phymath999: li01 将N，V取无穷，N/V保持有限的极限被称为“热力学极限”(thermodynamic limit)，在这种极限下我们忽略了所有热力学涨落（热力学涨落正比于1/\sqrt{N}）。

Sunday, May 11, 2014

li01 将N，V取无穷，N/V保持有限的极限被称为“热力学极限”(thermodynamic limit)，在这种极限下我们忽略了所有热力学涨落（热力学涨落正比于1/\sqrt{N}）。

Resonantly forced oscillatory reaction-diffusion systems.

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为一阶在热力学极限相变的证据进行了讨论。，在4:1 FCGL方程，“心脏起搏器动荡”进行了研究。在这种状态有圆形战线扩大许多来源，新源方面的碰撞时形成。另一个 ...

李巨格，强关联与非平衡态物理 收起

1.将N，V取无穷，N/V保持有限的极限被称为“热力学极限”(thermodynamic limit)，在这种极限下我们忽略了所有热力学涨落（热力学涨落正比于 $1/\sqrt{N}$ ）。

2.对一维Ising模型来说，我们常常让链首尾相接，因此不存在“边界”的概念，没有边界态。另一方面，我们在研究Ising模型时本就比较关注“体积内”的物理。当然，如果我们给体系加上适当的BCS相互作用，那么一个有限的Ising链可能产生非平庸的边界态（Majorana费米子），这就是所谓的Kitaev模型，但这是另一个故事了。总之，取无限长链( $N\to\infty$ )和热力学极限在Ising模型中是完全恰当的。

3.利用传递矩阵(transfer matrix)方法，一维Ising模型的配分函数可以写为 $Z=\lambda_+^N+\lambda_-^N$ ，当我们取 $N\to\infty$ 的极限时，两个本征值中 $\lambda_+>\lambda_-\Longrightarrow\lambda_+^N\gg\lambda_-^N$ ,因此后一项可以忽略。这就像 $1.1>1.02$ ,两者差距不大，但 $1.1^{1000}\sim{10^{41}}\gg {10^5}\sim{1.02^{1000}}$ ，第一个数字接近于阿伏伽德罗常数的平方，第二个数字还不够在北上广买套房。

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评论中 @曾博提到涨落随自由度增大而减小的证明。对一般情况的严格证明，我不知道有没有，即便有，也应该需要一定的数学条件。但粗略地说，下面的论证可以多少体现其物理意义，

假设物理量 $z$ 具有可加性，即在N个粒子组成的系统中 $z=\sum_{i=1}^N z_i$ 可以写为每个粒子 $z$ 的和。如果对每一个粒子， $z_i$ 的期望 $E[z_i]=z_0$ ，方差 $E[(z_i-z_0)^2]=\sigma_{z_0}^2$ ，

容易知道 $E[z]=Nz_0$ 。与此同时，方差

$\sigma_z^2=E[(z-E(z))^2]=\sum_{i,j}E[(z_i-z_0)(z_j-z_0)]=N\sigma_{z_0}^2+\sum_{i\ne {j}}E[(z_i-z_0)(z_j-z_0)]$

最右边的第二项体现了粒子间的关联，在许多情况下最终为0或很小（如理想气体中各粒子运动相互独立，每一项关联都是0），因此我们得到了
$\sigma_z=\sqrt{N}\sigma_{z_0}$

上面的推导肯定是不完备的，但基本是物理的，没有对分布有特别的假设，也没有复杂的数学考虑。了解概率论的同学应该能看出来，这个推导其实与中心极限定理十分相关，也类似于布朗运动的随机行走模型。

系综小结

王姝英 20011859

一、系综和系综平均

系综是大量系统的集合，系综中的每个系统和被研究系统具有完全相同的结构，受到完全相同的宏观约束，但可能处于不同的微观态。简言之，系综是大量被研究系统复制品的集合。

这里，还要提到一个假说——各态历经假说，只要等待足够长的时间，宏观系统必将多次经历和宏观约束相适应的所有可达微观态。

以这个假说为基础，自然能够想到：系综相当于把等待足够长时间，宏观系统经历过的微观态在同一时间陈列出来，这样就回避了跟踪系统微观态随时间演化这一无法解决的难题，这也是引入系统的理由。同时，也可以得到系综理论的一个基本观点：宏观量是微观量的时间平均，并等价于微观量的系综平均。有了这一观点，就给统计物理及一些实际系统的研究带来方便。可定义如下：

这表明，只要知道系统处于每一微观态的概率，就可以计算宏观量，由此可见，概率对系综理论是非常重要的。

这里，还有几点要强调：

系综是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体，实际客体是组成系综的单元——系统。

系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

各态历经假说是未得到严格证明的假说。

处于平衡态的宏观系统，宏观量不随时间改变，相应的系综概率必不依赖时间。

系综概率和组成系综的系统所受的外界约束有关。

考虑到外界约束对系综概率的影响可分为多种系综和分布。通常考虑三种最重要的宏观约束：孤立系（E, N, V）给定，封闭恒温系（T, N , x ）给定和开放系（T, , V ）给定。它们分别对应一定的系综，下面就对此作概括。

二、三类系综

微正则系统对应于孤立系，有大量处于平衡态的孤立系统组成的系综，其平衡态由（E, N, V）描述。配分函数为，即系统可达微观态数。特性函数为熵。

系综密度函数，即微正则分布：

经典表达式为：

量子表达式为：

微正则分布是先验等概率假设得来的，先验等概率假设表述为：平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等。

这样，也可以说，微正则系综的密度函数是作为一个基本假设提出的，而正则系综和巨正则系综的密度函数是由这个假设推导出来的。

正则系统是由大量处于平衡态的封闭恒温系统，其平衡态由（T，N，x）描述，x表示外参量，如V或H。

对微观态求和的配分函数：

系统处于微观态的概率：

对能级求和的配分函数则：

能级非简并情况下，一个能级对应一个微观态，所以为1，对能级求和、对微观态求和的形式可写成一样。能量有简并情况下，简并的微观态有相同的能量，所以，对能级求和的配分函数和对微观态求和的配分函数形式不同，要乘上相应能级的简并度。

系统处于能量的概率为：

正则系统的特性函数为自由能：

配分函数与热力学量的关系是：

巨正则系统是由大量处于平衡态的开放系统组成的系统，其平衡态由（T,,V）描述。

配分函数为

巨正则分布为：

特性函数为巨热力学势：

统计热力学公式推导如下：

在这三类系综里，配分函数起了重要作用。通过求配分函数，可以求出其他热力学量，以及概率分布。因为（玻尔兹曼因子）是系统处于能量为的微观态的相对概率的量度，它反映了概率的分布，得Z是常数。可从概率定义式看出，微观态的玻尔兹曼因子决定了的大小。而配分函数是所有微观态的玻尔兹曼因子的和，而系综理论的关键是概率，所以配分函数的作用就突现出来了。