻尔对氢原子中电子圆周轨
道的量子化条件可以理解为轨道周长须为电子的德
布罗意波长的整数倍! 但到"#$* 年，他仍只停留在
相对论性的自由粒子的情况下，写出克莱因’戈尔
登方程! 实验证实电子的德布罗意波则是"#$* 年薛
定谔发现波动力学以后的事，即戴维孙和革末
（"#$+）与,! -! 汤姆孙（"#$+）分别独立做的电子衍
射实验!
"#$* 年波动力学的发现，即是沿波粒二象性的
另一端达到的! 据说德拜在例行的讨论会上建议薛
定谔去弄清楚德布罗意的一系列文章，作个报告，特
别提到是波就要满足波动方程! 薛定谔先也得到和
德布罗意一样的相对论性波动方程，觉得与玻尔的
氢原子能级不相符后，却进一步作非相对论近似，写
出了薛定谔方程! 薛定谔认为电子本质是波，应该用
波动力学描述电子的运动；经典力学应为波动力学
的近似，有如几何光学是波动光学的近似一样，而量
子效应即相当于干涉效应! 怀着这种信念，对自由电
子的德布罗意波，按波动光学惯例用相位的指数函
数表示其波函数时，容易发现电子的动量和非相对
性能量，可用对空间和时间坐标的偏微分算符乘以
普朗克常量除以圆周弧度和适当虚数表示，即用微
分算符作用到德布罗意波函数时，将得到相应的物
理量的值乘上该波函数! 据此薛定谔推广到由普遍
的哈密顿量描述的情况，维持微分算符表达形式不
变；因为这样，如果这时忽略普朗克常量，波函数的
相位便满足熟知的哈密顿’雅可比方程，达到经典
力学近似! 对于像氢原子中电子的三维运动保守系，
哈密顿量不显含时间而有能量守恒! 薛定谔方程简
化为定态的波动方程，不含时间变量而出现能量参
量! 定态的波动方程是个齐次方程，由于物理原因波
函数必须满足一些条件，如处处单值有限，和（特别
对于束缚态而言）波函数在无穷远趋于零等! 要求定
态的波动方程有不恒等于零的满足上述物理条件的
解，这样就定出能量参量的本征值! 对于电子的三维
运动，由于出现拉普拉斯动能算符，用分离变数法将
偏微分方程化为常微分方程时要引入分离常数，这
些常数也由波函数满足的条件定出其本征值! 一连
四篇文章，薛定谔以本征值量子化为题，处理了氢原
子能级问题，得到与玻尔和索末菲相同的结果，也发
展了微扰理论处理史塔克效应，和含时间的微扰理
论得到克拉默斯’海森伯色散公式!
在另外一篇文章中，薛定谔出乎他初始意料之
外地证明了波动力学与矩阵力学在数学上的等价!
在波动力学中，正则动量是用微分算符表示的，正则
坐标则用乘法算符表示，其间恰好满足矩阵力学的
对易关系! 薛定谔指出并证明，某物理量的海森伯矩
阵是相应算符夹在两个带能量相位因子定态波函数
间的积分，算符左边的波函数连同相位因子须取复
数共轭，而哈密顿算符的相应积分即是海森伯能量
对角矩阵! 反过来，创建矩阵力学的玻恩给波函数以
概率解释! 当玻恩去美国讲学时，遇到数学家.!
/01213，便与之合作探讨能量的连续谱情况，意欲处
理非周期性运动! 他们不像狄拉克敢创造不正规函
数，感到用矩阵有困难，需要用算符，但没想到像薛
定谔的微分算符那么简单! 在波动力学问世后，玻恩
当即采用波动力学以处理碰撞问题，如用!粒子轰
击原子核的卢瑟福散射实验! 从薛定谔方程容易导
出一个密度和流密度间的连续方程，玻恩解释为概
率守恒! 薛定谔波函数的绝对值平方为粒子那时在
该处出现的概率，或相对概率，如果波函数没有规一
化的话! 对能量为连续谱中某值的定态方程，玻恩利
用他对电磁光学的优势，取波函数为入射波与散射
波函数之和这样的解! 在两篇文章中玻恩发展了碰
撞理论和计算微分散射截面的近似方法，现称为玻
恩近似!/12451（6 "#$*）用玻恩近似公式计算了屏蔽
库仑场的散射，结果与经典理论公式一样，与卢瑟福
实验一致，支持了玻恩的统计解释! 后来狄拉克用他
擅长的数学表达方式也给出在动量表象中的玻恩近
似公式!
)7卷（$77"年）(期· $*# ·
! 量子力学初步成长
量子力学在"#$!—"#$% 年先后以不同数学表
达形式诞生，已如上述& 都与光谱实验比较，彼此结
果一致& 下面简略介绍"#$’—"#$( 年间几项能标志
量子力学成长为自成系统的工作以作补充&
（"）表象理论& "#$’年，约当和狄拉克分别达到
关于表象理论的更深刻的认识，用狄拉克的讲法是，
可取一全套互相对易的动力学变量同时对角化，用
它们的本征值作表象的行列标志，不同表象间满足
一定的变换关系& 以氢原子为例，矩阵力学常取能
量、角动量矢量平方和某外加磁场方向的角动量分
量为三个互相对易的动力学量同时对角化，而波动
力学则常取三个互相对易的直角坐标同时对角化&
薛定谔波函数就其整体而言，便构成这两个表象间
的变换的整体& 当然也可不用坐标而改用动量的三
个互相对易的分量，这叫动量表象& 这样，不管是矩
阵、) * 数、算符，都统一为线性算符，描写动力学变
量；不管是被矩阵或) * 数向右乘的列矢、还是被微
分算符向右作用的波函数，都描写动力系的运动状
态，可以统一叫态函数& 矩阵力学和波动力学都是量
子力学，只是表象不同罢了&
（$）不确定度关系（亦译为测不准关系）& 海森伯
"#$’年从坐标和动量的对易关系推导出不确定度
关系，表明量子力学中粒子的位置和速度两概念不
能同时严格描述，位置的不确定度与动量的不确定
度的乘积与普朗克常量有关，有个最低的下限，并考
虑了许多实际的和想象的实验情况，如!显微镜，都
不能超脱这个限制& 这从根上铲除了按经典理论理
解的原子内的电子轨道&
（+）氦原子与氢分子& 老量子论的更明显的破
产，则是在量子力学处理两电子问题时，如氦原子和
氢分子& 电子是全同粒子，总哈密顿量算符对交换任
意两个电子的全套坐标（全套包括+ 个空间和" 个
自旋坐标）时不变& 因此可以引入一个交换算符与哈
密顿量算符互易，所以交换算符是守恒量，它的本征
值对电子是* "& 这是泡利不相容原理的普遍表述&
两个角动量为",$ 的自旋组合出总自旋为- 的单重
态和总自旋为" 的三重态，前者对两个电子自旋交
换反对称，所以对两个电子空间坐标交换是对称的，
而后者恰恰相反& 这就解释了氦原子光谱分为两个
分离的谱系，考虑到泡利原理的能级计算与光谱项
符合（海森伯"#$%，./0123 "#$’，和452267880 "#$( 年
起发表一系列文章，详见泡令和威耳逊合著的量子
力学）& 同样，"#$’年，海特勒和9& 伦敦对氢分子的
近似计算表明总自旋为- 的单重态使两原子吸引形
成共价键，计算的键长和键能与实验值大致符合，而
总自旋为" 的三重态则使两原子排斥& 9& 伦敦"#$(
年在这基础上考虑两个共价键间的化学反应，描述
位能曲面，估计反应轨道和活化能的大小& 这是量子
力学应用到化学的开端"）&
"）量子力学在生物学方面的应用则开端于薛定谔关于生物遗传的持
久性来源于基因是非周期性晶体的猜测（"#:+ 年夏演讲，"#:: 年
出书）& 非周期性中存在大量信息，而晶体的量子能级间较大的能
量差，使信息好保存，免为热运动破坏，这样来解释遗传与突变& 对
生物大分子的; 射线衍射成功后，这猜测为分子生物学具体化
（:）相对论性狄拉克方程& 我们注意薛定谔方程
是线性的，方程的不同解叠加后仍是方程的解，方程
中包含对时间的微分算符只到一次，且可推出概率
守恒的连续方程& 这几点都似乎是波动力学的核心&
狄拉克特别注意保留这些特点而按狭义相对论的要
求改造之，于"#$( 年提出狄拉克方程，计算出氢原
子的精细结构与光谱实验符合得很好& 在狄拉克方
程中出现两个二值的自由度，一个代表具有半个角
动量却有一整个磁矩的自旋，另外一个二值的自由
度则代表是粒子还是反粒子（电子的反粒子叫正电
子，"#+$ 年安德森实验上予以证实）& 如果将狄拉克
方程用分量明显写出为联立的微分方程式组，可以
与电磁场分量的麦克斯韦方程组媲美& 虽然分量有
实数或复数的差异，在洛伦兹变换时有不同的变换
规律，我们还是可以将电子及正电子看为狄拉克场
的量子，如同光子是麦克斯韦场的量子一样，只是因
为自旋是半整数而非整数，场分量间需满足反对易
关系而非对易关系& 无论波场（麦克斯韦场或狄拉克
场）和粒子（光子或正负电子）都具有波粒二象性，都
是量子的&
后记此文中有些内容系根据玻恩在爱丁堡应
<=>??8@67 要求而讲的量子力学课和作者在都柏林与
薛定谔夫妇及海特勒的谈话&
参考文献
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"##(
· $’ · 物理
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