微正则分布是先验等概率假设得来的，先验等概率假设表述为：平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等

三种系综等价的含义是：虽然组成三种系综的系统所处的宏观条件有原则上的区别，但在热力学极限下用三种系综计算同一宏观系统（临界点除外）的热力学量时，却会得到相同的结果

系  综  小  结

王姝英   20011859

一、系综和系综平均

系综是大量系统的集合，系综中的每个系统和被研究系统具有完全相同的结构，受到完全相同的宏观约束，但可能处于不同的微观态。简言之，系综是大量被研究系统复制品的集合。

这里，还要提到一个假说——各态历经假说，只要等待足够长的时间，宏观系统必将多次经历和宏观约束相适应的所有可达微观态。

以这个假说为基础，自然能够想到：系综相当于把等待足够长时间，宏观系统经历过的微观态在同一时间陈列出来，这样就回避了跟踪系统微观态随时间演化这一无法解决的难题，这也是引入系统的理由。同时，也可以得到系综理论的一个基本观点：宏观量是微观量的时间平均，并等价于微观量的系综平均。有了这一观点，就给统计物理及一些实际系统的研究带来方便。可定义如下：

这表明，只要知道系统处于每一微观态的概率，就可以计算宏观量，由此可见，概率对系综理论是非常重要的。

这里，还有几点要强调：

系综是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体，实际客体是组成系综的单元——系统。

系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

各态历经假说是未得到严格证明的假说。

处于平衡态的宏观系统，宏观量不随时间改变，相应的系综概率必不依赖时间。

系综概率和组成系综的系统所受的外界约束有关。

考虑到外界约束对系综概率的影响可分为多种系综和分布。通常考虑三种最重要的宏观约束：孤立系（E,  N,  V）给定，封闭恒温系（T,  N ,  x ）给定和开放系（T,  ,  V ）给定。它们分别对应一定的系综，下面就对此作概括。

二、三类系综

微正则系统对应于孤立系，有大量处于平衡态的孤立系统组成的系综，其平衡态由（E,  N,  V）描述。配分函数为，即系统可达微观态数。特性函数为熵。

系综密度函数，即微正则分布：

经典表达式为：

量子表达式为：

微正则分布是先验等概率假设得来的，先验等概率假设表述为：平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等。

这样，也可以说，微正则系综的密度函数是作为一个基本假设提出的，而正则系综和巨正则系综的密度函数是由这个假设推导出来的。

正则系统是由大量处于平衡态的封闭恒温系统，其平衡态由（T，N，x）描述，x表示外参量，如V或H。

对微观态求和的配分函数：     

Z=

系统处于微观态的概率：  

 

对能级求和的配分函数则：    

Z=

能级非简并情况下，一个能级对应一个微观态，所以为1，对能级求和、对微观态求和的形式可写成一样。能量有简并情况下，简并的微观态有相同的能量，所以，对能级求和的配分函数和对微观态求和的配分函数形式不同，要乘上相应能级的简并度。

系统处于能量的概率为：  

正则系统的特性函数为自由能：  

配分函数与热力学量的关系是：   

巨正则系统是由大量处于平衡态的开放系统组成的系统，其平衡态由（T,,V）描述。

配分函数为

巨正则分布为：    

,

特性函数为巨热力学势：   

统计热力学公式推导如下：

在这三类系综里，配分函数起了重要作用。通过求配分函数，可以求出其他热力学量，以及概率分布。因为（玻尔兹曼因子）是系统处于能量为的微观态的相对概率的量度，它反映了概率的分布，得Z是常数。可从概率定义式看出，微观态的玻尔兹曼因子决定了的大小。而配分函数是所有微观态的玻尔兹曼因子的和，而系综理论的关键是概率，所以配分函数的作用就突现出来了。

这里有必要提到配分函数的一个重要性质。这个性质在解决许多实际问题时带来很大方便。由于系统a和b组成的复合恒温系统（a+b），用和、和分别表示两个子系统的微观态和能量。A、b相互作用十分微弱，有、，则有   。    

对此性质加以扩展，满足能量能相加，微观态能相乘此两条件的系统，配分函数可写为各部分配分函数相加，对于可识别，近独立粒子系统有。

三、三种系综的等价

三种系综等价的含义是：虽然组成三种系综的系统所处的宏观条件有原则上的区别，但在热力学极限下用三种系综计算同一宏观系统（临界点除外）的热力学量时，却会得到相同的结果。换句话说，可以不管系统所处的实际环境，采用任何一种系综来计算。

从物理上分析：对，正则系统能量相对涨落很小可忽略，完全可以作为具有<E>值的孤立系统。当等温系数有限时，巨正则系统的粒子数相对涨落完全可忽略。

从数学角度来说，Z（T，V，N）是（E，V，N）的拉普拉斯变换。因为这种变换是唯一的，所以，这两者包含完全相同的信息，即正则系综和微正则系综等价。

    由于三种系综等价，所以可以根据问题的具体情况用合适的系综来计算，这样可以简化计算过程。