傅里叶变换全息图

第30卷6期

2007年11月

安徽师范大学学报(自然科学版)

Journal of Anhui Normal University(Natural Science)

Vl()】．3O No．6

Nov．2 0 0 7

傅里叶变换全息的计算机模拟

徐满平， 周 杰

(嘉应学院物理系，广东梅州514015)

摘 要：傅里叶变换全息图不是记录物光本身，而是记录物光的傅里叶频谱．利用透镜的傅里叶变

换性质，将物体置于透镜的前焦面，在照明光源的共轭像面位置就得到物光的傅里叶频谱，再引入

参考光与之干涉，在干涉图样中就记录了物光的傅里叶变换光场的振幅和相位的全部信息．利用

MATALB语言的强大的快速傅里叶变换和灵活多变的图像处理能力，完整地模拟了傅里叶变换全

息的全过程．与实际实验相比较，直观、经济；模拟实验参数可调，现象明显，可以加深对傅里叶变换

全息理论的理解．

关键词：傅里叶变换全 g-；夫琅禾费衍射；MATALB；数字全息；计算机模拟

中图分类号：TB877 文献标识码：A 文章编号：1001—2443(2007)06—0663一 04

引 言

全息术是利用光的干涉和衍射原理，将物体发射的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，并在一定条件

下衍射再现，形成原物的三维像、由于记录的是物体的全部信息(振幅和位相)，故称全息术或全息照相、全息

术自激光问世以来，作为光学中的一门新兴前沿学科，得到迅速发展和广泛应用、

根据记录和再现方式的不同，全息术可分为多种类型，如傅里叶变换全息、像全息、彩虹全息、合成全息

等等．傅里叶变换全息图不是记录物体光波本身，而是记录物体光波的傅里叶频谱、利用透镜的傅里叶变换

性质，将物体置于透镜的前焦面，在照明光源的共轭像面位置就得到物光波的傅里叶频谱，再引入参考光与

之干涉，通过干涉条纹的振幅和相位调制，在干涉图样中就记录了物光波的傅里叶变换光场的全部信息，包

括傅里叶变换的振幅和相位．它在光学存储和信号处理中有重要的应用⋯．本文利用MATALB语言的强大

的快速傅里叶变换函数和灵活多变的图像处理能力，完整地模拟了傅里叶变换全息的全过程．与实际实验相

比较，直观、经济；模拟实验参数可调，现象明显．可以加深对傅里叶变换全息理论的理解．

1 实验原理

全息照相过程分为两步：波前的干涉记录和波前的衍射再现．傅里叶变换全息的实验装置，如图1所示．

把要拍摄的物体放在透镜的前焦面(物面)上，透镜 将图像变换到后焦面(谱面)上，得到它的傅里叶频谱．

把记录干板放在谱面上，引入参考光与频谱光干涉，就可得到物体的傅里叶变换全息图．

在用逆光路再现时，只能得到物光场的傅里叶频谱，要经透镜做傅里叶变换后才能得到物体的再现图

I ● ● ● ●

输3．11i ‘ ‘ 谱面

图1 傅里叶变换全息图的记录 图2 傅里叶变换全息图的再现

收稿日期：20Ho7—01—11

基金项目：嘉应学院2005年度科研项目(05ledY16)．

作者简介．-8满平(1963一)，女，安徽岳西人，副教授，主要研究方向：光信息处理和科学计算

Z

安徽师范大学学报(自然科学版)

像，如图2所不．

傅里叶变换全息图常用于图像处理中的空间滤波器．其次，在全息光学元件和光电检测中也能找到它的

应用，例如在对激光作空间扫射的表演中．若能与计算全息相结合就能产生更多的东西．

在拍摄时，首先把物光场通过透镜(作傅里叶变换)得到它的频谱，再引入一参考光与之相干涉，便可记

录下物光波的傅里叶变换全息图．物光场的傅里叶变换可以用MATLAB的 函数由计算机来完成，频谱

的振幅和相位编码也可用其它方法来完成．只要把编码后的数据制作成一张全息图，它就可用激光束再现出

物体图像．这就是罗曼最早关于计算傅里叶变换全息的思想 J．根据再现原理，我们同样可以用MATLAB

的IFFT函数由计算机实现．

如果用计算机来制作全息图，就不再需要大功率相干性能极好的可见光激光器，也不再需要防震平台和

暗室，也不用为高性能的记录材料和相应的化学处理而伤透脑筋．

即可以用MATLAB模拟傅里叶变换全息的全过程．

2 傅里叶变换全息的计算机模拟

根据前面所述原理，将计算机模拟全息过程分成下述五个步骤：(1)选择物体或波面，给出其数学描述或

离散数据；(2)计算物波的傅里叶频谱；(3)计算物波的傅里叶频谱和参考光波在全息图面上的迭加光场分

布，即得到数值化的全息图；(4)用与参考光波方向相同的光波作为再现光，即得到物波的傅里叶频谱；(5)计

算得到在观察面上的衍射光场分布，即得数值化的全息再现图．

2．1 物面和全息图面的抽样

数字计算机通常只能对离散的数字信号进行处理，并以离散的形式输出．因此，计算机模拟全息过程的

第一步是对物波函数进行抽样．设待记录的物波函数为

f(x，Y)=a(z，y)exp[i~o(x，Y)] (1)

其傅里叶变换(空间频谱)为

F(“， )=A(“， )exp[iqo(“， )] (2)

为满足抽样定理 J的要求，物波函数及其空间频谱函数必须是带限函数．

f(z，Y)=0 I 32 I≥ ／2，I Y f≥ z~s／2 ⋯

F(“， )：0 I“I≥ Au／2，I I≥ Av／2 j

在此条件下，根据抽样定理，对物函数及其频谱函数的抽样间隔应为：

1 1 1 1

≤ ，as≤ ；Su≤ ， ≤ (4)

取(4)式中的等号，抽样单元总数M ×N =ZXzAyAuAv．

由MATLAB语言可以绘制各种参数可变的规则形状的模板，另外MATLAB语言提供了从文件中读入

数据的函数，对不规则形状的模板可以从存储文件中读入，数值化为一个M×N矩阵，作为平面透射物体，

即衍射屏．本文讨论了由画图工具获得的汉字“真”的全息过程．并根据抽样定理，对物函数及其频谱函数的

抽样间隔做出相应的设定．

2．2 衍射物波的复振幄分布

用振幄为单位强度的平面光波垂直照明模板．则在相距为2f的记录介质平面上，由上文知，衍射物波的

复振幅u(x，y)分布可由夫琅禾费衍射积分求得．夫琅禾费衍射实质上就是傅里叶变换，其计算机模拟由程

序“function xmp001(M，L，e，w，z)”的第二部分实现．

2．3 数值化的全息图

若参考光为平面波，且传播方向与z轴夹角为e，e角的大小将直接影响再现像的分离L4J，实验中要反复

试验找到合适的e角，如图3．参考光在记录平面上与物光的衍射光场迭加产生干涉，其过程和强度分布图

由程序“function xmp001(M，L，e，w，Z)”的第三部分实现．

2．4 全息再现

用与参考光波方向相同的光波作为再现光，衍射光波的复振幅分布仍可由夫琅禾费衍射积分公式求得．

由程序“function xmp001(M，L，e，w，z)”的第四部分实现．计算得到在观察面上的衍射光场分布，即为数值化

30卷第6期 徐满平，周杰： 傅里叶变换全息的计算机模拟 665

的全息再现图．

3 实验结论

对“真”字模板进行模拟实验，其结果与理论和实际光学实验一致，实验结果见图3．其中参数(e，z，L等)

可调，本文给出不同e角的结果，如图3c，3d所示．由此，可以对全息理论及再现的分离条件有了更深刻和直

观的认识．

4 程序及说明

a 0．60mm汉字“真” b汉字“真”的全息图

c汉7 “真”再现像(e 0．8。) d 汉字“真”再现像(e=0．6。)

图3 “真”字模板模拟实验结果

function xmp001(M，L，0，w，z)％M 是像素(pixe1)点数，取偶数512，L衍射面几何尺寸，L

波长w=6328e一7mm，传播距离z=le3mm，0=0．6 pi／197．8；参数0min~0．910．

％part 1物面和全息图面的抽样

N=L／(w*z)％频域范围一 <u<N

k=2 pi／w；

[X，Y]=meshgrid(1inspace(～1，1，M一1)．*L／2)；

ITI=length(x)；

U=input(’U=’)；％u=imread(’true．bmp’)

Un=size(U)

U=irrt2bw(U)；

Unn=size(U)

figure(1)

imagesc(U)，colormap(gray)％图3a

％part 2衍射物波的复振幅分布

[u，v]=meshgrid(1inspace(一1，1，M一1)．*N／2)；

Ui=fftshift(fft2(U))；

安徽师范大学学报(自然科学版) 2007在

％平行光垂直照射衍射摸板

％part 3记录数值化的全息图

R=exp(i*k．*(X．*sin(0)))；％R参考光

Ud=Ui+R；Ud=ahs(Ud)．‘2；

figure(2)

imagesc(Ud，[min(Ud(：))，0．001*max(Ud(：))])，

colormap(gray)％图3b

％part 4再现像

Uc=R；％ 用与参考光波方向相同的光波作为再现光

U =Ud．*Uc：

U=fftshift(ifft2(U))；

U=abs(U)；

figure(3)

imagesc(U，[min(U(：))，le一3*max(U(：))])，

colormap(gray)％图3c，图3d

参考文献：

[1] 宋菲君．S．Jutamulia近代光学信息处理[M]．北京：北京大学出版社，1998：38—41．

[2] 苏显渝，李继陶．信息光学[M]．北京：科学出版社，1999：173—176．

[3] 苏显渝，李继陶．信息光学[M]．北京：科学出版社，1999：159—165．

[4] 钟丽云，张以谟，昌晓旭．数字全息中的一些基本问题分析[J]．光学学报，2004，24(4)：465—472

Computer Simulation of Fourier Transform Hologram

XU Man—ping， ZHOU Jie

(Physics Department，JiaYing University，Meizhou 514015，China)

Abstract：The spectrum of an object is recorded holographically and used as a complex filter．The hologram is

called the Fourier transform hologram or simply the Fourier hologram ．In this paper，by use of Fraunhofer

diffraction an d holographic theory，computer simulation of the fourier transforn-i holography with MATLAB

6．0．It turns out to be that the results gotten by using MATLAB 6．0 are identical with theory．

Key words：Fourier tran sform hologram ；Fraunhofer diffraction； MATLAB；digital holography；computer

simt】latinn