北京四中AP物理教学日志（一）：用现代量子场论的观点理解电磁学的一些理论和现象
来源： 韩锋的日志
云舟国际课程中心 韩锋
和北京四中国际班的班主任王实老师讨论过，四中国际班同学学AP课程的目的，是在留美前保持学习状态，参加AP考试拿到五分，也要是扎扎实实的五分，在一个坚实的基础上将来可以攻读更高级课程，而不是急功近利的为了免学分省学费去速成一个四分五分。
正是基于对四中同学学习理念的高度认同，所以我们很重视在四中的AP教学实践。对于AP物理C，我不仅追求和同学一起去获得扎扎实实的五分，更希望通过这样一个先修美国大学课程的机会，能够更广阔的打开同学们的视野。
我素来认为：不要人为的把物理学的几个组成部分分割开来，好像牛顿力学电磁学就必然是一些基础的课程，广义相对论和量子力学一定是高不可攀的海市蜃楼，它们虽然形成于不同的历史时期，但是在概念和人类对物理世界的认识上，是一脉相承的，拥有现代物理的新观念，将会更好的去理解历史上理论的发展和一些重点物理现象，而不是相反，总而言之，整个物理大厦是一个整体，非要把它分割成看似没什么关系，甚至互相有些矛盾的各个领域，那是人为造成的，不是历史的必然，也不是科学发展的必然产物。
在这里我特别推崇费曼，他既是彪炳史册的物理大师，也是一个最敢于说出物理学各种不完善处的孩子，同时不断致力于通过修补这些物理大厦的不完善，达到整个物理世界的统一和谐的认识，在他编写的著名教科书“费曼物理学讲义”中，往往打乱了传统物理教学的各种约定俗成的分割，虽然即使清华的资深教授如徐湛也曾喟叹费曼物理学讲义的教学体系，在贯彻上很难，甚至有些匪夷所思，但是有一次我在他的办公室，仍然看到他兴致勃勃的在准备着费曼物理学讲义的课程，是啊，谁也没法否认这本名著的魅力。
恰恰是费曼这种把物理学理论和现象统一描述的不断追求，也是奠定他在物理学上最著名的贡献-----“费曼路径积分的量子力学表述”，这是一种把经典力学最小作用量原理和量子力学的非定域性综合起来的大胆尝试，从某种意义上说，他成功了，也为后来者打开了一条可以不断前进探索的通道。
因此，我在四中教学AP物理C电磁学时，就不断参考“费曼物理学讲义”，并受到了很多深刻的启迪。
首先，费曼的讲解静电学时，不仅讲解了大量现象和各种巧妙的解法，更是非常大胆的问了一些根本性的问题，如：为什么库伦定律和牛顿的万有引力同是平方反比率，他们之间的共同物理本质是什么？以高斯定律为代表的电场矢量分析方程，和流体力学、热传到、扩散、甚至薄膜震动都拥有的形式上完全一样的方程和解，它们之间共同的物理本质是什么？一个点电荷的电场强度，实验已经证明在很小空间（原子核范围）都成立，但是计算其电场的能量却会出现无穷大，这怎么理解？难道被实验如此精确证明的点电荷电场强度定律（库伦定律），还有别的物理解释我们不知道？
面对这些问题，首先我由衷的钦佩费曼的纯真的追求真理的态度，如果说现代物理发展史上还有一个“皇帝新衣”传说中的那个孩子的话，费曼一定毫无悬念的当选。
正是费曼这份宝贵的童真，给了我们这样的机会：让我们在学习和讲解像电磁学和万有引力这样公认“经典”和“成熟”的理论时，仍然可以保持一颗兴致勃勃的好奇心，去探索，去思考。
首先我们来看费曼提出的第一个问题：为什么库伦定律和牛顿万有引力定律都是平方反比率的？其实这个问题还应加上毕奥-萨法尔定律，也就是空间中的一个单位电流元产生的磁场也是满足平方反比率的，这不得不给人一个初步印象：除了短程的弱和强相互作用外（作用区域大约在原子核范围内），作为公认长程相互作用的电磁力和引力，都某种形式上符合平方反比率。
要理解这一现象，我觉得还得从法拉第天才的电场力线概念说起。大家都知道法拉第受的教育程度不高，但是物理直观却十分优异，作为“场”这种看不见摸不着，非定域的存在，素来是西方原子论哲学理解的难点，但是法拉第用“草籽”这种天然的偶极子，一下子就把电场“力线”演示了出来，成了几百年来物理课电磁学教学必看的“节目”。
图1
当然，我们不应该仅仅停留在看一张电场的“裸照”，更应该去思考这后面的物理含义：首先这张电场快照和稳定流体的流线十分相似，如果在水池中有一个水龙头同时有一个下水孔的话，我们如果掺杂某种小颗粒去观察水的流线，会得到十分相似的相片，那么我们忍不住问一句：在电场中是什么在“流”呢？如果这个问题在法拉第那个时代去问，那多半会不是当做科盲，也是会当做疯言风语被逐出大雅之堂。但是在现代量子场论中，这个问题很自然：电场是靠虚光子传递的（virtual photon：Lruie 《Particals and Fields》P224），那自然可以理解成“虚光子”的流啦！而且A.ZEE也指出：虽然现在引力子一直没有在实验中直接观察到，但是几乎没有哪个物理学家认真怀疑过引力相互作用也是通过“引力子”传递的。这样就好办了，既然我们认为这两种相互作用场都是通过规范粒子（虚光子或者虚引力子）传递的，我们自然可以假设，虚光子和虚引力子在被发射出又没有接受前满足流守恒（物质不灭定律），同时我们可以假设电场强度和引力场强度都和虚粒子的流强度（也就是单位横截面积通过的虚粒子数）成正比，这样点电荷或者点质量的场的强度自然应该满足平方反比率：
图2
如图所示：如果我们在半径为r的全面上取一立体角，截得的球面面积（深蓝色）为A,那么我们把半径扩展三倍，这个立体角截得的球面面积就为9倍（3的平方），那么假设在球心处有一点电荷或者点质量，它发出的虚粒子应该在这个立体角内守恒，但是分布到单位面积上虚粒子流量应该从r处的A面积上的一份，稀释到半径为3r处A面积的1/9份，因此其对应的电场强度或者引力场强度，应该满足的是平方反比的。
A.ZEE在他的量子场论中，直接计算了三维空间+一维时间宇宙的两个定域实粒子之间传播虚光子的势能，同样得到了力场的平方反比率，因此他出了道练习题：
—Calculate the analogy of the inverse square law in a (2+1)-dimensional universe, and more generally in a (D+1)-dimensional universe
A.ZEE <QUANTUM FIELD THEORY> P 29
本来我设想：既然3+1维世界里可以把场强想象成虚光子的流密度，那2+1维当然也可以啦，而且按照图2的设想，2+1维的世界里，流密度应该是r的一次方反比（因为弧长正好和半径成正比），在中科大的陈千帆和何鹏两位同学的帮助下，我们的确惊喜的用量子场论得到了预期结论，那就是在2+1维时空中，库伦定律是r的一次方反比的：
但是，为什么在二维和三维的空间中（更准确的说是2+1，3+1维时空），作为量子世界的虚光子却仅仅体现出“粒子性”，而没有波的干涉项出现呢？巧合吗？我还没有得到答案。
我将继续尝试用量子场论去证明4+1维世界，虚光子流应该造成库伦定律是r的立方反比的，这是郭雨培同学猜想的。
现在我们只好假设可爱的“虚光子”在二维和三维空间中就只体现出粒子性吧！我们接着把它们想成实体的“流”，继续和理想流体类比，这样我们自然就得到了高斯定律：
结论惊人的简单：电场流过任何一个封闭曲面（高斯面）的通量（可以理解成虚光子流过高斯面的流量和）与封闭高斯面内的源（电荷数之和）成正比（引力场也完全可以有同样的结论），这和理想流体的结论完全一样。
这就让人觉得更奇怪了，费曼也注意到电场满足的场方程和解与扩散、热传导、理想流体满足的方程和解完全一致，何以量子场论中描述的虚光子（有非定域的波粒二相性）与实粒子（只有定域原子性，完全没有波性），在二维和三维空间中行为完全一样呢？上帝在向我们暗示什么？
最后，我们讨论一下费曼提出的一个悖论：何以点点电荷的电场的场能量为无穷大？
很明显，结果将出现无穷大，即使考虑到黑洞理论中的截止长度普朗克长度（十的负三十五次方米），那单位库伦的点电荷的静电场能量也会有十的四十四次方焦耳数量级，这是天文数量级的能量，相当于太阳变成白矮星爆炸的能量，这严重违反常识，一定是理论在哪方面出了问题！
不过这次量子场论中我们可以发现救命稻草：
如果空间中只存在一点电荷，其发射一个虚光子的费曼图是这样的：
用量子场论可以证明（LURIE <PARTICALS AND FIELDS> P221），这样发射的虚光子由于存在一个违反相对论的反常质量，所以在总能量贡献中为零。因此，在经典电磁学中强调的：任何静电势能都是两个以上点电荷系统所共有的，不可能被单个电荷拥有，当初觉得这条说明突兀而牵强，现在通过量子场论就比较好理解了，单个点电荷的电场（发射的虚光子）由于违反了相对论的动量-能量关系，而对实体能量的贡献为零。只有两个以上的点电荷体系，其静电势能才有真正的物理意义，这也合理，这样体系的能量都是通过外界做功形成的（把一个点电荷放入另一点电荷的电场内总要做功，对于排斥力，放入的距离越短，需要的能量越大，直至无穷）。
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