引力系统的正则系综有可能存在多于一个的稳定相,

引用格式: 卢建新. 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变. 中国科学: 物理学力学天文学, 2012, 42: 1099–1111

Lu J X. The Thermodynamical Phase Structure of black branes in String/M Theory (in Chinese). Sci Sin- Phys Mech Astron, 2012, 42: 1099–1111, doi:

10.1360/132012-610

中国科学技术大学物理学院专刊 评述

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期: 1099 – 1111

SCIENTIA SINICA Physica, Mechanica & Astronomica phys.scichina.com

弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

卢建新

中国科学技术大学交叉学科理论研究中心，合肥230026

* 联系人, E-mail: jxlu@ustc.edu.cn

收稿日期: 2012-07-05; 接受日期: 2012-08-31

国家自然科学基金(批准号: 10975129) 资助项目

摘要宏观引力系统, 比如黑洞, 与非引力系统在热力学方面很不一样, 其态函数熵与温度本质上是量子的,

没有经典对应, 因此对应的热力学在一定意义上来说本质上也是量子的, 这为探讨量子引力提供了一个重要

窗口. 本文综述讨论作者及其合作者近期一系列有关黑洞的高维推广黑膜(超弦/M- 理论中的基本动力学客

体) 的热力学相、相变及相关的临界现象的工作, 希望为建立M- 理论的完整理论框架提供重要的非微扰信息.

关键词关键词, 量子引力, 超弦/M- 理论, 热力学相, 相变

PACS: 11.25.-w, 11.27.+d, 04.50.Gh

doi: 10.1360/132012-610

1 引言

无论是认识和理解黑洞奇点、宇宙学奇点, 为

宇宙学暴涨模型提供理论基础, 还是去认识超标准

模型的新物理、Planck 尺度上的物理行为, 特别是认

识近期发现的占宇宙中物质组分约73% 的暗能量本

质, 都需要一个包括引力在内的基本量子引力理论.

超弦/M- 理论, 尽管还有很多不完善之处, 目前仍是

量子引力和统一四种相互作用的最理想的候选理论.

弦理论经历了两次革命, 其中第二次革命主要是基

于该理论的一些非微扰态(称为BPS 态) 及其相应性

质的[1􀀀5]. 二次革命的重要发现是原有的五种微扰

弦理论并不基本, 存在一个更大的M- 理论, 它不仅

包括五种弦作为其不同的极限理论, 同时也包括十

一维超引力作为其低能极限, 从而解决了人们有关

十维弦理论和十一维超引力之间不相容的长期困惑.

弦二次革命还取得了一些巨大成功, 如首次为一些黑

洞熵提供了微观解释, 预言了M- 理论的存在性, 以

及一些对偶关系(特别是AdS/CFT 对应), 具体实现

了引力系统的全息性质[6]. 这一对应或其变种对很

多强相互作用系统如夸克- 胶子等离子体、强子物

理、凝聚态物理中的量子相变、冷原子系统, 以及流

体力学等具有广泛应用[5], 一方面为研究这些系统

提供了新的思路和方法, 另一方面对这些具体系统

物理行为的刻画也有可能反馈给我们有关基本理论

的一些启示. 另外, 弦/M- 理论的研究揭示了时空、相

互作用以及在非微扰意义下经典和量子的模糊性或

非基本性, 预示着在新的基本理论中我们目前习惯

的很多概念需要新的内涵或革新. 弦/M- 理论的完整

理论框架还有待于建立. 在缺少该理论完整框架的

前提下, 获得对上述基本问题的深刻认识, 以及该理

论更多的信息只能基于我们对该理论一些局限的了

卢建新: 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

解, 比如已建立的各种对偶关系、其低能有效理论以

及从研究中获得的一些思想和启发. 众所周知, 黑洞

是我们了解量子引力性质和行为的理想系统, 一方面

黑洞为我们研究经典引力(广义相对论意义下) 的各

种有趣行为提供了理想模型, 另一方面它又可以看

成为一个宏观量子系统, 其特有的热力学性质如熵、

温度以及引力的全息性质本质上又是量子的, 因此

为我们研究量子引力提供了一个重要窗口. 弦/M- 理

论中基本动力学客体p- 膜所对应的黑膜可视为黑洞

的高维推广. 我们期待着对这些黑膜相关的动力学

比如热力学相及相变等特性的研究可提供更多的有

关该理论的非微扰信息, 有助于我们对该理论中揭

示的一些基本问题的了解和认识.

2 黑洞(膜) 系统的热力学特性

四维时空最一般的稳态黑洞由其所拥有的ADM

质量(M), 角动量(J) 和所带的电荷(Q) 完全确定. 早

期对黑洞相关特性的研究发现, 这三个黑洞参量, 以

及黑洞的视界面积(A) 和视界上的表面引力(κ), 遵

从如下所谓的黑洞力学四定律: 第零定律表述为黑

洞视界上的表面引力κ 是一个常数, 与视界面上的

具体位置无关; 第一定律描述的是当M;J;Q 和视界

面积A 变化时, 它们的变化满足如下关系:

dM =

κ

8

dA+ΩdJ+ΦdQ; (1)

其中Ω 是黑洞的角速度, Φ 是对应的电势(视界两极

处); 第二定律是黑洞视界的面积永不减少,

dA

dt

> 0; (2)

第三定律表述为黑洞的表面引力κ , 0. 在上面的公

式中, 我们已取了基本常数k (Boltzmann 常数)= ¯h =

c = G(牛顿引力常数)= 1.

1972 年Bekenstein 注意到, 上述黑洞力学四定律

与已知的热力学四定律有着极其类似的关系[7]. 如

果把黑洞视界的表面引力(κ) 认为正比于一个热力

学系统的温度(T), 黑洞视界面积正比于该热力学系

统的熵, 其它的量完全对应过去, 那么黑洞力学四定

律就完全成为热力学四定律. 这种特有的关系使得

Bekenstein 进一步认为, 黑洞本身很有可能就是一个

热力学系统, 而黑洞力学四定律其实就是对应的热

力学四定律. 这一大胆假设与当时人们对黑洞的理

解如此的不同, 立即遭到了黑洞领域一些大家, 比如

Hawking 等人的反对. 四维稳态黑洞完全由其质量、

角动量和所带的电荷确定(只有三根毛), 很难理解这

样的系统具有温度和熵, 按通常的理解不可能对应

一个宏观热力学系统. Hawking 起初激烈反对Beken-

stein 这种建议, 但Bekenstein 的这种对应似乎很美妙,

要完全证明Bekenstein 是错的, 必须要有坚实的物理

证据. 另外, 如果这种对应存在的话, 那一定是在量

子意义上的, 经典框架下几乎不可能理解这种对应.

基于这一考虑, Hawking 在1975 年采用半经典手段

本希望证伪Bekenstein 的对应, 但却发现黑洞不象原

有想象的那样只吸收物质, 它还辐射粒子, 且等价于

一个具有温度

TBH =

κ

2

(3)

的黑体向外辐射粒子[8]. 这一发现为Bekenstein 的对

应提供了物理图象和证据, 同时也确定了黑洞的确

具有熵

SBH =

A

4

; (4)

也为Bekenstein 后来推广的第二定律提供了理论基

础[9].

要清楚地认识黑洞温度和熵的量子本质, 我们

恢复上述黑洞温度和熵公式中的基本常数如下:

TBH =

¯hcκ

2 k

; SBH =

kc3A

4G¯h

: (5)

通常的经典极限是取¯h!0. 如果我们对上述温度公

式取这样的极限, 我们会得到黑洞的经典温度TBH =

0. 从表面上看, 这似乎很自然. 如果采用我们通常

对温度的认识, 一个自然的问题就是: 一个绝对温度

为零的系统还能是经典的吗? 我们至少会认为这种

极限应该是反直觉的. 进一步考察黑洞熵的经典极

限, 对于任何宏观意义下的黑洞, 我们得到一个发散

的结果, 表明这种经典极限是不可取的, 这也与上述

经典极限下得到反直觉绝对零温的结论一致. 换句话

说, 宏观黑洞与宏观的普通物质系统很不一样, 至少

从温度和熵的角度它没有从量子到经典的过渡, 其

1100

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期

本质是量子的. 这从宏观黑洞温度和熵的公式中出

现Planck 常熟¯h 已有所暗示.

从这种意义上来说, 虽然黑洞与普通物质一样

服从热力学四定律, 但黑洞的热力学本质上是量子

的, 没有经典对应, 反映的是一种宏观量子效应. 由

于黑洞是由引力相互作用所支配, 因此其热力学的

量子本质在一定意义上也反映了引力的量子特性, 因

此研究黑洞的热力学为我们了解量子引力打开了一

个窗口.

黑洞不可避免地有所谓的Hawking 辐射, 因此

渐进平坦的黑洞不可能具有热力学稳定性. 这可以

简单地从比如史瓦西(Schwarzschild) 黑洞的如下反

直觉关系判断. 该黑洞的熵和温度与其所谓的ADM

能量M 关系如下:

SBH = 4 M2; TBH =

1

8 M

: (6)

当其ADM 能量增大时, 其温度反而减少, 从而给出

对应的比热小于零(C < 0), 因此其热力学不稳定. 要

正确地研究黑洞的热力学及相关的相和相变, 我们

首先应保证黑洞在热力学意义达到稳定.

York 等人的工作告诉我们, 实现黑洞系统热力

学的稳定性需要考虑系综[10;11]. 换句话说, 我们不仅

要考虑黑洞, 还要考虑黑洞所处的环境. 与普通系统

不同的是, 自引力系统在空间上具有不均匀性, 确定

对应的系综不仅要取定相应的热力学量, 还要标定

这些量在空间何处取确定的值. 为简单起见, 本文的

讨论将局限于具有球对称的黑洞(膜) 情形. 对这种

情形, 建立相应的系综可把黑洞放入一个半径大于黑

洞视界半径且与其同心的空腔内. 该空腔具有确定的

半径和温度. 当黑洞在空腔壁处的局域温度与空腔的

温度达到一致时, 黑洞就与外热源达到了热平衡(见

图1). 当空腔内的电荷给定时, 我们就定义了所谓的

正则系综, 而当空腔壁上的电势给定, 那定义的就是

巨正则系综.

对自引力系统, 一方面描述其稳定的热力学相,

BH

−= −1/2 ( ) (1 / ) h

T r T r r

r

rh

BH

®¥ = =

p

1

( )

8

T r T

M

􅐀􂉍􅐀􂉍􃻵􂩻图1 (网络版彩图) 半径为r 和温度为T 空腔内的黑洞

(其视界半径rh 6 r)

Figure 1 (Color online) A black hole in a cavity of radius r and

surface temperature T (with its horizon radius rh 6 r).

我们需要考虑系综, 而另一方面, 不同的系综并不等

价[12], 一般来说描述的是不同的相行为. 这为研究引

力系统完整的热力学相及相变造成了一种困局, 如何

理解这种困局还有待于进一步的认识. 过去的研究

表明, 引力系统的正则系综具有更有趣的相行为. 比

如在一定条件下, 有可能存在多于一个的稳定相, 因

此可以有相变发生以及与此有关的临界现象. 我们

在本文中也将局限于考虑这种系综下的黑洞(膜) 的

相稳定性、相变, 以及可能的临界现象1).

分析自引力系统的热力学(局域) 稳定性可以通

过考虑该系统的亥姆霍兹(Helmholz) 自由能的极值

情况. 当其取极小值时, 对应的系统至少是局域稳定

的. 要确定该系综下系统的整体稳定性并不容易, 需

要知道该系统在给定条件下所有可能的局域稳定的

相, 通过比较这些相的自由能, 具有整体最小自由能

的相才是该系统的整体稳定相, 否则仅仅为局域或

亚稳定相. 一般情况下, 我们几乎不可能确定系统的

整体稳定相.

对自引力系统, 如黑洞, 如果我们知道其作用量

I, 可以采用Gibbons-Hawking 欧氏化作用量的方法计

1) 本文的考虑局限于渐进平坦黑洞或黑膜(对黑膜或为紧致的T p 的环面). 对沿膜延展方向其它拓扑结构也有可能, 但只要

垂直于膜方向的空间是球形对称, 本文的讨论仍然适用(比如对应黑膜的泡泡位形, 具体见本文最后一节的讨论), 其原因是在

我们的系综讨论中沿膜延展方向空间是固定的. 但一般来说, 如果沿膜的延展方向的拓扑结构非平庸, 它会影响到垂直膜方向

的拓扑结构, 这在弦/M- 理论或高维引力理论中已很常见, 比如近年来发现的各种有趣的非球形对称的拓扑位形. 如何合理地考

虑这一类位形的热力学相及相变仍然是一个有待探讨的问题.

1101

卢建新: 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

算零级近似下系统的配分函数[13]

Z e􀀀IE ; (7)

由此我们通过关系Z = e􀀀β F 计算对应的亥姆霍兹自

由能F 为

IE(r;T;Q; rh) =β F =β E(r;Q; rh)􀀀S(rh); (8)

其中r;T;Q 分别是空腔的半径, 温度和其内所带的电

荷, rh 是黑洞视界半径. β = 1=T, E(r;Q; rh) 是黑洞在

空腔内的内能, S(rh) 是其熵. 对给定r;T;Q, 该系统的

唯一变量是rh. 黑洞与环境达到热平衡由

dIE

drh

rh=¯rh

= 0 (9)

来确定. 自由能取极小值的条件, 即达到局域平衡,

是在达到热平衡处满足如下条件:

d2IE

dr2

h

rh=¯rh

> 0: (10)

3 零电荷黑洞的热力学稳定性

本节的讨论主要基于已有的工作[10;14;15]. 利用

上节给出的判据, 首先分析给定空腔半径r = rB 和温

度T = TB, 但固定电荷Q = 0 时空腔内的热力学稳定

相. 这与史瓦西(Schwarzschild) 黑洞的热力学稳定性

相关. 首先考虑史瓦西黑洞的欧氏度规:

ds2 =

(

1􀀀2M

r

)

dt2+

dr2

(

1􀀀2M

r

) +r2(dθ 2+sin2θ dϕ2):

(11)

这里视界半径rh = 2M, 其中M 是黑洞的质量. 把该

黑洞放入同心的上述空腔内(rB > rh), 对应正则系综

下的作用量可以直接从其Hilbert-Einstein 作用量得

出:

IE(rB;TB; rh) =βBF =βBE(rB; rh)􀀀S(rh); (12)

其中

E(rB; rh) = rB

(

1􀀀(1􀀀x)1=2

)

; (13)

和

S(rh) = r2

h = 4 M2 = r2B

x2; (14)

分别是该系统在空腔内的内能和熵. 上面无量纲约

化视界半径x 定义如下:

x rh

rB

=

2M

rB

; rB > rh; (15)

我们有

0 < x < 1: (16)

与常规做法一样[10;13], 上述作用量的计算是相对所

谓“热平坦时空”背景, 即为该系综下欧氏史瓦西黑

洞作用量减去同样系综条件下欧氏平坦时空的作用

量, 其目的在于去掉作用量中源于背景对作用量的

发散贡献, 从而获得有限的, 对热力学有真正影响的

部分. 我们一般总是这样做减除, 后面不再强调.

对固定空腔温度TB = 1=βB, 上述欧氏作用量与

该系统的自由能没有本质区别. 因此在同样的系综条

件下, 如果存在多个局域稳定的相, 其中具有最小欧

氏作用量的相应该是在所能考虑的相中最稳定. 比

如在目前的情况下, 我们将看到当温度TB 大于一极

小值时, 可以有局域稳定的黑洞相. 如果对应黑洞相

的欧氏作用量大于零, 该黑洞相的自由能就高于同样

条件下的“热平坦时空”相的零自由能, 该局域稳定

的黑洞相就要通过所谓的Hawking-Page 相变[16] 成

为“热平坦时空”相. 只有那些具有负欧氏作用量的

黑洞相才可能成为整体稳定相. 下面来看具体的稳

定性分析. 为简单起见, 定义约化作用量和约化温度

倒数

¯ IE IE

4 r2B

; ¯b =

βB

4 rB

: (17)

这样

¯ IE = ¯b

(

1􀀀(1􀀀x)1=2

)

􀀀1

4

x2: (18)

注意x = 0, 即“热平坦时空” ¯ IE = 0. 我们一般有

d ¯ IE

dx

=

1

2(1􀀀x)1=2

(

¯b

􀀀b(x)

)

; (19)

这里约化温度倒数函数

b(x) = x(1􀀀x)1=2 > 0: (20)

注意到

b(x!0)!0; b(x!1)!0; (21)

b(x) 在0 < x < 1 区间一定有极大值. 腔内黑洞与空

腔达到热平衡由上述作用量取极值确定, 即

¯b

= b( ¯ x) = ¯ x(1􀀀¯ x)1=2: (22)

1102

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期

局域稳定性由下面条件决定,

d2 ¯ IE

dx2

x=¯ x

􀀀db( ¯ x)

d ¯ x

> 0: (23)

换句话说, 当黑洞与空腔达到热平衡时, 只有函数

b(x) 在该处的斜率为负时黑洞才是局域稳定的. 温

度倒数函数b(x) 的特征行为如图2 所示, 这也可以

由方程(20) 和(21) 看出.

b(x) 的最大值由下列极值所定出

db(x)

dx

x=xmax

= 0 (24)

为

xmax =

2

3

)rh =

2rB

3

: (25)

对应的最大bmax 或最小温度Tmin 为

bmax =

2

3

p

3

)Tmin =

1

4 rBbmax

=

p

27

8 rB

: (26)

这与York 用不同的方式在文献[10] 中得出的结果

完全一样. 从图2 或函数b(x) 的行为((21) 或其唯一

的极值为极大) 可知, 当0 < ¯b < bmax, 状态方程(22)

总有两个解x1 和x2, 其中0 < x1 < xmax 对应一个小

黑洞而xmax < x2 < 1 对应的是一个大黑洞. 由局域

稳定性判据(23), x1 对应的小黑洞不稳定, 而x2 对

应的大黑洞至少局域稳定. 换句话, 当温度大于上述

最小温度时, 存在一大一小两个黑洞, 只有大黑洞稳

定, 而小黑洞不稳定, 通常的史瓦西黑洞可认为对应

这里的小黑洞.

上面所定的大黑洞尽管局域稳定, 但不一定是

整体稳定, 至少这里还有一个自由能为零的“热平

坦时空”相没有考虑. 如果局域稳定的大黑洞的自

由能大于零, 那么它仅仅是亚稳定, 将通过所谓的

Hawking-Page 相变转为更为稳定的“热平坦时空” 只

有当自由能小于零时, 它才有可能成为整体稳定. 利

用状态方程(22), 我们可以把处于局域稳定的黑洞作

用量(等价于自由能) 改写为

¯ IE(y) = 􀀀3¯b

4y

(1􀀀y)

(

1

3

􀀀y

)

; (27)

这里

y

√

1􀀀x2: (28)

x x 2 xmax

bmax

b

0

−1

b(x)

x1 xg

图2 零电荷情况下b(x) 对x 的特征行为

Figure 2 The characteristic behavior of b(x) vs x for the chargeless

case.

给定2=3 < x2 < 1, 我们有0 < y < 1=

p

3. 要保

证局域稳定的作用量小于零, 由(27) 我们必须要有

0 < y < 1=3. 由此定出整体稳定的黑洞相的条件为:

1 > x2 > xg =

8

9

> xmax =

2

3

: (29)

当x2 = xg = 8=9, 黑洞和“热平坦时空”可以共存. 当

¯b

> bmax 时, 不可能有黑洞存在. 如果没有其它自由

能小于零的相存在, 那“热平坦时空”相将是整体稳

定相.

4 非零电荷黑洞的热力学稳定性

我们在本节描述球对称带电黑洞, 即R-N 黑洞,

的热力学稳定性问题、相变及临界现象[10;14;15]. 对

应空腔中带电黑洞的欧氏作用量的计算基本思路与

不带电情形一致, 但这里还要考虑电磁场对作用量

的贡献, 具体可以参看York 等人的讨论[10;11]. 带电

R-N 黑洞的欧氏度规

ds2

E =V(r)dt2+

dr2

V(r)

+r2dΩ2; (30)

和电势

Φ(r) =

Q

r

: (31)

这里

V(r) = 1􀀀2M

r

+

Q2

r2 : (32)

1103

卢建新: 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

R-N 黑洞有两个视界(由V(r) = 0 确定)

r = M

√

M2􀀀Q2: (33)

BPS 界告诉我们有M > Q. 外视界与我们考虑的热力

学相关, 计算相应的作用量给出

IE (rB;TB;Q; r+) =βBE(rB;Q; r+)􀀀S(r+)

= βBrB

(

1􀀀√(

1􀀀r+

rB

)(

1􀀀Q2

rBr+

))

􀀀 r2+

: (34)

同样定义相应的约化量:

¯ IE =

IE

4 r2B

; x =

r+

rB

; q =

Q

rB

; ¯b =

βB

4 rB

: (35)

因r+ > Q; rB > r+, 我们有

q < x < 1: (36)

约化作用量为

¯ IE(¯b;q; x) = ¯b

(

1􀀀√

(1􀀀x)

(

1􀀀q2

x

))

􀀀1

4

x2: (37)

由此我们有

d ¯ IE

dx

=

1􀀀q2

x2

2(1􀀀x)1=2

(

1􀀀q2

x

)1=2

(

¯b

􀀀bq(x)

)

; (38)

这里约化温度倒数函数为

bq(x) =

x(1􀀀x)1=2

(

1􀀀q2

x

)1=2

1􀀀q2

x2

: (39)

考察如下极限

bq(x!q)!∞; bq(x!1)!0; (40)

注意到x ! q 时, bq(x) 的极限与零电荷情形有本质

的区别. 正是这种差别使得目前的稳定相结构变得

丰富多彩. R-N 黑洞与空腔达到热平衡的条件是

d ¯ IE

dx

= 0 ) ¯b = bq( ¯ x): (41)

我们同样有

d2 ¯ IE

dx2

x=¯ x

􀀀db( ¯ x)

d ¯ x

; (42)

因此局域稳定性要求

db( ¯ x)

d ¯ x

< 0: (43)

由于极限(40), 存在一个临界电荷qc =

p

5􀀀2, 根据

电荷q > qc, q = qc, 或q < qc, bq(x) 在区间q < x < 1

中的行为可以有三种情况, 具体见图3.

临界电荷以及临界黑洞半径可由如下条件决定:

dbq(x)

dx

x=xc

= 0;

d2bq(x)

dx2

x=xc

= 0: (44)

bq(x)(39) 只依赖变量x 和电荷参数q, 因此上两方程

可以完全确定临界电荷qc =

p

5􀀀2 和黑洞临界半径

xc = 5􀀀2

p

5. 由状态方程(41), 我们可以定下对应

的临界bc = 0:429. 具体求解这些量的过程参见文献

[15].

我们就这三种情况分别进行讨论. 当q > qc, 给

定任何¯b >0, 状态方程(41) 只有唯一解且bq( ¯ x) 达到

热平衡处的斜率也是负的, 因此是局域稳定的, 后面

我们将说明这也可能是整体稳定的. 当q < qc, bq(x)

在q < x < 1 区间有一极小和极大. 当¯b 取值在这极

大和极小之间时, 状态方程(41) 将有三个解, 其中只

有最小的解¯ x1 和最大的解¯ x2( ¯ x1 < ¯ x2) 对应局域稳定

黑洞而中间的解是非稳定的(因那里的bq( ¯ x) 的斜率

是正的). ¯ x1 对应的是局域稳定小黑洞而¯ x2 对应的

是局域稳定大黑洞. 对一给定q, 存在一个仅为电荷

q 的函数的温度Tt (q)(或¯bt (q)), 它由图中标示的两面

积相等确定(一个是在水平线¯b = ¯bt (q) 之上由bq(x)

与其所围的面积, 另一个是在水平线下所围的面积,

详细讨论见文献[15]). 这时具有半径¯ x1 的小黑洞与

bq(x) q < qc q =qc q >qc

bt

−xc

−x

x −bc

−b

q

−x1

−x2

−1

图3 q < qc, q = qc, q > qc 时, 函数bq(x) 对x 的特征行为

Figure 3 The characteristic behavior of b(x) vs x for q < qc;q = qc;

q > qc, respectively.

1104

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期

半径为¯ x2 的大黑洞的自由能完全一样, 因此两者在

这种情况下可以共存和互相转化. 由于该相变涉及

熵的变化(由黑洞半径确定), 因此是一级相变. 利用

上述面积可以证明(见文献[10]), 当¯b > ¯bt (q), 局域

稳定的小黑洞具有更小的自由能, 因此最稳定; 而当

¯b

< ¯bt (q), 局域稳定的大黑洞具有更小的自由能, 因

此更稳定. 对q < qc, ¯bt (q) 是电荷的函数, 代表一条

线, 因此我们具有一条一级相变线. 它终结在q = qc

处, 这时局域稳定的大小黑洞已没有分别, 两者间转

化已没有熵的变化, 因此是一个二级相变临界点. 这

里qc, xc 和bc 完全确定.

这里的情形完全类似于范德瓦尔斯- 麦克斯韦

气- 液相变情形, 只要把这里的bq 看成那里的压强,

x 看成那里的体积, q 看成那里的温度. 这里局域稳定

的小黑洞类似那里的液相而局域稳定的大黑洞看成

那里的气相. 在临界点, 我们可以计算相应的临界指

数, 比如比热cv (T 􀀀Tc)􀀀2=3, 给出临界指数2=3. 无

论是AdS 空间, 渐进平坦黑洞还是我们后面讨论的

渐进平坦黑膜, 这一临界指数都是普适常数2=3.

5 黑膜的热力学稳定性

我们在本节中采用类似的方法讨论弦/M- 理论

中黑膜的热力学稳定性、相变和临界现象. 类似粒

子物理标准模型中的轻子和夸克, BPS 膜是弦/M- 理

论中的基本动力学客体. 与轻子、夸克不同之处在如

下几个方面: (i) 这些膜在空间上一般都有延展, 而

不是没有几何大小的几何点; (ii) 弦理论中的其它膜

相对基本弦来说都是非微扰的, 即它们的膜张力与

弦耦合常数成某种反比关系, 更类似于通常的孤子.

弦/M- 理论最大时空维数可到11 维, 这里我们局限

讨论10 和11 维中的膜. 在10 维, 除基本弦外, 我们

有各种Dp 膜, 其中p = 0;1; 9. 另外, 我们还有所

谓的NSNS 5- 膜. 在11 维, 我们有M2 和M5 膜. 这

里的数, 比如Dp 膜中的p, 代表对应膜的空间维数.

膜上的时空维数为d = p+1, 垂直膜方向上的空间维

数为D􀀀d = d˜+2(见图4). p- 膜可以带类似电荷的

(d+1)-形式的荷ed 或类似磁荷的(d˜+1)-形式的荷

gd˜,分别由下面公式给出:

ed

∫

Fd+1; (45)

和

gd˜

∫

Fd˜+1: (46)

这里 标记的是时空Hodge- 对偶, d˜= D􀀀d 􀀀2, D

为时空维数. BPS 膜的特性是其具有质量(张力) 和

荷, 在适当单位制下这两者相等, 对其它与之平行放

置的同类膜不仅具有起源于它们质量的相互吸引的

引力同时还有起源于它们所带荷的相互排斥的斥力,

但这两者大小相等, 因此总的相互作用为零. 换句话

说, 静止的BPS 膜本身是(动力学) 稳定的, 且保持一

半时空超对称, 如图4 所示.

当把这种膜放在时空中, 其质量和荷的存在会

引起其周围时空弯曲, 并在其周围产生类似电荷产

生的静电场的(d+1)- 形式的静场. 但当p > 6 时, 我

们无法描述对应的引力位形, 因此下面的讨论局限

0 6 p 6 6或1 6 d˜6 7. 当这种膜的质量大于其所带的

荷时, 对应的膜称为黑膜, 其热力学是本节讨论的内

容.

对不带电的黑膜, 其热力学的讨论与不带电的

黑洞没有区别, 且结论也没有本质区别, 这里不再重

复. 下面仅限对带电黑膜的讨论.

欧氏时间带电黑p- 膜的时空度规, dilaton 场,

(p+1)- 形式势和对应的场强为

ds2 = Δ+Δ

􀀀d

D􀀀2

􀀀dt2+Δ

d˜D􀀀2

􀀀(dx1)2+Δ

d˜D􀀀2

􀀀pΣ

i=2

(dxi)2

+Δ􀀀1

+ Δ

a2

2d˜􀀀1

􀀀dρ2+ρ2Δ

a2

2d˜􀀀dΩ2

d˜+1;

p-􃛋p-􃐣(D-p)-􃐣图4 无限延展的p- 膜

Figure 4 The infinitely extended p-brane

1105

卢建新: 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

eϕ= gsΔa=2

􀀀; gs eϕ0 ;

At1 p = 􀀀i

[(

r􀀀r+

)d˜=2

􀀀(

r􀀀r+

ρ2

)d˜=2

]

;

Fρt1 p ∂ρAt1 p = 􀀀id˜(r􀀀r+)

d˜=2

ρd˜+1

; (47)

这里Δ = 1􀀀r ˜d

ρd˜, r+ 和r􀀀分别是黑膜视界和奇点的

位置(r+ > r􀀀). dilaton 耦合常数a 由下式给定

a2 = 4􀀀2d ˜d

D􀀀2

: (48)

对11 维M- 膜, a=0. 对10 维Dp- 膜, a(p)=(p􀀀3)=2

而对NSNS p- 膜, a(p) = (3􀀀p)=2. gs 为弦耦合常数.

该膜所带的荷与参数r 和gs 相关, 可由下式算出为

Qd =

i

2

p

κ

∫

e􀀀a(d)ϕ F[p+2] =

Ωd˜+1

2

p

κ

e􀀀aϕ0=2d˜(r+r􀀀)

d˜=2:

(49)

该黑膜的空间延展方向为1;2; p, r 为垂直膜方向

上的径向坐标, dΩd˜+1 为膜横向方向上的(d˜+1)- 维

单位球上的度规. 要使作用量有限, 膜的每一个延展

空间坐标必须是紧致的. 由上述度规可以看出, ρ 仅

仅是(d˜+1)-球的坐标半径而对应的物理半径为

ρ¯ = Δ

a2

4d˜􀀀ρ: (50)

为研究正则系综下平衡态热力学, 我们同样要

把黑膜放入一个沿膜横向方向且与膜同心的球形空

腔内.这时空腔的物理半径ρ¯B,温度TB = 1=βB,在ρ¯B

处的dilaton 场值ϕB 以及空腔内的电荷QBd

都完全固

定. 另外, 该系综沿膜空间方向每一紧致物理半径也

都固定.

在平衡状态下, 空腔内稳定相在空腔壁处的上

述对应量取值应与上述空腔固定值完全一样. 比如,

QBd

= Qd Ωd˜+1

d˜p

2κ

e􀀀aϕB=2(¯r+¯r􀀀)

d˜=2; (51)

和

eϕB = eϕ(ρ¯B) gsΔa=2

􀀀(ρ¯B): (52)

上面我们已将Qd 中的ϕ0, r 参数换成ρ¯ = ρ¯B 处的

ϕB 及

¯r = Δ

a2

4d˜􀀀r : (53)

注意Δ 可以用坐标参数也可以用物理参数表示, 结

果一样. 这可以从下列表达式看出

Δ = 1􀀀r ˜d

ρd˜B

= 1􀀀¯r ˜d

ρ¯ d˜B

: (54)

有了这些准备, 我们就可以按前面带电黑洞类

似的方式具体计算相应的欧氏作用量. 因涉及的场

多一些, 具体计算会复杂一些, 我们在文献[17] 的附

录中给了详细的讨论和计算, 这里不再重复, 直接引

用那里的结果. 因热力学稳定相的讨论只与对应的

约化作用量相关, 我们这里只给出该约化作用量. 为

此, 我们先对一些相关量给出定义. 注意到

¯r􀀀=

( p

2κQBd

Ωd˜+1

d˜eaϕ¯=2

)2

d˜1

¯r+

(Q d

)2

¯r+

; (55)

我们定义

x =

(

¯r+

ρ¯B

)d˜< 1; ¯b =

βB

4 ρ¯B

; q =

(

Q d

ρ¯B

)d˜6 x: (56)

相应的约化作用量为

¯ IE(x) = 􀀀¯b

(d˜+2)

(

1􀀀x

1􀀀q2

x

)12

+d˜(1􀀀x)

12

(

1􀀀q2

x

)12

+2¯b( ˜d+1)􀀀x1+1= d˜1􀀀q2

x2

1􀀀q2

x

1=2+1=d˜: (57)

热平衡状态方程由下式给出

d ¯ IE(x)

dx

x=¯ x

= 0) ¯b = bq( ¯ x); (58)

这里

bq(x) =

1

d˜x1=d˜(1􀀀x)1=2

(

1􀀀q2

x2

)1=2􀀀1=d˜(

1􀀀q2

x

)1=d˜: (59)

由上面bq(x)的表达式不难看出当d˜> 2时

bq(x!q)!∞; bq(x!1)!0: (60)

这一特征告诉我们, d˜> 2 时的相结构应与上节讨论

的带电黑洞情形一致. 我们在文献[17] 中给予了仔

细地分析, 除临界参数与横向维数d˜相关外, 其它特

1106

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期

征与带电黑洞的确一致, 这里不再重复. 比如, 比热

cv (T 􀀀Tc)􀀀2=3, 其临界指数仍为2=3, 且不依赖d˜

临界参数qc;xc;bc 与d˜的关系见表1.

由表1 我们看出, 所有3 个参数随d˜的增大而

减小. 在结束这部分讨论之前, 我们来分析一下极端

黑膜是否可以成为稳定相. 极端黑膜与极端黑洞一

样, 与其非极端对应有着本质的区别, 它可以与外界

任意给定的热源达到热平衡[19􀀀21]. 至少从热力学角

度来说, 极端黑膜(洞) 不能简单地从非极端黑膜取

极端极限获得, 这两者之间可能要通过相变才能联

系起来.

由于极端黑膜可以与任何热源达到热平衡, 其

欧氏作用量可以从(57) 中取x = q 得到

¯ Iext:

E = ¯bd˜q; (61)

对应的自由能

Fext: = ¯ Iext:=¯b = d˜q: (62)

对一般黑膜, 满足热平衡状态方程(58) 的在壳

欧式作用量为

¯ IE = 􀀀¯bFq( ¯ x); (63)

这里

Fq(x) = 2

(

1􀀀x

1􀀀q2

x

)1=2

+d˜(

1􀀀q2

x

1􀀀x

)1=2

+d˜(1􀀀x)1=2

(

1􀀀q2

x

)1=2

􀀀2(d˜+1); (64)

对应的在壳自由能

¯F

( ¯ x) = ¯ IE( ¯ x)=¯b = 􀀀Fq( ¯ x): (65)

表1 临界参数qc, xc, bc 与˜d 的关系

Table 1 The relationships between critical parameter qc;xc;bc and d˜d˜qc xc bc

3 0.141626 0.292656 0.199253

4 0.090672 0.238800 0.159921

5 0.064944 0.202012 0.134632

6 0.049599 0.175176 0.116698

7 0.039529 0.154691 0.103210

注意到Fq(q) = 􀀀˜dq, Fq(q) = ∞, 我们有¯F (q) = d˜q 和

¯F

(1) = 􀀀∞. 我们希望指出在壳非极端黑膜的自由能

极端极限¯ x!q 与极端黑膜的自由能(62) 一致(注意

极端黑膜的自由能不需要在壳, 这两者一致的原因是

非极端黑膜在壳自由能中源于对应欧氏作用量(57)

中的最后一项在取¯ x!q 极限时没有贡献). 另外, 我

们有

d¯F ( ¯ x)

d ¯ x

=

d˜2x¯1􀀀1=d˜(

1􀀀q2= ¯ x

)1+1=d˜(1􀀀¯ x) (1􀀀q2= ¯ x2)1=d˜dbq( ¯ x)

d ¯ x

: (66)

在区间q<x<1, 局域稳定的黑膜对应dbq(x)=dx<0,

由此可知对在壳稳定黑膜有d ¯F ( ¯ x)=d ¯ x < 0, 即为一递

减函数,因此对d˜>2的极端黑膜,在任何给定的空腔

条件下, 其自由能总是最大(对q>qc; q=qc 和q<qc

任一情况都对), 因此不可能是一稳定相(更仔细的讨

论参见文献[18]).

当d˜6 2, 新的相行为出现了, 我们下面分别对

d˜= 2;1两种情形给予较仔细的描述.

5.1 ˜d = 2 情形

当d˜= 2时, (59)给出

bq(x) =

1

2

√

x(1􀀀x)

1􀀀q2

x

: (67)

我们注意到

bq(x!q)!

p

q

2

; bq(x!1)!0; (68)

它在x!q 的极限有限且不为零, 不同于零荷情形和

d˜> 2 时的非零荷情形. 后面我们将看到, d˜= 2 情形

是一种介于d˜> 2 和d˜= 1 之间的过渡情形, 而后者

的行为更类似于零荷情形. 换句话说, d˜= 2 在某些

方面类似d˜> 2情形,比如它有临界参数但没有临界

现象出现,而其相结构等又类似后面描述的d˜= 1情

形.

为更进一步了解bq(x) 行为, 我们来分析一下

bq(x) 的极值情况. 由

dbq(x)

dx

= 0; (69)

我们有

2x2􀀀(

1+3q2)

x+2q2 = 0: (70)

1107

卢建新: 弦/M- 理论中黑膜热力学及相变

该方程可分解为

(x􀀀x+)(x􀀀x􀀀) = 0; (71)

其中

x =

1

4

(

1+3q2

p

Δ

)

; (72)

这里Δ = (1􀀀q2)(1􀀀9q2). 要使x􀀀和x+ 是上述方程

的实根, 要求

Δ = (1􀀀q2)(1􀀀9q2) > 0: (73)

因0 < q < 1, 这要求0 < q 6 1=3. 当q = qc = 1=3,

Δ = 0, 我们有x+ = x􀀀= qc = 1=3 = q. 也就是说, 这时

极值发生在边界x = q. 在这里我们有

d2bq(x)

dx2

x=q=1=3

x􀀀q = 0: (74)

因此, 边界xc = qc = 1=3 是一个拐点. 按常规判断临

界点来说, 这对应的似乎是一个临界点. 由于局限在

区域x > q而x = q在边界上,我们没有象d˜> 2时那

样具有两稳定相之间的相变而终结在该临界点(下

面q<qc =1=3 的讨论会明确说明这一点). 也就是说

我们有类似的临界参数xc = qc = 1=3;bc = 1=(2

p

3),

但没有临界现象. 根据q > qc;q = qc 和q < qc, 我们

也有三种bq(x) 行为如图5 所示.

我们分别就上述三种情况讨论. 当1 > q > qc =

1=3 时, 因Δ 6 0, bq(x) 在q < x < 1 区间上没有极值存

在. 注意到

dbq(x)

dx

= 􀀀bq(x)

2

[

2x2􀀀x(1+3q2)+2q2

x(1􀀀x)(x􀀀q2)

]

< 0; (75)

bq(x) 在该区间是递减函数, 在x = q 处取最大值为

bq(x = q) =

p

q=2. 对0 < ¯b <

p

q=2, 状态方程

q

< qc q

=qc q

>qc

xs xl x+

bq

bc

bmax

b

q

−b

−b

−x

−1 q x q

−1 1

图5 ˜d = 2 时bq(x) 对x 的特征行为

Figure 5 The characteristic behavior of bq(x) vs x for the d˜= 2 three

subcases, respectively.

¯b

= bq( ¯ x) 有唯一解¯ x 且在该处系统的自由能取局域

最小, 因此是局域稳定. 对这种情形, 类似d˜> 2, 极

端黑洞这时自由能取最大值, 因此任何局域稳定的

黑膜很可能也是整体稳定. 当¯b > bq(q) =

p

q=2, 黑

膜不可能存在, 这时极端黑膜起到零荷时的“热平坦

时空”的作用成为稳定相. 当非极端黑膜接近极端极

限时, 非极端黑膜应通过类似Hawking-Page 相变变

为极端黑膜.

对0 < q < qc = 1=3(见图5 中的第三图), Δ > 0.

这时方程(69) 给出两个实解(72), 其中q < x+ < 1 但

x􀀀<q. 在区间q<x<1, 我们只有实解x+, 这时bq(x)

取其最大值

bmax =

(

1+3q2+

√

(1􀀀q2)(1􀀀9q2)

)1=2

8

p

2

(

3

√

1􀀀q2􀀀√

1􀀀9q2

)

> bq(q) =

p

q

2

: (76)

由(64)和(65),我们算出d˜= 2; x¯= x+ 时在壳自由能

为

¯F

(x+) = 6􀀀4

√

2(1􀀀q2) > Fext: = 2q; (77)

这里最后的不等式用了(62) 并取d˜= 2. 因此在

x+ < ¯ x < 1 区间的局域稳定态中, 存在一个xg 使得在

壳自由能¯F (xg) = Fext: = 2q. 这样在x+ < ¯ x < xg, 在壳

自由能¯F ( ¯ x) > Fext: = 2q, 因此这些局域稳定的非极

端黑膜只是亚稳定的, 通过类似的Hawking-Page 相

变转变为极端黑膜. 只有当xg < ¯ x < 1 时非极端在壳

黑膜的自由能(一个递减函数) 小于对应极端黑膜的

自由能, 因此可为整体稳定相. 另外, 当¯b > bmax 只有

极端黑膜相存在. 因此这里的讨论很类似零荷情形,

极端黑膜取代了那里的“热平坦时空” 下面我们来

决定xg, 对应的方程为

1􀀀xg

1􀀀q2

xg

1

2

+

1􀀀q2

xg

1􀀀xg

12

+

(

(1􀀀xg)

(

1􀀀q2

xg

))12

= 3􀀀q: (78)

该方程, 尽管看上去复杂, 可以约化成如下可解二次

方程

1108

中国科学: 物理学力学天文学2012 年第42 卷第11 期

x2

g

􀀀3􀀀2q+3q2

2

xg+q2 = 0; (79)

其解为

x

g =

3􀀀2q+3q2 (1+q)

√

3(3􀀀q)(1􀀀3q)

8

: (80)

我们可以验证只有x+

g 解满足x+ < x+

g < xq 而x􀀀g < q.

这里xq 是方程bq(xq) =

p

q=2 除x = q 外的另外一个

解, 其为

xq =

1􀀀q+

√

(1􀀀3q)(1+q)

2

< 1: (81)

在¯ x =xg 处, 非极端黑膜的自由能与极端黑膜的自由

能在

¯b

= bg =

5􀀀3q􀀀√

3(3􀀀q)(1􀀀3q)

16

p

2

[

3􀀀2q+3q2+(1+q)

√

3(3􀀀q)(1􀀀3q)

] 1

2 (82)

时是一样, 因此两者可以共存, 相互转化.

5.2 ˜d = 1 情形

对该情形, (59) 给出

bq(x) =

x(1􀀀x)1=2

(

1􀀀q2

x2

)12

1􀀀q2

x

> 0: (83)

注意到这里

bq(x!q)!0; bq(x!1)!0; (84)

与零荷时的行为一样, 只是这里x!q 取代了那里的

x!0, bq(x) 的行为见图6. 因此由

dbq(x)

dx

= 0 (85)

导出

3

2

x4􀀀(

1+

5

2

q2

)

x3+

3

2

q2x2+

3

2

q4 x􀀀q4 = 0; (86)

在区间q < x < 1 有唯一解xmax, 对应bq(x) 取最大值

bmax(详细讨论见文献[17,18]). 基于上述事实和前面

d˜= 2 的讨论, 我们期待着这里的相结构与前面零荷

下黑洞(膜) 一样. 我们在文献[18] 中对该情形做了

仔细研究, 发现情况的确如所料, 唯一的区别是用这

里的q < x < 1 取代零荷时的0 < x < 1 以及这里的极

bq

bmax

b

−xs xl

x

xmax q 1

图6 ˜d = 1 时bq(x) 对x 的特征行为

Figure 6 The d˜= 1 characteristic behavior of bq(x) vs x.

端黑膜取代那里的“热平坦时空” 在xmax < ¯ x < 1 区

间, 同样存在一个xg 使得在壳自由能与对应极端黑

膜的自由能一致, 由下列方程确定

4􀀀q = 2

(

1􀀀