计算自旋
! ! 算子幺正演化矩阵"（! "）
的新方法及其应用
!
胡明亮
! 惠小强
（西安邮电学院应用数理系，西安
"#$$%#）
（
&$$" 年## 月#" 日收到；&$$" 年#& 月&’ 日收到修改稿）
提出了一种严格求解任意自旋
( ! 算子幺正演化矩阵的方法，该方法不同于群论的方法和直接计算的方法，是
一种间接的算法
) 方法的核心是利用两个系统表示的等价性：即自旋( ! 算子*+,-./01-+1 量#! 2 $%
与
*3-4315367 &&
开链带相互作用
’( 2 "(（) 8 (）的*+,-./01-+1量的等价性，由于存在这种等价性，自旋( ! 算子幺正演化矩阵的计
算可通过
*3-4315367 && 开链中态的演化来实现) 采用该方法计算了! 2 9:&，! 2 & 和! 2 ;:& 时对应的幺正演化矩
阵
) 由于初始态!*〉在算子38 -"$% 下的演化实质上相当于对态!*〉进行一个绕% 轴转角为!2 " 的转动，演化矩阵
元
+!*
’
*
（
"）2〈!*< 38 -"$% !*〉就是转动后的态38 -"$% !*〉在!*< 〉态上的投影值，所以在" 2!时刻的演化矩阵刚好
对应
*3-4315367 && 开链上量子态的理想传输)
关键词：自旋
( ! 算子，幺正演化矩阵，量子态传输
"#$$
：$9%;，$9%"，";#$=
!
国家自然科学基金（批准号：#$;’"$$>）资助的课题)
! ?(,+-.
：,-17.-+17$9$#@A-B0C) 3DC) E1
#F
引言
在量子力学中，体系微观状态随时间的演化规
律遵守薛定谔方程，且对于
*+,-./01-+1 量不显含时
间的情形，体系能量为守恒量，任意时刻体系的状态
可以表示为
"
（ "）〉2 ,（ "）"（$）〉，
其中
"（$）〉为系统初始时刻的状态，,（ "）2 38 -"# 是
描述量子态随时间演化的算符
) 在能量表象中，
,
（ "）可以表示为矩阵形式，称之为演化矩阵) 演化
矩阵元的模方代表某一时刻系统从初态演化到相应
末态的概率
) 演化矩阵的求解不仅是基本量子力学
中的一个重要问题，而且在量子通信和量子计算领
域也会遇到求解演化矩阵的问题
［#—9］)
任意自旋粒子的量子特性是人们极为关注的一
个热门话题
［’—##］，对其幺正演化矩阵的推导一般需
要专门的群论知识或其他较高深的数学工具
［#&，#9］，
很不容易理解
) 采用级数展开的方式比较好懂，但只
能严格求解
! 2 #:& 和! 2 # 的情形) 本文提出了一
种利用
*+,-./01-+1 量等价性严格求解任意自旋( !
算子幺正演化矩阵的方法，该方法通过比较在空
间
!*〉（* 2 8 !，8 ! G #，⋯，!）中*+,-./01-+1 量#!
2
$%
与在空间
(〉2#G
(
$〉#)（ ( 2 #，&，⋯，)）中相
互作用
’( 2 "(（) 8 (）时对应*+,-./01-+1量#%% 2
$
)
8 #
(
2 # ’( （
#
%
(
#%
(
G # G#-
(
#-
(
G #
）
:’ 的等价性，将自旋( ! 算子
幺正演化矩阵的求解转化为由
&! G # 个自旋( #:& 粒
子组成的
*3-4315367 && 开链中量子态(〉的时间演
化矩阵的求解
) 该方法的优点是简捷易懂，并且可以
严格求解任意自旋
( ! 算子的幺正演化矩阵)
&F *+,-./01-+1
量的等价性
对自旋
( ! 算子，其幺正演化矩阵元可表示为
+
!
*
< *
（
"）2〈!*< 38 -"$% !*〉，+!
*
< *
（
"）模的平方代表某
一时刻系统从初态
!*〉演化到末态!*< 〉的概率)
在
!*〉张开的&! G # 维*-.536/ 空间$*
中，
*+,-./01-+1
量#! 2 $%
对应的表示矩阵元为
.
!
*
< * 2〈!*< #! !*〉2〈!*< $% !*〉
第
;" 卷第% 期&$$> 年% 月
#$$$(9&H$:&$$>:;"
（$%）:99#H($;
物理学报
IJKI L*MNOJI NOPOJI
Q0.);"
，P0)%，=C13，&$$>
"
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&$$> JR-1) LRB4) N0E)
!
!
（! " "（）! # " # $）%& （"’! " # $），
!
（! # "（）! " " # $）%& （"’! " " $），
(
（"’" " ) $ { ），
（
$）
其中利用了关系
#
) !"〉! !（!#"）（! ) " # $） !，" ) $〉
和
#
$ !（ ## # #"
）
%&*
另一方面，在
%〉!!#
%
(〉$&（ % ! $，&，⋯，&）
张开的
& 维+,-./01 子空间#%
中，
+23,-145,25 量’$$
!
%
&
" $
%
! $ (% （
!
$
%
!$
%
# $ #!)
%
!)
%
# $
）
%6 对应的表示矩阵元为
*
$$
%
’% !〈%’’$$ %〉
!
〈%’%
&
"$
%
! $
$6
(
% （
!
$
%
!$
%
#$ #!)
%
!)
%
#$
）
%〉
!
(
% %& （ %’! % # $），
(
%"$ %& （ %’! % " $），
(
（ %’" % ) $ { ），
（
&）
其中
(% ! !%（& " %）*
若系统初始态为
%〉（ !"〉），则任一时刻系统
量子态的动力学行为完全由空间
#% （ #"
）中初态的
时间演化决定，所以若取
& ! &! # $，并把%〉与"
! "
（& " $）%& # % " $〉对应（如图$ 所示），则通过
比较（
$）和（&）式可以发现+23,-145,25 量’!
与
’$$
对
应的表示矩阵元完全相同，也就是说
+23,-145,25 量
’
!
与
’$$
是等价的，从而我们可以将求解自旋
7 ! 算
子的幺正演化矩阵问题转化为求解相互作用
(% !
!
%（& " %）时由&! # $ 个自旋7 $%& 的粒子组成的
+/,8/5./09
++ 开链中态的演化问题，即求
,
$$
%
’% （ -）!〈%’/" ,-’$$ %〉* （:）
图
$ %〉和!"〉的对应关系图
:;
系统本征态的求解
假设系统初始时刻处于态
%〉，由于+23,-145,25
量
’$$
不显含时间
-（!’$$ %!- ! (），体系的能量为守
恒量，因此
- 时刻系统的状态（取"! $）可以表示为
#
（ -）〉! .（ -） %〉! /" ,-’$$ %〉* （6）
其中，
.（ -）! /" ,-’$$ 为描述量子态随时间- 演化的算
符，采取能量表象（以能量本征态为基矢的表象），
把
%〉表示成
%
〉!% &
/
! $
$
〉
//
〈$ %〉!% &
/
! $
0
/，%$〉
/
；（<）
$
〉
/
是包括
’$$
在内的一组守恒量完全集的共同本
征态，即
’
$$$〉
/
! 1/$〉
/
； （
=）
1
/
为相应的能量本征值，
/ 代表一组完备的量
子数
*
根据（
<）式可得在以%〉为基矢的表象中，$〉
/
可以表示为
$
〉
/
!% &
%
! $
%
〉〈%$〉
/
!% &
%
! $
0
&/
，
% %〉， （>）
其中
0&/
，
%
为
0/，%
的复共轭，将（
>）式带入（=）式可得态
叠加系数满足的方程为
&
1/0/，% ! (%"$ 0/，%"$ # (%0/，%#$
， （
?）
由上式并结合
+23,-145,25 量’$$
与
’!
的等价性以及
归一化条件可以解得
1
/ ! " & " $
& #
/ " $，
0
$，$ ! $%!&&"$，
0
/，$ !（" $）/#$ 0$，/
，
0
/，% ! &1/0/，%"$ " !（% " &（）& " % # &）0/，%"&
!
（% " $（）& " % # $）
（
% ’&），
（
@）
从而有
- 时刻系统的状态为
#
（ -）〉!% &
/
! $
/
" ,-1/ 0/，%$〉
/
* （$(）
6;
演化矩阵的计算
对于初始态
%〉，由于0/，%
为实数，故将（
>）式代
入（
$(）式，可将#（ -）〉进一步写为
#
（ -）〉!% &
/
! $
/
" ,-1/ 0/，%’（
%
&
%
’! $
0
/，%’%’〉）* （$$）
结合上式及（
:）和（6）式可得系统演化矩阵元为
,
$$
%
’% （ -）!〈%’#（ -）〉!% &
/
! $
/
" ,-1/ 0/，%0/，%’*（$&）
由于
!（! -）! !$（$ -），所以对任意自旋7 ! 算子，
只要由（
@）式求出态叠加系数0/，%
，然后代入（
$&）式
即可以求出相应的幺正演化矩阵
*
::&(
物理学报<>卷
若将
!（! "）矩阵左下角矩阵元乘上虚数!，右上
角矩阵元乘上
" !，便可得演化算子#" !"#$ 对应的幺
正演化矩阵
!$（! "）%
根据系统
&’!)*+,!’ 量%&&
的对称性可知演化
矩阵
!&&（ "）中独立元的个数为
’
-
(
（( . /）01 （( ! 偶数），
（
( . 2）/ 01 （( ! 奇数） { %
（
23）
对于自旋
! - 20/ 和! - 2 的情形，利用上面方
法求出的幺正演化矩阵与级数展开方法得到的结果
完全相同，对
! 4 2 的情形，级数展开方法已不再适
用，而本文所介绍的方法对任意自旋
5 ! 算子都是适
用的
% 下面我们就以! - 30/，! - / 和! - 60/ 情形为
例，利用上面的方法分别计算它们所对应的幺正演
化矩阵
%
!"#$
" % &’ 情形
当
! - 30/ 时，( - /! . 2 - 1，利用（7）式可以求得展
开系数
)*，+
和相应的能量本征值
,*
，如表
2 所示%
表
2 ! - 30/ 时对应的态叠加系数)*，+
和能量本征值
,*
* )
*，2 )*，/ )*，3 )*，1 ,*
2
"/01 "801 "801 "/01 30/
/
"801 "/01 ""/01 ""801 20/
3
"801 ""/01 ""/01 "801 " 20/
1
"/01 ""801 "801 ""/01 " 30/
将上述结果代入（
2/）式，并且把行和列的编号
-
$（ +$ ）和-（ +）按由大到小的顺序排列（即-$（ +$ ）
大的在上面，
-（ +）大的在左边），即可求得! - 30/
时对应的幺正演化矩阵
!
（! "）- !&（& "）
-
9+:
3 "/
"
" ! 3:!, "/
9+:
/ "/
"
"39+: "/
:!,
/ "/
!:!,
3 "/
"
" ! 3:!, "/
9+:
/ "/
39+:
3 "/
" /9+:
"/
! 3:!,
3 "/
(
" /:!, " ) / ""39+: "/
:!,
/ "/
"
"39+: "/
:!,
/ "/
! 3:!,
3 "/
(
" /:!, " ) / 39+:3 "/
" /9+:
"/
"
" ! 3:!, "/
9+:
/ "/
!:!,
3 "/
"
"39+: "/
:!,
/ "/
"
" ! 3:!, "/
9+:
/ "/
9+:
3 "
æççççççççè
ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø
/
%
（21）
!"("
" % ( 情形
当
! - / 时，( - /! . 2 - 6，利用（7）式可以求得
展开系数
)*，+
和相应的能量本征值
,*
，如表
/ 所示%
将上述结果代入（
2/）式，同样把行和列的编号
-
$（ +$ ）和-（ +）按由大到小的顺序排列，并取! -
:!,
（ "0/），"- 9+: （ "0/），则很容易求得! - / 时对应的
幺正演化矩阵为
表
/ ! - / 时对应的态叠加系数)*，+
和能量本征值
,*
* )
*，2 )*，/ )*，3 )*，1 )*，6 ,*
2 201 20/
"801 20/ 201 /
/ 20/ 20/ ; " 20/ " 20/ 2
3
"801 ; " 20/ ; "801 ;
1 20/ " 20/ ; 20/ " 20/ " 2
6 201 " 20/
"801 " 20/ 201 " /
!
（! "）- !&（& "）
-
"
1
" /!
!"3 ""8!/"/
/!
!3" !1
" /!
!"3 1"1 " 3"/
!
"8!"（/!/ " 2） !/（2 " 1"/
）
/!!3"
"
"8!/"/
!
"8!"（/!/ " 2） 2 " 8!/"/
!
"8!"（/!/ " 2） ""8!/"/
/!
!3" !/（2 " 1"/
）
!"8!"（/!/ " 2） 1"1 " 3"/
" /!
!"3
!
1 /!!3" ""8!/"/
" /!
!"3 "
æççççççè
ö÷÷÷÷÷÷ø
1
%
（26）
8
期胡明亮等：计算自旋5 ! 算子幺正演化矩阵!（! "）的新方法及其应用33/2
!"#"
! $ %&’情形
当
! ! "#$ 时，" ! $! % & ! ’，利用（(）式可以求
得展开系数
#$，%
和相应的能量本征值
&$
，如表
) 所
示
*
将上述结果代入（
&$）式，把行和列的编号’+
（
%+ ）和’（ %）按由大到小的顺序排列，并取! !
,-.
（ (#$），"! /0, （ (#$），则可以求得! ! "#$ 时对应的
幺正演化矩阵为
表
) ! ! "#$ 时对应的态叠加系数#$，%
和能量本征值
&$
$ #
$，& #$，$ #$，) #$，1 #$，" #$，’&$
&
!$#2 !&3#2 !"#1 !"#1 !&3#2 !$#2 "#$
$
!&3#2 )!$#2  4  4 )!$#2 4!&3#2 )#$
)
!"#1  4!$#1 4!$#1  !"#1 &#$
1
!"#1 4  4!$#1 !$#1  !"#1 4 &#$
"
!&3#2 4 )!$#2   4 )!$#2 !&3#2 4 )#$
’
!$#2 4!&3#2 !"#1 4!"#1 !&3#2 4!$#2 4 "#$
"
（! (）! ")（) (）
!
"
"
4
! - "!"1 4!&3!$")
-
!&3!)"$
!
"!1" 4 -!"
4
! - "!"1 """
4 1
")
*
!$!"$
（
"!$ 4 $） !$!$"（$ 4 """
）
4（- "!" 4 1!)） !"!1"
4
!&3!$")
!
- $!"$
（
"!$ 4 $） &3""
4 &$
")
% )
" （- &$!) 4 &3!" 4 )!） !$!$"（$ 4 """
）
-!&3!)"$
-
!&3!)"$
!
$!$"（$ 4 """
） （
- &$!) 4 &3!" 4 )!） &3""
4 &$
")
% )
" ! - $!"$
（
"!$ 4 $） 4!&3!$")
!
"!1" 4（- "!" 4 1!)） !$!$"（$ 4 """
）
! - $!"$
（
"!$ 4 $） """
4 1
")
4
! - "!"1
4 -
!" !"!1" -!&3!)"$
4
!&3!$")
4
! - "!"1 "
æççççççççè
ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø
"
*
（
&’）
"5
结果与讨论
本文把求自旋
6 ! 算子幺正演化矩阵转化为求
78-,8.98:;
++ 开链中单态的演化问题，计算简便、
容易理解，不同于群论和直接计算的方法，由于找不
到一个合适的词来描述，所以称其为新方法
*
对演化矩阵进行分析后发现只有系统从初态
!’
〉（’! 4 !，4 ! % &，⋯，!）演化到末态!，4 ’〉
时的概率才能达到最大值
&，而且对应时刻为( !!，
这相当于对初始时刻态
!’〉绕) 轴转动一个角度
!
*实际上只要我们把时刻( 用角度" 替换，就很容
易发现演化矩阵
"（! (）（"+（! (））正好对应于欧拉角
!
!#! 3时的转动矩阵#（! 3")3）（#（! 3",3））［&$］，初
始态
!’〉在算子84 -(-) （ 84 -(-, ）下的演化实质上就相
当于对态
!’〉进行一个绕)（ ,）轴角度大小为"! (
的空间转动，演化矩阵元就是转动后的态
84 -(-) !’〉
（
84 -(-, !’〉）在!’+ 〉态上的投影值，所以只有从初
态
!’〉到末态!，4 ’〉时的演化概率才有可能达
到最大值
&*
由于
%〉与’! 4（" 4 &）#$ % % 4 &〉存在着一
一对应关系，所以在
( ! ! 时刻% 〉演化到
"
4 % % &〉的概率也为&，这在量子态的传输中有
着重要的应用
* 例如对于一个长度为" 且第% 和第
%
% & 个格点间交换常数为.% ! !%（" 4 %）的
78-,8.98:;
++ 自旋开链，若发送者（<=-/8）把第一个
量子位制备成初态
$
〉! /0, （%#$）3〉% 8-&,-.（%#$）&〉，
则经过时间
( !!，接收者（>09）将在第" 个量子位
上精确的得到该态，即态
$〉被从第一个量子位传
输（演化）到了第
" 个量子位上面* 同样根据前面我
们提到的量子态的空间转动理论可知，若
<=-/8 把前
%
个量子位制备成初态
$
〉! "
%
$
! & "（/0, （%$ #$）3〉% 8-&
$
,-.（%$ #$）&〉），
则在
( !!时刻>09 将在后% 个量子位上精确的得
到该态，即态
$〉被从前% 个量子位传输（演化）到
了后
% 个量子位上面* 这种量子态的传输方案的特
点是对于
<=-/8 编码在第% 个量子位上的信息，>09
只能在他所拥有的第
" 4 % % & 个量子位上以最大
概率
& 获得，而任何第三者（?@8）都不可能通过对
中间信道上的量子位进行测量而以概率
& 获得全
部待传送的信息，也就是说这种通信方式是绝对安
全的
*
))$$
物理学报"A卷
［
!］ "#$%&’)*+ ,，-(’’ .，/01$’2，3()*(#+ 2 4 5667 !"#$ 8 %&’8
(&))
8 !" !9:;65
［
5］ <=(=>?+@ 2，2A&B#(+>= - -，C@$0($* D，-%E%)B1)F> - G，3>&&
-
，H#1$A%) ,，H=(++ 2 !;;; !"#$ 8 %&’8 (&)) 8 #$ 7567
［
I］ J()? K D 566! !"#$ 8 %&’8 2 %& 6!5I!I
［
7］ L(+*()1 M - , !;9I !"#$ 8 %&’8 (&)) 8 ’ !!NI
［
N］ ,>$$( O ,，C@P1$& J 4 3，2$=&’>)? O 3，L%$(0(A( Q !;99
!"#$
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［
R］ D$()$>’ D /，,1%&1+ , J，"#(S($(+( ,，4>+%B>1@$ T，J($* C L，
T(+#(= - O !;;R
!"#$ 8 %&’8 (&)) 8 )) !R!R
［
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［
9］ J()? K，U%) H，W@ 3 !;;; !"#$ 8 %&’8 C %( !7N5;
［
;］ K% K U，3%@ J , 566: *"+, 8 !"#$ 8 *% !9N9
［
!6］ K% K U，"#1) J K，3%@ U，W@1 O L 566R -.)/ !"#$ 8 0+, 8
’’
I65R（%) "#%)1&1）［惠小强、陈文学、刘起、岳瑞宏566R
物理学报
’’I65R］
［
!!］ V#()? T，K% K U，W@1 O L 5667 -.)/ !"#$ 8 0+, 8 ’ 5:NN（%)
"#%)1&1
）［张涛、惠小强、岳瑞宏5667 物理学报’ 5:NN］
［
!5］ Q( K 3 566! -1’,.&1 23/,)34 5&."/,+.$ （ C1%X%)?： L%?#
/*@B(’>) G$1&&
）SI6!（%) "#%)1&1）［喀兴林566! 高等量子力
学（北京：高等教育出版社）第
I6! 页］
［
!I］ K%1 D M !;;R *677&8& !"#$+.$ *’!7（%) "#%)1&1）［谢国芳!;;R 大
学物理
*’!7］
! "#$ %#&’) (* +,-+.-,&/"0 &’ ."/&,12 #3(-.&/(" %,&1/4
!（$ )）(*
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+ ! (6#1,&(15 ,") /&5 ,66-/+,&/("5!
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R期胡明亮等：计算自旋Y $ 算子幺正演化矩阵!（$ )）的新方法及其应用II5I
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