宏观仪器参与的观测过程中，概率幅的模方等于宏观的概率 系综相当于把等待足够长时间，宏观系统经历过的微观态在同一时间陈列出来，这样就回避了跟踪系统微观态随时间演化这一无法解决的难题

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系综相当于把等待足够长时间，宏观系统经历过的微观态在同一时间陈列出来，这样就回避了跟踪系统微观态随时间演化这一无法解决的难题

系  综  小  结

王姝英   20011859

一、系综和系综平均

系综是大量系统的集合，系综中的每个系统和被研究系统具有完全相同的结构，受到完全相同的宏观约束，但可能处于不同的微观态。简言之，系综是大量被研究系统复制品的集合。

这里，还要提到一个假说——各态历经假说，只要等待足够长的时间，宏观系统必将多次经历和宏观约束相适应的所有可达微观态。

以这个假说为基础，自然能够想到：系综相当于把等待足够长时间，宏观系统经历过的微观态在同一时间陈列出来，这样就回避了跟踪系统微观态随时间演化这一无法解决的难题，这也是引入系统的理由。同时，也可以得到系综理论的一个基本观点：宏观量是微观量的时间平均，并等价于微观量的系综平均。有了这一观点，就给统计物理及一些实际系统的研究带来方便。可定义如下：

这表明，只要知道系统处于每一微观态的概率，就可以计算宏观量，由此可见，概率对系综理论是非常重要的。

这里，还有几点要强调：

系综是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体，实际客体是组成系综的单元——系统。

系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

各态历经假说是未得到严格证明的假说。

处于平衡态的宏观系统，宏观量不随时间改变，相应的系综概率必不依赖时间。

系综概率和组成系综的系统所受的外界约束有关。

考虑到外界约束对系综概率的影响可分为多种系综和分布。通常考虑三种最重要的宏观约束：孤立系（E,  N,  V）给定，封闭恒温系（T,  N ,  x ）给定和开放系（T,  ,  V ）给定。它们分别对应一定的系综，下面就对此作概括。

二、三类系综

微正则系统对应于孤立系，有大量处于平衡态的孤立系统组成的系综，其平衡态由（E,  N,  V）描述。配分函数为，即系统可达微观态数。特性函数为熵。

系综密度函数，即微正则分布：

经典表达式为：

量子表达式为：

微正则分布是先验等概率假设得来的，先验等概率假设表述为：平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等。

这样，也可以说，微正则系综的密度函数是作为一个基本假设提出的，而正则系综和巨正则系综的密度函数是由这个假设推导出来的。

正则系统是由大量处于平衡态的封闭恒温系统，其平衡态由（T，N，x）描述，x表示外参量，如V或H。

对微观态求和的配分函数：     

Z=

系统处于微观态的概率：  

 

对能级求和的配分函数则：    

Z=

能级非简并情况下，一个能级对应一个微观态，所以为1，对能级求和、对微观态求和的形式可写成一样。能量有简并情况下，简并的微观态有相同的能量，所以，对能级求和的配分函数和对微观态求和的配分函数形式不同，要乘上相应能级的简并度。

系统处于能量的概率为：  

正则系统的特性函数为自由能：  

配分函数与热力学量的关系是：   

巨正则系统是由大量处于平衡态的开放系统组成的系统，其平衡态由（T,,V）描述。

配分函数为

巨正则分布为：    

,

特性函数为巨热力学势：   

统计热力学公式推导如下：

在这三类系综里，配分函数起了重要作用。通过求配分函数，可以求出其他热力学量，以及概率分布。因为（玻尔兹曼因子）是系统处于能量为的微观态的相对概率的量度，它反映了概率的分布，得Z是常数。可从概率定义式看出，微观态的玻尔兹曼因子决定了的大小。而配分函数是所有微观态的玻尔兹曼因子的和，而系综理论的关键是概率，所以配分函数的作用就突现出来了。

这里有必要提到配分函数的一个重要性质。这个性质在解决许多实际问题时带来很大方便。由于系统a和b组成的复合恒温系统（a+b），用和、和分别表示两个子系统的微观态和能量。A、b相互作用十分微弱，有、，则有   。    

对此性质加以扩展，满足能量能相加，微观态能相乘此两条件的系统，配分函数可写为各部分配分函数相加，对于可识别，近独立粒子系统有。

三、三种系综的等价

三种系综等价的含义是：虽然组成三种系综的系统所处的宏观条件有原则上的区别，但在热力学极限下用三种系综计算同一宏观系统（临界点除外）的热力学量时，却会得到相同的结果。换句话说，可以不管系统所处的实际环境，采用任何一种系综来计算。

从物理上分析：对，正则系统能量相对涨落很小可忽略，完全可以作为具有<E>值的孤立系统。当等温系数有限时，巨正则系统的粒子数相对涨落完全可忽略。

从数学角度来说，Z（T，V，N）是（E，V，N）的拉普拉斯变换。因为这种变换是唯一的，所以，这两者包含完全相同的信息，即正则系综和微正则系综等价。

    由于三种系综等价，所以可以根据问题的具体情况用合适的系综来计算，这样可以简化计算过程。


就现在来看，量子力学应该是完备的。问题不是出在量子力学上，而是出在不清不楚的哥本哈根诠释上。实际上按照现代观点，“测不准”并不是因为所谓的内禀不确定性，而是因为宏观概念在微观体系中不能完全适用。当我们用波函数、算符等等微观系统的自然概念去描述量子体系时，量子体系展现出完全的可预测性。但当我们用宏观仪器去测量微观物理量的数值时，宏观概念对微观体系的不适应性就以波函数塌缩的方式体现在测量结果中。

这就像用尺子去测量一滩水银的长度，只要你愿意便总能量出一个数来，但这个数大概是难以“确定”下来的。把这种不确定性当成“上帝掷骰子”，似乎并不恰当。

在现代观点下，尽管微观理论的宏观意义依旧需要诠释，但量子测量并不会以神秘地方式激发不可控制的“坍缩过程”，自然也不存在无法理解的内禀不确定性。当仪器作为大系统与微观体系耦合时，微观体系的信息会自发地逸散进宏观仪器巨大的自由度之中，而这既造成了表面上波函数的坍缩，也破坏了波函数所包含的状态信息。这就是所谓的退相干(decoherence)。但如果我们把仪器和微观体系合在一起，当成一整个系统来看，那么量子力学将能够完全确定地预测这一整体系统的所有演化信息——当然，并不是以我们能够理解的“宏观”的概念。


李巨格，孤云独去闲

量子力学实在是很难科普的一个科目，因为它和日常生活中概念的差别是很大的。

简单说：量子力学和经典力学的根本区别在于，前者认为一个事件发生的可能性，不能用作为实数的概率来描述，而应以作为复数的概率幅来描述。互斥事件概率幅有可加性，对应于经典力学中概率的可加性。那么概率幅究竟是什么呢？在宏观仪器参与的观测过程中，概率幅的模方等于宏观的概率。由于量子力学适用于微观体系，因此这一概率幅到概率的过渡实际上是微观到宏观的过渡。