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- LostAbaddon
- GZK8
最近一直在想量子场论为什么会发散，是纯计算导致的发散呢，还是有其内在根源。
从场论的一些基础性假定出发，可以做一系列的逻辑思考，在这里已经能看到场论的发散是内在的。
场论有两个最基本的假定：
1，相互作用都是定域的；
2，所有物理量都可以用场算符来表达。
但是，这两个假设如果综合考虑上不确定原理以后，将得到许多违背直觉的结论。
尤其，按照这两个基本假定，任何物理量都可以用定域的场算符来表示。而当场被量子化以后，场算符（产生、湮灭算符）所描述的就是场的局域激发与退激发（用某些流派来说，就是从有质量的实在粒子从真空虚空中的跃出与跃入）。
但是，考虑上不确定原理以后，这个过程是有问题的：如果场算符是局部的，那就是说位置不确定为零，对应的就是在局部所产生的粒子必然不是单色的，而且，由于能量-动量不确定度为无穷，所以在一个局域能产生的是所有可能的粒子态。
也因此，当把场论应用到相互作用以后，我们也要求相互作用是局部的且能用场算符来表示的话，那在相互作用顶角上就能产生所有可能的物理与非物理的虚态。
具体到场论计算中，就是说在顶角能产生的虚量子原则上是没有能量上下限的。所以，在最后积分的时候，必然就引起了发散。
从这里已经可以看出：场论中的发散是内在的，而且与其定域性假设和场算符假设相伴随。
但是，依然可以寄希望于某些机制来摒弃这些发散，比如众所周知的重整化。
重整化的哲学本质是把定域性所隐含的“粒子的类点结构”给模糊掉，认为场论中认为最基本的不可细分的类点结构实际上是可细分的，而且其更细致结构对于高能区是敏感的。
这样，等于是将定域性假设在高能区做了一个有效截断，从而将发散给规避掉。
这里不打算对重整化自身的问题做什么讨论，而且本身也有很多问题还没定论，也没法讨论。
下面打算从一个很玩具的模型出发，来看看路径积分下量子场论的内在发散性——这是与重整化与否无关的。
在寻常的路径积分中，我们可以认为由于被泛函积分的函数的幂次的模恒为1，所以整个路径积分很可能是发散的，从而无意义。
为此，将被积函数的幂次修改为如下形式：
i/h*S-\lambda*S^2
S是拉氏量对应的作用量。
这个写法的直觉意义是很明确的：对于不同作用量的可能过程给予一个权重，从而使得高能过程（准确地说是大作用量过程）幂指数地收敛，所以直觉上说，这个积分大概可能是收敛的——至少相比于lambda=0的泛函积分，其收敛性应该是好一点的。
而且，在引入收敛因子前，经典路径对应的是作用量的极小点，因而在引入收敛因子后，该极小位置不会发生改变，从而可知引入收敛因子后，量子扰动对应的非经典路径将得到抑制。
下面，利用寻常的做法，将第二部分的收敛因子作为小项来微扰展开——注意，这里lambda的值必然是很小的，否则在量子力学层面上就应该出现显著的不同，所以这种微扰展开在量子场论已经做过的微扰展开中是可行的。
展开以后，我们可以来分析它的Feynman规则，这个很容易。
然后就是考虑其可重整性。
比如，取拉氏量为自由粒子拉氏量，这时没有额外的相互作用项。很明显，在对lambda的第一阶微扰展开中就已经出现了圈图，不过都是非连通的。转换到动量空间表示以后，我们发现除了最寻常的直接连接的传播子以外，不可约传播子多了一个：z-x-y-z，这里x和y是作用量中的积分单元。
对于这种类型的传播子，事实上在现在的收敛因子作用下，上对应的是三个不同的相互作用顶角，分别是(m^2\phi\phi*)^2、(m^2\phi\phi*)(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi*)和(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi*)^2。其中，第一相互作用顶角将给出对数发散，但第二个将给出二次型发散，第三个将给出四次型发散。
从场论的一些基础性假定出发，可以做一系列的逻辑思考，在这里已经能看到场论的发散是内在的。
场论有两个最基本的假定：
1，相互作用都是定域的；
2，所有物理量都可以用场算符来表达。
但是，这两个假设如果综合考虑上不确定原理以后，将得到许多违背直觉的结论。
尤其，按照这两个基本假定，任何物理量都可以用定域的场算符来表示。而当场被量子化以后，场算符（产生、湮灭算符）所描述的就是场的局域激发与退激发（用某些流派来说，就是从有质量的实在粒子从真空虚空中的跃出与跃入）。
但是，考虑上不确定原理以后，这个过程是有问题的：如果场算符是局部的，那就是说位置不确定为零，对应的就是在局部所产生的粒子必然不是单色的，而且，由于能量-动量不确定度为无穷，所以在一个局域能产生的是所有可能的粒子态。
也因此，当把场论应用到相互作用以后，我们也要求相互作用是局部的且能用场算符来表示的话，那在相互作用顶角上就能产生所有可能的物理与非物理的虚态。
具体到场论计算中，就是说在顶角能产生的虚量子原则上是没有能量上下限的。所以，在最后积分的时候，必然就引起了发散。
从这里已经可以看出：场论中的发散是内在的，而且与其定域性假设和场算符假设相伴随。
但是，依然可以寄希望于某些机制来摒弃这些发散，比如众所周知的重整化。
重整化的哲学本质是把定域性所隐含的“粒子的类点结构”给模糊掉，认为场论中认为最基本的不可细分的类点结构实际上是可细分的，而且其更细致结构对于高能区是敏感的。
这样，等于是将定域性假设在高能区做了一个有效截断，从而将发散给规避掉。
这里不打算对重整化自身的问题做什么讨论，而且本身也有很多问题还没定论，也没法讨论。
下面打算从一个很玩具的模型出发，来看看路径积分下量子场论的内在发散性——这是与重整化与否无关的。
在寻常的路径积分中，我们可以认为由于被泛函积分的函数的幂次的模恒为1，所以整个路径积分很可能是发散的，从而无意义。
为此，将被积函数的幂次修改为如下形式：
i/h*S-\lambda*S^2
S是拉氏量对应的作用量。
这个写法的直觉意义是很明确的：对于不同作用量的可能过程给予一个权重，从而使得高能过程（准确地说是大作用量过程）幂指数地收敛，所以直觉上说，这个积分大概可能是收敛的——至少相比于lambda=0的泛函积分，其收敛性应该是好一点的。
而且，在引入收敛因子前，经典路径对应的是作用量的极小点，因而在引入收敛因子后，该极小位置不会发生改变，从而可知引入收敛因子后，量子扰动对应的非经典路径将得到抑制。
下面，利用寻常的做法，将第二部分的收敛因子作为小项来微扰展开——注意，这里lambda的值必然是很小的，否则在量子力学层面上就应该出现显著的不同，所以这种微扰展开在量子场论已经做过的微扰展开中是可行的。
展开以后，我们可以来分析它的Feynman规则，这个很容易。
然后就是考虑其可重整性。
比如，取拉氏量为自由粒子拉氏量，这时没有额外的相互作用项。很明显，在对lambda的第一阶微扰展开中就已经出现了圈图，不过都是非连通的。转换到动量空间表示以后，我们发现除了最寻常的直接连接的传播子以外，不可约传播子多了一个：z-x-y-z，这里x和y是作用量中的积分单元。
对于这种类型的传播子，事实上在现在的收敛因子作用下，上对应的是三个不同的相互作用顶角，分别是(m^2\phi\phi*)^2、(m^2\phi\phi*)(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi*)和(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi*)^2。其中，第一相互作用顶角将给出对数发散，但第二个将给出二次型发散，第三个将给出四次型发散。
- LostAbaddon
- GZK8
在上述类型的传播子z-x-y-z下，由于4动量守恒，所有的积分都被delta函数约束着，所以问题不大。但在引入相互作用后，比如最简单的\phi^4相互作用，或者标量QED，那就将导致很糟糕的发散性质，而且使得理论不可重整。
但，这样就有问题了，因为收敛因子的引入可以在一定程度上抑制大作用量因子对系统整体路径积分的贡献，但这项因子却导致了理论的不可重整。这种微扰前的直觉结果与微扰后的计算结果的矛盾告诉我们：路径积分的微扰方法在很大程度上将导致发散，而且在某些特殊情况下也将导致理论的不可重整。
所以，对于上述收敛因子，我们需要在一个非微扰的情况下考虑其收敛性，或者就是提出一个新的微扰框架。
这里，采用第一条路：在一个非微扰的情况下考虑在引入收敛因子后理论的收敛性。
由于经典路径对应的作用量是极小的，所以在非特殊的驻值情况下，经典路径是唯一的。换句话说，经典作用量对应了唯一的路径——经典路径。那么，在经典作用量上加上一个小值以后得到的量子扰动作用量对应的路径有多少条呢？
我们可以用量子力学中的路径积分来做一个类比：
量子力学中的路径积分，实际上在经典作用量扰动以后所对应的就是比经典测地线长那么一点点的曲线族。也就是说，经典测地线的长度如果是L，那么L'>L对应的是一族曲线，这组曲线的长度都是L'。那么，这族曲线有多少条呢？这是可以比较精确给出的：
在N维空间中周长为2L'的椭圆旋转构成的N-1维超曲面记为S0，那么上述曲线的数量等于所有同伦与S0的超曲面模掉一个共形因子以后的数量乘以阿烈夫1。
同伦与S0，表示那些超曲面都可以具有任何形状，只要可以连续形变到S0。要求模掉共形，这样就可以把长度上的变化导致的“重复”给扣除。而在（每一张）这些超曲面上，长度为L'的曲线等价于这个超曲面上的单位球上点的数量，因为每个点都可以给出一个该方向上的长度为L'的曲线。这点近似地由同伦到S0保证——但不精确。
那么，同伦与S0的超曲面的数量是多少呢？是阿烈夫2。模掉一个共形群，就等于模掉阿烈夫1。然后还要乘上代表方向的阿烈夫1，所以最后上述曲线的数量为阿烈夫2（阿烈夫2除掉阿烈夫1还是阿烈夫2，所以乘不乘、除不除，其实没区别）。
也就是说，只要L'>L，也就是只要量子路径不是经典路径，那么此时对于给定的L'就有阿烈夫2条路径与之对应。
所以，如果不考虑收敛因子，那么量子力学的路径积分事实上就是对L'的积分，同时对于给定的L'对着所有的阿烈夫2条曲线做求和，所以只要L'>L，那么对应的就是阿烈夫2乘上一个相因子exp(i/h*L')，因而最后的路径积分结果必发散。
在场论中，情况更是如此。量子力学中是路径，而在场论中就是场构形，因而发散肯定更严重。
而即使加上了收敛因子，对于给定的L'，收敛因子给出exp(-\lambda*L'^2)，但是需要乘上阿烈夫2才能得到所有作用量为L'的场构形对路径积分的贡献，所以还是发散的——甚至于，就算L'为无穷大，这里可以等价于给出了exp(-\lambda*阿烈夫1^2)×阿烈夫2，答案还是一个发散。所以，就算是无穷大作用量的虚过程，每个过程都被收敛约束到无穷小，但是无穷多个无穷大作用量虚过程的总效应依然是无穷大。
可见，在不触及到量子场论路径积分基本概念变更的前提下的任何修正，都无法让场论变得不发散。
也因此，在比场论更深层次的物理被确定以前，量子场论注定了过渡产品的命运。
吐槽完毕，继续潜水。
但，这样就有问题了，因为收敛因子的引入可以在一定程度上抑制大作用量因子对系统整体路径积分的贡献，但这项因子却导致了理论的不可重整。这种微扰前的直觉结果与微扰后的计算结果的矛盾告诉我们：路径积分的微扰方法在很大程度上将导致发散，而且在某些特殊情况下也将导致理论的不可重整。
所以，对于上述收敛因子，我们需要在一个非微扰的情况下考虑其收敛性，或者就是提出一个新的微扰框架。
这里，采用第一条路：在一个非微扰的情况下考虑在引入收敛因子后理论的收敛性。
由于经典路径对应的作用量是极小的，所以在非特殊的驻值情况下，经典路径是唯一的。换句话说，经典作用量对应了唯一的路径——经典路径。那么，在经典作用量上加上一个小值以后得到的量子扰动作用量对应的路径有多少条呢？
我们可以用量子力学中的路径积分来做一个类比：
量子力学中的路径积分，实际上在经典作用量扰动以后所对应的就是比经典测地线长那么一点点的曲线族。也就是说，经典测地线的长度如果是L，那么L'>L对应的是一族曲线，这组曲线的长度都是L'。那么，这族曲线有多少条呢？这是可以比较精确给出的：
在N维空间中周长为2L'的椭圆旋转构成的N-1维超曲面记为S0，那么上述曲线的数量等于所有同伦与S0的超曲面模掉一个共形因子以后的数量乘以阿烈夫1。
同伦与S0，表示那些超曲面都可以具有任何形状，只要可以连续形变到S0。要求模掉共形，这样就可以把长度上的变化导致的“重复”给扣除。而在（每一张）这些超曲面上，长度为L'的曲线等价于这个超曲面上的单位球上点的数量，因为每个点都可以给出一个该方向上的长度为L'的曲线。这点近似地由同伦到S0保证——但不精确。
那么，同伦与S0的超曲面的数量是多少呢？是阿烈夫2。模掉一个共形群，就等于模掉阿烈夫1。然后还要乘上代表方向的阿烈夫1，所以最后上述曲线的数量为阿烈夫2（阿烈夫2除掉阿烈夫1还是阿烈夫2，所以乘不乘、除不除，其实没区别）。
也就是说，只要L'>L，也就是只要量子路径不是经典路径，那么此时对于给定的L'就有阿烈夫2条路径与之对应。
所以，如果不考虑收敛因子，那么量子力学的路径积分事实上就是对L'的积分，同时对于给定的L'对着所有的阿烈夫2条曲线做求和，所以只要L'>L，那么对应的就是阿烈夫2乘上一个相因子exp(i/h*L')，因而最后的路径积分结果必发散。
在场论中，情况更是如此。量子力学中是路径，而在场论中就是场构形，因而发散肯定更严重。
而即使加上了收敛因子，对于给定的L'，收敛因子给出exp(-\lambda*L'^2)，但是需要乘上阿烈夫2才能得到所有作用量为L'的场构形对路径积分的贡献，所以还是发散的——甚至于，就算L'为无穷大，这里可以等价于给出了exp(-\lambda*阿烈夫1^2)×阿烈夫2，答案还是一个发散。所以，就算是无穷大作用量的虚过程，每个过程都被收敛约束到无穷小，但是无穷多个无穷大作用量虚过程的总效应依然是无穷大。
可见，在不触及到量子场论路径积分基本概念变更的前提下的任何修正，都无法让场论变得不发散。
也因此，在比场论更深层次的物理被确定以前，量子场论注定了过渡产品的命运。
吐槽完毕，继续潜水。
- 惟一佛乘得滅度
- SUSY9
其实量子力学中也有发散问题，就是平面波的归一化问题。
量子力学中引入了delta函数来解决这问题。更传统的方法则是箱归一化：假定粒子运动的空间有限，而非无限。这也是“更物理”的方法：任何粒子运动的范围都是有限的。
场论中也是一个道理：只要积分范围是无限的（包括动量空间），就有可能出现无穷大。这里要问的问题是：积分范围真的是无限的吗？
Wilson以后，人们已经达成了公式：量子场论只是一个有效理论，从“物理上”来讲，积分范围不应该是从0到无穷。
量子力学中引入了delta函数来解决这问题。更传统的方法则是箱归一化：假定粒子运动的空间有限，而非无限。这也是“更物理”的方法：任何粒子运动的范围都是有限的。
场论中也是一个道理：只要积分范围是无限的（包括动量空间），就有可能出现无穷大。这里要问的问题是：积分范围真的是无限的吗？
Wilson以后，人们已经达成了公式：量子场论只是一个有效理论，从“物理上”来讲，积分范围不应该是从0到无穷。
如果动量积分可以积到无穷，这事实上应该对应到在时空几何上谈论场的时候可以精确到几何点（时空点）。
因而，就像LZ所说的，如果场是定域的，而且是可以局域激发的，那精确到几何点的问题总是成立的，所以动量积分到无穷也总是有效，但这就表示了必然会发散。
反之，如果动量不能积到无穷，这就表示了要么场不能精确到点地讨论，要么时空具有最小间隔。前者更深入地可以理解为场论中的点结构或者准点结构必须被更加细致的结构取代。
这两个可能性似乎正好分别对应了String和Loop，这个很神奇。
LZ最后对阿烈夫2的证明似乎纯属多余……直接认为是空间曲线总数模掉共形变换就好了，直接给出阿烈夫2……
不过，这一段可以看出，似乎LZ认为量子场论的发散除了类点结构导致的发散（也就是LZ第一部分所述的内容）以外，路径积分也能给出发散。这部分发散与物质客体的具体结构无关，而只与对作用量的路径积分有关。所以，按照这一部分的思想，似乎除非可以证明一个非经典的量子扰动作用量对应的虚过程有限，否则发散就是路径积分的必然存在。
但是，我记得生成泛函中Z[J]=W[J]/W[0]，所以即使W[J]发散也不一定Z[J]就发散啊。
当然了，W[J]的阿烈夫2形的发散总是让人感到很不安的。
因而，就像LZ所说的，如果场是定域的，而且是可以局域激发的，那精确到几何点的问题总是成立的，所以动量积分到无穷也总是有效，但这就表示了必然会发散。
反之，如果动量不能积到无穷，这就表示了要么场不能精确到点地讨论，要么时空具有最小间隔。前者更深入地可以理解为场论中的点结构或者准点结构必须被更加细致的结构取代。
这两个可能性似乎正好分别对应了String和Loop，这个很神奇。
LZ最后对阿烈夫2的证明似乎纯属多余……直接认为是空间曲线总数模掉共形变换就好了，直接给出阿烈夫2……
不过，这一段可以看出，似乎LZ认为量子场论的发散除了类点结构导致的发散（也就是LZ第一部分所述的内容）以外，路径积分也能给出发散。这部分发散与物质客体的具体结构无关，而只与对作用量的路径积分有关。所以，按照这一部分的思想，似乎除非可以证明一个非经典的量子扰动作用量对应的虚过程有限，否则发散就是路径积分的必然存在。
但是，我记得生成泛函中Z[J]=W[J]/W[0]，所以即使W[J]发散也不一定Z[J]就发散啊。
当然了，W[J]的阿烈夫2形的发散总是让人感到很不安的。
- 梦想封印
- 丽雅Leah
- Planck11
在N维空间中周长为2L'的椭圆旋转构成的N-1维超曲面记为S0，那么上述曲线的数量等于所有同伦与S0的超曲面模掉一个共形因子以后的数量乘以阿烈夫1。
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这段讲述很不错，不过我实在不能忍住想起一个笑话（不好意思）。 国王问阿凡提，天上的星星有多少呢？ 阿凡提说，就跟您的胡子一边多。 国王又问，那我的胡子有多少呢？ 阿凡提抚着他的驴，说，就跟这尾巴上的毛一边多。
那尾巴上的毛有多少呢？假如宇宙是无限的，尾巴大小也是无限的，那么LA就回答说： 这个简单，当然有阿列夫零根毛
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这段讲述很不错，不过我实在不能忍住想起一个笑话（不好意思）。 国王问阿凡提，天上的星星有多少呢？ 阿凡提说，就跟您的胡子一边多。 国王又问，那我的胡子有多少呢？ 阿凡提抚着他的驴，说，就跟这尾巴上的毛一边多。
那尾巴上的毛有多少呢？假如宇宙是无限的，尾巴大小也是无限的，那么LA就回答说： 这个简单，当然有阿列夫零根毛
- 鲁来豪夫
- Higgs7
海灯法师倒立的一指禅，假定海灯法师的质量为60kg，指头接触面积为1cm^2,
指管承受的抗压强度竟然高达6Mpa，何况指头中间还有关节，关节处承受的抗压强度更大，就算血液不断往手指内的血管加压，也足以将血管或指管肉皮压爆，如何解释？
指管承受的抗压强度竟然高达6Mpa，何况指头中间还有关节，关节处承受的抗压强度更大，就算血液不断往手指内的血管加压，也足以将血管或指管肉皮压爆，如何解释？
- 微风太平洋
- QGP6
看了以后归纳为一句话：量子理论中的发散问题源于相互作用的定域性与不确定性原理的矛盾。
所以需要对两者或两者之一进行修正。从现在的情况看似乎定域性是努力方向，因为重整化针对的是定域性，而且是有效的。实际上我认为对定域性的修正将带来对不确定性原理的重新理解。
所以需要对两者或两者之一进行修正。从现在的情况看似乎定域性是努力方向，因为重整化针对的是定域性，而且是有效的。实际上我认为对定域性的修正将带来对不确定性原理的重新理解。
Documentary频道里有次拍过中国气功专题。金枪锁喉的确让人感到很不可思议。用仪器测试过，那个位置的压强是任何人体组织都不可能承受的，更不用说喉咙的软组织结构处了。但事实上，在高度严格的监控下，气功者的喉咙依然好发无伤。
这点的确很不可思议。
但，除了中国的气功，中国、泰国、南非等许多地方的体技格斗术也有许多不可思议的地方，都是从生物物理角度无法理解的。比如回旋踢对人造成的瞬间冲力是足以透过肌肉层让内藏破裂的，但是在真实格斗的时候，中了回旋踢的人依然可以继续格斗，这是很神奇的。
印度瑜伽等也能实现很多突破人体常规理解下极限的生理行为。
但是，无论如何，这似乎都和量子力学无关，也和LZ的主题无关…………
这点的确很不可思议。
但，除了中国的气功，中国、泰国、南非等许多地方的体技格斗术也有许多不可思议的地方，都是从生物物理角度无法理解的。比如回旋踢对人造成的瞬间冲力是足以透过肌肉层让内藏破裂的，但是在真实格斗的时候，中了回旋踢的人依然可以继续格斗，这是很神奇的。
印度瑜伽等也能实现很多突破人体常规理解下极限的生理行为。
但是，无论如何，这似乎都和量子力学无关，也和LZ的主题无关…………
LZ的后一半在我看来似乎还想提出这么一个观点：量子力学的发散还有部分是路径积分起源的。
当然，在路径积分语义下，不确定原理事实上似乎成了路径积分的一个结果，那么看来说是路径积分和定域性导致发散也未尝不可。
反正，量子的问题现在没人能说清楚……
非定域的作用量确实能够避免发散，但是一般并不能够同时保证能量的正定和微观因果关系，对相对论场论也没什么用。但是定域与否与QM的不确定关系有什么矛盾哪？非定域也并不影响场量在确定点的取值。一般由QM过度到QFT以后，QFT是导不出QM的不确定关系的，因此也就没有这条限制，而只用满足微观因果关系，QM和QFT是完全两个自成体系，在各自的体系内不矛盾就可以了。
发散一定是“坏”的么?发散可以作为一种工具吧，在解释耦合常数的跑动行为和理解有效场论上都很有用。
“如果场算符是局部的，那就是说位置不确定为零，对应的就是在局部所产生的粒子必然不是单色的，而且，由于能量-动量不确定度为无穷，所以在一个局域能产生的是所有可能的粒子态”
这个很精彩！！
原来也想过，是不是不同虚度的粒子态出现的概率不同，那么做圈积分时应该有个类似于分布函数的东西，这个分布也与标度相关，这样看看能不能消除发散同时解释标度行为。
“如果场算符是局部的，那就是说位置不确定为零，对应的就是在局部所产生的粒子必然不是单色的，而且，由于能量-动量不确定度为无穷，所以在一个局域能产生的是所有可能的粒子态”
这个很精彩！！
原来也想过，是不是不同虚度的粒子态出现的概率不同，那么做圈积分时应该有个类似于分布函数的东西，这个分布也与标度相关，这样看看能不能消除发散同时解释标度行为。
- 台湾PiPi
- ExtraDim10
我对阿烈夫什麼的完全不懂, 但我认为将被积函数的幂次修改为如下形式：
i/h*S-\lambda*S^2
S是拉氏量对应的作用量。
破坏了么正性. 此外, 本来大 S 值对应的 exp(iS/h) 可以很有效的彼此相消, 却因为改成上述形式而消不掉了.
i/h*S-\lambda*S^2
S是拉氏量对应的作用量。
破坏了么正性. 此外, 本来大 S 值对应的 exp(iS/h) 可以很有效的彼此相消, 却因为改成上述形式而消不掉了.
楼主的讨论我很感兴趣。
首先我需要指出的是，费曼的路径积分本身是没有严格的数学基础的，即我们不能找到一个那样的测度空间。从其构造上看，出现无穷大我是不会感到意外的，但我却惊奇于重整化之后结果的精确。从这一点上看，费曼至少踏进了一个我们还未知的世界。
其次，我觉得不对易关系和场的局域性导致了发散。
我非常同意楼主的观点：量子场论只是将来的真正的量子力学的一个过渡。
首先我需要指出的是，费曼的路径积分本身是没有严格的数学基础的，即我们不能找到一个那样的测度空间。从其构造上看，出现无穷大我是不会感到意外的，但我却惊奇于重整化之后结果的精确。从这一点上看，费曼至少踏进了一个我们还未知的世界。
其次，我觉得不对易关系和场的局域性导致了发散。
我非常同意楼主的观点：量子场论只是将来的真正的量子力学的一个过渡。
首先楼主所说的同伦应该是微分同胚吧。同伦是函数之间的，微分同胚是微分流形之间的。不过一定要把路径的集盒说成函数也好像没什么关系。
然后，楼主说的阿列夫1貌似其实应该是实数的基数（连续统）：C=2^阿列夫0。阿列夫1的定义是是阿列夫0的sup，不一定是C。虽然因为连续统假设的独立性，也不能说一定不是，但是两者的定义有明显区别。在我们可具体构建的物理世界里面是不会出现阿列夫n(n>0)的因为不会用sup来构建基数。只会出现 2^a来构建新的基数（a为旧的基数）。所以我更不知道楼主的阿列夫2是怎么来的...如果是出自什么书的话请详解。
然后，楼主说的阿列夫1貌似其实应该是实数的基数（连续统）：C=2^阿列夫0。阿列夫1的定义是是阿列夫0的sup，不一定是C。虽然因为连续统假设的独立性，也不能说一定不是，但是两者的定义有明显区别。在我们可具体构建的物理世界里面是不会出现阿列夫n(n>0)的因为不会用sup来构建基数。只会出现 2^a来构建新的基数（a为旧的基数）。所以我更不知道楼主的阿列夫2是怎么来的...如果是出自什么书的话请详解。
我所知道的阿列夫1的出现，是在超限归纳法中用尽所有countable ordinals的情况中（例如实分析的Borel Hierarchy里面）。但是ordinals无论如何不会在时空的流形里面出现吧？？
路径积分然后划分出有效拉式量，得到结果。经过威尔逊总结的方法，我没有看到逻辑上的一致性，不过这种方法确实蕴含了一种深刻的思想。
我可以很有把握的说，路径积分和重整化只是将来更深刻的理论的一个模糊边界，而现在所有的人都徘徊在这个边界之外。
我想重整化可能有比你所说更普适的含义。单从表面上说，重整化只是改变了费曼图计算中无穷大出现的位置，这种改变背后的本质归根结底还是凑数：裸量经圈图修正成物理量，在圈图发散的情况下，将裸量设为无穷是保证物理量有限的直观办法。重整化只是在这么做之后，把裸量中的无穷大“重整”到重整化系数里去，以保证费曼图计算可以顺利进行（譬如，传播子中不出现无穷大的裸量）。我们确实可以期待更精确的新理论避免掉一些无穷大，但反过来说，只要新理论不是在任意能标下都成立的绝对真理，那它就可能还是需要重“凑数”。甚至在新理论不存在无穷大的情况下，我们依旧需要调整裸量大小以使物理量与实验值相符。
重整化一定是某种更普遍的思想的一角。其实无穷大的出现在于量子力学不对易关系与场的局域性，而重整化能解决这个问题，本身来说就是磨掉小尺度的效果，从而缓解不对易关系与场的局域性的矛盾，更确切的说就是一种缓解手段而已。分出的正常部分，舍弃不要，留下临界部分，其实量子场论中的重整化还不能完全的体现这种精神，只有临界现象才给出了重整化的真实意义。反映在量子场论中时就是磨掉小尺度（高能部分），而残留低能部分。
而真正的量子理论应该就是在各个能标都成立的“新理论”，所以现在的重整化思想本质上来说，还显得比较笨拙。史温格、萨拉姆、威尔逊等还只看到最初始的“重整化思想”。
最后的量子理论，可以预见，她的变革应该是彻底的断掉经典观念的影响。在现代的量子力学中，牛顿的力学系统以及爱因斯坦场论系统的影响还随处可见。将来的量子理论，应该是重新构建物理体系，而在这个新体系中，无穷大将不复存在，量子纠缠，非定域等等都可以被逻辑上很好的理解。
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