Friday, February 15, 2013

玻耳兹曼因子

称为玻耳兹曼因子

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　　03-08-08　玻耳兹曼能量分布律
　　本节简要介绍了波耳兹曼关于气体分子按能量的分布律以及重力场中气体分子按高度的分布律，并由此推导出等温气压公式。
　　
　　玻耳兹曼(Ludwig Boltzmann 1844-1906）奥地利理论物理学家，经典统计物理学的奠基人之一，他提出的玻耳兹曼能量分布律是经典统计的基础。

　　上节讨论了一定量的理想气体，在平衡态下分子按速率(只考虑速度数值)的分布规律。有两个问题没有触及：
　　1．气体分子速度分布规律，即考虑到分子速度的方向，需要指出分子速度分别在 、 、 区间内的分子数或相对分子数。 称为速度区间或速度间隔。
　　2．如果气体受外力场作用，分子按空间位置的分布规律又是怎样的？这又需要指出位置坐标分别在x ～ ， y～ ，z ～ 区间内的分子数或相对分子数是多少。x，y，z 处体元， 称为位置区间。
　　由于经典统计力学中以速度和位置来描写一个分子的状态，所以称 为一个状态区间。 一般情况下从微观上统计地说明理想气体分子的运动状态和规律，需要指出分子在 状态区间内的分子数或相对分子数，那么它们的规律是什么呢？
　　事实上，1859年麦克斯韦对上面提到的第一个问题已经给出了答案。他从理论上导出了理想气体分子按速度的分布，指出在速度区间 的分子数与该区间内分子的平动动能 （即 ）有关，而且与 成正比。

　　继后，玻耳兹曼将麦克斯韦速度分布规律推广，应用统计方法得出处于保守力场中的分子按状态区间（ ）的分布规律，简要说明如下：
　　 以理想气体在重力场中分子按状态区间的分布为例。分子处在重力场中受重力作用，分子的空间分布是“下密上疏”，请看示意图。设气体分子在 x 到 ， y 到 ， z 到 和 到 ， 到 ， 到 区间的总能为
玻耳兹曼认为麦克斯韦速度分布因子 中的 应当用 来替代，从这一观点出发，玻耳兹曼计算出，分子在状态区间 内的分子数为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
式中C为与速度和位置均无关的比例常数，其值为
式中， 为 处的分子数密度 　　　　　　
　　(1)式说明在温度为 T 的平衡态下，理想气体分子在某一状态区间的分子数与该状态区间一个分子所具有的总能有关，而且与 成正比。这个结论称为玻耳兹曼能量分布律。
　　说明:
　　(1)理论和实验证明（1）式所表述的规律，是统计物理中适用于任何系统的微观粒子（不考虑相互作用）按能量分布的一个基本定律。 称为玻耳兹曼因子（式中 ε 为粒子总能量），是决定粒子数分布的要素。
　　(2)玻耳兹曼定律指出，从统计角度看，粒子处在能量较低状态区间的数目比处在能量较高状态区间的粒子数多，且随着能量的增大，大小相等的状态区间内的粒子数按指数规律迅速地减小。
　　　　　　　
　　在重力场中，温度为 T 的平衡态下，分子的无规则运动促使分子按位置的分布趋向均匀，但由于有外力场作用，分子按位置的分布将随高度增加而减小。因为在空间位置 x、y、z 处 x 到 ， y 到 ， z 到 区间内各种速度的分子都有，如果要计算体积元 d x d y d z 中的总分子数 ，则需将(1)式对所有速度进行积分。于是，
　
式中 ，方括号内积分 ，代入上式,可得 d x d y d z 体元内具有各种速率的分子数
由此得体元 d x d y d z 内的分子数密度
将 代入上式，则得气体分子(或粒子)在重力场中的密度公式为
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）
式中 为高度 Z = 0 ( )处的分子数密度。n 为高度 Z 处的分子数密度(Z为从基准平面量起的向上的高度)　　说明:(1)气体的温度一定时，重力场中分子数密度随高度(Z)的增加按指数规律减小。从统计意义上来看，气体分子占据能量较低状态的概率比占据能量较高状态的概率要高。请看图F1。


图F1 分子数随高度递减
图F2 分子数密度随高度递减与质量的关系
图F3 分子数密度随高度递减与温度的关系
(2)温度一定，分子质量越大，分子数密度随高度增大而减小得越快，请看图F2。
　　当分子质量一定时，若气体温度越高，则分子数密度随高度增大而减小得越缓慢，请看图F3。　　(3)1908-1910年法国物理学家佩兰（J．B．Perrin）通过沉积实验证实了(2)式所表述的粒子数按高度的分布规律。
　　他用显微镜观测悬浮在不同高度的悬浮微粒数。实验确定不同高度处( Z = 0 和 Z 处)悬浮粒子的数密度 和 n ，由(2)式计算出玻耳兹曼常量 k ，并根据 得出阿佛加德罗常数 (1910年，他得到的实验值是 ，现代在试验上精确得量值为 )。在物理学发展历史上，这个实验是证明分子真实存在的最有力的证据。
　　将地球表面大气看成是理想气体，并忽略大气层上、下温度及重力加速度的差异，利用理想气体状态方程和分子数密度按高度的分布规律(2)式，即
　　和　　
不难得出等温气压公式为 　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

式中 为 Z = 0 处的大气压强 (Z为从基准平面向上量起的高度)。
　　在登山运动和航空驾驶中，通过测出不同高度处压强的变化，根据(3)式可以计算出测点的高度。
　　说明:上面介绍的等温气压公式，是根据“等温大气”模型来讨论的。实际上大气并不处于等温。请看图a。所以等温气压公式是一个实际情况下的近似公式。请看图b。

a．大气温度分布
b．中纬度地区夏季大气压分布实测值与理论值的比较




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