Bennett指出任何纯的二体纠缠态都可可逆地转换成最大纠缠态，因此对二体而言，最大纠缠态和部分纠缠态没有本质的区别

Bennett指出任何纯的二体纠缠态都可可逆地

转换成最大纠缠态，因此对二体而言，最大纠缠态和

部分纠缠态没有本质的区别⋯

量子光学学报9(4)：149 157，2003

Acta Sinica Quantum Optica

文章编号：1007—6654(2003)04—0149—09

纠缠的纯化和提取

陈平形， 李承祖

(国防科技大学应用物理系，湖南长沙410073)

摘要：纠缠的纯化和提取在量子信息的理论和实验上都是一个重要的方向，简单回顾了这个方向上的一些主要

进展，并重点介绍了有限个拷贝情况下的纠缠提取。提出了准分离态和提取子空间的概念，得到了从一个混合态

的有限个拷贝中提取纯纠缠态的必要条件及充要条件；并得NT有限个拷贝情况下的最有效的提取方案；考虑了

这些结论在无限个拷贝的情况下的推广。

关键词：量子信息； 纠缠态； 纠缠纯化

中图分类号：O431 文献标识码：A

0 引言

Bennett指出任何纯的二体纠缠态都可可逆地

转换成最大纠缠态，因此对二体而言，最大纠缠态和

部分纠缠态没有本质的区别⋯。在量子信息中最大

纠缠态作为一种物理资源，在隐形传态、量子数据压

缩、稠密编码、密钥分配、量子纠错、量子计算等方面

都起着重要的作用[2-11]。然而，一个处于纯纠缠态

的系统不可避免地要与环境相互作用并导致消相

干，使纯纠缠态变成混合态。使用这种混合纠缠态

进行量子通信和量子计算将导致编码在态中的量子

信息失真。为了避免信息的失真，一个办法就是把

混合纠缠态尽可能地恢复成接近纯纠缠态或纯纠缠

态，这就是所谓纠缠的纯化和提取。纠缠的纯化和

提取不仅有理论意义，而且对发展量子信息技术有

重要的实用价值。

1996年，Bennett等人首先提出了一个纠缠纯化

方案，该方案是从无穷多相同的Werner态中提取出

一

个最大纠缠态[ ]。他们证明了任何2 2系统的

纠缠态l0，如果<≯J lD l声>>{，(J >为Bell

厶

态之一)，则lD可以通过操作和经典通信(Local

，

。

operation and classical communication， )过程

将变成一个Werner态。他们接着证明了只要

Werner态是纠缠态则该Werner态是可纯化的。

Horodecki等人又证明了任何2 2系统的混合纠缠

态都可纯化，并提出了可提取的必要条件，由这个必

要条件和纠缠态的必要条件还可得出自然界存在不

可提取的纠缠态，即束缚纠缠态[13,14]。1998年

Linden等人提出不可能从一些混合纠缠态的单个拷

贝中提出取出纯的纠缠态[15]。

我们先后考虑了从有限个拷贝中提取纯纠缠态

的必要条件及充要条件，提出了准分离态和提取子

空间的概念，并得到了有限个拷贝情况下的最有效

的纯化方案，原则上这些概念和方案都适于无限个

拷贝的情况[16,17]。

本文将简单综述纠缠的纯化和提取的一些主要

收稿日期：2003—11—18

作者简介：陈平形(1969一)，男，湖南湘乡人，理学博士、副教授，主要兴趣是基本量子物理的量子信息

·

150 · 量子光学学报

进展。

1 无限个拷贝情况下可提取的条件

设』0是一个混合态，如果从l0的无穷个拷贝中

通过局域操作和经典通信(LOCC操作)至少可得到

个(m 1)纯的纠缠态，即

D n— l > (1．1)

其中l >是一个纯纠缠态或最大纠缠态，这里，z

趋于无限大，而且，z>m，我们就说』0是可提取的。

1．1 Wemer态的纯化

Wemer态是一个简单的Bell对角态，

：

F l 一>< 一l+ ≠(1 +>< l

+I >< I+I 一>< 一I) (1．2)

其中

l gt~> = (1 01>±I 1O>)／ ；

1 5＆±> = (1 OO>±l 11>)／

一

般地说，一个Bell态经过各相同性的消相干信道

后会退化为Wemer态。其中F称为Wemer的保真

度。

考虑两对粒子系统，其中每对粒子的二个量子

位分别被A、B分享，假设每对粒子都处于一个

wemer态。令每一对粒子为控制位，第二对粒子作

为靶位，进行两体控制非操作(BCNOT)，操作的结

果如表1所示(n．c=nO change)[ ]：

表1 BCNOT的结果

Before After

Source Target Source Target

I > I∞ > n．C． n．C．

I > I∞ > n．C． I >

I > I > n．C． f∞ >

I > I > n．C． n．C．

一

I > I 一> I > n．C．

一

I > f∞一> I > f 一>

一

f > I 一> f > I 一>

一

I > I 一> I∞ > n．C．

操作完成以后，用基I oo>，I Ol>，1 10>，1 11>NN

靶位，则我们可区分开态l >和态l >，但不能

同时区分l > 中的l >及l > 中的l >。

通过简单的运算可得，我们能以大于1／4的几率到

一

个新的Wemer态，其保真度为F

F =而F2

一

+(1

)／3-F

+

)

5

2

(

／9

一F + 2F(1 F 1而=—／一9(I1 ．31)，

)／3+5( 一F) ⋯如果F > 1／2，则F >F。然后我们把两个保真度

为F 的w 进行上面类似的操作。由于在整个1／2

< F<1范围内F >F，因此通过无数次上述操作

后，我们可得到一个足够纯的纠缠态。

1．2 任意2 2系统混合纠缠态的纯化

一

个2 2系统的混合态』0如果是纠缠的，则它

的部分围置矩阵』0Tz存在一个负的本征值，假设

l >是与这个负本征值相应的本征矢量。不失

一

般性，l > 总可表达为：

l， >= 口l 00>+b l 11> (1．4)

这里a．b三三=0，且有< l』0 z l >< 0，< l

pT2 l >< 0，这意味着：

< ， ojr／-／'2 I』0丁2 l， ojr／-／"2>< 0 (1．5)

这里I 2>= (1 00>+I 11>)且

cu =

假设p表示经过局域操作J cU后ID的态[ ]，即

=

(1．6)

由不等式(1．5)，我们可得：

了、rP{z <0 (1．7)

这里P2=l >< l，只要我们算出P z的本

征值及本征矢量，就可证明满足(1．7)式的 是纠缠

态，且总存在一个Bell态l > 使得：

TrPo~> 去 (1．8)

其中P0=l >< 声1。这个式子说明任何一个2

2系统的混合纠缠态』0，总可找到一个局域操作把

它变成卢，且有< l l >> 1。由Bennet的

文章[ 可知』0是可提取的。至此，我们说明了任何

陈平形等纠缠的纯化和提取

2 2系统的纠缠态都是可提取的。

1．3 束缚纠缠态

所谓束缚纠缠态就是不可提取的纠缠态。前面

我们提到一个任意二体系统的态为纠缠态的充分条

件是部分转置为负，1998年Horodecki等人证明了JD

部分转置为负也是二体系统的态P可提取的必要条

件[13]。下面我们用一个简单的方式说明Horodecki

的证明。

假设Alice和Bob拥有一个NlA NB系统的一

个可提取态P，这意味着他们从|D的无穷个拷贝

JD N(N— co)中，至少可得到一个2 2子空间的纯

纠缠态，也就是说总存在一个POV测量，

A ： al 1 0A > < I+ 盘2 I dA > < {

B =bt『0B>< ．，昱f+62 f lB>< 8 f(1．9)

这里a >0，b >0，(i： 1，2)，1 0A>，{1A> 和

} >，} > 是2 2子空间的Alice的基矢，

【0B>，f 1B>，和【 >，f > 是2 2子空间

的Bob的基矢。这个测量使得

A B B = ID (1．10)

P 是一个2 2子空间的纠缠态，当N — co时，它

为纯纠缠态。当对p N进行部分转置操作时，也对

由{0A> ，I 1A> ，{0B>，I 1B> 张开的2 2子

空间作了部分转置操作。因|D 是纠缠态，故存在一

个2 2子空间的态f >，使得

< I p／T2 I >< 0 (1．11)

因i > 只属于这个2 2的子空间，把这个子空间

嵌入|D N所在的整个Hilbert空间，则有：

< f JD v{ >< 0 (1．12)

即P0～的部分转置为负。如果J00N的部分转置为

负，则很明显|D的部分转置也为负。这样就证明了

结论：一个态lD是可提取态的必要条件是ID的部分

转置为负。

部分转置为负能充分保证态是纠缠的，但不能

保证它一定是可提取的。不可提取的态称为“束缚

纠缠”态。这包括二种情况：1．部分转置为负，但不

能提取；2．部分转置为正，但是纠缠态。Horodeck提

供了这样一个束缚纠缠态的例子，

1

10

0 0

0 0

n 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

n 0

厢I

2 }

0 【

1+a }

2 J

(1．13)

上面p的部分转置为正，但它是纠缠态。

下面我们来看可提取纠缠态和束缚纠缠态的物

理图像。一个二体高维系统的混合态，如果存在一

个2 2的子空间，该混合态在这个子空间的投影为

纠缠态，则我们可只考虑这个2 2子空间态的纯化

和提取。由前面的讨论可知2 2子空间的纠缠态

都可提取，因此这个高维的混合态是可提取的。如

果这个高维混合态不存在投影为纠缠态的任何2

2子空间，则要看它的有限个拷贝p N(N 为有限的

整数)中是否存在2 2子空间，以致p ～在这个子

空间的投影为纯纠缠态。如果p N也没有这样的

子空间，则JD是不可提取。由纠缠态的定义我们知

道，如果一个态是纠缠的，则不存在一种纯态分解，

其中每一个纯态都为可分离态。对于束缚纠缠态，

任何一个2 2子空间我们总可找到一个分解，使束

缚纠缠态在该子空间上的投影为分离纯态的混合，

但我们找不到一个分解，使它在所有2 2子空间上

的投影同时为分离纯态的混合。

2 有限个拷贝情况下的纠缠提取[1 ]

讨论无限个拷贝极限情况下的提取，虽然具有

重要的理论意义，但在实际情况下，我们不可能提供

态的无限个拷贝。一个自然问题是，是否可从态的

有限个拷贝中提取出纯的纠缠态?1998年Linden

等人首先指出[ ]，单个拷贝下Werner态不能纯化。

口 0 0 0 口 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 口

n 0 0 0 n 0

0 0 0 口 0 0

0 0 口 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

一2。肝一2

·

152 · 量子光学学报

接着A．kent证明了[18j，对于一个NA N 的混合

态P，如果P的秩r三三=NA·N 一2，则P是不能通

过单个拷贝纯化的。我们彻底的讨论了有限拷贝情

况下的提取(精确提取)，提出了有限个拷贝(包括一

个拷贝)情况下可撮的必要条件[ 、充要条件[ ]及

最有效的提取方案。下面介绍我们在这方面的工

作。

2．1 从有限个拷贝中提取纠缠的必要条件

首先，我们引入两个概念：

2．1．1 新态

对混合态P的任何一个纯分解：

P= Pl l >< l (2．1)

这里l >不一定正交，P >0，Σ =1。如果

我们在(0，1)的范围内改变P 的值，但不改变态

l >，这样得到了一个新的态P ，称P 是P的一

个新态。

2．1．2 准分离态

如果至少有一个P的新态是分离态，我们说P

是一个准分离态，例如，Bell对角态，它有很多个新

态是分离态，因此是一个准分离态。

定理2—1 如果态P是一个准分离态，则不可

能从P的有限个拷贝中提取出一个纯的纠缠态。

证明： 任何一个提取过程，总可由多次局域操

作和经典通信来完成，这些局域操作和通信的效果

可由算子A B来描述，其中A、B分别是Alice和

Bob操作的一系列正算子之积，经过测量后，原来的

态p变成为[ ]：

．o = 2

如果要求P 是一个纯纠缠态I >，则由操作的线

性性，对所有的i应该有

A B l > 一I >

或A B I >一0 (2．3)

其中{l >}是 的一套纯态分解。明显地如果

P可提取，则P的所有新态都可提取。因为P 在(0，

1)范围内的变化只改变提取出l > 的几率，并不

改变态P的可提取性，因此如果有一个新态是分离

态，即P为准分离态，则不能从这个新态中提取出纠

缠态，从而P也是不可提取的。另外，如果P是准分

离态，则p 也为准分离态，因此，不可能从P的有

限个拷贝中提取出纠缠态，这完成了定理的证明。

如果P是准分离态，P的无穷个拷贝也是准分

离态，因此也不可能从中提取出一个真正的纯纠缠

态。但当 一OO时，提取出的态有可能无限地趋近

于纯纠缠态。 ．

下面我们来分析哪些态是准分离态。

对准分离态的差别看上去与分离态的判据一样

复杂，但由于我们只要找到态的一个新态是分离的

就能说这个态是准分离的，因此准分离态的判据比

分离态的判据容易得多，下面给出准分离态的几个

判据。

定理2—2 所有满秩态都是准分离态

证明： 如果在N维的Hilbert空间中有一个态

P，它有N个非零本征值，则我们可选择它的一个新

态为：每个本征态的本位z但邵耿刀, 1。由Wootters

i 、

的文章可知[ ]：任一个混合态都有无穷多种纯态分

解的方式，每种纯态分解之间可用一个变换矩阵相

互转化，该变换矩阵的列构成一组正交归一矢量，如

果二种纯态分解有相同的纯态个数，则交换矩阵为

一

个幺正矩阵。因此，我们可选择一个幺正变换，使

我们选择的新态中的N个纯态成为N个乘积矢量

态，这N个乘积矢量也是这个新态的一种纯态分解

方式。故这个新态是分离态，即满秩态是准分离态。

证毕。

定理2—3 对于2 系统的一个态P

ID= I Xi>< 曩I (2．4)

f= l

这里I z > 是J。的一个本征态分解，且

< Xi l > = Pflij，P 是lD的一个本征值。定义

矩阵 =< l弓>，其中I童，>= 口 Gy

l z >。假设丌 的本征值的平方根从大到小依

次为 1≥ 2≥ 3≥ 4≥ 0，如果 (i= 1，⋯，4)

陈平形等纠缠的纯化和提取 ·153·

其中有二个大于零，则』D就是准分离态。

证明： 由Wootters的理论[ 可知，ID肯定有

一

套纯态分解』 >：

ID=Σ l >< i J

i=1

，，l

=

Σ I >< l

=1

且有一个变换矩阵“ 使得：

<Zi 1 >=J：【如

(2．5)

(2．6)

>=Σ “ l xi>， 1，2，⋯，rn(2．7)

』=1

如果 1一 2一 3一 4>0，则lD是纠缠态，如果

中至少有二个不等于零，不失一般性，假设J：【1> J；【2

> 0， 则我们可通过减少l z1 > 的几率

< 1』 1>，增大J 2> 的几率< 2 I 2>，使

得(2．6)式中的 1减少而增大 2并导致 1一 2一

3一 4=0，即可使l0的一个新态为分离态，因此l0

是准分离态。

上面我们给出了可提取的一个必要条件，下面

我们讨论可提取的充要条件。

2．2 有限个拷贝中可提取的充要条件[17]

设 NB系统的一个混合态pAB为：

^

：

ΣJ；【 1 >< l (2．8)

i= 1

其中k是 的秩， 是P的一个本征值，l >

是对应的本征态。可以证明下面的定理。

定理2—4 从pAB提取出一个纯纠缠态：

I >=Σai l ei>A l >B (2．9)

i=1

的充要条件是：1．所有l >都有一个纯纠缠态

I >

J >=Σb j e >A I厂 >B

i-二10

2 (2．10)

或者2．纯态』 > 包含有I >，不包有J≯>

态的J >则没有{l e >l厂，>， ，J=1，⋯，

优}的成分，其中口 ≠ 0，b ≠ 0；{e }，{e }和

{ }，{厂 }分别是A子系和B子系的二组正交归

一

矢量。

证明： 先证充分性，如果 满足上面的条

件，我们可先用投影操作 和

Pa：Σ {e >A<e l

=

1

PB=Σ l厂2>B<厂 l (2．11)

l= 1

提取出纯态l >，PA，PB分别作用在A，B系统的

Hillert空间上，然而，我们通过局域么正变换把

I e >A和{厂 >B分别转换成I e >A和l >B

并且得到态l >

{ >=Σ6 l Ci>A l >B (2．12)

l= 1

最后，我们通过局域过滤操作[ 。]以非零几率把态

l >转变成l >。再证必要性，假设 不满足

上面的条件，这包括二种情况：1)在任何局域幺正变

换下，所有的纯态I >都没有I >，即 是

分离的；2)一些{ >含有I j5>，没有l > 的

态1 >含有“杂质”成份I e >A l厂 >B。明显

地对第一种情况，pAB是不可提取的。对第二种情

况，为了得到l >，我们必须丢掉“杂质”成份。为

此，必须局域地区别1 j5>和1 e >A l厂 >B而不

破坏l >，但这是不可能的，因为态l > 和

I e >A l厂 >B都包含有A系统的I e >A和B

系统的1厂 >B，我们无法局域地判断I >中的

态J e >A J厂 >B和“杂质”成份中的态J e >A

l厂 >B。事实上，由于操作的线性性，任何一个局

域操作都不可能区别出二个不同态中相同成份。这

样我们证明了上述定理。

上面的定理也适合于有限个拷贝的情况，如果

我们把 看作一个在Hilbert glu-I 婚

上的一个态，则我们可得到下面的结论。

定理2—5 是可提取的，当且仅当所有

lD 中的纯态I > 中，要么都包含同一个纠缠

态J >，要么一些态包含同一个纠缠态I >，另

的态不含有}l e >A 1厂 >B， ， =1，⋯， }的

成分：这里的{l >A}和{I >B}分别是

·

154 · 量子光学学报

Hilbert空间牌 和N 的一些基矢，l >=

Σ b {e >A{厂J>B，b ≠0，rn 2。

i= 1

上述定理有清晰的物理图像，即如果我们能从

艚( 三三=1)的态中提取出一个纯纠缠态，则一定存

在一个子空间，艚在这个子空间的投影为纯纠缠

态，否则 是不可提取的。我们把这个子空间定

义为可提取子空间，这个子空间的维数就是相应纯

纠缠态的Schmidt数的平方。例如， 在一个子

空间的投影为一个Schmidt数为m 的纯纠缠态，则

该提取子空间为 ，其维数为 。所谓的提取

操作就是把|0 中的已存在的纯纠缠态投影出来，

或者说把所有的提取子空间投影出来。如果p 是

可提取的，则懈 船 维空间中至少包含了一

个提取空间 ( 三三=2)o

因为 在 0 中的投影是一个纯纠缠态

I >，因此如果我们用包含有l >的Schmidt基

的一组基矢写出艘的矩阵形式，由矩阵知识可知

[ ]中至少有m 一m 行元素的m 一 列元素为

零。又因纯态的秩为1，故[ ]的秩最多为NA·

N嚣一 +1，因此，有下面的结论：

定理2—6 如果从 态中可提取一个

Schmidt数为m 的纯纠缠态，则[ ]的秩最多为

·

N 一 +1，且[ ]能表达成至少有m 一

行和 一m 列的元素为零。

下面我们重点分析在2 2系统中，一个混合态

在有限拷贝情况下的提取。

定理2—7 对2 2系统的混合态，只有下面一

类态p在有限拷贝下是可提取的：

fD= 1 l >< l+A2 l >< J(2．13)

其中

l > ： sin0 l 00 > + cosO l 11> ．

I > ：l 01> 或{10>：

或者

I > = sina {01> + COS0t I 10 > ．

1 >= l 0O> 或l 11>

证明： 一个2 2系统的混合态p总能表达

为：

ID= l >< l+(1一 )ID。印(2．14)

ID 是一个分离态，ID肯定包含混合态ID1

p1= 1 l >< l+(1一 1)l >< l

(2．15)

其中

l > =sin0 l 0 >A l 0 > B

+cos0 l 1>A l 1>B (2．16)

I > =(a1 1 0>A+a2 I 1>A)

(b1 1 0>B+b2 1 1>B)(2．17)

l 0> 和l 1> ( = A，B)是Alice和Bob的一套

正交基，由于ID是ID1与一个分离态的混合，因此如果

ID是可提取的，则ID1必须是可提取的。如果al，a2，

b1，b2都是非零，则ID1和10 在任何乘积基下都无

零对角元，由定理2．5得lD1是不可提取的；如果a1，

a2，b1，b2中有三个不为零，由定理2—2可知lD1中

有二个非零的Wootters的 ，即lD1是准分离态，因

此p是不可提取的。这样只有I >=l 01> 或

f >=f 10>，p1才可提取，但是如果p1： 1 f >

< l+k2 f 01><01 f+X3 f 10><10 f，贝0 p1中无零

对角元，由定理2—5得这样的p1不能提取，因此只

有下面的态才可以提取。

fD= 1 l >< l+ 2 J >< l(2．18)

其中

I > = sin0 l 00 > + cos0 l 11> ，

l >=l 01>或l 1O>；

或者

I > = sina l O1 > + COSt~ I 10 > ．

{ >=I O0> 或{11>

证毕。

上面的讨论显示只有一类2 2态才是在有限

拷由下可提取的。但所有2 2态都不可能通过单

个拷贝提取，这是因为提取子空间的Hilbert空间维

数至少为2×2，如果2@2系统中的一个态可单个拷

贝提取，则整个2@2空间就是一个可提取子空间，

陈平形等纠缠的纯化和提取 ·155 ·

这显然不成立。怎样找到提取子空间，读者可参考

文献[17]。

3 最有效的提取方案和提取纠缠的计算

3．1 有限个拷贝情况下最有效的提取方案和提取

纠缠的计算

从上面的讨论可知，对一个可提取态 ，其

中可能有多个提取子空间，而且一些低维的提取子

空间可合并成几个高维的提取子空间。很明显，任

何局域操作都不可能产生一个额外的提以子空间而

不破坏已有的提取子空间，因此最有效的提取方案

肯定是把所有提取子空间不破坏地投影出来的方

案。对于有限个拷贝情况下的提取纠缠可定义为：

l 1 上 l

ED=max{ l“ PiE(j >)} (3．1)

·： 1 J

其中I >是从 中投影出来的第i个提取子

空间的纯纠缠态，E(I >)是该纯态的纠缠度，

只是投影出第i个可提取子空间的几率。因为当几

个低维提取子空间合并成高维提取子空间时(例如

上节中P 的中的4个低维提取子空间可合并成2

个高维提取子空间)，提取纠缠肯定不减少，这是因

为当高维提取子空间分解成低维提取子空间时，实

际上是把高维的纠缠态分解成几个低维的纠缠态，

这可能会破坏一些纠缠，因此k是不能再合并的提

取子空间的个数，最有效的提取方案是把所有不能

再增加维数的提取子空间投影出来。另外，从下面

的讨论中可以看出ED还与 有关，因此(3．1)式中

最大值符号表示对所有可能情况下，ED是最大值。

3．2 有限拷贝中任何2 2混合态的提取纠缠

下面我们来计算2—19式中 B的提取纠缠，

上面我们指出fD 有4个提取子空间或二个更高维

的提取子空间，这4个提取子空间与|D 的提取子

空间有密切联系，事实上10 可以表达为：

ID =

竽 0 0

1

2

』D

0 0 0 0

0 0 2』D 0

lD 0 0 lD霈

(3．2)

从(3．2)式我们可看出，ID 中的三个提取子空间实

际上来自三个对角方阵中的／9@2的提取子空间。另

一

个提取子空间(}33>+}44>) 是由于』D 与

的直积而产生的新的提取子空间。从对称性，这

个规律可以推广到一般情况， 的提取子空间来

自lD 在三个方阵中的提取子空间，再加上一个

』D l1与 的直积产生的新的提取子空间(j 2”l1

一

l>{2 r1—1>+j 2 一 >l 2 >)／√2，其几率

为 ”。当然这些提取子空间还可合并成一些新

的高维提取子空间，通过简单但较繁的计算发现，当

” 5时，不管 取什么值，ED随”的增加而减少，

因此，我们只需计算到”=4时的提取子空间及其

出现的几率即可。由对称性及(3．1)式可算得提取

纠缠为：

Et)( )一x 茅ln3， + a3，

舢竽，警+ {}(3．3)

上式中的Eo的几个值中的最大值，这是因为对不同

的 l，ED( )的最大值与，2有关。对于更一般的

pAB，计算方法与上面的情况完全类似，只是计算稍

复杂一点。

3．3 无限个拷贝情况下最有效的提取方案

上面有限个拷贝的分析及其结论，原则上都适

于无限个拷贝情况。在pAB的无限个拷贝中，肯定

有一些提取子空间，与有限拷贝情况不同， (，，

一oo)在这些提取子空间中投影不要求是一个绝对

的纯纠缠态，仅要求当 一oO时，这些态趋于一个

纯纠缠态。因此，对无限个拷贝，最有效的提取方案

也是把所有可能的提取子空间投影出来，其提取纠

缠就是各投影子空间的纠缠的统计平均再除以拷贝

数，z。当然要寻找无限拷贝情况下的提取子空间可

能更困难，用有限个拷贝的方法已无法达到目的，需

要采取另外的途径。利用局域区分和纠缠提取的关

系可讨论无限拷贝下的纠缠[2Il。

从有限拷贝的分析中我们可看出，并非拷贝数

矗 ．杂

·

156 · 量子光学学报

目 越大，所得到的提取纠缠就越大。而是当 增

到某个值时，获得的提取纠缠达到最大值。原因很

简单，加一个拷贝的目的就是想利用局域操作把这

个拷贝的纠缠转换到别的粒子对中去，这其中要以

损失一些纠缠作为代价。加一个拷贝虽然能产生新

的提取子空间，但获得这个提取子空间的几率随

的增大而减少，因此新的提取子空间对获得纠缠的

贡献越来越少，以致平均每个拷贝能获得的提取纠

缠减少。对于无限个拷贝，我们知道最初Bennett提

出的纯化方案是纯化Werner态，Werner态是一个

典型的准分离态，因此不可能从它的有限个拷贝中

获得完全的纯纠缠态，只有当 一∞ 时，才能得到

一

个极限情况下的纯纠缠态。虽然 一∞ 时，会损

失更多的纠缠，但这是不得已而为之，否则得不到纯

纠缠态，从应用的角度看，虽然我们浪费了很多纠缠

资源，但为了获得高保真的信息，必须以此为代价。

总之，讨论有限个拷贝的情况下的提取，有重要

的实际意义。我们讨论了任意二体态在这种提取下

的充要条件。该条件有清晰的物理意义，反映了提

取过程的本质，并且我们还发现有限个拷贝情况下

的提取与无限个拷贝下的提取有本质相同的最有效

提取方案，但提取过程有差别。

关于多体纠缠态的提取可参考文献[22]。关于

纠缠纯化的实验方案可参考文献[23]。

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The Purification and Distillation of Entanglement

CHEN Ping—xing， LI Cheng—ZU

(Department ofApplied Physics，National University ofDefense Technology，Changsha，410073 P．R．China)

Abstract：Distillation and purification of entanglement is an important field of quantum information both in

theory and in experiment． This paper presents some main conclusions in this field，and discusses mainly the

distillation of entanglement from finite copies of a mixed state．By using the conceptions of quasiseparable state

and distillable subspace， we show a necessary condition and a sufficient and necessary condition of the

distillability from finite co pies of a mixed state． W e also get the most efficient protocols of entanglement

distillation for the case of finite copies． Finally we consider the generalization of these Ilesults to the case of

infinite copies of a mixed state．

Key words：quantum information； entangled state； purification of entanglement