以理想气体为工质的可逆卡诺热机 vs 量子卡诺循环模型

以理想气体为工质的可逆卡诺热机


量子卡诺循环模型


量子卡诺循环
王建辉,何济洲3
,辛 勇
(南昌大学理学院,江西南昌 330047)
摘 要:以经典理想气体为工质的卡诺热机循环由两个等温和两个绝热过程构成,热机可逆时,它的效率为最大。本文建立一种量子卡诺热机循环模型,该量子卡诺热机循环以一维无限深势阱中极端相对论粒子系统为工质。通过分析,发现该量子卡诺热机循环中的等温和绝热过程和经典卡诺热机的等温和绝热过程具有相似之处,它的效率表达式和经典热力学的可逆卡诺热机的效率表达式也类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的能量平均值代替经典热力学中的温度。
关键词:量子循环;无限深势阱;极端相对论粒子中图分类号:O41311    文献标识码:A
  量子热力学循环在理论和实际中都非常重要,如激光、低温下的分子制冷机、固体的激光制冷技术等都与此相关
[1]
,特别是近年来,量子热力学循环
的分析已经引起许多学者的兴趣和关注并得到许多有益的结论,这些量子循环的工作物质不仅包括了
量子气体,自旋1/2系统、谐振子系统等[2-8]
,还涉
及了势阱中的微观粒子
[9-10]
。本文在文献
[9]
的基
础上,根据量子力学的基本原理,分析了以一维无限深势阱中的极端相对论粒子系统为工质的量子卡诺
热机循环,无限深势阱的势阱壁就相当于经典的卡诺循环的活塞壁,则势阱壁的变化就相当于活塞的移动。对于量子卡诺循环,存在可逆的“等温”和绝热过程。通过计算,我们发现量子卡诺循环的效率与经典可逆卡诺热机循环的效率表达式类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的平均能量代替经典热力学中的温度即可。
1 经典热力学卡诺循环
如果经典可逆卡诺循环在高温热源吸收的热量为QH,对外作的功为W,则热机的效率为
η=W
QH
(1)
以理想气体为工质的可逆卡诺热机的效率为
η=1-TCTH
(2)其中TC、TH分别为低温、高温热源的温度。
以经典理想气体为工质的可逆卡诺热机循环
中,其在等温过程中,系统和热源始终保持接触,系统的温度不变,即使活塞移动即气体的体积改变但
系统在此过程一直保持平衡。经典理想气体状态方程为
PV=NkT
(3)
其中P为气体压强,V为气体体积,N为气体分子数,k为玻尔兹曼常数。在等温过程中满足
PV=C
(4)
其中C为常数。假设工质为一维单原子理想气体,
则气体的内能满足
E=
12NkT=12
PV(5)
系统的内能在等温过程中始终保持不变。
在绝热膨胀过程中,气体和外界无热交换,因此
活塞移动即气体的体积改变但系统一直保持平衡。活塞的移动过程中,气体对外界作功,气体的内能转变为机械能。系统对外界所作的微元功为
dW=PdV
(6)根据热力学第一定律,在绝热过程中
dE+dW=0
(7)
根据方程(3)、
(5)和(7)可得在绝热过程中满足PV3
=C
(8)
其中C为常数。
2 量子卡诺循环模型
在相对论力学中,自由粒子的能量为E=
c
m2c2
+p2
,其中m为粒子的质量,p为粒子的动




量子卡诺循环
王建辉,何济洲3
,辛 勇
(南昌大学理学院,江西南昌 330047)
摘 要:以经典理想气体为工质的卡诺热机循环由两个等温和两个绝热过程构成,热机可逆时,它的效率为最大。本文建立一种量子卡诺热机循环模型,该量子卡诺热机循环以一维无限深势阱中极端相对论粒子系统为工质。通过分析,发现该量子卡诺热机循环中的等温和绝热过程和经典卡诺热机的等温和绝热过程具有相似之处,它的效率表达式和经典热力学的可逆卡诺热机的效率表达式也类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的能量平均值代替经典热力学中的温度。
关键词:量子循环;无限深势阱;极端相对论粒子中图分类号:O41311    文献标识码:A
  量子热力学循环在理论和实际中都非常重要,如激光、低温下的分子制冷机、固体的激光制冷技术等都与此相关
[1]
,特别是近年来,量子热力学循环
的分析已经引起许多学者的兴趣和关注并得到许多有益的结论,这些量子循环的工作物质不仅包括了
量子气体,自旋1/2系统、谐振子系统等[2-8]
,还涉
及了势阱中的微观粒子
[9-10]
。本文在文献
[9]
的基
础上,根据量子力学的基本原理,分析了以一维无限深势阱中的极端相对论粒子系统为工质的量子卡诺
热机循环,无限深势阱的势阱壁就相当于经典的卡诺循环的活塞壁,则势阱壁的变化就相当于活塞的移动。对于量子卡诺循环,存在可逆的“等温”和绝热过程。通过计算,我们发现量子卡诺循环的效率与经典可逆卡诺热机循环的效率表达式类似,只是用系统的哈密顿量的期望值即系统的平均能量代替经典热力学中的温度即可。
1 经典热力学卡诺循环
如果经典可逆卡诺循环在高温热源吸收的热量为QH,对外作的功为W,则热机的效率为
η=W
QH
(1)
以理想气体为工质的可逆卡诺热机的效率为
η=1-TCTH
(2)其中TC、TH分别为低温、高温热源的温度。
以经典理想气体为工质的可逆卡诺热机循环
中,其在等温过程中,系统和热源始终保持接触,系统的温度不变,即使活塞移动即气体的体积改变但
系统在此过程一直保持平衡。经典理想气体状态方程为
PV=NkT
(3)
其中P为气体压强,V为气体体积,N为气体分子数,k为玻尔兹曼常数。在等温过程中满足
PV=C
(4)
其中C为常数。假设工质为一维单原子理想气体,
则气体的内能满足
E=
12NkT=12
PV(5)
系统的内能在等温过程中始终保持不变。
在绝热膨胀过程中,气体和外界无热交换,因此
活塞移动即气体的体积改变但系统一直保持平衡。活塞的移动过程中,气体对外界作功,气体的内能转变为机械能。系统对外界所作的微元功为
dW=PdV
(6)根据热力学第一定律,在绝热过程中
dE+dW=0
(7)
根据方程(3)、
(5)和(7)可得在绝热过程中满足PV3
=C
(8)
其中C为常数。
2 量子卡诺循环模型
在相对论力学中,自由粒子的能量为E=
c
m2c2
+p2
,其中m为粒子的质量,p为粒子的动
第30卷第2期
2006年4月  
  
南昌大学学报(理科版)
JournalofNanchangUniversity(NaturalScience)Vol.30No.2
Apr.2006

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量,c为光速,对于极端相对论粒子可取E=cp[11]
。因此,极端相对论粒子在势阱宽度为L的一维无限深势阱中的波函数ψ(x)满足
-∂2c2ψ″
(x)-E2
ψ(x)=0(9)其中波函数ψ(x)满足边界条件ψ(0)=0和ψ(L)=0,可以解得波函数为
ψ(x)=∑∞
n=1
an
2
L
sin(
n
πL
x) (n=1,2,3,…)(10)其中系数an满足归一化条件
∑∞
n=1
{an{
2
=1
(11)系统的归一化本征函数为
<n=
2
L
sin(
n
πL
x) (n=1,2,3,…)(12)
能量本征值为
[12]
En=
hc
2L
n (n=1,2,3,…)(13)
系统的哈密顿量的期望值为
E(L)=∑∞
n=1
{an{2
En
(14)假设一维无限深势阱壁像经典卡诺循环中的活塞一样能够移动,当势阱壁变化无穷小量dL时,系统的波函数、本征函数和能级都会随着L发生无穷小变
化,系统的哈密顿量的期望值也会发生无穷小变化。明显地,我们可定义作用在势阱壁的力为
F(L)=-dE(L)
dL
(15)依据方程(13)和(14)可得到
F(L)=∑∞
n=1
{an{
2
hc
2L
2n(16)
在量子等温过程中,由于势阱壁移动,势阱宽度也会发生变化,但系统的哈密顿量的期望值保持不变,这和经典等温过程中温度保持不变是类似的。经典等温过程是系统始终和热源保持热接触来实现的,而量子等温过程可以认为系统和外界通过输入或输出能量(例如利用镭射等方式
[9]
)的方式来实
现。根据方程(14),系数{an{2
即系统处于各种不同量子态的几率必须在此过程中变化使系统能量的平均值恒定。但必须满足归一化条件,即方程(11)。
在量子绝热过程中,势阱壁移动,势阱宽度改变。在绝热过程系统一直保持平衡,因此系数
{an{2
必须保持不变,系统处于各量子态的几率不变,也就是绝热过程中系统所处的量子态保持不
变。根据方程(13)和(14),在绝热膨胀(压缩)过程中,随着势阱壁L增大(减小),能量的本征值减小(增大),因此,系统能量的平均值减小(增大)。量子卡诺循环模型如图(1)所示,它包括两个绝热过程和两个等温过程,闭合曲线ABCD的面积表示在一个循环周期中系统对外界所作的功,即
W=
∮
F(L)dL(17)
图1 量子卡诺循环示意图
3 量子卡诺循环性能分析
考虑处在一维无限深势阱中的粒子系统,为简
单起见,假设粒子只有两个本征态即基态和第一激
发态。在等温膨胀过程A→B,系统的能量平均值恒定为EH,粒子分别处在基态和第一激发态的几率发
生变化。在循环的起始点A粒子处在基态,则起始时刻作用在势阱壁上的瞬时力
FA=
hc
2L21(18)
在A→B等温过程系统哈密顿量的期望值是
EH=
hc2L1
(19)
A→B过程中,势阱壁在移动,系统的哈密顿量的期
望值恒定,系统的状态由基态激发到第一激发态,根据方程(10),在此等温过程中系统的波函数可以写为
ψ(x)=a1(L)2
L
sin(
π
L
x)
+a2(L)
2
L
sin(
2
πL
x)
(20)
并且粒子处于基态和第一激发态的几率必须满足{a1{
2
+{a2{
2
=1,系统的哈密顿量的期望值
EH=〈H〉=
hc
2L
(2-{a1{2
)(21)
根据方程(19)和方程(21)可得
L=L1(2-{a1{2
)
(22)
当{a1{
2
=0,即粒子处在基态的几率为0时,处
・671・南昌大学学报(理科版)
2006年
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在第一激发态的几率为1,这时系统完全处在第一激发态,势阱壁膨胀到L2的最大值且为L2=2L1,在等温过程中作用在势阱壁上的力为
F1(L)={a1{
2
hc
2L
2+(1-{a1{2
)
hcL
2=
hc2L1L
(23)
由此可知一维无限深势阱中极端相对论粒子系统在等温过程满足
LF(L)=C1
与经典理想气体系统在等温过程满足的方程(4)相似。
在绝热膨胀B→C过程中,系统能量平均值变化,系统状态一直处在第一激发态。系统由体积L=L2绝热膨胀到体积L=L3,系统哈密顿量的期望
值为
E2=〈H〉=
hcL(24)
根据方程(15),作用在势阱壁上的瞬时力
F2(L)=
hcL
2(25)即
L2
F(L)=C
(26)
其中C为常数。因此,一维无限深势阱中极端相对论粒子系统在绝热过程满足的方程(26)与经典理想气体系统在等温过程满足的方程(8)不同,不同
的系统在等温过程和绝热过程所满足的方程见附表。
附表 不同系统在等温和绝热过程中所
满足的过程方程的比较
等值过程经典理想气体
非相对论粒子极端相对论粒子
等温过程
PV=CF(L)L=CF(L)L=C绝热过程
PV3
=C
F(L)L3
=C
F(L)L2
=C
类似地,等温压缩过程C→D,系统能量平均值为EC,势阱壁由L=L3变化到L=L4,系统哈密顿量的期望值保持不变,系统的状态由第一激发态回到基态。此时,势阱壁压缩到L4=1
2
L3。系统哈密顿
量的期望值一直保持为
EC=〈H〉=
hc
L3
(27)
作用在势阱壁上的瞬时力为
F3(L)=
hcL3L
(28)
绝热压缩过程D→A,系统能量平均值变化,系统状态一直处在基态。势阱壁由L4压缩到L1,系统哈密顿量的期望值为
E4=
hc2L
(29)
作用在势阱壁上的瞬时力为
F4(L)=
hc2L
2(30)
根据方程(17),系统对外界所作的功为
W=
∫L2
L1
F1
(L)dL+∫L3
L2
F2
(L)dL+∫
L4
L3
F3
(L)dL+
∫L1
L4
F4
(L)dL
=∫2L1L4
F1
(L)dL+∫L32L1
F2(L)dL+∫
L3/2L3
F3
(L)dL+∫
L1
L3/2
F4
(L)dL
(31)利用方程(23)、
(25)、(28)和(30)可得,W=
ln2
2
hc(1L1-2L3)(32)在等温膨胀过程A→B过程中,系统从外界吸收的热量为
QH=∫2L1L4F1(L)dL=
ln2
2L1
hc(33)循环的效率为
η=WQH
=1-2L1
L3
(34)
根据方程(19)和(27),效率亦可表示为
η=1-ECEH
(35)
与非相对论粒子系统的量子卡诺循环的效率公式相同[9]
。对照方程(2)可以看出,量子卡诺循环中效率公式与经典卡诺循环中效率公式相类似,系统哈密顿量的期望值就相当于经典卡诺循环中热源的温度,只要将系统哈密顿量的期望值代替热源的温度,即可以获得量子卡诺循环的效率公式。
4 小 结
本文分析了处在一维无限势阱中单个粒子系统,对无相互作用的多粒子系统应想象为由无穷多的处在各自势阱中的粒子组成,则系统的哈密顿量的期望值也就是这些单个粒子系统组成的系综的能量平均值,系统的能量平均值即为单个粒子哈密顿量的期望值乘以系统的粒子总数。本文利用量子卡诺循环模型,获得了处在一维无限势阱中极端相对论粒子系统卡诺循环的效率表达式,与经典卡诺热
・
771・第2期     王建辉,等:量子卡诺循环4
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机的效率表达式相似,只是极端相对论量子卡诺循环的效率表达式中系统哈密顿量的期望值相当于经典卡诺热机效率表达式中的温度。同时,本文还具体比较了经典卡诺热机、非相对论量