以一维无限深势阱中的极端相对论粒子系统为工质的量子卡诺热机循环

量子卡诺循环
王建辉,何济洲3
,辛 勇
(南昌大学理学院,江西南昌 330047)
摘 要:以经典理想气体为工质的卡诺热机循环由两个等温和两个绝热过程构成,热机可逆时,它的效率为最大。本文建立一种量子卡诺热机循环模型,该量子卡诺热机循环以一维无限深势阱中极端相对论粒子系统为工质。通过分析,发现该量子卡诺热机循环中的等温和绝热过程和经典卡诺热机的等温和绝热过程具有相似之处,它的效率表达式和经典热力学的可逆卡诺热机的效率表达式也类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的能量平均值代替经典热力学中的温度。
关键词:量子循环;无限深势阱;极端相对论粒子中图分类号:O41311    文献标识码:A
  量子热力学循环在理论和实际中都非常重要,如激光、低温下的分子制冷机、固体的激光制冷技术等都与此相关
[1]
,特别是近年来,量子热力学循环
的分析已经引起许多学者的兴趣和关注并得到许多有益的结论,这些量子循环的工作物质不仅包括了
量子气体,自旋1/2系统、谐振子系统等[2-8]
,还涉
及了势阱中的微观粒子
[9-10]
。本文在文献
[9]
的基
础上,根据量子力学的基本原理,分析了以一维无限深势阱中的极端相对论粒子系统为工质的量子卡诺
热机循环,无限深势阱的势阱壁就相当于经典的卡诺循环的活塞壁,则势阱壁的变化就相当于活塞的移动。对于量子卡诺循环,存在可逆的“等温”和绝热过程。通过计算,我们发现量子卡诺循环的效率与经典可逆卡诺热机循环的效率表达式类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的平均能量代替经典热力学中的温度即可。
1 经典热力学卡诺循环
如果经典可逆卡诺循环在高温热源吸收的热量为QH,对外作的功为W,则热机的效率为
η=W
QH
(1)
以理想气体为工质的可逆卡诺热机的效率为
η=1-TCTH
(2)其中TC、TH分别为低温、高温热源的温度。
以经典理想气体为工质的可逆卡诺热机循环
中,其在等温过程中,系统和热源始终保持接触,系统的温度不变,即使活塞移动即气体的体积改变但
系统在此过程一直保持平衡。经典理想气体状态方程为
PV=NkT
(3)
其中P为气体压强,V为气体体积,N为气体分子数,k为玻尔兹曼常数。在等温过程中满足
PV=C
(4)
其中C为常数。假设工质为一维单原子理想气体,
则气体的内能满足
E=
12NkT=12
PV(5)
系统的内能在等温过程中始终保持不变。
在绝热膨胀过程中,气体和外界无热交换,因此
活塞移动即气体的体积改变但系统一直保持平衡。活塞的移动过程中,气体对外界作功,气体的内能转变为机械能。系统对外界所作的微元功为
dW=PdV
(6)根据热力学第一定律,在绝热过程中
dE+dW=0
(7)
根据方程(3)、
(5)和(7)可得在绝热过程中满足PV3
=C
(8)
其中C为常数。
2 量子卡诺循环模型
在相对论力学中,自由粒子的能量为E=
c
m2c2
+p2
,其中m为粒子的质量,p为粒子的动
第30卷第2期
2006年4月  
  
南昌大学学报(理科版)
JournalofNanchangUniversity(NaturalScience)Vol.30No.2
Apr.2006

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量子热力学循环在理论和实际中都非常重要,如激光、低温下的分子制冷机、固体的激光制冷技术等都与此相关
[1]
,特别是近年来,量子热力学循环
的分析已经引起许多学者的兴趣和关注并得到许多有益的结论,这些量子循环的工作物质不仅包括了
量子气体,自旋1/2系统、谐振子系统等[2-8]
,还涉
及了势阱中的微观粒子
[9-10]
。本文在文献
[9]
的基
础上,根据量子力学的基本原理,分析了以一维无限深势阱中的极端相对论粒子系统为工质的量子卡诺
热机循环,无限深势阱的势阱壁就相当于经典的卡诺循环的活塞壁,则势阱壁的变化就相当于活塞的移动。对于量子卡诺循环,存在可逆的“等温”和绝热过程