BS 随机微分方程，解析解, 两边取\ln，容易看出来\ln S_t满足一个期望线性增长（由(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t描述）的正态分布

从现实角度出发，股票价格被假设为服从马尔科夫过程（Markov Process）是否合理？

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李巨格，孤云独去闲

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股票价格是否具有马尔科夫性，取决于交易员和股民的记忆长短，还有他们行为模式是不是整齐划一。极端地说，如果所有股市参与者都有一个全同的交易程序，它制定交易命令时完全依据前2个小时的股票价格信息，那么这显然会造成股票价格的2小时记忆。但对一个高度竞争、参与者策略极度多样化的市场，把价格看做马尔科夫过程是比较合理的。

下面是一点“硬科学”。

在原始的Black-Scholes-Merton模型中，股价被假设为期望漂移率和波动率都不随时间变化的广义维纳过程（几何布朗运动），具体来说每一时刻股价的增量仅仅由这一时刻的股价和几个参数决定：



其中是一个从原点出发，波动率为1的布朗运动，描述股价增长中的随机分量。这是一个简单的随机微分方程，我们知道它的解析解是。如果我们对方程两边取，容易看出来满足一个期望线性增长（由描述）的正态分布。

在现实的股票市场中，如果漂移率和波动率真的始终保持不变，那么股价就是马尔科夫的。但这显然不符合事实，股价期望绝不会不断地稳定上涨，当宏观经济由增长转为衰退时，所有股价都会相应受到影响；而如果市场中存在大量投机参与者，或者大家都相信技术分析的某一套理论，股价波动中的参数也可能因此随时间演化，并关联于自己的历史演化轨迹。在一些情况下，波动率甚至与股价期权的行权价格保持稳定的相关性（波动率微笑）。

一言蔽之，在短期、多样性高的市场中，价格大致可以看做马尔科夫过程；而在宏观经济环境发生变化，或参与者行为模式较为统一（如共同的理念、情绪反应……）的市场里，价格比较可能缺乏马尔科夫性。