盖 尔 芬德 微 观 系统的 一 个 纯 态 被看 作 是 希 尔 伯特 空 间 中的 一 个 与 表 象 无关 的矢 量 的 一 套基矢维 的基 矢 数

组合希尔伯特空间和代数_量子力学的数学基础

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组 合 希 尔伯特 空 间 和 代 数
’
—
冯
・
量 子 力学的数学基 础
李格 盼
量 诺 依 曼 在他 的名 著 《 子 力 学 的 数 学
,
同济 大 学
,
其 数 学 工 具 当然就 是 微 积 分 性质
在 量 子 物理 中
,
研 究 的 是 函数 的
基 础 》 的 序 言 中 盛 赞 了 狄拉 克 量 子 力学 体系 的
无 比美 妙
但 又 指 出 了 其数学 上 不 够 严 密
,
于
量 子态 本 身是 用 一 个 函 数
是 提 出 了 可 分 希 尔 伯 特 空 间 的 厄 密 算子 理 论 作 为量 子 力 学 的 数学 基 础
问题 的
可 是 其 严 密性还 是 成
!
或 去 掉 表象而 为 一 态 矢 表 示 的
出可 与 实 验 结果 相 比 较 的数
, ,
要 申 函数 得
!
其数 学工 具就 必
,
这 可 从 下 列 考 虑 得 到说 明
,
微 观 系统
的 一 个 纯 态 被看 作 是 希 尔 伯特 空 间 中的 一 个 与 表 象 无关 的矢 量 的 一 套基矢
维 的基 矢 数
, ,
然是 泛 函 这 可 用 下 列 图 式 表 示 经 典 物理 数 数
量 子 物理
而 每 一 个表 象提 供 了 该 空 间
Χ Δ鲤 数
,
塑
∀
,
表象 的变 换相 当 于 基 矢 的 转 动 多 能 量 表 象 提 供 了一 套 可 列 无穷
,
函 数 概 念 推 广到 映射概 念
数, 数 的映 射
,
以 谐振 子为 例
即 为 函数
,
而 Ε Δ Φ 数 的映 射 就 称 为 泛 函 集合
而
但是 坐 标 或 动 量 表 象 的基 矢是 # 函
于 是 就要 问
・
更一般 的则 为
却 是不 可 列 无 穷 维 的
,
,
基矢
的转动 怎 么 会 改变 空 间 的 维 数 ∃ 冯
些
集合
,
诺 依 曼对
我 们对 照 一下 微 积 分 学
虽 然 函数概 念是 连 续 函数 的 概 念
,
此 问 题 是 回避 的 而 % 函 数 在 尸 空 间 中无 容身 之
如 此 地广 泛
,
但 是最 后 进 入 大 量 应 用 的却 主 要
,
地 正 是 理 论 的 内在 困 难 研 究 % 函数 了 继
−
8
#&
解 决 的 办 法 当然 就 是
∋ (∗ )%
+
是 其 中的 一 类
即 连 续 函数
,
年 代 盖 尔 芬德
,
,
是从 哪 儿 来 的 呢 ∃ 首先 是 研 究 函 数 的定 义 域
它 们 往往 是数 轴 上 的一 段
等 对 广 义 函 数作 了大 量 研 究 之 后
就有 罗 伯 茨
37
,
于 是产 生 了 区 间
/ .
(0
12
3)
4
、
安托万
5
+ 1.
6+ (
4
、
伯姆
年 伯
?( 0
≅
开
,
闭 的概 念
这 样分 析 的 依 据 是 数 集 的
,
曲9
等 提 出 将 盖 尔 芬德 三 联 式
,
即组合 希
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0
几 何性质 和代 数 性 质
而这 两 者 又 都 包 含在 距
尔 伯 特 空 间 作为 量 子 力 学 的 基 础
离
, 一
姆 还 在 得 克 萨斯 大 学 作 了 演 讲
Α ( )% 0 ?
由 2>
6+
ΧΓ
一川
出 了 一 本小 册 子
,
3
”
4
但 除 了 伯姆 在 : ; < ;
,
概 念之 中
Η
用 距 离概 念 研 究 了 函 数 的 定 义 域
,
4 Β 年 出 版 的《量