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- zh.wikipedia.org/zh-hk/量子態
2.4 態疊加原理 ... 設想在某經典系統裏，有一個粒子移動於一維空間，在時間 t=0 .... 寫為橫排；取右矢的厄米共軛（即取轉置運算加上共軛複數運算），就可以得到左矢。 -
代表。當對此系統做投影式量子測量時，會得到的結果必為這兩個本徵態之一，以特定機率比例出現。此外，這兩個本徵態可以複數係數做線性疊加得到諸多新的量子態.
[DOC]講義
弦波的波方程式：，如果將正弦波代入，對空間微分兩次繪製造出兩次波長 ... 因為此方程式適用於任意頻率的波，而所有的波都可以寫成正弦波的疊加，我們可以 ... 現在我們嘗試允許物質波的波函數成為複數，然後將單頻率波以虛數的指數函數表示為：.[PPT]投影片1
在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 ... 動量翻譯為空間微分運算 .... 如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在空間中的一個區域 ...
[PDF]当概率成为复数——量子概率简介
[PDF]國立成功大學航空太空工程研究所碩士論文複數空間下的氨分子量子 ...
etdncku.lib.ncku.edu.tw/ETD-db/ETD-search/getfile?URN=etd...(Hamilton-jacobi) H-J 方程式獲得氨分子在複數空間下之運動軌跡。將古. 典位勢能加上複數力學之量子位勢能(quantum ..... 圖1.2 不同波函數疊加方式之能階差.
http://einstein.newton.blog.163.com/blog/static/599551652009103085534467/
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月相。谐振子。简正模。偶极子共振。色散。光子静质量。平方反比率。真空极化。负能海。反常磁矩。电荷守恒。波函数相位。AB效应。全息照相。相速度。超光速。群速度。量子噪声。波包坍缩……
相位到底是什么？从小学自然课学月相就开始接触相位，可是直到走上专门研究物理的道路还没有真正弄清楚。谐振子的问题还可以类比月相或荡秋千什么的，到了量子领域就没有什么直觉了。谁都知道全息照相可以记录相位信息，但这里的相位到底是什么？半波损失到底损失了什么？老师说相位是物理量的一种状态。这就很费脑筋了。难道能量不是物理量的一种状态？代表能量的群速度不可以超光速，偏偏允许代表相位的相速度超光速？光锥的概念不适用于相位？量子中振幅的平方可以表征发现粒子的概率，那么波函数的相位指什么？AB效应中磁矢势又是怎样改变波函数相位的？
相位到底是什么？那么重要而常用，却又那么古老而陌生！
本文最初发表于校内-人人网上，收到若干回复：
2008-12-09 18:39相位和能量只是物理学家为了方便处理问题而创造的一种概念
2008-12-13 13:28非线性光学中有些描述你是不是在考虑转动和振动的联系方程？
2008-12-13 13:43限于学识，我只从大学物理的层次讲几点我的看法。首先，相位是物理量的一种状态。我感觉很对。
只要重新考察几个基本概念的定义起源，就会得到一点启示。 1. 粒子和波是物理学的两类基本模型。 2. 波是振动在空间的传播，是一种集体行为。 3.
振动是某些物理量（如位移）的取值在某些特定值（如平衡位置）附近随另一些量（如时间）的变化。 4.
由2、3可知波的分类是跟与之关联的振动的物理量的分类直接相关的。 5.
我们要预言系统的将来的行为（这是所有科学的共同目标），首先要做的就是定义系统的状态。相位、频率和振幅是波动模型中描述波动（振动）状态的量。这就像粒子模型中质点位置和速度一般。总之，相位的重要性是源于波模型的重要性。因为有波模型的地方就会有相应的三个状态量（也许只有前两个是重要的，如量子力学中的ray矢量）。
2008-12-13 13:57相位可能是通过两种情况表现出来的。
首先，同一种状态，由于参考角度不同，对于这个状态的某一个确定性质，比如月圆月缺，不同观看者所得到的是不同的信息，但观察对象月亮是确定的，不同观察者所得到的信息之间相差的只是一个修正，就是一个相因子。
对于确定的事件，相因子不应该对事物本身产生影响，只是加在观察着所得到的信息上的，这是相因子的本质。
但是相因子还有其他形式的表现，前面说了，它是使确定事物的同一状态看起来不一样了，相当于一种不确定性。那么同样可以使不同的状态或者不同一的事物看起来一样或者是一个事物。比如由于周期的存在或者我们对某一事物不是完全确定时，相因子是对不同状态的表征。去掉相因子，不同的事物看起来可能会一样。这也是一种不确定性。这是相因子的另一种起作用情况。 回复
2008-12-13 14:57经典物理中的相位没有严格的物理意义，是为了简化公式把物理学方程从实数域扩张到复数域后的产物。
量子物理中的相位有物理意义，表示量子物理系统中内部（内禀）空间的自由度。在路径积分中，整个的作用量可以看作是一个相位因子，这时候对量子态的演化有作用。 回复
2008-12-13 17:34顶楼上.
相位的引入意味着自由度增加，量子场论中，实标量场只能描述一种粒子，而复标量场则能描述2种粒子——粒子与反粒子，粒子和反粒子构成了一个内部空间。 回复
2008-12-13
18:20问题问得很好，但是我水平有限，不知该怎么回答。我最近正在学群论与规范场论，也许等你将来读研究生学到这些东西时可能会对此有更深的理解。相位变换数学上对应U(1)群，是可交换群，是一种最简单的物理系统对称方式。还有更复杂的方式，比如说三维空间旋转对称SO(3)，以及与其类似的SU(2)群等等...
物理定律或多或少地满足一定的对称性，换言之，会在一定的坐标变换下保持不变（而这些坐标不限于我们熟悉的三维空间坐标），相位算是其中的一个坐标吧。
我说得很乱，因为我也不懂，如果我哪天想清楚这些问题了我会再给你留言的，但也许很久都不会想明白。我写这么多只是为了帮楼主开阔一下思路，千万别当真。我真的不懂。
2008-12-13 19:53相位是决定一个物理量（事物）在某一瞬时的状态的物理量，所以它就代表了物理量（事物）的一种
状态。于是，相速度就是一个物理量（事物）的状态的时间变化率，所以，相“速度”并不是一个严
格意义上的速度。以电磁波为例，相位的“传播速度”并不是电磁波实际的传播速度，且在任何参考
系中都是一样的；在介质中，相速度=c/n＝ω/k，其中n为介质对该频率电磁波的折射率，它可以小于
1，如普通的物质对x射线等频率较大的光的折射率就小于1，这样，相“速度”就大于光速了，但这里
的大于光速只是概念的意义而已，也许相“速度”还真不应该叫相速度。所以，把相位只当一个方便
研究的物理量是我目前的理解。当然，我也觉得这个概念确实还应该有更深的内涵，特别是在量子力学里。 回复
2008-12-13 23:40看看费曼的路径积分应该能解决你这里的很多问题。 回复
2008-12-14
12:35如果要理解相位，先问问自己理解了时间和空间了没。无非从空间时间坐标的描述改到了角度坐标上而已。另外，波函数的相位和普通的相位不一样，不要妄想与现实中的东西对照。波函数是概率幅。不妨理解，相位是强加的。当然，现在这个东西有意义了，那你就按照它实际的意义理解好了，不能理解，先尝试一下理解正电子。
2008-12-14 14:17嗯。。相位是什么。。。 (1) 相位是啥
嗯。。相位因为出现在函数的指数因子上，所以必定是无量纲量。任何物理量无量纲的组合就能作为位相。比如动量与位移的乘积，能量与时间的乘积，角动量与角度的乘积，等等，都能作为相位，还有一些相位比如几何相位或者AB效应中的相位，都是无量纲的积分。如此构造的无量纲量还可以有很多，比方说位移除以波尔半径，不过从未见过。总之，相位的选取是很自由的。
(2) 相干
在光学或量子力学中，相位并不是一个可以直接观测的物理量。因为我们能观测的是强度。波动F[x]=AExp[io],强度是波动的共轭与自己的乘积，所以I[x]=|A||A|，相位o的信息被抹掉了。然而，如果有两个波函数叠加，那情况就不同了。叠加后的波函数F[x]=F1[x]+F2[x]=A1Exp[io1]+A2Exp[io2]，那么，强度I[x]=|F[x]|^2=|A1|^2+|A2|^2+A1A2(*)Exp[i(o1-o2)]+A1(*)A2Exp[i(o2-o1)]=I1[x]+I2[x]+相干项。((*)表示共轭)。相干项中保留了相位的信息，而相位的信息也只能在相干项中体现。因此全息照相需要两束激光同时照射。量子力学与经典力学最大的两个区别在于物理量的不对易与相位的存在。经典力学中两束电子的合强度是分强度之和，而量子力学中因为相位的关系会有相干项。而量子力学过度到经典力学的过程叫做“褪相干”。
(3) 相位可以是虚数么 可以。虚数的相位表示衰减：o[x]=a[x]+b[x]i,
F[x]=AExp[io]=AExp[ia[x]]Exp[-b[x]]。Exp[-b[x]]即是衰减项。 (4) 幺正变换
在量子力学中，体系的状态由波函数表示。当体系发生变换，波函数也会变换。但是波函数对自己的内积永远为一，这是波函数归一化条件（概率队所有情况的积分为1）。满足波函数对自己内积不变的变换称为幺正变换。例如对于体系平移变换，x->x+dx，波函数的变换则是F[x]->U[x]F[x],其中U[x]=Exp[ikdx]。任何一种体系变换，都有与之对应的施加在波函数上的幺正变换。幺正变换必须满足U[x](*)U[x]=I。你也许也看出来了，所谓幺正变换其实是对波函数相因子的修正。所以说，当体系发生变换时，变换的实际上是波函数的相位。局域幺正变换下的对称性还能导出规范场，这是后话。
(5) 相位有什么用
如前所述，相位可以解释相干项的存在，可以表征体系变换，虚数相位还可以描述衰减。除此之外还有很多过程与相位有关。比如说，原子核的磁量子数m其实是在原子波函数的相位上的。当发生磁跃迁时，跃迁算符实际上是在对相位进行操作。还有半经典近似实际上也是关于相位的理论。记不记得波尔H原子模型中的驻波原理？pdx的圈积分是2paihbar的整数倍？实际上半经典近似就是闭合路径的相位变化是2pai的整数倍。 回复
陈成~pure
2008-12-15 12:36回复：学长怎样理解自由度？
陈成~pure
2008-12-15 12:37回复：转动和振动联系方程是？
陈成~pure
2008-12-15 12:39回复：“物理量的状态的时间变化率”为什么允许超光速？
陈成~pure
2008-12-15
12:47回复：学长总结的很好，解决了我关于光学和量子的很多疑问还有一个旧问题：相速度为何可以超光速，这里相位的意义？同时产生一个新问题：楼上有人指出“相位是内禀空间的自由度”该如何理解？
2008-12-16 20:03回复：是啊是啊，哈哈 回复
2008-12-17
16:11回复：我对无限大能量没有什么反对。据说古代印度人认为世界是由一只乌龟驮在身上的。有人问印度老太太，那么乌龟是站在什么上面的呢？老太太说，那还用问，当然是另一只乌龟。用无穷多的乌龟来支持我们的世界，就像无穷大的真空能量一样，都是可以接受的。 回复
相位到底是什么？从小学自然课学月相就开始接触相位，可是直到走上专门研究物理的道路还没有真正弄清楚。谐振子的问题还可以类比月相或荡秋千什么的，到了量子领域就没有什么直觉了。谁都知道全息照相可以记录相位信息，但这里的相位到底是什么？半波损失到底损失了什么？老师说相位是物理量的一种状态。这就很费脑筋了。难道能量不是物理量的一种状态？代表能量的群速度不可以超光速，偏偏允许代表相位的相速度超光速？光锥的概念不适用于相位？量子中振幅的平方可以表征发现粒子的概率，那么波函数的相位指什么？AB效应中磁矢势又是怎样改变波函数相位的？
相位到底是什么？那么重要而常用，却又那么古老而陌生！
本文最初发表于校内-人人网上，收到若干回复：
- 2008-12-09 14:57相位是来描述简谐运动中当前状态相对于一个参考状态的偏离，只有周期运动才能提相位，至少相位是从周期运动中提出的概念。那么为什么在电子运动这类问题中也能谈及相位呢？因为我们总是把复杂的东西分解为简单的。波动的模型很简单，而且通过实验可以证实波函数的假设有其合理性，那么我们就可以用它，相位这个概念就也可以用了。全息照相记录的所谓相位信息就是光波的相位，你学了傅立叶光学自然会明白。
2008-12-13 13:45可以参考：量子力学(Messiah)Vol1
2008-12-13 13:54补充：限于学识，我只从大学物理的层次讲几点我的看法。
只要重新考察几个基本概念的定义起源，就会得到一点启示。 基本看法：跟二楼作者相似。 1. 粒子和波是物理学的两类基本模型。 2.
波是振动在空间的传播，是一种集体行为。 3. 振动是某些物理量（如位移）的取值在某些特定值（如平衡位置）附近随另一些量（如时间）的变化。
我想我们理解的振动应该是从mx”=-kx开始的。它的解的相位定义很容易理解。 4. 由2、3可知波的分类是跟与之关联的振动的物理量的分类直接相关的。
振动的特征也自然而然的赋予了波。 5.
我们要预言系统的将来的行为（这是所有科学的共同目标），首先要做的就是定义系统的状态。相位、频率和振幅是波动模型中描述波动（振动）状态的量。这就像粒子模型中质点位置和速度一般。
总之，相位的重要性是源于波（振动）模型的重要性。因为有波模型的地方就会有相应的三个状态量（也许只有前两个是重要的，如量子力学中的ray矢量）。
2008-12-13 18:30顺便说一下，从感性上我比较赞同我楼上两位的看法。 回复
2008-12-14 12:35回复：对了，你对空间能量无限大有什么个人理解吗？ 回复
2008-12-15
13:13回复陈成~pure：这倒问倒我了，自由度不好回答。恐怕我只能够用线性代数的线性无关性来回答。自由度是经典物理和量子力学的默认守恒量，然而量子场论则可以产生和湮灭自由度。 回复
2008-12-15
19:08经典物理中，在描述波（平面波或者球面波等等）的时候，所谓的相位一般是波矢与时空坐标的内积，因此平面波的相角事实上是依赖于坐标系的选取的，从这个意义上来讲，它不是一个好的可观测量，但局域上来讲却是可以说它是个可观测量的。
量子理论中，波函数的相位事实上代表一个事实：实数已经不能描述量子系统，必须引入复数，引入复数之后，可观测的量仍然是在实数域上取值，也就是所谓的左右dirac括号夹一下出的本征值才是可观测量。因此波函数的经典理解是它有一个纯几何学的相，是一个不可观测量，这一点就带来了所谓的薛定谔猫以及EPR佯谬。
但是，如果对量子力学系统做二次量子化，也就是量子场论来说，这种几何学的相位很可能会变成物理的相位，也就是规范场的A-B效应，此时，它是一个良好的可观测量。一般来讲，我们称之为Berry相。在人们没有认识到物理相的存在之前，人们普遍认为矢势A是没有可观测效应的（这也就是为啥它叫规范场），但A-B效应却指出，在规范场中的带规范对称性的荷的粒子如果回转一周会产生一个可观测的相移（可以通过左右手旋光通过磁场然后重新混合看是否仍为输入的圆偏振光来观测）。此时，这个问题就会变得很有意思，虽然规范场本身是非局域可观测的量，但它的非局域效应，一般数学上称为Holonomy，物理上叫Wilson
loop，却是一个很好的可观测的量。
Berry相的出现可以说是理论物理学的一个分水岭，由此产生的分数霍尔效应，分数统计物理，拓扑相变等等可以说是改变了物理学的框架。到今天，这个领域仍然有很多新的物理出现。
回答一下相速度群速度的问题，任何一个波包都是由分波构成的，波包代表的是真实的物理粒子，它的速度（群速度）是绝对不能超过光速的。而相速度本身的定义就是分波的速度，分波对应于构成波包的线性无关基，也就是量子力学理解的线性基，准确的说，它是波包的Fourier分解。在做Fourier分解的时候，我们并没有限制分波的动量，也就是说它可以是任意的，甚至可以达到无穷大！这样的分波是不能携带任何物理信息的，因为它只是数学变换的要求，简单的理解就是，它不真实！那么定义相速度还有什么意义呢？事实上，在研究量子系统的演化过程时，经常要碰到色散，它就定义了系统的色散关系～这里需要Clear一下，相速度不是可以超光速，而是必须一定超光速！v_{p}=w/k=E/P=c^{2}/v
> c
!否则系统就没有色散，就会产生一个很奇怪的非线性波，一般的说，这样的电磁波是不存在的。但是在水波中只要相速度低于声速，就会产生这种波，其实它也没那么奇怪，我们看到的海浪就是这种波。
楼上有人说的“相位是内禀空间的自由度”，这个概念我没有听说过，一般我们讲内禀空间的自由度，就是讲自旋或者规范自由度。前者和相位毫无关系，它刻画的是Lorentz群的旋量表示。后者倒是有关系，但一般不是这么理解规范自由度的，我们前面讨论过规范场，它的自由度称为规范自由度，一般由规范群的生成元刻画，分为在壳和不在壳的情形，分别对应于经典和量子情形。物理相与规范群的表示相关，不同的表示对应于不同的物理相，也就是不同表示的Wilson
Loop所携带的相位信息不一样。（一般我们用的Wilson Loop是Adj 表示，即伴随表示） 以上就是我理解的相位，不足之处，请同仁多指正。
2008-12-16 08:41回复陈成~pure：我在思考，这也许能为大统一有帮助
2008-12-16 13:36回复：你是指真空能吗？ 回复
2008-12-19
17:12我觉得相位是对立统一的基础～～～它不是物理量，它是物理本身～～～
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