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纯 粹 数 学
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。
1．集合论与数学基础
本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(Gdel)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现．
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。
1．集合论与数学基础
本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(Gdel)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现．
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2．测度论
测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：
测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：
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其中ω为适当的权函数．m′不但具有m的所有性质，且具有右零不变性．这些方法在后来他与S．博赫纳(Bochner)研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．
1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书．
1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书．
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3．遍历理论
冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：
，对保测变换T，遍历平均
依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子
UTf(x)=f(Tx),xX
而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”
冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：
，对保测变换T，遍历平均
依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子
UTf(x)=f(Tx),xX
而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”
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4．群论
冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
则下述三个条件等价：
(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围．
冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
则下述三个条件等价：
(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围．
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5．算子理论
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Thorie des operations linaires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：
是算子环，则交换子也是算子环，且．
这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体(H)中满足=()’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Thorie des operations linaires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：
是算子环，则交换子也是算子环，且．
这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体(H)中满足=()’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：
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通过群测度空间的构造，他们得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“论算子环Ⅲ”又给出了Ⅲ型因子的例子．
继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答．
继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答．
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连续几何(continuous geome－try)，并构造出一类重要的连续几何：对任意可除环F和自然数n，F上的2n维子空间构成2n—1维射影几何PG(F，2n—1)．将它度量完备化之后得到的有补模格就是连续几何，记为CG(F)．他证明了希尔伯特空间中的Ⅱ1型因子具有与CG(F)同构的不变子空间格．
正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．
正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．
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应 用 数 学
1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
1．计算数学
冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律
Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，
它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程
Ut+F(U)=εΔU
代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)．
2．对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得
1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
1．计算数学
冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律
Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，
它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程
Ut+F(U)=εΔU
代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)．
2．对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得
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以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．
极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．
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物 理 学
冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．
冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．
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计算机的理论与实践
在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天
在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天
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有着极大的启发意义．
1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．
冯·诺伊曼曾从N．维纳(Wiener)处了解到中国的情况，产生了到中国访问讲学的愿望．1937年5月，维纳致函清华大学校长梅贻琦和数学系主任熊庆来，推荐冯·诺伊曼作为清华大学的访问教授．可惜，两个月后日本侵华战争的全面爆发，使他们的希望成了泡影．
1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．
冯·诺伊曼曾从N．维纳(Wiener)处了解到中国的情况，产生了到中国访问讲学的愿望．1937年5月，维纳致函清华大学校长梅贻琦和数学系主任熊庆来，推荐冯·诺伊曼作为清华大学的访问教授．可惜，两个月后日本侵华战争的全面爆发，使他们的希望成了泡影．
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