测不准关系的研究；电子密度及电子动
量密度的界限研究；各种能量泛函同期望值间的
不等式关系研究以及各坐标期望值同动量期望值
间的不等式关系
第22卷第5．期 云20 南师范大学学报 Vo1．22 No．5
02年9月 Journal of Yunnan Normaf~lniversity Sep．2002
密度泛函理论中的界限研究
田国才， 李 琮， 谢笑天， 陶建民， 李国宝
(云南师范大学化学化工学院，云南昆明65OO92)
摘要： 自从密度泛函理论建立以来，它已经广泛、成功地应用于原子、分子、晶体等各个方面，然而严
格的能量泛函至今还没有建立，因此界限研究就成为一种非常重要的研究方法，通过对密度泛函理论中
的界限研究为寻找近似泛函和严格的泛函指明方向。近年来，密度泛函理论中的界限研究存国际上非常
活跃，文章对当今国际国内密度泛函理论中的界限研究的现状、所取得的重要进展作简要的综述。
关键词： 密度泛函理论；界限研究；综述
中图分类号： O641．12 文献标识码： A 文章编号： 1007-9793(2OO2)O5—36一O6
传统的描述多电子体系的量子力学方法是求
解薛定谔方程得到波函数，用波函数来描述多电
子体系的性质，然而波函数不能用实验直接观测，
而且解方程的难度较大，仅能精确求解少数体系。
密度泛函理论用电子密度泛函描述和确定体系的
性质而不是求助于波函数。电子密度是一个非常
重要的物理可观测量，可以通过气态原子或分子
的高能)c一射线或丫一射线的Compton散射实验
直接测定[1]。在多电子体系的量子力学描述中，它
起到了十分重要的作用，正如国际著名化学物理
学家Smith所说的“化学和化学键理论主要是电
子密度的理论L2j。1927年Thomas和Fermi 首先
提出了直接以电子密度作为变量来处理多电子问
题，这样做使得问题简单多了，自此有人称
Thomas-Fermi理论为最原始的密度泛函理论。
由于它采用了局域近似且没有考虑电子间的相关
近似，虽然在过去的许多年中，不少人对Thomas
和Fermi 理论作了很多的修正和改进，但所得结
果不能令人十分满意。因此这种方法被认为是一
种过于简单的模型，对原子分子和固体的定量预
测没有多大实际的重要性。1951年Slater提出的
方法将Hartree-Fock交换能表达为密度的泛
函，曾得广泛应用。1964年Hohenberg和KohnL3J
证明了多电子体系基态的所有性质都是电子密度
的唯一泛函，即体系基态的电子密度分布可以给
出体系的所有信息，并在此基础上导出了能量变
分原理，奠定了密度泛函理论的基础。由此变分原
理1965年Kohn和ShamL4 导出了相应的密度泛
函理论(DI )中的单电子自洽场方程通常称为
KS方程，密度泛函理论用于实际计算开辟了道
路。这一理论经过许多学者Kohn及其同事及
Beck、Longreth、Parr、Perdew、Gadre、Yang 和
Levy等作了大量的工作，发展和建立了局域自旋
密度近似(LSD)L5j、广义梯度近似(GGA)l6]、加权
密度近似(WDA)[7]、轨道函数近似和杂化近似[8]
等方法，使密度泛函理论(DI )已经发展成为一
种十分有用的理论方法。密度泛函理论从上世纪
80年代起获得了迅速的发展和应用，为广大学者
接受。1989年Parr和杨伟涛L9 的《原子和分子中
的密度泛函理论》专著出版，其中收录参考文献
600余篇。1994年Eilis和Perdew[ ]的《分子、原
子簇和固体的密度泛函理论》专著出版，其中收录
参考文献700余篇。1997年在美国亚特兰大召开
的第9届国际量子化学会议上，密度泛函理论已
作为一个卫星会议的内容，受到国际学者的高度
重视。现已广泛而成功地应用于原子、分子、固体
等多电子体系并得到了较好的结果[9 。如：(1)
在化学方面对电负性本质的阐明及理论计算[1 ，
为各种半经验分子轨道法提供理论基础[1。 。
(2)分子的结构和性质、光谱、能谱、热化学、过渡
* 收稿日期：2001一O9—21
十基金项目：国家自然科学基仓资助(项目批准号：29763002)
作者简介：田国才(1976一)，男，云南省曲靖市人，硕士研究生，研究方向：密度泛函
第5期 田国才等： 密度泛函理论中的界限研究 ·37·
态结构和活化势垒等的研究。(3)软硬酸碱理论中
对化学硬度和软度的定量表述及计算。(4)在催化
理论中的应用，解释催化反应机理[1 ]等。鉴于
在发展密度泛函理论方面所作出的重大贡献，美
国学者W．Kohn于1998年获诺贝尔化学奖。然
而在当前得到广泛应用的密度泛函理论(DFT)的
研究中，由于普适性能量泛函的严格形式至今还
不清楚，特别是动量空间的泛函形式，因此许多人
致力于这些量的界限研究，通过研究这些界限为
寻找近似泛函和普适性泛函指明方向，对所得结
果的合理性提供判断依据，尤其是一些较为紧密
的界限，为人们进行数值拟合近似泛函提供了大
量而可靠的信息，利用实验上易测定和理论上易
计算的坐标和动量期望值估算能量泛函。近年来，
国际上密度泛函理论中的界限研究非常活跃并取
得了巨大的进展。
1 密度泛函理论中的界限研究的进展和
取得的成果
界限研究的目的就在于把一些难以计算或实
验不可观测的物理量同物理可观测的量联系起
来，从而为数值拟合近似泛函提供大量可靠的信
息，为寻找一些新计算方法提供指导作用。例如，
1980年Gadre等人[1 9]获得了库仑作用能泛函的
上界[2。。，并结合1979年Lieb[2lj建立的交换能泛
函上界证明了Parr等人[22j1979年提出的电子相
互作用能近似泛函的有效性。Gadre和PathakL2。j
利用解析不等式法对Thomas—Fermi动能校正
项的界限进行了研究，并提出了一个无梯度校正
的原子能量泛函和分子能量泛函，为快速估算原
子和分子能量提供了一种新的理论方法。而
Ghosh等人[2 在对Thomas—Fermi动能及其校
正项分析的基础上利用Hoffma n—Ostenhof等
人[2 获得的动能梯度校正的下界关系及其参量
拟合形式给出了一个较为严格的动能泛函模型。
1996年陶建民和李国宝[2 在对动能梯度项研究
基础上结合Ghosh等人的考虑，提出了一个新的
动能密度泛函模型，在对交换能一级梯度校正的
界限进行研究的基础之上，结合Ghosh等人的考
虑，提出了一个交换能泛函模型。
界限研究在许多方面可以提供我们新的信
息，如：对测不准关系的研究；电子密度及电子动
量密度的界限研究；各种能量泛函同期望值间的
不等式关系研究以及各坐标期望值同动量期望值
间的不等式关系研究等。有关DFT界限理论的研
究从7O年代以来到最近每年都有若干篇论文出
现并取得了巨大的进展。
1．1动能和交换能泛函的界限研究
在密度泛函理论中动能和交换能泛函研究最
多的工作是用梯度展开技术得出动能泛函和交换
能泛函的梯度展开式[ 即TIp]一T。[p]+T [p]
+⋯和KIp]一K。[p]+Kz[p]+⋯其中T0[p]是零
级动能泛函；Tz[p]是动能的一级梯度校正(或
wleis~icker校正)；K。[p]是零级交换能或Slater交
换能泛函，它是由著名的Dirac交换能得出的；Kz
[p]是零级交换能的一级梯度校正。1987年Galve
和I)ehesa[28]用下界变分法由单电子期望值<r>和
原子序数Z给出了K0[p]的一个下限。1989年
DehesaL2 ，1993年Porras和Galvez等人[3叩在研
究中分别应用<r >、<r >、N、(1nr)、<r lnr)对上
述界限进行了很大改进。1996年陶建民和李国
宝L3u应用Carlson不等式、Young不等式及H 6
lder不等式给出了零级交换能泛函K0[p]与实验
可测的物理量(如：平均电子密度(p>、期望值
<r >、动量期望值<p >)之间的不等式关系，建立
了lK0[p]l更为紧密的上限和下限。另外，他们建
立了lK0[p]l与z、<p>的关系，同时证明了总电子
能量E可表示为<p>1／3的多项式。
1985年Shobba等人[。 ]和Pathak等人[。。]建
立了一个平均电子密度p与零级(或Thomas—
Fermi)动能泛函与零级或Slater交换能泛函的比
值关系。1997年陶建民和李国宝[3 ]应用HSider
不等式建立了零级动能和交换能泛函同平均电子
密度的关系，这一关系与前人提出的经验公式吻
合较好，从理论上提供了依据，有望用于建立原子
体系的总能量E和<p>之间的经验关系。
1982年Pathak和Gadre[35j应用三维空间的
Soblev不等式，结合H Sider不等式建立了一个
T [p]和K [p]的下限，更紧密的界限是1996年
由陶建民等人[3 应用Benson不等式得出的。他
们首次建立了原子体系中动能一级梯度校正同各
种坐标及动量期望值紧密下界。从理论上证明了
Slater交换能一级梯度校正存在一个倒易关系，
·
38· 云南师范大学学报(自然科学版) 第22卷
推翻了国外学者认为是正比关系的结论，这一结
果有利于说明原子、分子的静态结构，由于能量泛
函不等式关系的建立，电子密度p可由实验测定，
于是可以建立理论和实验的联系。1996年陶建民
和李国宝[3 1应用Soblev不等式建立了原子体系
交换能一级梯度校正同平均电子密度之间的关
系，发现其结果与真实值非常接近，并建立了一个
与实验值非常接近的经验关系式。
1．2应用信息论方法进行平均电子动量密度和信
息熵的界限研究
应用信息论处理量子力学中的多体问题采用
泛函极值方法，即泛函变分法，这一方法与我们经
常用来处理多体问题的常用技术变分原理是一致
的，只是变分泛函不同。我们知道，密度泛函理论
是包含ThcImas—Fermi均匀电子气的严格理论，
它是以密度分布为变量，变分原理为基础的理论，
而信息论也是以密度分布为变量，变分原理为基
础的理论，只是变分泛函不同，前者是能量泛函，
而后者是信息熵。Sears等人证明了多电子体系的
动能泛函与Fischer信息量之间有一个直接联系，
并且论证了信息论中的变分原理与多体量子理论
中变分原理的一致性。而信息熵是信息论中的一
个重要概念，它是一个客观可观测的一个分布的
不确定度或损失的信息的一种量度。信息论与量
子力学中的不确定关系有着本质联系，因为信息
本身反映了系统的不确定度，一些学者曾利用信
息理论方法成功地解释了量子力学中的一些基本
概念[as,a91，研究Compton散射截面[40](Gadre等
人在这方面作出了杰出贡献，他们研究表明给定
的信息越多，得出的结果与实际结果越符合)以及
DFT 框架内的电子密度及动量密度分布[41,423。
1987年FinkelE 。]应用信息论方法研究了量子力
学中的各种不确定关系，所得的结果与用算符间
的对易关系得出的结果完全一样，应用信息理论
的研究方法主要是建立在最大熵原理— —JayneS
原理[443基础之上的。
1985年Gadre和Chakravorty[4s3建立了平均
电子动量密度<7>与重要物理量(如：期望值<r >、
<p >和<p >)的关系。1989年Dehesa、Porras和
Galvez[4~3得出了<7>和<p>的紧密界限。1998年陶
建民和李国宝[4 ]应用最大信息熵原理得出了<7>
和<p>的一些新的更好的界限，并发现这些界限与
<7>和<p>的Hartree-Fock值非常接近。
1 975年Bialynicki-Birula和Mycielski建立
了一个重要的信息熵的不等式及共轭空间信息熵
之和与坐标及动量变化值之间的关系。应用这些
主要关系和最大信息熵原理，1985年Gadre等
人[48]对原子体系中各种信息熵进行了数值研究
提出了最大信息熵的界限。1997年陶建民和李国
宝[4。1应用最大信息熵原理建立了在坐标和动量
空间的信息熵与期望值及平均电子密度和动量密
度的关系式，数值分析证明其结果大大改进了前
人所做的工作，结果比现有的解析不等式法、对易
子法、下界变分原理等方法都漂亮得多，进一步证
明了信息论方法也是研究密度泛函理论界限的一
种有效方法。
1998年L5。1 Massen和Panose建立了原子
(Thomas-Fermi理论、Hartree-Fock理论)以及
核(谐振子模型)和原子簇( s-Saxon势)的
信息熵与电子数之间的近似关系。在此基础之上
2001年L5 他们建立了核和原子簇的总密度分布
的信息熵与量子力学动量之间关系。这些关系为
研究密度泛函理论中的其他重要物理量的更严格
的界限提供了有力的帮助。
1．3坐标期望值和动量期望值之间的关系研究
坐标期望值和动量期望值是实验可测的有重
要意义的物理量。坐标期望值和动量期望值与多
电子体系的宏观性质相联系的一些不等式已经建
立，并被应用于研究各种界限[5 I5 。如：总动能、
动能和交换能泛函展开式的前两项、直接库仑排
斥能、平均电子密度和平均电子动量密度、原子在
核处的电子密度及电子动量密度、离解能等。1988
年中国科学技术大学学者李建民教授和赵庆
生[5 ，研究了坐标期望值和动量期望值之间的关
系并取得了一些可喜的成绩。王跃和李建民及
Pathak和GadreL56]用不同方法得到了一个<r >和
<p >的关系。1990年Porras和Galvez[盯]得出了
部分期望值及电子数N 的关系。1998年陶建民
和李国宝[58]应用信息论方法中的最大信息熵原
理及多电子体系的Thomas—Fermi半经验关系
及Plindov和Diniriva得出的<pn>，建立了坐标期
望值和动量期望值之间的直接联系，数值研究发
现其结果与这些期望值的Hartree-Fock值非常
一
致。近来，笔者研究发现这些结果许多可以直接
第5期 田国才等： 密度泛函理论中的界限研究 ·39·
应用于分子体系并且也能给出非常有趣的结果。
这些研究有利于根据某一空间的知识了解另一共
轭空间的情况，使两共轭空间统一起来。从而为数
值拟合普适性泛函提供帮助。
2 结束语
密度泛函理论在国际上许多学科领域均获得
广泛应用，关于密度泛函理论应用的论文每年都
有许多篇出现，但该理论仍有交换相关能泛函、电
子密度求值问题，严格能量泛函的建立等问题需
要深入研究，而界限研究是一种非常重要的研究
方法。从上述文献的综述可以看出，在密度泛函理
论的研究中，界限研究是一个非常活跃的领域。目
参考文献：
前这方面研究已经取得一定的成绩，但对一些重
要物理量的更为紧密的界研究仍需深入探索。今
后这一领域的发展方向可归纳为：(1)应用各种不
同研究方法研究坐标空间和动量空间的动能及交
换能泛函及其他重要物理量及相关泛函的更为紧
密界限，为拟合出严格的交换能和动能泛函提供
更好更有力的依据。(2)将原子体系中已经取得的
成果扩展到分子体系，对分子体系的重要物理量
及其相关泛函的界限进行研究，为寻找普适性泛
函提供可靠保障。(3)根据已经得出的紧密界限，
数值拟合近似泛函，并对其数学基础进行研究，建
立严格的泛函，提高密度泛函理论处理多粒子体
系的精度进而完善密度泛函理论。
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Studies oll the bounds for density functional s in DFT
TIAN C-o：)一cai， TAO Jian—rnin， LI C-o：)一bao， XlE Xiao—tian， LI Cong
(Co llege of Chemi stry and Chemi cal Engineering，Yunnan Normal University，Kunmi ng 650092)
ABSTRACT Since the Density Functional Theory put forth in 1964 。it has been widely and successfuUy
employed to atoms，molecules，solids，etc．However the exact forms of energy functional have not be en
known so far。So studies on the bounds to the density functionals are very interesting and important ways
in the De nsity functional theory，they may help us to establish the approximate and rigorous forms of ener—
gY functional。Resently，The studies on the bounds are very actively in the world．In this paper，we tenta—
tively discuss the present situation，progress in the studies on the bounds for density functional in DFT．
KEY W ORDS Studies on bo unds；De nsity Functional Theory；Review
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